2025-2026学年北师大版高一数学必修第二册课件：第6章§6　6.3　球的表面积和体积

该高中数学课件聚焦球的表面积与体积，通过橘子皮不可展平的生活实例，结合割圆术的极限思想，对比圆柱等展开图引出球面计算问题，以问题思考为支架衔接前后知识。 其亮点在于融入数学眼光（从生活现象抽象极限思想）、数学思维（空间问题转平面、分类讨论），通过合作探究（截面、内切外接球）和易错辨析（平行截面同侧异侧），助学生深化公式应用，教师可提升教学效率。

§6　简单几何体的再认识 6.3　球的表面积和体积 自主预习·新知导学 球的表面积与体积 【问题思考】 1.依据生活经验我们知道,不能将橘子皮展成平面,因为橘子皮近似于球面,这种曲面不能展成平面图形.我们知道圆柱、圆锥、圆台的侧面面积,可以利用它们在平面内的展开图求出,由于球面不能展成平面图形,那么,人们又是怎样计算球面的面积的呢?古人在计算圆周率时,一般是用割圆术,即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长.理论上,只要取得圆内接正多边形的边数越多,圆周率越精确,直到无穷.这种思想就是极限思想. (1)运用上述思想能否计算球的表面积和体积? (2)求球的表面积和体积需要什么条件? (3)设球的半径为R,则它的体积V= πR3,表面积S=4πR2.观察这两个公式,它们都有什么特点? 提示:(1)能. (2)已知球的半径即可. (3)这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径R唯一确定.其中球的体积是半径R的三次函数,球的表面积是半径R的二次函数,并且表面积为半径为R的圆的面积的4倍. 2.球的表面积与体积公式 表6-6-4 3.已知球的表面积是16π,则该球的体积为　　　　　.  解析:设球的半径为R,则由题意可知4πR2=16π,解得R=2, 合作探究·释疑解惑 探究一 探究二 探究三 探究一 球的表面积与体积 【例1】 (1)已知球的表面积为64π,求它的体积; 解:(1)设球的半径为R,则4πR2=64π,解得R=4, 所以球的表面积S=4πR2=4π×52=100π. 反思感悟 1.一个关键 抓住球的表面积公式S球面=4πR2,球的体积公式V球= πR3是计算球的表面积和体积的关键,半径与球心是确定球的条件. 2.两个结论 (1)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方; (2)两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方. 探究二 球的截面问题 【例2】 如图6-6-5,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,若不计容器厚度,则球的体积为(　　) 图6-6-5 答案:A 解析:如答图6-6-9,作出球的一个截面, 则MC=8-6=2(cm), 设球的半径为R cm, 则R2=OM2+MB2=(R-2)2+42,∴R=5. 答图6-6-9 反思感悟 球的截面问题的解题技巧 (1)有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的问题. (2)解题时要注意借助球半径R、截面圆半径r和球心到截面的距离d构成的直角三角形,即R2=d2+r2. 探究三 内切球与外接球问题 【例3】 (1)一球与棱长为2的正方体的各个面相切,则该球的体积为　　　　　.  (2)正方体的表面积是a2,它的顶点都在一个球面上,则这个球的表面积是　　　　　.  (2)正方体内接于球,则正方体的体对角线是球的直径. 设球的半径是R,则正方体的体对角线长为2R. 1.(变换条件)若将例3第(2)题的条件“正方体的表面积是a2,它的顶点都在一个球面上”变为“圆柱内接于球,圆柱的底面半径r=3,高h=8”,求球的表面积. 解:设球的半径为R.依题意,圆柱的轴截面四边形内接于球的大圆. 因此,球的表面积S球=4πR2=4π×52=100π. 2.(变换条件,改变结论)若将例3第(2)题的条件“正方体的表面积是a2,它的顶点都在一个球面上”变为“长方体的一个顶点处的三条棱长分别是 ,它的八个顶点都在同一个球面上”,求这个球的体积. 解:设球的半径为R,则长方体的对角线长为2R, 反思感悟 1.处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时,要注意球心的位置与几何体的关系,一般情况下,由于球的对称性,球心总在几何体的特殊位置,比如中心、对角线的中点等. 2.解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径,关键是根据“切点”和“接点”,作出轴截面图,把空间问题转化为平面问题来解决. 易 错 辨 析 球的平行截面问题因思维不严密致误 【典例】 一个球内有相距9 cm的两个平行截面,面积分别为49π cm2和400π cm2,求球的表面积. 错解:如图6-6-6,由题意知π·CA2=49π,∴CA=7 cm. 又π·BD2=400π,∴BD=20 cm. 设OD=x cm,球的半径为R cm, 则有(CD+DO)2+CA2=R2=OD2+DB2, 即(9+x)2+72=x2+202,∴x=15,R=25. ∴S球面=4πR2=2 500π(cm2). 图6-6-6 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 提示:上述解法的错误在于考虑不周,由于球心可能在两个截面的同一侧,也可能在两个截面之间,因此解决此题要分类讨论. 正解:①当截面在球心的同侧时,如图6-6-7(球的轴截面), AO1∥BO2,O1,O2分别为两截面圆的圆心,则OO1⊥AO1,OO2⊥BO2,设球的半径为R. 由题意知π·O2B2=49π, ∴O2B=7 cm. 同理,π·O1A2=400π,∴O1A=20 cm. 设OO1=x cm,则OO2=(x+9)cm. 图6-6-7 在Rt△OO1A中,R2=x2+202, 在Rt△OO2B中,R2=(x+9)2+72, ∴x2+202=72+(x+9)2,解得x=15. ∴R2=x2+202=252,解得R=25 cm. ∴S球面=4πR2=2 500π(cm2), 即球的表面积为2 500π cm2. ②当截面在球心的异侧时,如图6-6-8(球的轴截面),O1A∥O2B,O1,O2分别为两截面圆的圆心,则OO1⊥AO1,OO2⊥O2B,设球的半径为R. 由题意知π·O2B2=49π,∴O2B=7 cm. 同理,π·O1A2=400π,∴O1A=20 cm. 设O1O=x cm,则OO2=(9-x)cm. 在Rt△OO1A中,R2=x2+400, 在Rt△OO2B中,R2=(9-x)2+49,∴x2+400=(9-x)2+49,解得x=-15,不符合题意,舍去. 综上所述,球的表面积为2 500π cm2. 图6-6-8 防范措施 球是比较特殊的旋转体,球的任何一个截面都是圆,在解决关于截面的问题时,要防止出现错误,一定先作出截面示意图,分析出可能出现的不同情况,准确合理地选择公式. $