精品解析：山东济南市市中区经纬学校等校2026年九年级中考阶段测试数学试题

2026年经纬学校数学模拟试卷20260603 一、单选题： 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 如图所示的圆柱，它的俯视图为（　　） A. B. C. D. 3. “绿水青山就是金山银山”，多年来，某湿地保护区针对过度放牧问题，投入资金实施湿地生态效益补偿，完成季节性限牧还湿万亩，使得湿地生态环境状况持续向好．其中数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，点A在直线a上，点B，C在直线b上，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 6. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动，随机选择自主阅读、体育活动、科普活动三项中的某一项，那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则一次函数y＝bx＋a与反比例函数y＝在同一坐标内的图像大致为(　　) A. B. C. D. 9. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，和交于点O；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D；③分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M﹐连接和交于点N，连接若，则的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 10. 定义：在平面直角坐标系中，为坐标原点．若点满足，我们把点称作“半分点”，例如点与都是“半分点”．有下列结论： ①一次函数的图象上的“半分点”是； ②若双曲线上存在“半分点”，且经过另一点，则的值为； ③若关于的二次函数的图象上恰好有唯一的“半分点”，则的值为； ④若点是二次函数的半分点，若点的坐标为，则的最小值为． 其中，正确结论的个数是（　　） A. B. C. D. 二、填空题： 11. 分解因式：____________． 12. 一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______________． 13. 如图所示，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O，A，B均为格点，则扇形OAB的面积大小是___． 14. 小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动．如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离（单位：千米）与时间（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距乙地的距离为______千米． 15. 在中，，，为线段上的动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，，则的最小值是_________________． 三、解答题： 16. 计算： 17. 解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 18. 如图，四边形是菱形，点E，F分别在上，．求证． 19. 为了解八年级学生的体育运动水平，某校对全体八年级同学进行了体能测试．老师随机抽取20名男生和20名女生的测试成绩（满分100）作为样本进行整理和分析（成绩共分成五组：，，，，），并绘制了不完整的统计图表．收集、整理数据：20名男生的体能测试成绩分别为：50、57、65、76、77，78，79，87，87，88，88，88，89，89，92，93，95，97，98，99：女生体能测试成绩在C组和组的分别为：73，74，74，74，74，78；84，88，89． 分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示： 测试成绩 平均数 中位数 众数 男生 88 女生 a 74 请根据以上信息．回答下列问题： （1）补全频数分布直方图： （2）填空：_____，_____； （3）女生体能测试扇形统计图中．表示这组数据的扇形圆心角的度数是_____； （4）如果我校八年级有男生480名，女生460名，请估计八年级体能测试成绩不低于80分的学生人数． 20. 如图，为的直径，为上的一点，连接，作垂直于交于点E，交过点C的切线于点D． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 图1是放置在写字台上的一盏折叠式台灯，其主视图如图2，座杆与水平桌面垂直，臂杆可绕点旋转调节，灯体可绕点旋转调节． 若，，在同一平面上，，，，臂杆与座杆的夹角即，臂杆与灯体的夹角即，灯体上点到水平桌面的高度为． （1）求的度数． （2）求的长．（结果精确到．参考数据：，，） 22. 计划在植树节当天种植柏树和杉树．经调查，购买2棵柏树和3棵杉树共需850元；购买3棵柏树和2棵杉树共需900元． （1）求柏树和杉树的单价各是多少元； （2）本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共80棵，且柏树的棵数不少于杉树的2倍，要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？ 23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，﹣）在直线y＝﹣上，AB∥y轴，且点B的纵坐标为1，双曲线y＝经过点B． （1）求a的值及双曲线y＝的解析式； （2）经过点B的直线与双曲线y＝的另一个交点为点C，且△ABC的面积为． ①求直线BC的解析式； ②过点B作BD∥x轴交直线y＝﹣于点D，点P是直线BC上的一个动点．若将△BDP以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，直接写出所有满足条件的点P的坐标． 24. 某校数学活动小组在一次活动中．对一个数学问题作如下探究． 【问题发现】 （1）如图①，在等边，中，点P是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接，求的长为______； 【问题提出】 （2）如图②，在等腰，中，，点 P 是边上任意一点，以为腰作等腰 ，使 ，，连接，求证：； 【问题解决】 （3）如图③，在正方形中，点P 是边上一点，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，连接，若正方形的边长为，，求正方形的边长． 25. 如图（1），二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，点C的坐标为，直线l经过B，C两点． （1）求二次函数的表达式； （2）点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当时，求点P的横坐标； （3）如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段上BC的一个动点，连接AP；点Q为线段AP上一点，且，连接DQ，求的最小值______（直接写出答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年经纬学校数学模拟试卷20260603 一、单选题： 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的相反数是， 故选：C． 2. 如图所示的圆柱，它的俯视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆柱的俯视图，解题的关键是熟练掌握，俯视图是从上面看到的图形，根据从上面看圆柱得出的平面图形为圆，即可得出答案． 【详解】解：竖直放置的圆柱体，从上面看到的平面图形为圆，即俯视图是圆． 故选：A． 3. “绿水青山就是金山银山”，多年来，某湿地保护区针对过度放牧问题，投入资金实施湿地生态效益补偿，完成季节性限牧还湿万亩，使得湿地生态环境状况持续向好．其中数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：万， 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 如图，已知，点A在直线a上，点B，C在直线b上，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质与三角形的内角和为进行解题即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由题可知：， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 5. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， A选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意， B选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意， C选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意， D选项图形是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意， 故选：D； 【点睛】本题考查中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形． 6. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方和积的乘方，根据幂的乘方法则可判断选项A，根据同底数幂的除法法则可判断选项B，根据幂的乘方和积的乘方法则可判断选项C，根据完全平方公式可判断选项D． 【详解】解：A、，故错误，不符合题意； B、，故错误，不符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，故正确，符合题意； 故选：D． 7. 小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动，随机选择自主阅读、体育活动、科普活动三项中的某一项，那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出树状图，共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有l种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：设自主阅读、体育活动、科普活动分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有1种， 小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为， 故选：． 【点睛】本题考查了用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验，画出树状图表示所有等可能的情况是解题的关键． 8. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则一次函数y＝bx＋a与反比例函数y＝在同一坐标内的图像大致为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵二次函数图像开口向上， ∴a＞0. ∵对称轴为直线， ∴b＜0. 当x=1时，a+b+c<0， ∴一次函数y=bx+a图像经过第一、二、四象限， 反比例函数图像经过第二、四象限． 故选D． 9. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，和交于点O；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D；③分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M﹐连接和交于点N，连接若，则的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理以及线段的垂直平分线的性质求解． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段，垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查作图-基本作图，三角形中位线定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10. 定义：在平面直角坐标系中，为坐标原点．若点满足，我们把点称作“半分点”，例如点与都是“半分点”．有下列结论： ①一次函数的图象上的“半分点”是； ②若双曲线上存在“半分点”，且经过另一点，则的值为； ③若关于的二次函数的图象上恰好有唯一的“半分点”，则的值为； ④若点是二次函数的半分点，若点的坐标为，则的最小值为． 其中，正确结论的个数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一次函数、反比例函数及二次函数的性质，一元二次方程的根的情况，解题关键是充分理解题意并综合运用一次函数、反比例函数及二次函数的性质．结合题中定义及一次函数、反比例函数及二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式对题中结论进行逐一判断即可求解． 【详解】解：根据题中定义对结论进行判断： ①在一次函数中，时，，即在函数图象上； 且满足，符合“半分点”定义， ①正确； ②根据“半分点”定义可得，， ， 在双曲线上， ， 双曲线解析式为， 又也在双曲线上，且与不是同一点， ， 解得或， 此时或， 或， ②错误； ③联立，整理得： ∵抛物线(m,n均为常数)上恰好有唯一的“半分点”， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 特别地，当时，抛物线为，此时也恰好有唯一的“半分点”， 综上，满足题意的n为0或4， ∴③错误； ④将代入可得， ， ， ， ， ， ④错误． 综上，正确结论的个数是1． 故选：A． 二、填空题： 11. 分解因式：____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查因式分解．熟练掌握完全平方公式法因式分解，是解题的关键． 直接利用完全平方公式即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______________． 【答案】 【解析】 【分析】设袋子中红球有个，根据摸到黑球的频率稳定在左右，可列出关于的方程，求出的值，从而得出结果． 【详解】解：设袋子中红球有个， 根据题意，得, 经检验是方程的解，且符合题意， ∴盒子中红球的个数约为， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握求概率公式是解此题的关键． 13. 如图所示，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O，A，B均为格点，则扇形OAB的面积大小是___． 【答案】． 【解析】 【详解】解：∵每个小方格都是边长为1的正方形， ∴OA=OB==， ∴S扇形OAB===． 故答案为． 【点睛】本题考查扇形面积的计算，熟记公式正确计算是解题关键． 14. 小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动．如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离（单位：千米）与时间（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距乙地的距离为______千米． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的应用，准确求出函数解析式是解题的关键．先求出直线的解析式，再求出直线的解析式，求出当时，，即可得到答案． 【详解】解：由图象可得，点和点在直线上，设直线的解析式为： 代入得，，解得， 当时，，解得， 点点 点，点在直线上， 设直线的解析式为： 代入得， 解得 当时，， 此时小泽距离乙地的距离为：千米 故答案为：4 15. 在中，，，为线段上的动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，，则的最小值是_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定与性质．根据所给条件，得出与相似，进一步得出与相似，根据相似三角形的性质将的最小值转化为的最小值即可解决问题． 【详解】解：由旋转可知，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴． 过点C作的垂线，垂足为M， 在中，， ∴， 令,， ∴， 解得（舍负）， ∴， ∴． 在中，， ∴， 则， ∴当取得最小值时，取得最小值． 当，即点D在点M处时，取得最小值3， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题： 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式、特殊三角函数值、零次幂、负整数指数幂、绝对值的意义进行计算即可求出答案． 【详解】解： 17. 解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 【答案】 整数解有 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别解几个不等式，然后把它们的解集的公共部分作为原不等式的解集；按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于小的小于大的为空集”，是解题的关键； 分别解出两不等式的解集，再根据大于小的小于大的取中间得到不等式组的解集即可求解． 【详解】解： 解不等式得 解不等式得， 则不等式组的解集为：， 不等式组的整数解有： 18. 如图，四边形是菱形，点E，F分别在上，．求证． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由菱形的性质得到AB＝AD＝BC＝DC，∠B＝∠D，进而推出BE＝DF，根据全等三角形判定的“SAS”定理证得，由全等三角形的性质即可证出． 【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝BC＝DC，∠B＝∠D， ∵AE＝AF， ∴AB﹣AE＝AD﹣AF， ∴BE＝DF， 在△BCE和△DCF中，， ∴， ∴CE＝CF． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用相关知识解题． 19. 为了解八年级学生的体育运动水平，某校对全体八年级同学进行了体能测试．老师随机抽取20名男生和20名女生的测试成绩（满分100）作为样本进行整理和分析（成绩共分成五组：，，，，），并绘制了不完整的统计图表．收集、整理数据：20名男生的体能测试成绩分别为：50、57、65、76、77，78，79，87，87，88，88，88，89，89，92，93，95，97，98，99：女生体能测试成绩在C组和组的分别为：73，74，74，74，74，78；84，88，89． 分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示： 测试成绩 平均数 中位数 众数 男生 88 女生 a 74 请根据以上信息．回答下列问题： （1）补全频数分布直方图： （2）填空：_____，_____； （3）女生体能测试扇形统计图中．表示这组数据的扇形圆心角的度数是_____； （4）如果我校八年级有男生480名，女生460名，请估计八年级体能测试成绩不低于80分的学生人数． 【答案】（1）见解析 （2）， （3） （4）542名 【解析】 【分析】（1）先根据频数分布直方图及各组人数之和等于被调查总人数求得的人数，然后补全频数分布直方图即可； （2）根据众数和中位数的概念求解即可； （3）先求出样本中女生E组人数，从而可求出样本中女生E组人数所占比例，最后乘即可； （4）先求出男生和女生体能测试成绩不低于80分的学生人数，再用男生和女生人数分别乘以样本中男生和女生体能测试成绩不低于80分的学生人数所占比例，最后相加即可． 【小问1详解】 解：20名男生的体能测试成绩分的人数为（名）， ∴补全直方图如下： 【小问2详解】 解：在男生成绩20名男生的体能测试成绩中，88出现次数最多，即男生的众数； 将女生的成绩从小到大排列，处于第10、11位的是78和84，故的中位数． 故答案为：81，88． 【小问3详解】 解：样本中女生A、B组总人数为名，C组人数为6名，D组人数为3名， ∴样本中女生E组人数为（名）， ∴表示这组数据的扇形圆心角的度数是． 故答案为：． 【小问4详解】 解：∵样本中男生成绩不低于80分的学生人数为名，女生成绩不低于80分的学生人数为名， ∴估计八年级体能测试成绩不低于80分的学生人数为（名）． 答：估计八年级体能测试成绩不低于80分的学生人数为542名． 20. 如图，为的直径，为上的一点，连接，作垂直于交于点E，交过点C的切线于点D． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质得到，由直角三角形的性质，对顶角的性质，得到，由等腰三角形的性质得到，由余角的性质推出，即可得到； （2）由锐角的正切定义求出的长，由勾股定理得到，即可求出的长． 【小问1详解】 解：证明：连接， 切圆于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ，， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查切线的性质，余角的性质，勾股定理，解直角三角形，关键是由勾股定理列出关于的方程． 21. 图1是放置在写字台上的一盏折叠式台灯，其主视图如图2，座杆与水平桌面垂直，臂杆可绕点旋转调节，灯体可绕点旋转调节． 若，，在同一平面上，，，，臂杆与座杆的夹角即，臂杆与灯体的夹角即，灯体上点到水平桌面的高度为． （1）求的度数． （2）求的长．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】（1） （2）厘米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，三角形内角和定理： （1）如图所示，过点C作，延长交于H，由平角的定义得到，再根据三角形内角和定理推导求解即可； （2）解得到，解中得到，再证明四边形是矩形，得到，则，即的长为． 【小问1详解】 解：如图所示，过点C作，延长交于H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中， ， 在中， ， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的长为． 22. 计划在植树节当天种植柏树和杉树．经调查，购买2棵柏树和3棵杉树共需850元；购买3棵柏树和2棵杉树共需900元． （1）求柏树和杉树的单价各是多少元； （2）本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共80棵，且柏树的棵数不少于杉树的2倍，要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？ 【答案】（1）柏树每棵元，杉树每棵元； （2）柏树购买棵，杉树购买棵时，购树费用最少，最少费用为元． 【解析】 【分析】（1）设柏树每棵元，杉树每棵元，根据两种购买方式建立方程组，然后解方程组即可得； （2）设购买柏树棵时，购树的总费用为元，从而可得购买杉树的棵数为棵，先根据“柏树的棵数不少于杉树的倍”建立不等式求出a的取值范围，再根据（1）的结论得出关于a的表达式，然后利用一次函数的性质即可得． 【小问1详解】 解：设柏树每棵元，杉树每棵元， 根据题意得：， 解得， 答：柏树每棵元，杉树每棵元； 【小问2详解】 解：设购买柏树棵时，购树的总费用为元，则购买杉树的棵数为棵， 由题意得：，解得， 结合（1）的结论得：， ， 随的增大而增大， 又为整数， 当时，取得最小值，最小值为， 此时，， 即柏树购买棵，杉树购买棵时，购树费用最少，最少费用为元． 23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，﹣）在直线y＝﹣上，AB∥y轴，且点B的纵坐标为1，双曲线y＝经过点B． （1）求a的值及双曲线y＝的解析式； （2）经过点B的直线与双曲线y＝的另一个交点为点C，且△ABC的面积为． ①求直线BC的解析式； ②过点B作BD∥x轴交直线y＝﹣于点D，点P是直线BC上的一个动点．若将△BDP以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】（1）y=（2）①y=x-1②（﹣1，﹣2）或（，-） 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据一次函数图象上点的坐标特征可得到解得a=2，则A（2，-）），再确定点B的坐标为（2，1），然后把B点坐标代入中求出m的值即可得到反比例函数的解析式； （2）①过点C作CE⊥AB于点E，如图5.，根据三角形面积公式得到解得CE=3，点C的横坐标为-1. ∵点C在双曲线上，则点C的坐标为（-1，-2），再利用待定系数法求直线BC的解析式；②先确定D（-1，1），根据直线BC解析式的特征可得直线BC与x轴的夹角为45°，而BD∥x轴，于是得到∠DBC=45°，根据正方形的判定方法，只有△PBD为等腰直角三角形时，以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，分类讨论：若∠BPD=90°，则点P在BD的垂直平分线上，易得此时P（，-）；若∠BDP=90°，利用PD∥y轴，易得此时P（-1，-2）． 试题解析：（1）∵点A在直线上， ∴. ∴.…………………………1分 ∵AB∥y轴，且点B的纵坐标为1， ∴点B的坐标为（2,1）. ∵双曲线经过点B（2,1）， ∴，即. ∴反比例函数的解析式为. （2）①过点C作CE⊥AB于点E，如图. ∴. ∴CE="3." ∴点C的横坐标为-1. ∵点C在双曲线上， ∴点C的坐标为（-1，-2）. 设直线BC的解析式为， 则 解得 ∴直线BC的解析式为. ②（-1，-2）或. 考点：反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式和正方形的判定方法． 24. 某校数学活动小组在一次活动中．对一个数学问题作如下探究． 【问题发现】 （1）如图①，在等边，中，点P是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接，求的长为______； 【问题提出】 （2）如图②，在等腰，中，，点 P 是边上任意一点，以为腰作等腰 ，使 ，，连接，求证：； 【问题解决】 （3）如图③，在正方形中，点P 是边上一点，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，连接，若正方形的边长为，，求正方形的边长． 【答案】（1）2；（2）证明见详解；（3）； 【解析】 【分析】（1）本题考查手拉手问题，根据角度加减问题及相等边的问题得到直接证明即可得到答案； （2）本题考查等腰三角形的性质及三角形相似的判定与性质，根据等腰三角形及得到，先证明，在证明即可得到答案； （3）本题考查正方形的性质及三角形相似的判定与性质，连接，证明即可得到答案； 【详解】（1）解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接， ∵，分别是正方形、的对角线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形的边长为，， ∴， ∴， 设，则， 在中， ， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴正方形的边长为：． 25. 如图（1），二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，点C的坐标为，直线l经过B，C两点． （1）求二次函数的表达式； （2）点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当时，求点P的横坐标； （3）如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段上BC的一个动点，连接AP；点Q为线段AP上一点，且，连接DQ，求的最小值______（直接写出答案）． 【答案】（1）； （2）或或或 （3）． 【解析】 【分析】（1）直接B，C两点代入求得b、c的值即可解答； （2）先运用待定系数法求得直线的解析式，然后设，则，则，再根据列方程求解即可； （3））过Q点作，与x轴的交点为G，求出点，作A点关于的对称点，连接与交于点Q，则，利用对称性和，求出，再运用两点间距离公式求得即可解答． 【小问1详解】 解：将B，C两点代入可得： ，解得： ∴． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为 则，解得： ∴ ∵ ∴抛物线的对称轴为 设，则， ∴ ∵ ∴，解得：或或或 ∴P的横坐标为或或或． 【小问3详解】 解：过Q点作， ∵，D点与C点关于x轴对称， ∴， 令，则，解得或， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 作A点关于的对称点，连接与交于点Q， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了解绝对值方程，待定系数法求函数的解析式二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $