第6章 §6 6.3 球的表面积和体积（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件围绕球的表面积和体积展开，涵盖球的基本性质、表面积与体积公式、截面及简单组合体问题。通过“圆锥形杯子与半球形冰激凌融化是否溢出”的情境导入，连接圆锥知识，搭建从旋转体到球的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，如球截面问题转化为平面几何用勾股定理解决，体现数学思维；祖暅原理拓展培养数学眼光。学生通过实例提升空间观念和应用能力，教师可借助系统例题与练习高效开展教学。

6．3　球的表面积和体积 1 新课导入 学习目标 如图，一个圆锥形的空杯子上放着一个半球形的冰激凌，如果冰激凌融化了，会溢出来吗？ 1.了解球的结构和性质． 2．掌握球的表面积与体积公式，并能应用公式解决问题． 3．会解决与球有关的截面、简单组合体问题． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　 球的基本性质 思考1　球也是旋转体，它是由什么平面图形旋转得到的？ 提示：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体． 思考2　用任一平面去截球，截面是什么？ 提示：圆面． 返回导航 [知识梳理] 1．球的截面 (1)球面被__________的平面截得的圆称为球的大圆； (2)被____________的平面截得的圆称为球的小圆； (3)设截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d，球的半径为R，则r＝__________． 经过球心 不经过球心 返回导航 2．球的切线 (1)当直线与球有______交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的______； (2)过球外一点的所有切线的切线长都______，这些切点的集合是以点O′为圆心、O′A为半径的圆，圆面O′及所有切线围成了__________． 唯一 切点 相等 一个圆锥 返回导航 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)过球外一点有且只有一条切线与球相切．(　　) (2)球面上的任意三点确定一个平面．(　　) (3)球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面．(　　) × √ √ 返回导航 2．过半径为1的球O外一点P作球O的切线，若OP＝2，则切点所在平面与所有切线所围成的几何体的侧面积为________． 返回导航 (1)球的任意一个截面都是圆面． (2)球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且过球心． 返回导航 二　 球的表面积与体积 [知识梳理] 1．球的表面积：设球的半径为R，则球的表面积S球面＝________． 2．球的体积：设球的半径为R，则球的体积V球＝________． 4πR2 返回导航 √ 返回导航 (2)(2025·南阳期末)在一个底面直径为12 cm，高为18 cm的圆柱形水杯中加入水后，水面高度为12 cm，加入一个球型小钢珠后水面上升到了13 cm，则球型小钢珠的半径为________cm. 3 返回导航 (1)球的基本量是球的半径，由半径可以求出球的表面积和体积，反过来，由表面积和体积也可以求出球的半径，进而解决其他问题． (2)球的表面积之比是半径比的平方，球的体积之比是半径比的立方． 返回导航 √ [跟踪训练1] (1)已知三个球的体积之比为1∶27∶64，则它们的表面积之比为(　　) A．1∶3∶4 B．1∶18∶48 C．1∶27∶64 D．1∶9∶16 返回导航 (2)已知两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为________． 2 返回导航 三　球的截面问题 [例2] 已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的半径． 返回导航 【解】　因为AB2＋BC2＝AC2， 所以△ABC是直角三角形，B＝90°. 因为球心O在截面△ABC上的投影O′为截面圆的圆心，即是Rt△ABC的外接圆的圆心， 返回导航 返回导航 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题． 返回导航 [跟踪训练2] 一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积． 返回导航 解：当截面在球心的同侧时，如图1所示为球的轴截面， 由球的截面性质知AO1∥BO2，且O1，O2为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2. 设球的半径为R，因为π·O2B2＝49π， 所以O2B＝7 cm.同理，得O1A＝20 cm. 设OO1＝x cm，则OO2＝(x＋9)cm. 在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，① 在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72，② 返回导航 联立①②可得x＝15，R＝25. 所以S球＝4πR2＝2 500π(cm2)，故球的表面积为 2 500π cm2. 当截面在球心的两侧时，如图2所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥O1A，OO2⊥O2B. 设球的半径为R，因为π·O2B2＝49π，所以O2B＝7 cm. 因为π·O1A2＝400π，所以O1A＝20 cm. 设O1O＝x cm，则OO2＝(9－x)cm. 返回导航 在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，③ 在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋72，④ 联立③④可得x＝－15，不合题意，舍去． 综上所述，球的表面积为2 500π cm2. 返回导航 四　与球有关的简单组合体 [例3] (1)(对接教材例7)某圆柱形容器内盛有8 cm高的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则一个球的体积为(　　) √ 返回导航 返回导航 (2)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的表面积为______cm2. 100π 返回导航 【解析】如图，设球的半径为R cm，则正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm，球心到截面圆的距离为(R－2)cm，所以42＋(R－2)2＝R2，解得R＝5， 所以球的表面积为S表面积＝4πR2＝4π×52＝100π(cm2). 返回导航 处理与球有关的组合体问题时，一般需依据球和几何体的对称性，确定球心与几何体的特殊点，球的直径与几何体的体对角线间的关系，再依据题中数量关系将其转化为平面问题求解． 返回导航 [跟踪训练3] 如图，这是某种型号的奖杯，它是用一个正四棱台、一个正四棱柱和一个球焊接而成的，球的半径为R.正四棱柱的底面边长为2R，高为7R.正四棱台的上、下底面边长分别为4R和6R，斜高(即侧面梯形的高)为3R.则这种型号的奖杯的表面积为______________．(用R表示，焊接处对面积的影响忽略不计) 168R2＋4πR2 返回导航 返回导航 拓视野 祖暅原理与柱体、锥体的体积 祖暅(5世纪—6世纪)是南北朝时期伟大的数学家，在数学领域做出了突出的贡献．他提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”，“势”即高，“幂”即面积，后人称为“祖暅原理”，用现代语言描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等． 返回导航 代数语言为：如图，平面α∥平面β，两个几何体T1，T2夹在α与β之间，任意平面γ∥α(或γ∥β，γ可以与α或β重合). 平面γ截T1，T2的截面面积分别为S1与S2，若S1＝S2，则VT1＝VT2. 简记为等高(势)等面(幂)等体积(容). 返回导航 √ 返回导航 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 37 1．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为(　　) A．R B．2R C．3R D．4R √ 返回导航 √ 返回导航 3．(教材P256习题6－6T2改编)若球的半径由R增加为2R，则这个球的体积变为原来的______倍，表面积变为原来的________倍． 8 4 返回导航 4．已知球O的一个截面的面积为2π，球心O到该截面的距离比球的半径小1，求球O的表面积． 返回导航 1．已学习：球的性质、球的表面积与体积、球的截面、球的简单组合体． 2．须贯通：利用球的性质解决球的表面积与体积问题． 3．应注意：球的表面积与体积公式记错而致误． 返回导航 $