6.6.3球的表面积与体积课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦球的表面积与体积公式，通过回顾直棱柱、圆柱等已学几何体的侧面积及体积公式导入，以旧知为支架构建知识脉络，帮助学生自然过渡到球的相关公式学习。 其亮点在于以数学抽象、数学运算、直观想象为核心素养导向，设计多样化例题，如基础公式应用、冰激凌融化体积比较等实际问题，以及长方体、正四面体的外接球等切接问题。采用问题驱动与工作回顾式小结，学生能提升综合解题能力，教师可直接利用系统资源优化教学。

第六章　立体几何初步 §6.3 球的表面积与体积 1 学习目标 了解并掌握球的体积和表面积公式.（数学抽象） 会用球的体积与表面积公式解决实际问题.（数学运算） 会解决球的切、接问题.（直观想象） 2 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 回顾侧面积与表面积公式及体积公式 S直棱柱侧 = ____________ S正棱锥侧 = ____________ S正棱台侧 = ____________ S圆柱侧 = ____________ S圆锥侧 = ____________ S圆台侧 = ____________ 表面积=_________+__________ 侧面积 底面积 . </m> 3 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 球的大圆与小圆？ 1，球的大圆与小圆： 球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆， 被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆. 4 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 过球外一点作球的切线，这点和切点之间的线段长称为这点到球的切线长，过球外一点P，可以作球的无数条切线，那么所有切线的切线长相等吗?所有切点组成什么图形? 过球外一点的所有切线的切线长都相等， 这些切点的集合是以点为圆心、为半径的圆，圆面及所有切线围成了一个圆锥(如图). 5 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 球的表面积和体积公式？ 其中为球的半径. 6 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 （2）已知球的大圆周长为 <m></m> ，求这个球的表面积. [解析] 设球的半径为 <m></m> ，由题意可知 <m></m> ，解得 <m></m> ， 则 <m></m> . 7 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 例6 如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌，4 cm 如果冰激凌融化了，会溢出杯子吗？(假设冰激凌融化前后体积不变) 解：因为， ， 所以， 冰激凌融化了，不会溢出杯子。 8 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm,瓶里所装的水深为8 cm,将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm.求钢球的半径. 解：如图6-104,设钢球半径为Rcm,根据题意，得 解得， 所以钢球的半径为. 9 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 （2）已知球的表面积为 <m></m> ，求它的体积； （3）已知球的体积为 <m></m> ，求它的表面积. （2）设球的半径为 <m></m> ，则由已知得 <m></m> ，解得 <m></m> . 所以球的体积 <m></m> . （3）设球的半径为 <m></m> ，由已知得 <m></m> ，所以 <m></m> ， 所以球的表面积 <m></m> . 例.（1）已知球的直径为2，求它的表面积和体积； [解析] （1）因为 <m></m> ，所以 <m></m> ， <m></m> . 10 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 与球有关的相“接”问题 设长方体的长、宽、高分别为 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ). B A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> [解析] 作出球的轴截面如图所示，点 <m></m> 为该球的球心，线段 <m></m> 为长方体底面的对角线，长度为 <m></m> ，线段 <m></m> 为长方体的高，长度为 <m></m> ，线段 <m></m> 为长方体的体对角线，长度为 <m></m> ，则球的半径 <m></m> ，所以球的表面积 <m></m> ，故选B. 长方体改为棱长为 <m></m> 的正四面体？ 11 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 与球有关的相“接”问题 棱长为 <m></m> 的正四面体的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ). 如图，过 <m></m> 作底面 <m></m> 的垂线，垂足为 <m></m> ，则 <m></m> 为 <m></m> 的中心，连接 <m></m> . ∵正四面体的棱长为 <m></m> ， <m></m> ， ∴在 <m></m> 中， <m></m> . 设球心为 <m></m> ，球的半径为 <m></m> ，则 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . 12 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 &2& （1）正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为 <m></m> ，过在一个平面上的四个切点作截面如图①. （2）长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱棱长分别为 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，过球心作长方体的体对角线，则球的半径为 <m></m> ，如图②. 13 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 （3）正四面体的外接球 正四面体的棱长 <m></m> 与外接球的半径 <m></m> 的关系为 <m></m> . 14 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 2.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 ( ). A A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> [解析] 如图，设球心为 <m></m> ，球的半径为 <m></m> ，则在 <m></m> 中， <m></m> ，解得 <m></m> ，∴该球的表面积为 <m></m> . 15 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 1.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 <m></m> ,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 ( ). B A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> [解析] 由题意知,该三棱柱为正三棱柱,且侧棱与底面边长相等,均为 <m></m> .如图, <m></m> 为三棱柱上底面的中心, <m></m> 为球心, 易知 <m></m> <m></m> </m> ,所以球的半径 <m></m> ，满足 <m></m> ,故 <m></m> ． 16 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 (1)“圆柱容球”是指圆柱形容器里放了一个球，且球与圆柱的侧面及上、下底面均相切，求该圆柱的体积与球的体积之比________． 与球有关的相“切”问题 解：(1)由题意得圆柱的高及底面圆的直径为球的直径， 设球的半径为， 则圆柱的体积为，球的体积为， 所以圆柱的体积与球的体积之比为. 17 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 (2)正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，三棱锥内切球表面积是________． 与球有关的相“切”问题 解：(2)设内切球半径为，则三棱锥高， 斜高，表面积，体积，解得， 所以内切球的表面积为.（将棱锥分割，利用等体积法） 18 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 球的表面积与体积公式 其中为球的半径. 19 谢谢大家 20 $