精品解析：2026年甘肃平凉市泾川县瑞丰乡中学初中学业水平考试数学原创模拟卷（三）

甘肃省2026年初中学业水平考试 数学·原创模拟卷（三） 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 的倒数是（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是2， 故选：A． 2. 已知∠A=46°，则∠A的余角为（ ） A. 44° B. 54° C. 134° D. 144° 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据余角的意义：∠A的余角为90°﹣∠A，代入求出即可． 解：∵∠A=46°， ∴它的余角为90°﹣∠A =90°﹣46° =44°． 故选A． 点评：本题考查了对余角的理解和运用，注意：若∠A和∠B互为余角，则∠A+∠B=90°． 3. 如图，数轴上点A表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴上点的位置确定其取值范围，再结合无理数的大小比较进行判断 【详解】解：由数轴可知，点表示的数在和之间，且靠近， ，  选项A不符合题意；  ， 选项D不符合题意； ， 又点靠近，   点表示的数可能是． 4. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，去分母将分式方程转化为整式方程，然后求解并验证分母不为零． 【详解】∵ ， 去分母得，， ， 解得， 检验：当时，，满足条件． 故方程的解为． 故选：B． 5. 如图，中国最大的室内卧佛位于甘肃省张掖市的大佛寺，又称卧佛寺，张掖大佛寺的卧佛是该寺的核心文物，具有极高的历史、艺术和宗教价值．现已知卧佛的肩宽身长，且肩宽为米，则卧佛的身长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】设卧佛的身长为米，根据肩宽与身长的比为，结合肩宽为米，列出比例式求解即可． 【详解】解：设卧佛的身长为米，   卧佛的肩宽身长，且肩宽为米，  ，  ， 解得， 即卧佛的身长为米． 6. 如图，在圆形纸片圆O中，为直径．把纸片折叠，使点A与点B重合，折痕为，把纸片再次折叠，使点A与点C重合，折痕为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，熟知上述性质是解题的关键．根据折叠的性质可得，得到，根据第二次折叠得到． 【详解】解：把纸片折叠，使点A与点B重合，折痕为， ， 为直径， ， ， ∵， ， 把纸片再次折叠，使点A与点C重合，折痕为， ． 故选：D． 7. 明朝李梦阳的《送人赴举》诗：“宝剑动连星，金鞍别马鸣．持将五色笔，夺取锦标名．”这首诗鼓励考生们拿起五彩妙笔，在考试中取得理想的成绩，金榜题名．今有陈老师选用代表六合、六顺的正六边形“金榜题名”文具礼盒祝福孩子们妙笔生花，中考胜利！如图1是陈老师在中考前送给班内孩子们的单个正六边形文具礼盒，如图2是全班礼盒靠墙创意摆放的主视图．若每个正六边形的边长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出与水平线围成的直角三角形的内角度数，结合直角三角形的性质求出，观察图2得出，即可求解． 【详解】解：如图为图2中最下面的正六边形，分别连接正六边形的对角线，找出正六边形的中心， ∵正六边形的中心角都等于，半径都相等， ∴正六边形可以分成过中心的个全等的正三角形， 根据题意可得正六边形的边长，每个内角为； ∴，， 故， ∴； 观察图2可知， ， 故． 8. 作为通用基础网络技术，是全面构筑经济社会数字化转型的关键基础设施，从线上到线下、从消费到生产、从平台到生态，推动我国数字经济发展迈上新台阶．如图是年中国直接经济产出和间接经济产出的统计图；下列结论错误的是（ ） A. 年直接经济产出比间接经济产出少万亿元 B. 年直接经济产出和间接经济产出都是逐年增长 C. 年间接经济产出大约为年间接经济产出的9倍 D. 年间接经济产出的增长率和直接经济产出的增长率相同 【答案】D 【解析】 【详解】解：由统计图可知，年直接经济产出为万亿元，间接经济产出为万亿元， ∴年直接经济产出比间接经济产出少（万亿元）； ∴选项A正确； 通过比较条形统计图中各个年份的数据可知B说法正确； 年间接经济产出为万亿元，年间接经济产出为万亿元，即，故C项说法正确； 直接经济：年为万亿元，年为万亿元，增长率：； 间接经济：年为万亿元，年为万亿元，增长率：， ，即D错误． 9. 一小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），按如图所示的图象，小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系式是，当小球的速度最大时，弹簧的长度是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数解析式求出速度最大时弹簧被压缩的长度，再利用弹簧长度等于初始长度减去压缩长度求解即可 【详解】解：∵小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系式是 ∴该函数图象是开口向下的抛物线， 当时，取得最大值， ∵， 当时，小球的速度最大，此时弹簧被压缩了， ∵弹簧的初始长度为， ∴此时弹簧的长度为 10. 如图1，在菱形中，，点为边的中点，动点从点出发，沿边→方向匀速运动，运动到点时停止，设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质和垂直平分线的判定与性质，得出，，利用两点之间线段最短确定的最小值为的长，结合函数图象得出，再利用三线合一的性质和勾股定理列出方程，求出菱形的边长，即可求解． 【详解】解：连接与交于点，连接，如图： ∵四边形是菱形，， ∴，，，，， ∴是等边三角形， ∴； ∵，， ∴， ∴， 当点、、三点共线时，最小，最小值为的长， 即点在上运动时，分为三个阶段： 第一阶段，随的增大而减小， 第二阶段：点与点、三点共线，的值最小， 第三阶段：随的增大而增大． 由图2可知，点在上运动时，的最小值为，即； ∵，点为边的中点， ∴，， 设，则， 在中，， 即， 解得（负值舍去）， ∴， ∴菱形的面积． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 敦煌是中华文明重要发祥地之一，被誉为“东方世界的艺术博物馆”，素有“丝绸之路的明珠”之称．如图是敦煌的3个旅游景点，将其放在适当的平面直角坐标系中，若鸣沙山月牙泉的坐标为，莫高窟的坐标为，则三危山景区的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据鸣沙山月牙泉的坐标为，莫高窟的坐标为建立直角坐标系，然后确定三危山景区的坐标即可． 【详解】解：根据题意建立直角坐标系如下： ∴三危山景区的坐标为． 13. 已知一次函数（，为常数，且）的图象经过点，；如果，那么的值可以是________（请写出一个符合条件的值）． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】根据已知两点的横坐标大小与对应函数值的大小关系，判断函数的增减性，进而得到的取值范围，任取一个符合范围的值即可． 【详解】一次函数的图象经过点，，，， 在一次函数中，随的增大而增大， ， 的值可以是（答案不唯一）． 14. 如图，在正方形中，点E为边的中点，连接，取的中点F，连接，若的长为，则正方形的面积为________． 【答案】20 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，再设正方形边长为未知数，利用勾股定理列方程求出边长的平方即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 点为边的中点， ， 在中，是的中点， ， ， ， 设，则， 由勾股定理得：，即， 整理得：， 解得：， 正方形的面积为． 15. 比例规由意大利科学家伽利略于1597年左右发明，最初用于军事测绘．它问世后迅速传入中国，罗雅谷在《比例规解》中系统介绍了其用法，此后成为中国古代数学著作中的常见工具．如图，它由长度相等的两脚和交叉构成．利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使；），然后张开两脚，使点A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，若，则的长为________． 【答案】15 【解析】 【分析】根据已知条件得出对应边成比例，结合对顶角相等证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求解． 【详解】解：∵，， ∴，，即  ∵， ∴ ∴ ∵， ∴． 16. 如图1，坡屋顶是一种倾斜的屋顶形式，通常由斜面较大的屋面覆盖材料和支撑屋面的结构组成，其中圆形宝顶的作用主要是收尾密封，装饰象征．我国古代建筑屋顶大部分属于坡屋顶的范畴，与平屋顶相比，其优点是排水迅速、不易积水，所以一般不会形成渗漏并影响下部结构．各种坡屋顶类型早在秦汉时期就已基本形成，到宋代更为完备．如图2，是坡屋顶的屋脊，可以抽象成数学问题，分别与相切于点C，D，若，，则的长为________cm． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质可得，结合已知，利用四边形内角和定理求出圆心角的度数，并判定四边形为正方形从而得到半径长，最后代入弧长公式计算即可． 【详解】解： 分别与相切于点，  ， ．  ，   四边形是矩形．  ，   四边形是正方形， ，，  的长为． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】先分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到不等式组的最终解集 【详解】解：  解① ，得  解② ，得  ∴不等式组的解集为． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是整式的混合运算－化简求值，根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项、多项式除以单项式把原式化简，把a、b的值代入计算得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式 20. 19世纪英国著名文学家和历史学家托马斯卡莱尔在平面解析几何的基础上发展了一元二次方程的几何解法．如图，关于一元二次方程的解法是使用一个特殊的圆与轴的交点，这个特殊的圆是以和为直径的端点的圆，若方程有两个实数根，则这个圆与轴就有两个交点，这两个交点的横坐标就是方程的根，即和是的根，假如方程有两个相等的实数解，则这个圆与轴相切，切点的横坐标为方程的根；假如方程无实数解，则这个圆与轴无交点．现我们用尺规作图的方法作出一元二次方程的根．如图，在轴上作出以方程两根为横坐标的点，（点在点的左边）．作法如下： ①分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，； ②连接，，交于点； ③以点为圆心，长为半径画圆，与轴交于点，； 则方程的两个根即为点，的横坐标． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图中作出以方程两根为横坐标的点，（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知，作图略 21. 每年的12月9日是“一二·九”运动纪念日，许多学校举办纪念“一二·九”运动的接力跑活动．兰州某校在这一天召开运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球（这四个小球除所标数字外都相同），分别标有数字1，2，3，4，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的赛道． （1）将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1小球的概率为________； （2）甲、乙两队依次从盒中不放回随机摸出一个小球，若两队赛道编号之差的绝对值为1（即赛道相邻），则甲队获得优先选跑顺序，若两队赛道编号之差的绝对值大于1，则乙队获得优先选跑顺序．请问这个游戏规则对甲、乙两队公平吗？请用画树状图或列表的方法说明． 【答案】（1） （2）这个游戏规则对甲、乙两队公平，列表如下： 甲 乙 1 2 3 4 1 － 2 － 3 － 4 － 由上表可知，共有12种等可能的结果， 其中满足两队赛道编号之差的绝对值为1的结果有6种，满足编号之差的绝对值大于1的结果有6种， ． 故这个游戏规则对甲、乙两队公平 【解析】 【分析】（1）根据简单地概率公式计算解答即可； （2）利用画树状图法或列表法计算概率即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：摸出标有数字1的小球的概率为． 【小问2详解】 略 22. 如图1，华夏古槐王位于甘肃省平凉市崇信县锦屏镇关河村，是国内体型最大、树龄最长的古槐树，古槐王有八大主枝，又称八卦槐．它不仅被载入《甘肃古树奇观》和《全国百株人文古树名录》，还被誉为“活的文物”和“华夏民族活的历史见证”，成为连接历史与现代的文化符号．为了解华夏古槐王的现存高度，某校兴趣小组开展了“测量华夏古槐王”的综合实践活动．如图2是他们测量华夏古槐王的示意图，点A为最高点，C，B，D是地面同一条直线上的三个点（点C，D都在保护栏外），通过测量，地面上C，D两点的距离为，，，求华夏古槐王的高度．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】华夏古槐王的高度约为26米 【解析】 【分析】先分别利用三角函数表示出，再根据构建方程求解． 【详解】解：根据题意，， 则在直角三角形和直角三角形中， ， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 解得：， 答：华夏古槐王的高度约为26米． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 河西走廊葡萄酒，甘肃省特产，自2000多年前丝绸之路时期起，葡萄种植与酿造技艺代代相传，融合东西方文化．2012年7月31日，原国家质检总局批准对“河西走廊葡萄酒”实施地理标志产品保护．为了解某基地的葡萄种植情况，九（1）班同学对该基地的试验田中500株甲、乙两种葡萄树中各抽取100株的产量（用x表示）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下： 信息一：甲种葡萄树产量的频数分布表： 频数 信息二：乙种葡萄树产量的频数直方图： 信息三：甲、乙两种葡萄树产量的部分统计量： 葡萄树 平均数（） 中位数出现的组别 方差 甲种 乙种 ________ 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中的值：________，并补全频数分布直方图； （2）乙种葡萄树产量中位数的组别为________； （3）请从平均数、中位数、方差三个数据中任选一个数据，分析本题中哪种葡萄树的产量较好． 【答案】（1） （2） （3）从中位数可得，乙种葡萄树产量中位数高于甲种葡萄树产量，乙种葡萄树的产量较好 【解析】 【分析】（1）根据频数分布表求得的值，根据频数直方图求得乙种葡萄树中的频数，进而不全统计图； （2）根据中位数的定义，即可求解． （3）根据中位数的意义即可求解． 【小问1详解】 解：， 乙种葡萄树中的频数为：，图略； 【小问2详解】 解：第和个数在． ∴乙种葡萄树产量中位数的组别为． 【小问3详解】 解：从中位数可得，乙种葡萄树产量中位数高于甲种葡萄树产量，乙种葡萄树的产量较好． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，且，）的图象交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点在一次函数图象上，过点作轴，交反比例函数的图象于点，连接，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，求反比例函数的表达式和图形面积； （1）将代入求出m再用待定系数法求反比例函数的表达式即可； （2）先求点的坐标和点的坐标，再求出，根据面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入中，得， ∴点的坐标为， 将点代入中，得，解得， ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：将点代入中，得， 解得， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴点的横坐标为4， 在反比例函数中，令，则， ∴点的坐标为， ∴， ∴． 25. 如图，内接于，是的直径，过点C作的切线交的延长线于点D，过的中点E，作交的延长线于点F，交于点G． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，如图， ∵是的切线， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即是等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质、垂直的定义结合等腰三角形的性质证明即可； （2）证明，得到，求出圆的半径，进而求出，再解直角三角形求出，即为． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴, 设，则， ∴，解得：， 则在直角三角形中，， ∴， ∵E为中点， ∴， ∴， 在直角三角形中，∵， ∴， 解得：， ∴． 26. 四边形是正方形，点是边上一动点（不与，重合），点是射线上一动点（不与，重合），连接． （1）如图1，当点，分别是，的中点时，连接，写出和的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当点，分别是边，上任意一点时，过点作交于点，交于点，写出和的数量关系，并说明理由； （3）如图3，平移图中的线段，使点与点重合，点在的延长线上，连接，取的中点，连接，写出和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由如下 ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴； （2），理由如下， 如图，过点作交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下， 如图，连接， 由（2）可得， ∴是等腰直角三角形，则 ∵是的中点， ∴，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴ ∴四点共圆， ∴ ∴ 在上取点，使得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，即 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，结合已知条件，证明，根据全等三角形的性质，即可得出结论； （2）过点作交于点，则四边形是平行四边形，则，再证明，根据全等三角形的性质得出，等量代换得出，即可得出结论； （3）连接，证明四点共圆，得出，在上取点，使得，得出，，进而证明，证明得出，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 27. 如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上第一象限内的一点． （1）求抛物线的表达式； （2）过点作轴的垂线，交于点，设点的横坐标为，当时，求点的坐标； （3）点是轴负半轴上一点，且，点的坐标为． ①如图，判断的形状，并说明理由； ②如图，点，分别为的边，上的动点，且，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）①是直角三角形，理由如下， ∵ ∴，则 ∵点的坐标为， ∴，， ∴ ∴是直角三角形； ② 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据已知得出，进而根据，结合已知求得，代入求得的值，即可求解； （3）①根据题意求得的坐标，进而根据勾股定理的逆定理，即可求解； ②作，且使，连接，证明得出，，可得，，共线时，的值最小， 进而根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得， 解得： ∴ 【小问2详解】 解： 当时，， ∴，则， 当时， 解得：， ∴，，则 ∵点的横坐标为，过点作轴的垂线，交于点， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴，即 ∴ 解得： ∴ 【小问3详解】 解：①略 ②如图，作，且使，连接， ，， ， ，， ， ， ， ，，共线时，的值最小， 又∵， ． 即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省2026年初中学业水平考试 数学·原创模拟卷（三） 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 的倒数是（　　） A. 2 B. C. D. 2. 已知∠A=46°，则∠A的余角为（ ） A. 44° B. 54° C. 134° D. 144° 3. 如图，数轴上点A表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 4. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中国最大的室内卧佛位于甘肃省张掖市的大佛寺，又称卧佛寺，张掖大佛寺的卧佛是该寺的核心文物，具有极高的历史、艺术和宗教价值．现已知卧佛的肩宽身长，且肩宽为米，则卧佛的身长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 如图，在圆形纸片圆O中，为直径．把纸片折叠，使点A与点B重合，折痕为，把纸片再次折叠，使点A与点C重合，折痕为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 明朝李梦阳的《送人赴举》诗：“宝剑动连星，金鞍别马鸣．持将五色笔，夺取锦标名．”这首诗鼓励考生们拿起五彩妙笔，在考试中取得理想的成绩，金榜题名．今有陈老师选用代表六合、六顺的正六边形“金榜题名”文具礼盒祝福孩子们妙笔生花，中考胜利！如图1是陈老师在中考前送给班内孩子们的单个正六边形文具礼盒，如图2是全班礼盒靠墙创意摆放的主视图．若每个正六边形的边长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 作为通用基础网络技术，是全面构筑经济社会数字化转型的关键基础设施，从线上到线下、从消费到生产、从平台到生态，推动我国数字经济发展迈上新台阶．如图是年中国直接经济产出和间接经济产出的统计图；下列结论错误的是（ ） A. 年直接经济产出比间接经济产出少万亿元 B. 年直接经济产出和间接经济产出都是逐年增长 C. 年间接经济产出大约为年间接经济产出的9倍 D. 年间接经济产出的增长率和直接经济产出的增长率相同 9. 一小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），按如图所示的图象，小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系式是，当小球的速度最大时，弹簧的长度是（） A. B. C. D. 10. 如图1，在菱形中，，点为边的中点，动点从点出发，沿边→方向匀速运动，运动到点时停止，设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解：_____． 12. 敦煌是中华文明重要发祥地之一，被誉为“东方世界的艺术博物馆”，素有“丝绸之路的明珠”之称．如图是敦煌的3个旅游景点，将其放在适当的平面直角坐标系中，若鸣沙山月牙泉的坐标为，莫高窟的坐标为，则三危山景区的坐标为________． 13. 已知一次函数（，为常数，且）的图象经过点，；如果，那么的值可以是________（请写出一个符合条件的值）． 14. 如图，在正方形中，点E为边的中点，连接，取的中点F，连接，若的长为，则正方形的面积为________． 15. 比例规由意大利科学家伽利略于1597年左右发明，最初用于军事测绘．它问世后迅速传入中国，罗雅谷在《比例规解》中系统介绍了其用法，此后成为中国古代数学著作中的常见工具．如图，它由长度相等的两脚和交叉构成．利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使；），然后张开两脚，使点A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，若，则的长为________． 16. 如图1，坡屋顶是一种倾斜的屋顶形式，通常由斜面较大的屋面覆盖材料和支撑屋面的结构组成，其中圆形宝顶的作用主要是收尾密封，装饰象征．我国古代建筑屋顶大部分属于坡屋顶的范畴，与平屋顶相比，其优点是排水迅速、不易积水，所以一般不会形成渗漏并影响下部结构．各种坡屋顶类型早在秦汉时期就已基本形成，到宋代更为完备．如图2，是坡屋顶的屋脊，可以抽象成数学问题，分别与相切于点C，D，若，，则的长为________cm． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 19世纪英国著名文学家和历史学家托马斯卡莱尔在平面解析几何的基础上发展了一元二次方程的几何解法．如图，关于一元二次方程的解法是使用一个特殊的圆与轴的交点，这个特殊的圆是以和为直径的端点的圆，若方程有两个实数根，则这个圆与轴就有两个交点，这两个交点的横坐标就是方程的根，即和是的根，假如方程有两个相等的实数解，则这个圆与轴相切，切点的横坐标为方程的根；假如方程无实数解，则这个圆与轴无交点．现我们用尺规作图的方法作出一元二次方程的根．如图，在轴上作出以方程两根为横坐标的点，（点在点的左边）．作法如下： ①分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，； ②连接，，交于点； ③以点为圆心，长为半径画圆，与轴交于点，； 则方程的两个根即为点，的横坐标． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图中作出以方程两根为横坐标的点，（保留作图痕迹，不写作法）． 21. 每年的12月9日是“一二·九”运动纪念日，许多学校举办纪念“一二·九”运动的接力跑活动．兰州某校在这一天召开运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球（这四个小球除所标数字外都相同），分别标有数字1，2，3，4，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的赛道． （1）将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1小球的概率为________； （2）甲、乙两队依次从盒中不放回随机摸出一个小球，若两队赛道编号之差的绝对值为1（即赛道相邻），则甲队获得优先选跑顺序，若两队赛道编号之差的绝对值大于1，则乙队获得优先选跑顺序．请问这个游戏规则对甲、乙两队公平吗？请用画树状图或列表的方法说明． 22. 如图1，华夏古槐王位于甘肃省平凉市崇信县锦屏镇关河村，是国内体型最大、树龄最长的古槐树，古槐王有八大主枝，又称八卦槐．它不仅被载入《甘肃古树奇观》和《全国百株人文古树名录》，还被誉为“活的文物”和“华夏民族活的历史见证”，成为连接历史与现代的文化符号．为了解华夏古槐王的现存高度，某校兴趣小组开展了“测量华夏古槐王”的综合实践活动．如图2是他们测量华夏古槐王的示意图，点A为最高点，C，B，D是地面同一条直线上的三个点（点C，D都在保护栏外），通过测量，地面上C，D两点的距离为，，，求华夏古槐王的高度．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 河西走廊葡萄酒，甘肃省特产，自2000多年前丝绸之路时期起，葡萄种植与酿造技艺代代相传，融合东西方文化．2012年7月31日，原国家质检总局批准对“河西走廊葡萄酒”实施地理标志产品保护．为了解某基地的葡萄种植情况，九（1）班同学对该基地的试验田中500株甲、乙两种葡萄树中各抽取100株的产量（用x表示）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下： 信息一：甲种葡萄树产量的频数分布表： 频数 信息二：乙种葡萄树产量的频数直方图： 信息三：甲、乙两种葡萄树产量的部分统计量： 葡萄树 平均数（） 中位数出现的组别 方差 甲种 乙种 ________ 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中的值：________，并补全频数分布直方图； （2）乙种葡萄树产量中位数的组别为________； （3）请从平均数、中位数、方差三个数据中任选一个数据，分析本题中哪种葡萄树的产量较好． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，且，）的图象交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点在一次函数图象上，过点作轴，交反比例函数的图象于点，连接，求的面积． 25. 如图，内接于，是的直径，过点C作的切线交的延长线于点D，过的中点E，作交的延长线于点F，交于点G． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的长． 26. 四边形是正方形，点是边上一动点（不与，重合），点是射线上一动点（不与，重合），连接． （1）如图1，当点，分别是，的中点时，连接，写出和的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当点，分别是边，上任意一点时，过点作交于点，交于点，写出和的数量关系，并说明理由； （3）如图3，平移图中的线段，使点与点重合，点在的延长线上，连接，取的中点，连接，写出和的数量关系，并说明理由． 27. 如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上第一象限内的一点． （1）求抛物线的表达式； （2）过点作轴的垂线，交于点，设点的横坐标为，当时，求点的坐标； （3）点是轴负半轴上一点，且，点的坐标为． ①如图，判断的形状，并说明理由； ②如图，点，分别为的边，上的动点，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $