专题08 期末真题百练通关（108题22大常考题型）（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材沪教版五四制

**基本信息** 聚焦期末高频考点，以22大题型108道真题构建分层训练体系，覆盖不等式、平行线、三角形等核心模块，强化基础到压轴的逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式|5题型19题|含性质应用、解法、参数问题及方案设计压轴题|从概念辨析到综合应用，体现建模思想与运算能力| |相交线与平行线|5题型21题|包含基础判定、性质计算及综合证明（新教材命题）|遵循"定义-判定-性质-应用"逻辑链，培养推理意识| |三角形|12题型68题|涵盖全等判定与性质、等腰分类讨论、等边综合及线段垂直平分线|以三角形要素为起点，递进至全等与特殊三角形综合，发展几何直观与空间观念|

专题08 期末真题百练通关（108题22大常考题型） 题型1 不等式性质类（选择 / 填空） 题型12 三角形内角与外角（必考） 题型2 解一元一次不等式（解答基础） 题型13 三角形重要线段 题型3 解一元一次不等式组（必考解答） 题型14 全等性质应用（线段 / 角度计算） 题型4 含参数不等式（组）（中档 / 压轴） 题型15 全等三角形判定（SSS/SAS/ASA/AAS，核心） 题型5 不等式应用题（方案设计，解答压轴） 题型16 全等三角形综合（解答压轴） 题型6 相交线基础（选择 / 填空） 题型17 等腰三角形性质 题型7 平行线判定（填空 / 证明） 题型18 等腰三角形判定 题型8 平行线性质（角度计算，必考） 题型19 等腰三角形分类讨论（高频易错） 题型9 平行线综合证明（解答） 题型20 等边三角形 题型10 命题与证明（新教材） 题型21 等腰 + 全等综合（压轴证明） 题型11 三角形三边关系（选择 / 填空） 题型22 线段的垂直平分线 题型1 不等式性质类（选择 / 填空）（共3小题） 1．（24-25七年级下·上海黄浦·期末）若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海金山·期末）用适当的不等式表示“大于”为________． 3．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果，那么______．（填“”或“”或“”或“”） 题型2 解一元一次不等式（解答基础）（共4小题） 4．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）解不等式：． 5．（24-25七年级下·上海松江·阶段检测）解不等式：． 6．（24-25七年级下·上海金山·期中）解不等式：． 7．（24-25七年级下·上海松江·期中）解不等式，并在数轴上表示出它的解集． 题型3 解一元一次不等式组（必考解答）（共4小题） 8．（24-25七年级下·上海·期末）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 9．（24-25七年级下·上海黄浦·期末）解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 10．（24-25七年级下·上海松江·期末）解不等式组，并求出所有整数解． 11．（24-25七年级下·上海松江·期末）利用数轴确定不等式组的整数解． 题型4 含参数不等式（组）（中档 / 压轴）（共4小题） 12．（25-26七年级下·上海普陀·期中）已知，如果，那么的取值范围是______． 13．（24-25七年级下·上海长宁·期末）关于x的不等式组有5个整数解，那么m的取值范围是_____． 14．（24-25七年级下·上海·期末）关于的不等式组有个整数解，那么的取值范围是______． 15．（24-25七年级下·上海闵行·期中）关于的不等式组有两个整数解，那么的取值范围是___________． 题型5 不等式应用题（方案设计，解答压轴）（共5小题） 16．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）母亲节前夕，某店主从厂家购进A、B两种礼盒，已知A、B两种礼盒的单价比为，单价和为210元． (1)求A、B两种礼盒的单价分别是多少元？ (2)该店主购进这两种礼盒恰好用去4800元，且购进B种礼盒最多36个，A种礼盒数量的2倍不超过B种礼盒的数量，共有几种进货方案？请说明理由． 17．（25-26七年级下·上海·期中）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某班班委会决定组织同学统一到体育用品专卖店购买体育运动跑鞋，以供同学们课外活动使用． 素材一 型运动跑鞋比型运动跑鞋每双的单价多20元； 素材二 购买2双型与3双型运动跑鞋共需费用640元； 素材三 该班委会通过班级调研确定型和型运动跑鞋共需购买50双，且购买型运动跑鞋的数量少于30双，购买型运动跑鞋的数量不超过购买型运动跑鞋的． 素材四 体育用品专卖店给出了优惠活动：一次购买型运动跑鞋不超过15双不优惠，超过15双后，超过的部分每双按单价打七五折；一次购买型运动跑鞋不超过20双不优惠，超过20双后，超过的部分每双按单价打八折． 素材五 购买型和型跑鞋的总费用不超过6000元． 请完成下列任务： (1)型、型运动跑鞋的单价分别是多少元？ (2)有哪几种购买方案？ 18．（25-26七年级下·上海闵行·期中）某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有哪几种生产方案？ (2)在（1）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润． 19．（24-25七年级下·上海·期中）学校为开展课外活动，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元． (1)求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； (2)学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且乒乓球拍的数量不少于羽毛球拍数量的，购买费用不超过2535，有几种购买方案？并写出方案． 20．（25-26七年级下·上海·期中）根据以下学习素材，完成下列任务： 学习素材 素材一 某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒3斤 每盒4斤 现在需要对斤草莓进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这32斤草莓整盒分装完．每个精包装盒的成本为1元，每个简包装盒的成本为元．若要将购买包装盒的成本控制在10元以内，请你设计出所有符合要求的分装方案，并说明理由． 题型6 相交线基础（选择 / 填空）（共5小题） 21．（23-24七年级下·上海长宁·期末）下列图中，、是对顶角的是（    ） A．  B．  C．   D．   22．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在同一平面上，如果直线垂直于直线，直线垂直于直线，垂足为点，那么直线与直线重合的理由是（   ） A．垂线段相等 B．两点确定一条直线 C．在同一平面上，已知直线的垂线只有一条 D．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 23．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，直线相交于点O，平分，．如果，那么______． 24．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，，那么点到直线的距离是线段________的长度． 25．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）如图：与构成同旁内角的角有 _____个． 题型7 平行线判定（填空 / 证明）（共4小题） 26．（24-25七年级下·上海金山·期末）给定如图所示的图形（不再添线），点在的延长线上，请添加一个条件________作为已知条件，通过推理能得到（只需填写一个满足的条件）    27．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （    ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 28．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，已知直线、、被直线所截．若，，且，求的度数．把以下解答过程补充完整． 解：如图，将与相邻的补角记为． ，， ． ． ， ， ． 29．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）如图，已知点、、、在一条直线上，，平分，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）与的位置关系如何？请说明理由． 解：（1），理由如下： （ ）， （已知）， ． （ ）． （2）与的位置关系是：（ ）． 请完成说理过程： 题型8 平行线性质（角度计算，必考）（共5小题） 30．（24-25七年级下·上海·期末）如图，现有一张长方形纸片，点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点．若.，则的度数为（　　） A．104° B．106° C．96° D．132° 31．（24-25七年级下·上海·期末）如图，将长方形纸条折叠，．按如图折叠，，则_____． 32．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知，，，那么______． 33．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知，，，那么__________． 34．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）某小区车库门口需要用到曲臂直杆道闸，模型如图所示．如果，，，那么______°． 题型9 平行线综合证明（解答）（共3小题） 35．（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，已知，直线交线段的延长线于点M，按下列步骤完成证明：． 步骤一、 假设，则______（______） ∵， ∴________ ∴________________ 这与________矛盾， 即不等于． 步骤二、（请自己写出后面的证明过程） 36．（25-26七年级下·上海·阶段检测）综合与实践 问题背景：图1是一种弹弓模型，在支架两端挂上弹力绳，拉动弹力绳可形成如图2所示的图形，弹弓支架的两边． (1)猜想与证明：如图2，当点在，之间时，请写出，与之间的数量关系，并说明理由． (2)问题解决：如图3，点在的上方，且，过点作直线交直线于点，使，过点作的平行线交的延长线于点，①找出图3中的弹弓模型，直接写出由（1）可以得到的结论．②求证：平分．（可直接使用①的结论） 37．（25-26七年级下·上海·期中）在综合探究课堂上我们学习了平行线的性质，平行线具有“等角转化”的功能，“三线八角”图是研究平行线性质的“基本图形”． (1)阅读理解：如图1，，点、分别为直线、上的点，点为平行线间一点，猜想、与之间的关系，并说明理由．阅读并补充下面推理过程： 解：，理由如下： 过点作， ∴， ∵ ∴（ ） ∴ ∴（等量代换） ∴． (2)方法运用：如图2，，猜想、与之间的关系，并说明理由： (3)深化拓展：如图3，，、的角平分线相交于点， ①过点E、F作射线、交于点G，若，求的度数； ②若，请直接写出的度数 ． （用含、的代数式表示） 题型10 命题与证明（新教材）（共4小题） 38．（24-25七年级下·上海松江·期末）下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．直角都相等 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 39．（24-25七年级下·上海·期末）下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 40．（24-25七年级下·上海松江·期末）在中，有下列四个命题： ①如果，那么；    ②如果，那么； ③如果，那么；    ④如果，那么． 其中，真命题的个数有（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 41．（24-25七年级下·上海金山·期末）将命题“在三角形中，大边对大角”改写成“如果……，那么……”的形式是________． 题型11 三角形三边关系（选择 / 填空）（共4小题） 42．（24-25七年级下·上海长宁·期末）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．3、5、9 C．3，6，9 D．3、7、9 43．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果一个三角形的两边长分别为2cm和7cm，那么这个三角形第三边的长可能是（   ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 44．（24-25七年级下·上海长宁·期末）三角形的三边分别为5，，9，则a的取值范围是_______． 45．（24-25七年级下·上海闵行·期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为_______． 题型12 三角形内角与外角（必考）（共5小题） 46．（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，点是线段延长线上的点，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 47．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，在中，，延长至，过点作的垂线，垂足为，且，则______． 48．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，已知，与分别是外角和外角的角平分线，若，则________°． 49．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交的延长线于点E． (1)若，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 50．（24-25七年级下·上海崇明·期末）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系 ． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求的度数． 题型13 三角形重要线段（共4小题） 51．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，中，，已知的面积为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 52．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，分别是斜边上的高和中线，是的平分线，某同学想直接得到点B到直线的距离，那么他应该测量线段_______的长度． 53．（22-23七年级下·上海徐汇·期中）如图，在中，，，，，，则线段_______．    54．（24-25七年级下·上海·期末）如图，、是的中线，连接，的面积是10，则的面积是______． 题型14 全等性质应用（线段 / 角度计算）（共6小题） 55．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，已知两个三角形全等，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 56．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，，点、、的对应点分别是点、、，、、、四点在同一直线上，，，那么的长为__________． 57．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，在中，点、分别在边、上，，．．若，则的周长为________． 58．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，，点A、C的对应点分别是点D、E，点D在边上，如果，那么________． 59．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）已知的三边长互不相等，若以为两个顶点画不同位置的三角形（与原三角形不重合），使所画的三角形与全等，这样的三角形最多可以画___________个． 60．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图， 在长方形中，厘米，厘米，点E为中点，已知点P在线段上以2厘米/秒的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段上由点C向点B运动，如果与恰好全等，那么点Q的运动速度是________厘米/秒． 题型15 全等三角形判定（SSS/SAS/ASA/AAS，核心）（共5小题） 61．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 62．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，点、、、在网一条直线上，，，． (1)求证： (2)若，，求证：． 63．（24-25七年级下·上海·期末）如图，中，D是延长线上一点，，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 64．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图， 已知，，， 说明． 请填写说理过程或理由． 解： 因为（已知）， 所以（ ） 因为（已知）， 所以 （ ）， 即． 在与中， 所以（ ）． 65．（24-25七年级下·上海·期末）如图，，点在边上，和相交于点，求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由． 证明：∵ ∴__________=__________ ∴__________ 在和中 ∵ 所以（________）． 题型16 全等三角形综合（解答压轴）（共6小题） 66．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）命题：全等三角形的对应角的平分线相等． (1)请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式为______． (2)结合图形，补全此命题的已知和求证． 已知：如图，①______， 平分交于点D， ②______． 求证：③______． (3)此命题是______命题．（填“真”或“假”） 67．（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知线段，且与不平行． (1)请你用直尺和圆规作出射线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)点在线段上，点在射线上．请你用直尺和圆规在（1）所作的图中作出点和点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (3)根据（2）中的作图痕迹，说明点和点符合题意． 68．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，与的顶点重合，，，，连接、，将绕点旋转． (1)如图，和的关系为___________． (2)如图，将绕点转动至如图所示示位置时，探究（）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程：若不成立，请说明理由． 69．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，点、为线段上两点，于，于，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，设与相交于点，连接、并延长相交于点，请直接写出图中所有全等的三角形．（除外，均用图中给出的字母表示．） 70．（24-25七年级下·上海崇明·期末）（1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点于点，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为___________． （3）如图3，，，，连接，，且于点与直线交于点．若，求的面积． 71．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知在中，射线 点P为射线上的动点（点P不与点A重合），连接，将线段绕点B顺时针旋转角度α后，得到线段，连接、． (1)与全等吗？ 试说明理由； (2)延长交射线于点D，在点P的移动过程中，的大小是否发生变化？若改变请说明理由，若不改变，请求出的大小（用含α的代数式表示）； (3)当时，过点Q作垂直射线，垂足为E，那么 ________（用m、 n的代数式表示） ． 题型17 等腰三角形性质（等边对等角、三线合一、大边对大角）（共4小题） 72．（25-26七年级下·上海金山·期末）下列判定两个等腰三角形全等的方法中，一定正确的是（    ） A．两角对应相等 B．两腰对应相等 C．一边一角对应相等 D．一腰和底边对应相等 73．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知中，，是的平分线，如果的周长为，的周长为，那么的长是______．    74．（24-25七年级下·上海松江·期末）如果等腰三角形的两边长分别是和，那么它的周长是__________． 75．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 题型18 等腰三角形判定（共5小题） 76．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，在中，点在线段上，点在线段延长线上，且，，求证：． 解：， （    ）， ， ． 即． （    ）， 在和中， ∵， （SSS）． （    ）， ， （    ）． 77．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）如图，在中，，点C在上，平分，交于点D，点F是线段的中点，连接，与相等吗？请说明理由． 解：结论：________ 理由： 因为平分（已知），所以________（角的平分线的意义）． 因为，（已知），所以．（等式性质） 而________+________．（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 所以（等量代换）． 所以 （ ）． 又因为（线段中点的意义） 所以 （ ）． 请完成以下说理过程： 78．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，已知：在中，点、分别在边、上，与相交于点，，． (1)求证：； (2)连接并延长交于点，求证：． 79．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，在等腰中，，为中线，延长至点，使，连结，过点作的垂线，垂足为，交于点． (1)若，求的度数； (2)试说明的理由． 80．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图1，在中，点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处（点在直线上方），连接. (1)在不添加辅助线的前提下，请找出图1中的一个等腰三角形：________； (2)求证：； (3)如图2，过点作的平行线，交的延长线于点.求证：； (4)连接，当时，如果是等腰三角形，那么的度数为________. 题型19 等腰三角形分类讨论（高频易错）（共3小题） 81．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如果等腰三角形的周长等于16厘米，一条边长等于6厘米，那么这个等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值等于______． 82．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）等腰三角形的两边之和为18，两边之差为8，那么这个等腰三角形的周长为______． 83．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，，将绕点旋转得，点、的对应点分别是点、，线段交边于点，连接、，如果是等腰三角形，那么的度数是___________． 题型20 等边三角形（共6小题） 84．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知在中，，，，点D是边上的一点，，点E是边上一个动点，连接，以为一边在右侧作等边，连接，在点E运动过程中，线段的最小值为__ ． 85．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，已知在等边中，，点E、F分别在边、上，将沿翻折，点A正好落在边上的点D处，如果的周长比的周长小，那么________． 86．（24-25七年级下·上海普陀·期末）在中，是边上一点，平分，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使为等边三角形，那么可以添加的条件是___________．（只需写出一个） 87．（24-25七年级下·上海·期末）在中，，，于D，绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E落在上，则的度数是________． 88．（24-25七年级下·上海金山·期末）在中，，点D在边上且，连接，点G在线段上（不与点C、D重合），直线l过点D，将沿着直线l翻折（点G关于直线l的对称点为点P）．若点P在过点G且与平行的直线上，那么的度数为________°． 89．（24-25七年级下·上海青浦·期末）在中，，点是边上一点，且（如图）．将折叠，使点与点重合，折痕分别交边于点，点是线段上一点，连接，那么周长的最小值为___________． 题型21 等腰 + 全等综合（压轴证明）（共5小题） 90．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，，是等边三角形，点在射线上，连接，以为边作等边三角形，边与边相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，当是等腰三角形时，求的度数． 91．（24-25七年级下·上海金山·期末）设平面上的三个点A、B、C．需确定点P的位置，使最小．当点A、B、C共线时，点P应取三点中居中的点．当点A、B、C不共线时，分成两类；有一个内角大于或等于和的三个内角均小于．约1640年，法国数学家费马（PierredeFermat，1601﹣1665）提出了这个问题，此问题中求得的点P也称为费马点，并由意大利数学家托里拆利首次证明． 下面来探究当点A、B、C不共线时的情况： (1)如图1，已知：在中，时，　　　为所求费马点． (2)如图2，已知：在中，最大角时，我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下：分别以的边为边向外作等边三角形和等边三角形，此时和交于一点P，点P就是所求的费马点． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由； ②为了验证作图中找到的点P就是费马点，连接，求证：． 92．（24-25七年级下·上海宝山·期末）已知，分别以、为边作和，且，，，连接与，、分别是与的中点． (1)如图，若，则______； (2)如图，若，则______； (3)如图，若，试探究与的数量关系，并给予证明． 93．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知是等边三角形，，点P从点A出发，沿射线以的速度运动，过点P作交射线于点E，同时点Q从点C出发沿的延长线以的速度运动，连接、，设点P的运动时间为． (1)当点P在边上，且不与点、重合时，求证：； (2)直接写出的长（用含t的代数式表示）； (3)在不添加字母和连接其它线段的条件下，当图中等腰三角形的个数大于3时，直接写出t的值和对应的等腰三角形的个数．（请写出所有的可能性） 94．（24-25七年级下·上海黄浦·期末）（1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以___________；（请填写全等判定的方法） （2）理解应用：如图2，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标的数据计算图中的面积是___________； （3）拓展提升：如图3，等边中，，点在上，且，动点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． ①当时，的长是___________． ②当点恰好落在射线上时，请直接写出的长． 题型22 线段的垂直平分线（共7小题） 95．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如果一个等腰三角形一腰的垂直平分线恰好经过底边的中点，那么这个等腰三角形的顶角的度数是（    ） A． B． C． D． 96．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长是，则的周长是_____． 97．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知：在中，是的角平分线，垂直平分分别交于点E、F，连接． (1)如果，求的度数； (2)过点F作交边于点G，如果，求的周长． 98．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，l是的垂直平分线，与边交于点E，点D在l上，且，连接． (1)求证：点D在边的垂直平分线上； (2)连接，若，求证：． 99．（24-25七年级下·上海松江·期末）已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． (1)如图（1），如果，证明：． (2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：． 100．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）如图是小毕同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 年月日星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图1所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺．怎么办呢？ 解决方案：如图2，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则． 我有如下思考：以上方案依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？…… 任务： (1)根据上述操作过程，证明； (2)用无刻度的直尺和圆规在1图的木板上，过点作出的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法），并说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）． 101．（24-25七年级下·上海长宁·期末）定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在中，，点在边上． (1)如图1，如果，求证：是的“等角分割线”； (2)如图2，如果，且是的“等角分割线”，求的度数； (3)是的“等角分割线”，的平分线交于点．如果，那么的度数为___________． 1．若关于的不等式组无解，求的取值范围． 2．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 3．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 4．中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，2026年是农历丙午马年，“马”字的书法形态飘逸灵动．如图1是一幅“马”字书法作品，图2是其抽象的几何图形，其中，．若，试判断和的数量关系，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整． 解：，理由如下： ，（已知） （依据： ） （已知） ，（等式的基本事实） ，（依据： ） （已知） ，（依据： ） （依据： ） 5．某商店准备购进，两种商品，种商品每件的进价比种商品每件的进价多元，用元购进种商品和用元购进种商品的数量相同． (1)种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？ (2)商店计划用不超过元的资金购进，两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？哪种方案总费用最少？ 6．如图，在中，，，分别为，边上的点，连接，交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作，，，连接，为中点，连接，求证：； 为解答这个问题，小明所在的小组经过讨论已有部分思路： ①延长至点，使得，连接，通过证明推出； ②通过证明推出，则； …… 请你通过已有思路继续研究，并写出证明过程． (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接．分别为，上的点，连接，交于点，若，，请直接写出，与之间的数量关系． 7．育英中学“巅峰数学”兴趣小组对三角形全等模型展开探究． (1)初步探究：如图1，小华绘制的中，，，过点作直线，于，于，求证：； (2)探究升级：如图2，小丽绘制了另外一个，，，上取一点，连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接交直线于．小丽说点必为线段的中点．你同意她的观点吗？请说明理由． (3)思维发散：在等腰直角三角形中，，，直线过点且，过点为一锐角顶点作，，且点在直线上（不与点重合），如图3，边与线段交于点，连接．试运用所学全等三角形的知识说明是等腰直角三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 期末真题百练通关（108题22大常考题型） 题型1 不等式性质类（选择 / 填空） 题型12 三角形内角与外角（必考） 题型2 解一元一次不等式（解答基础） 题型13 三角形重要线段 题型3 解一元一次不等式组（必考解答） 题型14 全等性质应用（线段 / 角度计算） 题型4 含参数不等式（组）（中档 / 压轴） 题型15 全等三角形判定（SSS/SAS/ASA/AAS，核心） 题型5 不等式应用题（方案设计，解答压轴） 题型16 全等三角形综合（解答压轴） 题型6 相交线基础（选择 / 填空） 题型17 等腰三角形性质 题型7 平行线判定（填空 / 证明） 题型18 等腰三角形判定 题型8 平行线性质（角度计算，必考） 题型19 等腰三角形分类讨论（高频易错） 题型9 平行线综合证明（解答） 题型20 等边三角形 题型10 命题与证明（新教材） 题型21 等腰 + 全等综合（压轴证明） 题型11 三角形三边关系（选择 / 填空） 题型22 线段的垂直平分线 题型1 不等式性质类（选择 / 填空）（共3小题） 1．（24-25七年级下·上海黄浦·期末）若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， 选项A： 两边同时加2，不等号方向不变，应为，故A错误． 选项B： 左边减5，右边减3，应为，故B错误． 选项C： 两边同时除以正数3，不等号方向不变，应为，故C错误． 选项D： 两边同时乘以负数，不等号方向改变，由可得，故D正确． 故选：D． 2．（24-25七年级下·上海金山·期末）用适当的不等式表示“大于”为________． 【答案】 【详解】解：不等式表示“大于”为： 故答案为：． 3．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果，那么______．（填“”或“”或“”或“”） 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型2 解一元一次不等式（解答基础）（共4小题） 4．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）解不等式：． 【答案】 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 5．（24-25七年级下·上海松江·阶段检测）解不等式：． 【答案】 【详解】解：， 去分母得 移项得 合并同类项得, 系数化为得：． 6．（24-25七年级下·上海金山·期中）解不等式：． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 则原不等式的解集为 7．（24-25七年级下·上海松江·期中）解不等式，并在数轴上表示出它的解集． 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得 系数化成1，得． 在数轴上表示不等式的解集如图所示． 题型3 解一元一次不等式组（必考解答）（共4小题） 8．（24-25七年级下·上海·期末）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式，得：， ∴不等式组的解集为：， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 9．（24-25七年级下·上海黄浦·期末）解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是； 不等式组的解集在数轴上表示如下： 10．（24-25七年级下·上海松江·期末）解不等式组，并求出所有整数解． 【答案】0，1，2，3，4，5 【详解】解：， 解第一个不等式：得：， 解第二个不等式：得：， 故不等式组的解集为：， 所有整数解为：0，1，2，3，4，5． 答：所有整数解为． 11．（24-25七年级下·上海松江·期末）利用数轴确定不等式组的整数解． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 将解集表示在数轴上如下： 所以不等式组的解集为， 则其整数解为、、、0． 题型4 含参数不等式（组）（中档 / 压轴）（共4小题） 12．（25-26七年级下·上海普陀·期中）已知，如果，那么的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵， ， ∴， 解得：． 13．（24-25七年级下·上海长宁·期末）关于x的不等式组有5个整数解，那么m的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∵关于x的不等式组有5个整数解， ∴， 解得：， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·上海·期末）关于的不等式组有个整数解，那么的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， 因为此不等式组有个整数解， 所以， 解得． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·上海闵行·期中）关于的不等式组有两个整数解，那么的取值范围是___________． 【答案】 【详解】解：解不等式组得：， ∵关于的不等式组有两个整数解， ∴这两个整数解为，， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型5 不等式应用题（方案设计，解答压轴）（共5小题） 16．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）母亲节前夕，某店主从厂家购进A、B两种礼盒，已知A、B两种礼盒的单价比为，单价和为210元． (1)求A、B两种礼盒的单价分别是多少元？ (2)该店主购进这两种礼盒恰好用去4800元，且购进B种礼盒最多36个，A种礼盒数量的2倍不超过B种礼盒的数量，共有几种进货方案？请说明理由． 【详解】（1）解：设种礼盒的单价为元，种礼盒的单价为元，根据题意得 解得． 则种礼盒的单价为（元）， 种礼盒的单价为（元）． 答：种礼盒的单价为120元，种礼盒的单价为90元． （2）设购进种礼盒个，购进种礼盒个，根据题意得， ， 解得． ∵两种礼盒个数均为正整数， ∴为正整数，即是的倍数． 当时，（符合条件）； 当时，（不是整数，舍去）； 当时，（不是整数，舍去）； 当时，（符合条件）． ∴购进A种礼盒13个，购进种礼盒36个，或种礼盒16个，购进种礼盒32个，共有种进货方案． 17．（25-26七年级下·上海·期中）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某班班委会决定组织同学统一到体育用品专卖店购买体育运动跑鞋，以供同学们课外活动使用． 素材一 型运动跑鞋比型运动跑鞋每双的单价多20元； 素材二 购买2双型与3双型运动跑鞋共需费用640元； 素材三 该班委会通过班级调研确定型和型运动跑鞋共需购买50双，且购买型运动跑鞋的数量少于30双，购买型运动跑鞋的数量不超过购买型运动跑鞋的． 素材四 体育用品专卖店给出了优惠活动：一次购买型运动跑鞋不超过15双不优惠，超过15双后，超过的部分每双按单价打七五折；一次购买型运动跑鞋不超过20双不优惠，超过20双后，超过的部分每双按单价打八折． 素材五 购买型和型跑鞋的总费用不超过6000元． 请完成下列任务： (1)型、型运动跑鞋的单价分别是多少元？ (2)有哪几种购买方案？ 【答案】(1)型、型运动跑鞋的单价分别是140元、120元 (2)方案一：购买型运动跑鞋20双，购买型运动跑鞋30双；方案二：购买型运动跑鞋21双，购买型运动跑鞋29双 【详解】（1）解：设B型运动跑鞋的单价为元，则A型运动跑鞋的单价为元， 根据素材二得，， 解得，， 则． 答：A型、B型运动跑鞋的单价分别是140元、120元． （2）解：设A型运动跑鞋买双，则B型运动跑鞋买双， 根据素材三得，， 解得，； 根据素材四得， 购买A型运动跑鞋的费用为：（元）， 购买B型运动跑鞋的费用为：（元）； 根据素材五得，， 解得，， 综上所述，． 又为整数， ，， 相应的，， 故有以下两种方案： 方案一：购买A型运动跑鞋20双，购买B型运动跑鞋30双； 方案二：购买A型运动跑鞋21双，购买B型运动跑鞋29双． 18．（25-26七年级下·上海闵行·期中）某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有哪几种生产方案？ (2)在（1）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润． 【答案】(1)方案1：生产A产品2件，B产品8件；方案2：生产A产品3件，B产品7件；方案3：生产A产品4件，B产品6件 (2)生产A产品2件，B产品8件获利最大，最大利润为26万元 【详解】（1）解：设生产A种产品件，则生产B种产品件（为非负整数）， 根据题意可得：， 解得：， ∵为整数， ∴， 对应三种生产方案：方案1：生产A产品2件，B产品8件； 方案2：生产A产品3件，B产品7件； 方案3：生产A产品4件，B产品6件； （2）解：方案1：总利润（万元）， 方案2：总利润（万元）， 方案3：总利润（万元）， ∵， ∴生产A产品2件，B产品8件获利最大，最大利润为26万元． 19．（24-25七年级下·上海·期中）学校为开展课外活动，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元． (1)求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； (2)学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且乒乓球拍的数量不少于羽毛球拍数量的，购买费用不超过2535，有几种购买方案？并写出方案． 【答案】(1)乒乓球拍的单价为元，羽毛球拍的单价为元 (2)有三种购买方案：学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副；学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副；学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副 【详解】（1）解：设乒乓球拍的单价为元，羽毛球拍的单价为元，则 ， 解得， 答：乒乓球拍的单价为元，羽毛球拍的单价为元； （2）解：设学校准备购买乒乓球拍副，则购买羽毛球拍副，则 ， 解得， 为正整数， 可取， 即有三种购买方案： 学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副； 学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副； 学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副． 20．（25-26七年级下·上海·期中）根据以下学习素材，完成下列任务： 学习素材 素材一 某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒3斤 每盒4斤 现在需要对斤草莓进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这32斤草莓整盒分装完．每个精包装盒的成本为1元，每个简包装盒的成本为元．若要将购买包装盒的成本控制在10元以内，请你设计出所有符合要求的分装方案，并说明理由． 【答案】所有符合要求的分装方案为：方案一：精包装4盒，简包装5盒；方案二：精包装8盒，简包装2盒 【详解】解：设分装时使用精包装盒，简包装盒，其中为正整数． 依题意得： 由①得， 代入②得： 不等式两边同乘得： 整理得解得 又因为是正整数，所以，即，解得 结合为正整数，可得是的倍数， 因此符合条件的取值为：当时，；当时，，均满足要求． 答：符合要求的分装方案是精包装4盒简包装5盒，或精包装8盒简包装2盒． 题型6 相交线基础（选择 / 填空）（共5小题） 21．（23-24七年级下·上海长宁·期末）下列图中，、是对顶角的是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】D 【详解】解：A、、没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意； B、、的边不是反向延长线所以不是对顶角，不符合题意； C、、没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意； D、、是对顶角，符合题意； 故选：D． 22．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在同一平面上，如果直线垂直于直线，直线垂直于直线，垂足为点，那么直线与直线重合的理由是（   ） A．垂线段相等 B．两点确定一条直线 C．在同一平面上，已知直线的垂线只有一条 D．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 【答案】D 【详解】解：在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：． 23．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，直线相交于点O，平分，．如果，那么______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 24．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，，那么点到直线的距离是线段________的长度． 【答案】 【详解】解：∵，垂足为点D， ∴点到直线的距离是线段的长， 故答案为：． 25．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）如图：与构成同旁内角的角有 _____个． 【答案】3 【详解】解：能与构成同旁内角的角有、、，共3个． 故答案为：3． 题型7 平行线判定（填空 / 证明）（共4小题） 26．（24-25七年级下·上海金山·期末）给定如图所示的图形（不再添线），点在的延长线上，请添加一个条件________作为已知条件，通过推理能得到（只需填写一个满足的条件）    【答案】（或或或） 【详解】解：∵ ∴； ∵， ∴； ∵或 ∴； 故答案为：（或或或）． 27．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （    ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 【答案】90，垂直的定义，，，，， 【详解】证明：∵，（已知） ∴（垂直的定义） 又∵（已知） ∴（等式的性质） 即 ∴（内错角相等，两直线平行） 28．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，已知直线、、被直线所截．若，，且，求的度数．把以下解答过程补充完整． 解：如图，将与相邻的补角记为． ，， ． ． ， ， ． 【答案】同位角相等，两直线平行；；；平行于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行，同位角相等； 【详解】解：如图，将与相邻的补角记为． ， ． 同位角相等，两直线平行． ， 平行于同一直线的两条直线互相平行 两直线平行，同位角相等 ， ． 故答案为：同位角相等，两直线平行；；；平行于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行，同位角相等；． 29．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）如图，已知点、、、在一条直线上，，平分，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）与的位置关系如何？请说明理由． 解：（1），理由如下： （ ）， （已知）， ． （ ）． （2）与的位置关系是：（ ）． 请完成说理过程： 【答案】（1）平角定义；；同位角相等，两直线平行；（2）平行，理由见解析 【详解】解：（1），理由如下： （平角定义）， （已知）， ， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：平角定义；；同位角相等，两直线平行； （2）与的位置关系是：（平行），理由如下： 平分， ， ， ， ， 故答案为：平行． 题型8 平行线性质（角度计算，必考）（共5小题） 30．（24-25七年级下·上海·期末）如图，现有一张长方形纸片，点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点．若.，则的度数为（　　） A．104° B．106° C．96° D．132° 【答案】C 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴． ∴，． ∴， ∵点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点， ∴，，． ∴ ． ∴， ∴． 故选：C． 31．（24-25七年级下·上海·期末）如图，将长方形纸条折叠，．按如图折叠，，则_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 故答案为：． 32．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知，，，那么______． 【答案】/75度 【详解】解：延长交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为： 33．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知，，，那么__________． 【答案】138 【详解】解：如图， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 34．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）某小区车库门口需要用到曲臂直杆道闸，模型如图所示．如果，，，那么______°． 【答案】127 【详解】解：过点B作，如图， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：127． 题型9 平行线综合证明（解答）（共3小题） 35．（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，已知，直线交线段的延长线于点M，按下列步骤完成证明：． 步骤一、 假设，则______（______） ∵， ∴________ ∴________________ 这与________矛盾， 即不等于． 步骤二、（请自己写出后面的证明过程） 【详解】步骤一、假设，则（等边对等角） ∵， ∴ ∴， 这与直线交的延长线于点M矛盾， 即不等于． 步骤二、 假设，则， ∵， ∴ ∵， ∴ 与矛盾 即不小于． 综上所述，． 36．（25-26七年级下·上海·阶段检测）综合与实践 问题背景：图1是一种弹弓模型，在支架两端挂上弹力绳，拉动弹力绳可形成如图2所示的图形，弹弓支架的两边． (1)猜想与证明：如图2，当点在，之间时，请写出，与之间的数量关系，并说明理由． (2)问题解决：如图3，点在的上方，且，过点作直线交直线于点，使，过点作的平行线交的延长线于点，①找出图3中的弹弓模型，直接写出由（1）可以得到的结论．②求证：平分．（可直接使用①的结论） 【详解】（1）答：，理由如下： 过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①解：，理由如下： 过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：； ②证明：∵，， ∴， ∵，（对顶角相等）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：平分． 37．（25-26七年级下·上海·期中）在综合探究课堂上我们学习了平行线的性质，平行线具有“等角转化”的功能，“三线八角”图是研究平行线性质的“基本图形”． (1)阅读理解：如图1，，点、分别为直线、上的点，点为平行线间一点，猜想、与之间的关系，并说明理由．阅读并补充下面推理过程： 解：，理由如下： 过点作， ∴， ∵ ∴（ ） ∴ ∴（等量代换） ∴． (2)方法运用：如图2，，猜想、与之间的关系，并说明理由： (3)深化拓展：如图3，，、的角平分线相交于点， ①过点E、F作射线、交于点G，若，求的度数； ②若，请直接写出的度数 ． （用含、的代数式表示） 【详解】（1）解：，理由如下： 如图， 过点作， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴， ∴（等量代换） ∴． （2）解：猜想，理由如下： 同理可得， ∵， ∴， ∴； （3）解：①同理可得， ∵， ∴， ∵与的角平分线相交于点Q， ∴， ∵，， ∴，， ∴； ②如图 ∵，， ∴， ∵与的角平分线相交于点Q， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 题型10 命题与证明（新教材）（共4小题） 38．（24-25七年级下·上海松江·期末）下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．直角都相等 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【答案】D 【详解】解：A、逆命题为：相等的角都是直角，该逆命题不成立，故不符合题意； B、逆命题为：如果，那么，该逆命题不成立，故不符合题意； C、逆命题为：相等的角都是对顶角，该逆命题不成立，故不符合题意； D、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，该逆命题成立，故符合题意； 故选：D． 39．（24-25七年级下·上海·期末）下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【详解】解：A. 真命题的逆命题不一定是真命题，故该选项不符合题意； B. 两边分别平行的两个角相等或互补，原命题是假命题，故该选项不符合题意； C. 等角的余角相等，故该选项符合题意； D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不符合题意； 故选：C． 40．（24-25七年级下·上海松江·期末）在中，有下列四个命题： ①如果，那么；    ②如果，那么； ③如果，那么；    ④如果，那么． 其中，真命题的个数有（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【详解】解：命题①：若，则为等腰三角形，∴底角，故正确． 命题②：若，由等角对等边可知，故正确． 命题③：若，根据大边对大角定理，对的角大于对的角，故正确． 命题④：若，根据大角对大边定理，对的边大于对的边，故正确． 综上，四个命题均为真； 故选：A． 41．（24-25七年级下·上海金山·期末）将命题“在三角形中，大边对大角”改写成“如果……，那么……”的形式是________． 【答案】如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角 【详解】解：如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角 故答案为：如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角． 题型11 三角形三边关系（选择 / 填空）（共4小题） 42．（24-25七年级下·上海长宁·期末）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．3、5、9 C．3，6，9 D．3、7、9 【答案】D 【详解】A．2，3，5：最小两边和为，等于最大边5，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； B．3，5，9：最小两边和为，小于最大边9，不满足条件，不能组成三角形； C．3，6，9：最小两边和为，等于最大边9，不满足条件，不能组成三角形； D．3，7，9：最小两边和为，大于最大边9，满足条件，能组成三角形． 故选D． 43．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果一个三角形的两边长分别为2cm和7cm，那么这个三角形第三边的长可能是（   ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】D 【详解】解：由题意，得：第三边， ∴第三边； 故选D． 44．（24-25七年级下·上海长宁·期末）三角形的三边分别为5，，9，则a的取值范围是_______． 【答案】 【详解】解：根据题意得：， 即． 故答案为：． 45．（24-25七年级下·上海闵行·期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为_______． 【答案】3 【详解】解：由题意得，， ∴， 若，则（舍）； 若，则， ∴边的长为3， 故答案为：3． 题型12 三角形内角与外角（必考）（共5小题） 46．（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，点是线段延长线上的点，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】是的外角 解得： 故选：D． 47．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，在中，，延长至，过点作的垂线，垂足为，且，则______． 【答案】 【详解】解：， ， ，， ， ，， ． 故答案为：． 48．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，已知，与分别是外角和外角的角平分线，若，则________°． 【答案】56 【详解】解：∵， ∴， ∵与分别是外角和外角的角平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：56． 49．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交的延长线于点E． (1)若，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解： ；证明如下： 根据题意得：， ∵平分， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， 即 ． 50．（24-25七年级下·上海崇明·期末）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系 ． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵点P是和的平分线的交点， ∴， （2）解：∵外角，的角平分线交于点Q， ∴ ， ∴； （3）解：延长至F， ∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； ∵ ， ∴； 如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或或． 题型13 三角形重要线段（共4小题） 51．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，中，，已知的面积为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点作于点， ∵的面积为，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：A． 52．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，分别是斜边上的高和中线，是的平分线，某同学想直接得到点B到直线的距离，那么他应该测量线段_______的长度． 【答案】 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴点B到直线的距离为线段的长， 故他应该测量线段的长； 故答案为：． 53．（22-23七年级下·上海徐汇·期中）如图，在中，，，，，，则线段_______．    【答案】 【详解】解：在中，，，，， ， ， ， 故答案为：． 54．（24-25七年级下·上海·期末）如图，、是的中线，连接，的面积是10，则的面积是______． 【答案】2.5 【详解】解：∵、是的中线，连接，的面积是10， ∴， ∴， 故答案为：2.5． 题型14 全等性质应用（线段 / 角度计算）（共6小题） 55．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，已知两个三角形全等，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图， ∵两个三角形全等， ∴， 故选：D． 56．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，，点、、的对应点分别是点、、，、、、四点在同一直线上，，，那么的长为__________． 【答案】4 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 57．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，在中，点、分别在边、上，，．．若，则的周长为________． 【答案】 【详解】解：∵，，． ∴，， ∴， ∴的周长为 故答案为：． 58．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，，点A、C的对应点分别是点D、E，点D在边上，如果，那么________． 【答案】 【详解】解：， ，， ， ， 故答案为：． 59．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）已知的三边长互不相等，若以为两个顶点画不同位置的三角形（与原三角形不重合），使所画的三角形与全等，这样的三角形最多可以画___________个． 【答案】3 【详解】解：如图，可以画、、与全等，因此这样的三角形最多可以画3个． 故答案为：3． 60．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图， 在长方形中，厘米，厘米，点E为中点，已知点P在线段上以2厘米/秒的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段上由点C向点B运动，如果与恰好全等，那么点Q的运动速度是________厘米/秒． 【答案】6或 【详解】解：设运动时间为t秒，点Q的运动速度是厘米/秒． 根据题意可得：，，， ∵厘米，点E为中点， ∴厘米， ①当，时， ， 解得：， ∴厘米， ∴厘米， ∴； ②当，时， ， 解得：， ∴点Q的运动速度为（厘米/秒）， 故答案为：6或． 题型15 全等三角形判定（SSS/SAS/ASA/AAS，核心）（共5小题） 61．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 【详解】（1）证明：∵， ∴，即：， 又∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 62．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，点、、、在网一条直线上，，，． (1)求证： (2)若，，求证：． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵，， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴， ∴ 63．（24-25七年级下·上海·期末）如图，中，D是延长线上一点，，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 【详解】（1）解：∵D是延长线上一点，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴的度数是． 64．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图， 已知，，， 说明． 请填写说理过程或理由． 解： 因为（已知）， 所以（ ） 因为（已知）， 所以 （ ）， 即． 在与中， 所以（ ）． 【详解】解： 因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等） 因为（已知）， 所以（等式的性质）， 即． 在与中， 所以． 65．（24-25七年级下·上海·期末）如图，，点在边上，和相交于点，求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由． 证明：∵ ∴__________=__________ ∴__________ 在和中 ∵ 所以（________）． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中 ∵ 所以． 故答案为：；；；；；；；；；． 题型16 全等三角形综合（解答压轴）（共6小题） 66．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）命题：全等三角形的对应角的平分线相等． (1)请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式为______． (2)结合图形，补全此命题的已知和求证． 已知：如图，①______， 平分交于点D， ②______． 求证：③______． (3)此命题是______命题．（填“真”或“假”） 【详解】（1）解：将此命题改写成“如果，那么”的形式为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角的平分线相等． 故答案为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角的平分线相等． （2）解：已知：如图，， 平分交于点， 平分交于， 求证：． 故答案为：，平分交于，． （3）解：此命题是真命题，理由如下： ∵， ，，， 平分，平分， ，， ， 又，， ， ， 全等三角形的对应角的平分线相等． 故答案为：真． 67．（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知线段，且与不平行． (1)请你用直尺和圆规作出射线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)点在线段上，点在射线上．请你用直尺和圆规在（1）所作的图中作出点和点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (3)根据（2）中的作图痕迹，说明点和点符合题意． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：如图，点D，E即为所求； （3）解：由作法得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 68．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，与的顶点重合，，，，连接、，将绕点旋转． (1)如图，和的关系为___________． (2)如图，将绕点转动至如图所示示位置时，探究（）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程：若不成立，请说明理由． 【详解】（1）解：∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 延长交于，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：结论仍然成立，理由如下： 如图，设相交于， ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 69．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，点、为线段上两点，于，于，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，设与相交于点，连接、并延长相交于点，请直接写出图中所有全等的三角形．（除外，均用图中给出的字母表示．） 【详解】（1）证明：∵于G，于F， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：①，证明如下： 由（1）可知：， ∴，， 在和中， ， ∴， ②，证明如下： 由①可知：， ∴，， 又∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ③，证明如下： 在和中， ， ∴， ④和，证明如下： ∵于G，于F， ∴， 在和中，， ∴， 图中除外有4对全等的三角形，分别为：①，②，③，④． 70．（24-25七年级下·上海崇明·期末）（1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点于点，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为___________． （3）如图3，，，，连接，，且于点与直线交于点．若，求的面积． 【详解】解：（1），理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴；    （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，；    ∵，， ∴． 故答案为：6； （3）解：如图，过点作于，过点作交的延长线于， 由（2）思路可证，， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 71．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知在中，射线 点P为射线上的动点（点P不与点A重合），连接，将线段绕点B顺时针旋转角度α后，得到线段，连接、． (1)与全等吗？ 试说明理由； (2)延长交射线于点D，在点P的移动过程中，的大小是否发生变化？若改变请说明理由，若不改变，请求出的大小（用含α的代数式表示）； (3)当时，过点Q作垂直射线，垂足为E，那么 ________（用m、 n的代数式表示） ． 【详解】（1）解：，理由如下： 根据旋转的性质得到，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如下图所示，连接， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴大小不改变，且； （3）解：如下图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 题型17 等腰三角形性质（等边对等角、三线合一、大边对大角）（共4小题） 72．（25-26七年级下·上海金山·期末）下列判定两个等腰三角形全等的方法中，一定正确的是（    ） A．两角对应相等 B．两腰对应相等 C．一边一角对应相等 D．一腰和底边对应相等 【答案】D 【详解】解：A、两角对应相等，没有边的参与，不符合全等的条件，故不能判定两三角形全等，故本选项错误，不符合题意； B、两腰对应相等，第三边不一定对应相等，不符合全等的条件，故不能判定两三角形全等，故本选项错误； C、一边一角对应相等，此条件未明确边角关系而不能保证全等。例如，若一个等腰三角形的腰与另一个等腰三角形的底边对应相等，顶角与另一个的底角对应相等，则无法判定两个等腰三角形全等，故本选项错误； D、一腰和底边对应相等，相当于两腰和底边对应相等，利用可以证得两个等腰三角形全等，故本选项正确． 73．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知中，，是的平分线，如果的周长为，的周长为，那么的长是______．    【答案】 【详解】解：，是的平分线， ， 的周长为， ， 的周长为， ， 故答案为：． 74．（24-25七年级下·上海松江·期末）如果等腰三角形的两边长分别是和，那么它的周长是__________． 【答案】 【详解】解：当腰长为，则三边为， 此时，不能组成三角形，舍去； 当腰长为，则三边为， 此时，能组成三角形，符合题意， ∴它的周长是， 故答案为：． 75．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 【详解】证明：在中， （在三角形中，大边对大角） （对顶角相等） （在三角形中，大角对大边） 题型18 等腰三角形判定（共5小题） 76．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，在中，点在线段上，点在线段延长线上，且，，求证：． 解：， （    ）， ， ． 即． （    ）， 在和中， ∵， （SSS）． （    ）， ， （    ）． 【详解】解：， （等边对等角）， ， ． 即． （等角对等边）， 在和中， ∵， （SSS）． （全等三角形的对应角相等）， ， （等腰三角形三线合一）． 77．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）如图，在中，，点C在上，平分，交于点D，点F是线段的中点，连接，与相等吗？请说明理由． 解：结论：________ 理由： 因为平分（已知），所以________（角的平分线的意义）． 因为，（已知），所以．（等式性质） 而________+________．（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 所以（等量代换）． 所以 （ ）． 又因为（线段中点的意义） 所以 （ ）． 请完成以下说理过程： 【详解】解：结论： 理由： 因为平分（已知），所以（角的平分线的意义）． 因为，（已知），所以．（等式性质） 而．（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 所以（等量代换）． 所以（等角对等边）， 又因为（线段中点的意义） 所以（等腰三角形的三线合一）． 故答案为：；；；，等角对等边；，等腰三角形的三线合一． 78．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，已知：在中，点、分别在边、上，与相交于点，，． (1)求证：； (2)连接并延长交于点，求证：． 【详解】（1）点、分别在边、上，与相交于点， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ． （2）连接并延长交于点， ，， ， ， 由（1）得， ， 在和中， ， ， ， ，平分， ． 79．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，在等腰中，，为中线，延长至点，使，连结，过点作的垂线，垂足为，交于点． (1)若，求的度数； (2)试说明的理由． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，即， ∴ （2）∵， ∴， ∵，AD为中线， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵， ， ∴， ∴， ∴ 80．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图1，在中，点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处（点在直线上方），连接. (1)在不添加辅助线的前提下，请找出图1中的一个等腰三角形：________； (2)求证：； (3)如图2，过点作的平行线，交的延长线于点.求证：； (4)连接，当时，如果是等腰三角形，那么的度数为________. 【详解】（1）解：． ∵点D是的中点， ∴. 根据折叠的性质得， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：； （2）证明：根据折叠的性质得， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）证明：∵， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 根据折叠的性质得， ∴， ∴； （4）解：如图，连接，交于点， 由，根据等腰三角形的对称性可知是的高线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， 此时， 又∵，，， ∴，， ∴点、、重叠， ∵点在直线上方， ∴时，不符合题意． 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 题型19 等腰三角形分类讨论（高频易错）（共3小题） 81．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如果等腰三角形的周长等于16厘米，一条边长等于6厘米，那么这个等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值等于______． 【答案】或 【详解】解：当腰为6厘米时，三边为，能构成三角形； 当底为6厘米时，腰为5，5，能构成三角形， 所以这个等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值等于或． 故答案为：或． 82．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）等腰三角形的两边之和为18，两边之差为8，那么这个等腰三角形的周长为______． 【答案】31或35或19 【详解】解：设腰长为，则底长为， 当腰底，即时，，，三边之长为13，13，5，能构成三角形； 当底腰，即时，，，三边之长为5，5，13，不能构成三角形． 当腰+腰=18，则腰，底边长为，三边之长为9，9，17，能构成三角形； 当腰+腰=18，则腰=9，底边长为9-8=1，三边之长为9，9，1，能构成三角形； 综上所述，它的三边长分别是13，13，5，此等腰三角形的周长为； 三边之长为9，9，17，此等腰三角形的周长为； 三边之长为9，9，1，此等腰三角形的周长为； 故答案为：31或35或19． 83．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，，将绕点旋转得，点、的对应点分别是点、，线段交边于点，连接、，如果是等腰三角形，那么的度数是___________． 【答案】或 【详解】解：∵将绕点旋转得，， ∴，，， ∴， ∵是等腰三角形， ∴或， 当时，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，设，则， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：或． 题型20 等边三角形（共6小题） 84．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知在中，，，，点D是边上的一点，，点E是边上一个动点，连接，以为一边在右侧作等边，连接，在点E运动过程中，线段的最小值为__ ． 【答案】4 【详解】解：如图所示，以为边在上方作等边三角形，连接，过点M作于点P，于点N，如图所示： ∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当点E与点N重合时，最小，即最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 又∵， ∴（平行线间间距相等）， ∴的最小值为4， 故答案为：4. 85．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，已知在等边中，，点E、F分别在边、上，将沿翻折，点A正好落在边上的点D处，如果的周长比的周长小，那么________． 【答案】 【详解】解：由折叠性质可知：，， ∴的周长， 的周长， ∵在等边中，， ∴，， ∴，． 故答案为： 86．（24-25七年级下·上海普陀·期末）在中，是边上一点，平分，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使为等边三角形，那么可以添加的条件是___________．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：如图，添加时，为等边三角形， ∵在中，平分，， ∴是中边上的中线， ∴是中边上的高（三线合一）， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：（答案不唯一）． 87．（24-25七年级下·上海·期末）在中，，，于D，绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E落在上，则的度数是________． 【答案】 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即垂直平分， ∴， ∵绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E落在上， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 88．（24-25七年级下·上海金山·期末）在中，，点D在边上且，连接，点G在线段上（不与点C、D重合），直线l过点D，将沿着直线l翻折（点G关于直线l的对称点为点P）．若点P在过点G且与平行的直线上，那么的度数为________°． 【答案】120 【详解】解：如图： ∵在中，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ， ∴， 故答案为：120． 89．（24-25七年级下·上海青浦·期末）在中，，点是边上一点，且（如图）．将折叠，使点与点重合，折痕分别交边于点，点是线段上一点，连接，那么周长的最小值为___________． 【答案】 【详解】解：如图， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴ ∵是折痕，点与点重合， ∴垂直平分， ∵点是线段上一点， ∴ ∴在上时，取得最小值， 即周长最小值为： 故答案为：． 题型21 等腰 + 全等综合（压轴证明）（共5小题） 90．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，，是等边三角形，点在射线上，连接，以为边作等边三角形，边与边相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，当是等腰三角形时，求的度数． 【详解】（1）解：∵，是等边三角形， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∵是等腰三角形 ∴①如图，当时， ∴ ∴ ∴； ②如图，当时， ∴ ∴ ∴ ∴点O在上，即点O和点D重合，不存在，不符合题意； ③如图，当时， ∵ ∴垂直平分 ∴ 综上，的度数为或． 91．（24-25七年级下·上海金山·期末）设平面上的三个点A、B、C．需确定点P的位置，使最小．当点A、B、C共线时，点P应取三点中居中的点．当点A、B、C不共线时，分成两类；有一个内角大于或等于和的三个内角均小于．约1640年，法国数学家费马（PierredeFermat，1601﹣1665）提出了这个问题，此问题中求得的点P也称为费马点，并由意大利数学家托里拆利首次证明． 下面来探究当点A、B、C不共线时的情况： (1)如图1，已知：在中，时，　　　为所求费马点． (2)如图2，已知：在中，最大角时，我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下：分别以的边为边向外作等边三角形和等边三角形，此时和交于一点P，点P就是所求的费马点． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由； ②为了验证作图中找到的点P就是费马点，连接，求证：． 【详解】（1）解：将绕点C顺时针旋转得到，连接 ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点三点共线， ∴最短， ∴点A为所求费马点； 故答案为：A； （2）①解：， 理由：∵与是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②证明：设与交于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在上截取， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 92．（24-25七年级下·上海宝山·期末）已知，分别以、为边作和，且，，，连接与，、分别是与的中点． (1)如图，若，则______； (2)如图，若，则______； (3)如图，若，试探究与的数量关系，并给予证明． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵、分别是与的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：同（1）可证，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：同（1）可证，， ∵， ∴， ∵， ∴． 93．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知是等边三角形，，点P从点A出发，沿射线以的速度运动，过点P作交射线于点E，同时点Q从点C出发沿的延长线以的速度运动，连接、，设点P的运动时间为． (1)当点P在边上，且不与点、重合时，求证：； (2)直接写出的长（用含t的代数式表示）； (3)在不添加字母和连接其它线段的条件下，当图中等腰三角形的个数大于3时，直接写出t的值和对应的等腰三角形的个数．（请写出所有的可能性） 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， 根据点的运动过程可知，， ∴， 在和中， ， ∴ （2）解：根据题意可知，点从点到点所需时间为， 当时，， 当时，， 答：当时，的长为；当时，的长为． （3）解：当时，如图，有5个等腰三角形：、、、、， 当时，如图，有4个等腰三角形：、、、， 答：当时，等腰三角形有5个；当时，等腰三角形有4个． 94．（24-25七年级下·上海黄浦·期末）（1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以___________；（请填写全等判定的方法） （2）理解应用：如图2，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标的数据计算图中的面积是___________； （3）拓展提升：如图3，等边中，，点在上，且，动点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． ①当时，的长是___________． ②当点恰好落在射线上时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）8；（3）①；② 【详解】（1）解：如图1，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以（）， 故答案为：； （2）解：由（1）同理可证，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的面积是， 故答案为：8． （3）①如图，当时， 则， ∵等边中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． ②如图所示，当点恰好落在射线上时， ∵等边中，，且， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 题型22 线段的垂直平分线（共7小题） 95．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如果一个等腰三角形一腰的垂直平分线恰好经过底边的中点，那么这个等腰三角形的顶角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示， 根据题意可知垂直平分，点D是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 96．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长是，则的周长是_____． 【答案】 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ，， 的周长为：， 的周长为：． 97．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知：在中，是的角平分线，垂直平分分别交于点E、F，连接． (1)如果，求的度数； (2)过点F作交边于点G，如果，求的周长． 【答案】(1)55° (2)16 【详解】（1）解：∵是的角平分线，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：如下图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长． 98．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，l是的垂直平分线，与边交于点E，点D在l上，且，连接． (1)求证：点D在边的垂直平分线上； (2)连接，若，求证：． 【详解】（1）证明：∵l是的垂直平分线，点D在l上， ∴， ∵， ∴． ∴点D在的垂直平分线上． （2）证明：由（1）可知，由“等边对等角”， 设， ， ∴在中，， 在中，， 即， ∴，则， 即， ∵点E在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴，则 99．（24-25七年级下·上海松江·期末）已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． (1)如图（1），如果，证明：． (2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：． 【详解】（1）证明：，是的中点， 是的垂直平分线， ， ， ； （2）证明：， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ． 100．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）如图是小毕同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 年月日星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图1所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺．怎么办呢？ 解决方案：如图2，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则． 我有如下思考：以上方案依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？…… 任务： (1)根据上述操作过程，证明； (2)用无刻度的直尺和圆规在1图的木板上，过点作出的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法），并说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）． 【详解】（1）证明：由作图方法可知：，， ，， 又， ， ， ， 即， （2）解：如图，直线即为所求； 等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（或等腰三角形“三线合一”）；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上等．（答案不唯一） 101．（24-25七年级下·上海长宁·期末）定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在中，，点在边上． (1)如图1，如果，求证：是的“等角分割线”； (2)如图2，如果，且是的“等角分割线”，求的度数； (3)是的“等角分割线”，的平分线交于点．如果，那么的度数为___________． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的“等角分割线”； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∵是的“等角分割线”， ∴①，， 解得：； ②，， 解得：（舍去）， 综上：； （3）解：记的平分线与交于点， ①当时， ∵，平分， ∴，，， 设，则 ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； ②当时， ∵平分， ∴， 设，则， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， 综上：的度数为或． 1．若关于的不等式组无解，求的取值范围． 【答案】 【详解】解： 由①得：； 由②得：， ∵关于的不等式组无解， ∴， 解得：． 2．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集是； 在数轴上表示为： ． 3．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【详解】（1）证明：垂直平分， ， ， 是的垂直平分线， ， ； （2）解：的周长为， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 4．中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，2026年是农历丙午马年，“马”字的书法形态飘逸灵动．如图1是一幅“马”字书法作品，图2是其抽象的几何图形，其中，．若，试判断和的数量关系，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整． 解：，理由如下： ，（已知） （依据： ） （已知） ，（等式的基本事实） ，（依据： ） （已知） ，（依据： ） （依据： ） 【详解】解：，理由如下： ，（已知） （依据：两直线平行，同位角相等） （已知） ，（等式的基本事实） ，（依据：内错角相等，两直线平行） （已知） （依据：平行于同一条直线的两直线互相平行） （依据：两直线平行，同旁内角互补） 5．某商店准备购进，两种商品，种商品每件的进价比种商品每件的进价多元，用元购进种商品和用元购进种商品的数量相同． (1)种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？ (2)商店计划用不超过元的资金购进，两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？哪种方案总费用最少？ 【答案】(1)种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元； (2)有种进货方案，当购进商品件、商品件时总费用最少． 【详解】（1）解：设种商品每件的进价是元，则种商品每件的进价是元， 据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元． （2）设购进种商品件，则购进种商品件， 据题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴， ∴商店共有种进货方案； ∵总费用， ∵， ∴当时，总费用最少为（元）， ∴， ∴当购进商品件、商品件时总费用最少． 6．如图，在中，，，分别为，边上的点，连接，交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作，，，连接，为中点，连接，求证：； 为解答这个问题，小明所在的小组经过讨论已有部分思路： ①延长至点，使得，连接，通过证明推出； ②通过证明推出，则； …… 请你通过已有思路继续研究，并写出证明过程． (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接．分别为，上的点，连接，交于点，若，，请直接写出，与之间的数量关系． 【详解】（1）证明：∵在与中， ， ∴， ∴； （2）证明：延长至点，使得，连接， ， 为中点， ， ∵在与中， ， ， ， ， ，即， 在与中， ， ， ， ， 由（1）得，， ∴， ∴， ， ， ，即，，即， ∴， ∴在与中， ， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下， 如图，延长至点，使得，连接，则，延长至点L，使得，连接， ∵点H是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴在四边形中，， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．育英中学“巅峰数学”兴趣小组对三角形全等模型展开探究． (1)初步探究：如图1，小华绘制的中，，，过点作直线，于，于，求证：； (2)探究升级：如图2，小丽绘制了另外一个，，，上取一点，连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接交直线于．小丽说点必为线段的中点．你同意她的观点吗？请说明理由． (3)思维发散：在等腰直角三角形中，，，直线过点且，过点为一锐角顶点作，，且点在直线上（不与点重合），如图3，边与线段交于点，连接．试运用所学全等三角形的知识说明是等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：于于， ， ， ， ， 在和中， ； （2）解：同意．理由如下： 如图2，过点作于点， ， ∴． 由旋转的性质得，， ， ． 在和中， ， ． ， ， ，点为线段的中点； （3）解：如图3，过点作交于点， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ，， ∴， ， ∴， ． 在与中， ， ∴． 又， 为等腰直角三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $