精品解析：湖南长沙市南雅中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题

湖南长沙市南雅中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题 时量：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由交集概念即可求解. 【详解】由，， 可得：. 故选：A 2. 在12件同类产品中，有10件正品和2件次品，从中任意抽出3件．其中为必然事件的是（ ）． A. 3件都是正品 B. 至少有1件是次品 C. 3件都是次品 D. 至少有1件是正品 【答案】D 【解析】 【分析】根据必然事件的定义判断． 【详解】12件同类产品中，有10件正品和2件次品，从中任意抽出3件，次品的个数可能为，正品的个数分别为，因此只有“至少有1件正品”一定会发生，它是必然事件，ABC三个选项中的事件都有可能不发生． 故选：D． 3. 已知均值为10，方差为1，则的均值和方差分别为（ ） A. 20，2 B. 21，2 C. 21，4 D. 20，4 【答案】C 【解析】 【分析】利用均值和方差的性质可得结果. 【详解】因为均值为10，方差为1， 所以的均值为，方差为. 故选：C. 4. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：A 5. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直观图特征，作出其平面图形直角梯形，求出相关边长再求长即可． 【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形， 如图，由斜二测画法可知，， 所以． 故选：A． 6. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】利用公式将条件化简得到，再利用数量积的坐标运算求的值. 【详解】若，则，展开整理得. 又向量，， 所以，. 故选：A. 7. 若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论可得分段函数的解析式，从而可得函数图象，结合图象，根据交点个数确定的取值范围. 【详解】由题意知函数的图象如下图所示： 如图与函数的图象有且仅有两个交点， 所以. 8. 如图，正方形的边长为4，点、分别在边、上，且，，将此正方形沿、折起，使点、重合于点．记三棱锥的体积为，其外接球的体积为．则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得、，确定三棱锥的高，三角形面积公式求出的面积，结合三棱锥体积公式计算；根据平面，可先求的外接圆半径，再求出外接球半径，最后用球的体积公式计算，进而求比值. 【详解】正方形折叠后，重合于，可得：， ， 由原正方形的直角得：，故， 又，且平面，因此平面， 对：， 故为直角三角形，面积， 三棱锥体积：； 平面，且为直角三角形，斜边为， 因此：外接圆半径，球心到平面的距离， 设外接球半径，则， 外接球体积：， 因此. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为π B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 的值域为 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A：函数，根据周期公式可得，故A正确； 对于B：令，解得， 当时，，当时，，所以直线不是函数的对称轴，故B错误； 对于C：令，解得， 当时，，所以是的一个零点，故C正确； 对于D：对于函数，因为的值域为， 所以的值域为，故D错误. 10. 已知正方体的棱长为1，，其中，，且，则下列选项正确的是（ ） A. 平面 B. 异面直线与所成的角为 C. 的轨迹长度为 D. 取最小值 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意可得在线段上，通过面面平行的判断定理可得平面平面，再由性质定理即可判断A；由异面直线所成角，可知直线与所成的角为，根据是边长为的等边三角形，即可判断B；由A可知的轨迹为线段，即可判断C；将矩形与正三角形展开在同一平面内，利用余弦定理求解后，即可判断D． 【详解】因为，其中，，且， 所以在线段上， 在正方体中，， 又因为平面,平面， 所以平面， 同理可得平面， 又因为，平面,， 所以平面平面， 又因为平面， 所以平面，故A正确； 因为， 所以异面直线与所成的角为， 易知是边长为的等边三角形， 所以， 即异面直线与所成的角为，故B错误； 由A可知的轨迹为线段，其长度为，故C正确； 将矩形与正三角形展开在同一平面内，如图所示： 当为与的交点时，取最小值， 此时在中，，，, 由余弦定理可得 ， 即取最小值为，故D错误. 11. 把向量绕其起点沿逆时针方向旋转角得到，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，，（其中为坐标原点），点绕点沿逆时针方向旋转得到点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】先由点，，得， 由，得，解得. 又由，得，则， 因此，点，故A错误，B正确. 将绕点逆时针旋转，， 得：， 因此点的坐标为，故C正确. ，故D错误. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数，则复数的模为________． 【答案】 【解析】 【详解】， 则． 13. 第十五届全国运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”一亮相，好评不断，这对吉祥物不仅在体育赛事中扮演着重要角色，还成为了文化自信与家国情怀的象征．现工厂决定从只“喜洋洋”，只“乐融融”和个全运会会徽中，采用分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本进行质量检测，若“喜洋洋”抽取了只，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分层随机抽样的比例即可得到答案. 【详解】总体中“喜洋洋”、“乐融融”和会徽的数量分别为、和， 已知“喜洋洋”抽取了只，抽样比为，根据分层随机抽样， 则样本中“乐融融”的抽取数量为，会徽的抽取数量为， 因此，样本总量. 14. 在中，角、、所对的边分别是、、，已知，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角恒等变换可得，从而可得，，从而可求得，由正弦定理及三角恒等变换得，结合余弦函数的性质求解即可. 【详解】因为，即， 所以，即， 所以， 因为，所以， 所以，， 由，解得， 所以 ， 因为，所以，， 所以. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知复数 （1）如果复数是纯虚数，求的值 （2）如果复数在复平面上所对应的点在第四象限，求的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由复数为纯虚数，根据复数的定义，列出关系式，即可求解； （2）先求得复数在复平面内对应的点为，根据题意，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：由复数， 因为复数为纯虚数，则满足，解得. 【小问2详解】 解：由复数在复平面内对应的点为， 因为复数在复平面上所对应的点在第四象限， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. 16. 某学校举办了一场党史知识竞赛活动，共有名学生参加了此次竞赛活动.为了解本次竞赛活动的得分情况，从中抽取了名学生的得分（得分均为整数，满分为分）进行统计，所有学生的得分都不低于分，将这名学生的得分进行分组，第一组，第二组，第三组，第四组，得到如下的频率分布直方图. （1）求图中的值，并估计此次竞赛活动中学生得分的第百分位数； （2）根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动学生得分的平均值.若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的名学生中有多少名学生获奖. 【答案】（1），第百分位数为分 （2）平均值为分，名学生获奖 【解析】 【分析】（1）根据频率和为可求得；由频率分布直方图估计百分位数的方法可求得结果； （2）根据频率分布直方图估计平均值的方法可求得，进而估计得到得分不低于平均值的频率，由频率和频数关系可求得估计值. 【小问1详解】 由频率分布直方图知：，解得：； 设此次竞赛活动学生得分的第百分位数为分， 数据落在内的频率为，落在内的频率为，， ，解得：， 即此次竞赛活动学生得分的第百分位数为分. 【小问2详解】 由频率分布直方图及（1）知：数据落在，，，的频率分别为，，，， 此次竞赛活动学生得分的平均值， 此次竞赛活动学生得分不低于分的频率为， 在参赛的名学生中，估计有名学生获奖. 17. 如图，已知正三棱柱中，，点为的中点． （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）连接交于点，连接， 因为三棱柱为正三棱柱，所以侧面为矩形，所以为的中点， 又因为点为的中点，所以在中，为中位线，故， 因为平面，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，即可得到，从而得证； （2）过点作，即可证明平面，则为与平面所成角，再由勾股定理求出，再由锐角三角函数计算可得. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 过点作， 在正三棱柱中，平面，， 因为平面，所以， 又为的中点，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，平面，，所以平面， 所以为与平面所成角， 因为，点为的中点． 在中，， 所以，即与平面所成角的余弦值为． 18. 在中，角的对边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若为的中点，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理将角化边，再利用余弦定理计算，即可得解；（2）通过中线长性质得到，利用数量积性质得到，结合余弦定理和面积公式即可求． 【小问1详解】 由余弦定理知，， 化简为， 化简为， ， ， . 【小问2详解】 因为， 所以， 即，得， 中，由余弦定理得， 即， 联立,可得， . 19. 如图，在三棱锥中，为中点，平面平面，，，，三棱锥的体积为．，分别是直线，上一点，且平面，记平面平面． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的正弦值； （3）若与所成角的余弦值为，求的值． 【答案】（1）证明：如图，过作，垂足为． 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，为中点，所以， 因为，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）只需证明平面，再结合面面垂直的判定定理即可得证； （2）由定义可得为二面角的平面角，从而，求出可得结果； （3）依题意有，，分别讨论在线段上和在线段的延长线上即可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 因为，所以为二面角的平面角． 因为三棱锥的体积为， 所以，解得， 所以二面角的正弦值为． 【小问3详解】 因为平面，平面，平面平面，所以，故与所成角等于与所成角． 由（2）知，所以． 由题意得，则． ①如图，当在线段上时， 因为，， 所以 ． 在中，由正弦定理得，，即， 解得，所以，故． ②如图，当在线段的延长线上时， 因为，， 由图知， 则， 在中，由正弦定理得，，即， 解得，所以，． 综上得，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南长沙市南雅中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题 时量：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 2. 在12件同类产品中，有10件正品和2件次品，从中任意抽出3件．其中为必然事件的是（ ）． A. 3件都是正品 B. 至少有1件是次品 C. 3件都是次品 D. 至少有1件是正品 3. 已知均值为10，方差为1，则的均值和方差分别为（ ） A. 20，2 B. 21，2 C. 21，4 D. 20，4 4. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 5. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 7. 若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的边长为4，点、分别在边、上，且，，将此正方形沿、折起，使点、重合于点．记三棱锥的体积为，其外接球的体积为．则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为π B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 的值域为 10. 已知正方体的棱长为1，，其中，，且，则下列选项正确的是（ ） A. 平面 B. 异面直线与所成的角为 C. 的轨迹长度为 D. 取最小值 11. 把向量绕其起点沿逆时针方向旋转角得到，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，，（其中为坐标原点），点绕点沿逆时针方向旋转得到点，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数，则复数的模为________． 13. 第十五届全国运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”一亮相，好评不断，这对吉祥物不仅在体育赛事中扮演着重要角色，还成为了文化自信与家国情怀的象征．现工厂决定从只“喜洋洋”，只“乐融融”和个全运会会徽中，采用分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本进行质量检测，若“喜洋洋”抽取了只，则______． 14. 在中，角、、所对的边分别是、、，已知，则的取值范围是________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知复数 （1）如果复数是纯虚数，求的值 （2）如果复数在复平面上所对应的点在第四象限，求的取值范围 16. 某学校举办了一场党史知识竞赛活动，共有名学生参加了此次竞赛活动.为了解本次竞赛活动的得分情况，从中抽取了名学生的得分（得分均为整数，满分为分）进行统计，所有学生的得分都不低于分，将这名学生的得分进行分组，第一组，第二组，第三组，第四组，得到如下的频率分布直方图. （1）求图中的值，并估计此次竞赛活动中学生得分的第百分位数； （2）根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动学生得分的平均值.若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的名学生中有多少名学生获奖. 17. 如图，已知正三棱柱中，，点为的中点． （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的余弦值． 18. 在中，角的对边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若为的中点，，求的面积. 19. 如图，在三棱锥中，为中点，平面平面，，，，三棱锥的体积为．，分别是直线，上一点，且平面，记平面平面． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的正弦值； （3）若与所成角的余弦值为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $