1.5.1 等腰三角形的性质巩固练习 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 练习围绕等腰三角形性质，采用“基础巩固+能力提升”分层设计，通过从单一性质应用到综合几何变换的进阶路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|等腰三角形性质直接应用（角度计算、三线合一）|以选择填空为主，如第1-4题角度计算，夯实概念理解| |能力提升|综合旋转、折叠及动态探究|含证明与开放探究，如第6题三线合一证明、第14题旋转综合探究，发展推理能力|

1.5等腰三角形 1.5.1 等腰三角形的性质 1.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=130°，DA⊥AC,则∠ADB=() A.100°B,115°C130°D.145° B 答案：B 2.如图，AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,∠CAD=20°， 则∠ACE的度数是（) A.20°B.35°C40°D.70° E B D 答案：B 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.分别以A,B为圆心，大于AB的长为半 径画孤，分别交于M,N两点，连接MN交AC于点P.若点P到AB,BC的距离相等， 则∠A的度数为（) A.20°B.25°C30°D.40° 1/9 米 答案：C 4.(1)在等腰△ABC中，AB=AC,∠B=50°，则∠A的大小为 (2)已知△ABC是等腰三角形.若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是 答案： (1)80 (2)40°或100° 5.在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于点D,点E在AB边上，CB=CE,CD=5 ,则BE= B 答案：10 解析：如图，过点C作CF⊥AB,交AB于点F,:BDLAC CF⊥AB,÷∠BDC=∠CFB=90°：AB=AC,·∠ABC=∠ACB.又 :BC=CB,.△BDC≌△CFB(AAS),·BF=CD=5.:CB=CE,÷BF=EF=5, 则BE=BF+EF=10. 2/9 D B 6.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,D为 线段CE的中点，BE=AC (I)求证：AD⊥BC: (2)若∠BAC=75°，求∠B的度数. E D 答案： (I)连接AE,:EF垂直平分AB,AE=BE:BE=AC,AE=AC.:D为线段 CE的中点，：AD⊥BC (2)设∠B=X°，：AE=BE,·∠BAE=∠B=x°，由三角形外角的性质可知， ∠AEC=2x.:AE=AC,÷∠C=∠AEC=2x°.在△ABC中，3x+75°=180°，解得 X°=35°，÷∠B=35°. 7.如图，在△ABC中，∠BAC=108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转 得到△ABC.若点B恰好落在BC边上，且AB'=CB,则∠C的度数为（) A.18°B.20°C24°D.28° 3/9 答案：C 解析：：AB=CB,:∠CAB=∠C:△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到 △ABC,:∠C=∠C,AB=AB,÷∠B=∠ABB=∠CAB+∠C=∠C+∠C=2LC:∠B+∠C=180°-2 故选C 8.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=54°，点D为AB中点，且 OD⊥AB,∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O,将∠C沿EF(E在BC上，F 在AC上)折叠，点C与，点0恰好重合，则∠0EC的度数为（) A.108°B.126°C.144°D.无法确定 答案：A 解析：如图，连接0B,0C,:∠BAC=54°，A0为∠BAC的平分线， ∠BA0=∠BAG=青×54°=2T.又 :AB=AC,:∠ABC=专(180°-∠BAC)=专×(180°-54)=63：：D0是AB的垂 直平分线， ÷0A=0B,÷∠AB0=∠BA0=27°，÷∠0BC=∠ABC-∠AB0=63°-27°=36°：A0 为∠BAC的平分线， AB=AC,·△A0B≌兰△A0C,·0B=0C,∠0CB=∠0BC=36°，由折叠可知 0E=CE,÷∠C0E=∠0CB=36°，在△0CB中， ∠0EC=180°-∠C0E-∠0CB=180°-.36°-36°=108°.故选A. 4/9 9.(I)在△ABC中，AB=AC,∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD,若 △ABD为直角三角形，则∠ADB的度数是 (2)一个等腰三角形一腰上的高线与另一腰所成锐角为46°，则这个等腰三角 形的底角度数为 答案： (1)50°或90° 解析：AB=AC,∠BAC=100,∠B=∠C=18CAc=40°△ABD为直角 三角形，·分类讨论：①当∠BAD=90时，如图①， LADB=180°-∠BAD-∠B=50°；②当∠ADB=90时，如图②.综上可知，∠ADB的 度数是50°或90°. (2)68°或22 解析：如图①，当该等腰三角形为锐角三角形时，由题意可知 ∠ABD=46°，∠BDC=90°，·∠A=∠BDC-∠ABD=44°， :∠ABC=∠C=专(180°-LA)=68°：如图②，当该等腰三角形为钝角三角形时， 由题意可知 ∠ABD=46°，D=90°，∠D=90°，∠BAC=∠D+∠ABD=136°，∠ABC=∠C=(180°-∠BAC)=2 综上可知，这个等腰三角形的底角度数为68或22° ② 5/9 易错提醒： 高在锐角三角形与钝角三角形中的位置不同会引发多解问题， 10.如图，在△ABC中，∠DCE=40°，AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数 为 答案：100° 解析：：∠DCE=40,∠CDE+∠CED=180°-∠DCE=140°， :AE=AC,BC=BD,·∠ACE=∠AEC,∠BCD=∠BDC,·∠ACE+∠BCD=∠CDE+∠CED=140°，·∠ +∠BCE=∠ACE+∠BCD-∠CDE=140°-40°=100°. 一题多解： :AC=AE,BC=BD,·设LAEC=∠ACE=X°，∠BDC=∠BCD=y, ·∠A=180°-2x°，∠B=180°-2y.:ACB+∠A+∠B=180°，∠BDC+∠AEC+∠DCE=180°，÷∠ACB 11.(1)已知：如图①，等腰三角形的一个内角为锐角，腰为，求作这个 等腰三角形； a ① ② (2)在(1)中，把锐角α变成钝角（如图②），其他条件不变，求作这个等腰三 角形、 答案： (1)如图所示： 6/9 △ABC和△DEF都是所求作的三角形. (2)如图所示： △MNH是所求作的三角形. 12.如图，在△ABC中，∠A=40°，点D,E分别在边AB,AC上， BD=BC=CE,连接CD,BE (1)若∠ABC=80°，求∠BDC,ABE的度数； (2)写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由. 答案： (I):∠ABC=80°，BD=BC,·∠BDC=∠BCD=50°.在△ABC中， ∠A+∠ABC+∠ACB=180°：∠A=40°，÷∠ACB=60°：CE=BC,÷∠EBC=60°，·∠ABE=∠ABC-∠1 (2)∠BEC与∠BDC的关系为∠BBC+∠BDC=110°，理由如下：设 ∠BEC=C,∠BDC=.在△ABE中，a=A+ABE=40°+∠ABE :CE=BC,·∠CBE=∠BEC=,·∠ABC=∠ABE+∠CBE=∠A+2LABE=40°+2LABE: 在△BDC中， BD=BC,∠BDC+∠BCD+DBC=23+40°+2ABE=180°，：B=70°-ABE,÷a+B=40°+ 7/9 13.如图，钢架中焊上等长的13根钢条来加固钢架，若 AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A,则∠A的度数是 P P 答案：12 解析：：AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A,·设 ∠A=∠APP1=∠AP13P14=X,则 ∠P1P3P2=∠P2P1P3=∠P13P14P12=P13P12P14=2x,·∠P3PP4=∠P12P13P11=3x,·,∠P7P6P8 在△AP7P8中，∠A+∠APP8十∠APgP7=180°，即x+7x+7x=180°，解得 x=12°，即∠A=12° 14.综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开 有关图形旋转的探究活动，如图①，已知△ABC中，AB=AC,∠B=30°将 △ABC从图①的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE(点D,E分别是点B,C的 对应点)，旋转角为a(0°<C<100),设线段AD与BC交于点M,线段DE分别交 BC,AC于点O,N. 特例分析：(1)如图②，当旋转到AD⊥BC时，旋转角的度数为 探究规律：(2)如图③，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同 学发现线段AM始终等于线段AN,请你证明这一结论， 拓展延伸：(3)①直接写出当△D0M是等腰三角形时旋转角的度数 ②在图③中，作直线BD,CE交于点P,直接写出当△PDE是直角三角形时旋 转角α的度数. 8/9 答案： (1)60 解析： :AB=AC,AD⊥BC,÷∠C=∠B=30°，∠BAD= 专∠BAC,∠BAD=18C9S=60°，Aa=60 2 (2):∠BAC=∠DAE,·∠BAC-MAN=∠DAE-∠MAN,即∠BAM=∠EAN. 在△BAM和△EAN中， I∠BAM=∠EAN, AB=AE, △BAM≌△EAN(ASA),·AM=AN 、B=∠E, (3)①a=30°或75 解析：如图①，当DM=OM时， ∠M0D=∠D=30°：∠B=∠D,∠AMB=∠DM0,÷∠BAD=M0D=30°，÷a=30°. 如图②，当DM=D0时，∠DM0=∠D0M=18c尘=75°，：a=75.当 0M=0D时，此种情形不成立.综上所述，a=30或75°.②=60°解析：如图③， 当∠BDP=90时，：∠ABC=ADE=30°， ÷ADB=90°-30°=60：AB=AD,÷∠BAD=180°-60°-60°=60°：0°<a<100°，÷ 旋转角α为60° ③ 9/91.5等腰三角形 1.5.1 等腰三角形的性质 1.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=130°，DA⊥AC,则∠ADB=() A.100°B.115°C130°D.145° B 2.如图，AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,∠CAD=20°， 则∠ACE的度数是（) A.20°B,35°C40°D.70 E B D 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.分别以A,B为圆心，大于AB的长为半 径画孤，分别交于M,N两，点，连接MN交AC于点P.若点P到AB,BC的距离相等， 则LA的度数为() A.20°B.25°C30°D.40° 1/5 米 4.(I)在等腰△ABC中，AB=AC,∠B=50°，则∠A的大小为 (2)已知△ABC是等腰三角形.若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是 5.在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于点D,点E在AB边上，CB=CE,CD=5 ,则BE= 6.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,D为 线段CE的中点，BE=AC (1)求证：AD⊥BC: (2)若∠BAC=75°，求∠B的度数. 7.如图，在△ABC中，∠BAC=108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转 得到△ABC.若点B恰好落在BC边上，且AB'=CB,则LC的度数为（） 2/5 A.18°B.20°C24°D.28° 8.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=54°，点D为AB中点，且 OD⊥AB,∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O,将∠C沿EF(E在BC上，F 在AC上)折叠，点C与点0恰好重合，则∠0EC的度数为（) A.108°B.126° C.144°D.无法确定 D 0 9.(I)在△ABC中，AB=AC,∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD,若 △ABD为直角三角形，则∠ADB的度数是 (2)一个等腰三角形一腰上的高线与另一腰所成锐角为46°，则这个等腰三角 形的底角度数为 10.如图，在△ABC中，∠DCE=40°，AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数 为 11.(1)已知：如图①，等腰三角形的一个内角为锐角，腰为a,求作这个 等腰三角形： a a ① ② (2)在(1)中，把锐角α变成钝角α（如图②），其他条件不变，求作这个等腰三 3/5 角形 12.如图，在△ABC中，∠A=40°，点D,E分别在边AB,AC上， BD=BC=CE,连接CD,BE. (1)若∠ABC=80°，求∠BDC,∠ABE的度数： (2)写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由. 13.如图，钢架中焊上等长的13根钢条来加固钢架，若 AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A,则∠A的度数是 1 A P Po P 14.综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开 有关图形旋转的探究活动，如图①，已知△ABC中，AB=AC,∠B=30°.将 △ABC从图①的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE(点D,E分别是点B,C的 对应点)，旋转角为α(0°<Q<100),设线段AD与BC交于点M,线段DE分别交 BC,AC于点0，N. 特例分析：(I)如图②，当旋转到AD⊥BC时，旋转角的度数为 探究规律：(2)如图③，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同 学发现线段AM始终等于线段AN,请你证明这一结论 拓展延伸：(3)①直接写出当△D0M是等腰三角形时旋转角α的度数. 4/5 ②在图③中，作直线BD,CE交于点P,直接写出当△PDE是直角三角形时旋 转角α的度数 A 6 D D ① ② ③ 5/5