精品解析：湖南师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题

湖南师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测 数学试题 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1. 若，则实数a等于（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】， 由可得，解得. 2. 如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】在直观图中，，，则在原图形平行四边形OABC中，，如图， 所以原图形的面积为. 3. 已知一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】因为一组数据，，的平均数为，方差为， 所以数据，，，的平均数为，方差为. 4. 设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ） A. 存在无数条直线与，都平行 B. 存在无数个平面与，都垂直 C. 存在两条平行直线a，b，，，， D. 存在两条异面直线a，b，，，， 【答案】D 【解析】 【分析】由平面的基本性质及面面平行判定定理结合题设，图形可判断选项正误. 【详解】A，如图，作长方体，取平面ABCD，平面分别为平面，. 因为，且，且，，则，， 显然可作无数条与平行且不在平面，内的直线，即存在无数条直线与，都平行，但，不平行，错误； B，因为平面与平面，均垂直，且显然可作无数个与平面平行的平面，即存在无数个平面与，都垂直，但，不平行，错误； C，若与相交，可在内取a平行于交线，在内取b也平行于交线， 满足，，，但无法推出，错误； D，异面直线，，，，可在内作出，在内作出， 可得，b是内的相交直线，a，是内的相交直线，且都平行于另一个平面， 根据面面平行判定定理可推出，符合要求. 5. 从中随机选取三个不同的数，则这三个数之积为偶数且它们之和大于等于的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用列举法求古典概型的概率即可. 【详解】从中随机选取三个不同的数 有，，，，，，，，，，共10种情况， 其中三个数之积为偶数且它们之和大于等于的有，，，，共种情况， 所以这三个数之积为偶数且它们之和大于等于的概率为，故C正确. 6. 如图，圆台的侧面展开图为半圆环，图中线段，C，O，D为线段AB的四等分点，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由侧面展开图可确定圆台的上下底面半径和母线长，利用圆台的体积公式求解即可. 【详解】由圆台的侧面展开图可求得圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2， 从而圆台的高为，所以圆台的体积. 7. 已知函数的定义域为，，为偶函数，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件及为偶函数，结合周期函数的定义，可得函数是周期为4的周期函数，利用周期性及求解即可. 【详解】因为函数为偶函数，所以，则， 又因为，所以，则， 所以函数是周期为4的周期函数， 由中，令，得到， 所以，， 故. 8. 已知平面向量，，，且，向量与所成的角为，且对任意实数t恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合二次函数的性质，求出；再利用向量三角不等式，即，结合向量的模长公式，求出最小值即可. 【详解】由题意得，，由，得， 即，化简得. 令，其图象开口向上，要使恒成立， 则，解得， 又， ，所以的最小值为. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则 C. 若A与B相互独立，则 D. 若，则A与B相互独立 【答案】CD 【解析】 【详解】对于A，若A与B互斥，则，故错误； 对于B，若，则，故错误； 对于C，若A与B相互独立，则与也相互独立， 所以，故正确； 对于D，，可得， 所以，则A与B相互独立，故正确. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 将的图象向右平移个单位长度后所得函数的图象在上不单调 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，先通过图象算出周期，从而确定的值，再根据图象的最高点确定的值，从而得到解析式；B选项，将代入解析式，即可计算函数值；C选项，通过正弦函数的取值范围即可推导不等式的解集；D选项，平移后得到新的函数，根据即可判断出不单调. 【详解】对于A，由图象可知，最小正周期，所以， 因为图象过点，所以，又，所以， 所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，令，则，所以，，解得，， 所以不等式的解集为，，故C正确； 对于D，将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，当时，， 此时函数在区间上单调递增，故D错误. 11. 传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现.如图是一个圆柱容球，，为圆柱下、上底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则（ ） A. 球与圆柱的表面积之比为 B. 平面截得球的截面面积最小值为 C. 四面体的体积的取值范围为 D. 若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，由球的半径为，可知圆柱的底面半径为，圆柱的高为， 则球的表面积为，圆柱的表面积为，所以球与圆柱的表面积之比为，故A正确； 对于B，矩形所在截面如图所示，过点作于点，则由题可得， 设点到平面的距离为，平面截得球的截面圆的半径为， 则，，所以平面截得球的截面面积最小值为，故B正确； 对于C，由题可知四面体的体积等于，点E到平面的距离， 又，所以，故C错误； 对于D，由题可知点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上， 设P在底面的投影为，则，，， ，设，则，， 所以， 所以.故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，，，若，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算即可求解． 【详解】因为向量，， 所以， 又，则，解得． 13. 某校组织了“人工智能知识”测试，现随机抽取了100名学生的测试成绩（单位：分），这100名学生的成绩都分布在区间内，绘制成如图所示的频率分布直方图. 则这100名学生成绩的61%分位数为______. 【答案】82 【解析】 【分析】由百分位数求解即可. 【详解】设这100名学生成绩的61%分位数为x， 因为前4组频率之和为， 前5组频率之和为， 所以这100名学生成绩的61%分位数落在第5组内， 所以，解得，所以这200名学生成绩的61%分位数为82. 14. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.若关于x的不等式有解，则实数t的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用正弦定理将转化为边的关系，再通过余弦定理结合基本不等式求出角的取值范围，接着将原不等式有解转化为关于和的不等式，最后结合角的范围求出实数的取值范围. 【详解】在中，由正弦定理及，得， 由余弦定理，得，又因为，所以， 记，则，. 因为，所以，从而， 则等价于， 即有解，故有， 化简得，即恒成立，又，则， 可得，解得. 所以实数的取值范围为. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合，． （1）若，求A，B及； （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据绝对值不等式，分式不等式的解法求解，再根据集合的运算即可求解； （2）将“”是“”的充分条件转化为，列出不等式即可求解． 【小问1详解】 当时，由，解得，所以， 由，解得，所以， 所以，则． 【小问2详解】 由，解得，所以， 又“”是“”的充分条件，所以， 已知，可得解得， 所以实数a的取值范围为． 16. 已知奇函数的定义域为. （1）求实数a，b的值； （2）当时，恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数定义域关于原点对称，可以求得，再根据根据奇函数定义可知，化简整理，从而问题得到求解； （2）对问题时，恒成立进行转化，转化为当时，恒成立，通过构造函数，再利用函数的单调性求出实数m的取值范围. 【小问1详解】 因为函数为定义域为的奇函数， 所以，即， 所以，整理得，解得， 因为函数的定义域为，则，解得. 所以，. 【小问2详解】 由（1）可知， 当时，即恒成立， 可得恒成立，即当时，恒成立， 所以，， 令，，则， 令，，根据对勾函数性质知在区间上单调递增， 所以，所以，则， 则实数m的取值范围为. 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，. （1）求角B； （2）若的面积为，求的值； （3）若为锐角三角形，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理把边化角求解； （2）由余弦定理和三角形面积公式求解； （3）把三角形的面积转化为角A表示的函数，再三角函数的值域. 【小问1详解】 由正弦定理得， 由及，得， 即， 因为， 所以， 所以，因为,， 所以，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 由余弦定理得，即，所以. 又的面积为，所以. 所以，所以； 【小问3详解】 由（1）知，，则， 所以，，所以 由，得， 所以，所以，所以， 所以面积的取值范围是. 18. 如图，在四棱锥中，，，，M，N分别为PA，BC的中点，底面四边形是边长为2的菱形且，AC交BD于点O. （1）求证：平面PCD； （2）求证：平面平面ABCD； （3）求二面角的平面角的余弦值. 【答案】（1）取PD的中点E，连接ME，CE，如图. ∵M为PA的中点， ∴，， ∵N为BC的中点且四边形ABCD为菱形， ∴，. ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又∵平面PCD，平面PCD， ∴平面. （2）如图，连接， ∵，O是的中点， ∴， 由菱形知，又，PO，平面， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）取PD的中点E，连接ME，CE，先证明四边形为平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明即可； （2）连接，先证平面，再利用面面垂直的判定定理证明即可； （3）过点B作于点F，连接DF，OF，先证明为二面角的平面角，再在中利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，过点B作于点F，连接DF，OF. ∵平面PAC，平面PAC， ∴. ∵，BD，平面BDF，. ∴平面BDF， ∴，. ∴为二面角的平面角. ∵，，PC，PA，OF共面， ∴， ∵O是AC的中点， ∴F是PC的中点， 又∵， ∴，， ∴. ∵F是PC的中点，又， ∴， ∴， ∴二面角的平面角的余弦值为. 19. 设P，Q是两个非空数集，若定义在上的函数对任意当时，，则称为P到Q的双界函数. （1）设，，. （ⅰ）证明：当时，是P到Q的双界函数； （ⅱ）若是P到Q的双界函数，求实数k的取值范围. （2）若，，是P到Q的双界函数，当时，，求在上的最小值. （3）设集合其中，.若，是P到Q的双界函数，证明：是A到B的双界函数. 【答案】（1）（ⅰ）当时，，， 当，即时，则，即， 显然，因此， 所以当时，是P到Q的双界函数. （ⅱ） （2）2705 （3）依题意，时，， 令，则， 令，，则， 两式相加，得，即， 令，，则， 因此， 则 ，所以， 所以是A到B的双界函数. 【解析】 【分析】（1）（i）根据给定条件，利用双界函数的定义计算得证；（ii）根据给定的定义，由，恒成立求解即得. （2）由给定条件可得，利用函数单调性求出在上的最小值，再利用递推关系求出在上的最小值. （3）根据给定的定义，结合赋值法及迭代法推理得证. 【小问1详解】 （ⅰ）略 （ⅱ），是P到Q的双界函数， 则当，即时，恒成立， 由，得恒成立，而，， 由恒成立，得；由恒成立，得，因此， 所以实数k的取值范围为. 【小问2详解】 依题意，当时，，则，即， 而函数在上单调递增，则当时，在上单调递增， 当时，， 当时，；当时，，， 又，因此函数在上的最小值为， ， 由，得，所以在上的最小值为2705. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测 数学试题 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1. 若，则实数a等于（ ） A. B. C. 2 D. 3 2. 如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（ ） A. B. C. D. 4 3. 已知一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ） A. 存在无数条直线与，都平行 B. 存在无数个平面与，都垂直 C. 存在两条平行直线a，b，，，， D. 存在两条异面直线a，b，，，， 5. 从中随机选取三个不同的数，则这三个数之积为偶数且它们之和大于等于的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，圆台的侧面展开图为半圆环，图中线段，C，O，D为线段AB的四等分点，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，，为偶函数，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知平面向量，，，且，向量与所成的角为，且对任意实数t恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则 C. 若A与B相互独立，则 D. 若，则A与B相互独立 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 将的图象向右平移个单位长度后所得函数的图象在上不单调 11. 传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现.如图是一个圆柱容球，，为圆柱下、上底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则（ ） A. 球与圆柱的表面积之比为 B. 平面截得球的截面面积最小值为 C. 四面体的体积的取值范围为 D. 若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，，，若，则______． 13. 某校组织了“人工智能知识”测试，现随机抽取了100名学生的测试成绩（单位：分），这100名学生的成绩都分布在区间内，绘制成如图所示的频率分布直方图. 则这100名学生成绩的61%分位数为______. 14. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.若关于x的不等式有解，则实数t的取值范围为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合，． （1）若，求A，B及； （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 16. 已知奇函数的定义域为. （1）求实数a，b的值； （2）当时，恒成立，求实数m的取值范围. 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，. （1）求角B； （2）若的面积为，求的值； （3）若为锐角三角形，求面积的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，，，，M，N分别为PA，BC的中点，底面四边形是边长为2的菱形且，AC交BD于点O. （1）求证：平面PCD； （2）求证：平面平面ABCD； （3）求二面角的平面角的余弦值. 19. 设P，Q是两个非空数集，若定义在上的函数对任意当时，，则称为P到Q的双界函数. （1）设，，. （ⅰ）证明：当时，是P到Q的双界函数； （ⅱ）若是P到Q的双界函数，求实数k的取值范围. （2）若，，是P到Q的双界函数，当时，，求在上的最小值. （3）设集合其中，.若，是P到Q的双界函数，证明：是A到B的双界函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $