第七章 复数 综合训练-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本单元卷聚焦高中数学复数单元复习，涵盖复数概念、运算及几何意义，题型多样，梯度分明，注重数学眼光、思维与语言的综合考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|8|虚部、复平面象限、复数模、周期运算|基础巩固，如复数iⁿ求和（题4）| |多选|3|复数运算、性质、棣莫弗定理|能力提升，如复数与三角函数结合（题11）| |填空|3|方程根、模的计算、轨迹范围|关联真题，如天津高考题（题13）| |解答|5|复数分类、方程求解、三角形判定、轨迹方程|创新应用，如结合三角形形状判断（题17）、轨迹问题（题18），体现几何直观与模型意识|

第七章　复数 一、单项选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复数z=的虚部是(　　) A.- B. C.-i D.i 2.若i为虚数单位,则在复平面内对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知i为虚数单位,若(m∈R)是实数,则|m+2i|=(　　) A.2 B.-2 C. D.- 4.复数i+i2+i3+…+i2 025=(　　) A.i-1 B.i C.-1 D.0 5.若复数z1,z2在复平面内对应的点关于y轴对称,且z1=2-i,则复数=(　　) A.-1 B.1 C.-i D.i 6.设复数z满足|-2i|=3,z在复平面内对应的点为(x,y),则(　　) A.(x-2)2+y2=9 B.(x+2)2+y2=9 C.x2+(y-2)2=9 D.x2+(y+2)2=9 7.已知z是复数,且p:z=i,q:z+∈R,则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.关于复数z的方程|z|+2z=13+6i的解是(　　) A.3+4i B.4+3i C.+3i D.3+i 二、多项选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 9.已知复数z1=a2-1+ai,z2=1+(a-1)i(a∈R),若z1-2z2为实数,则下列说法正确的有(　　) A.|z1|= B.z1z2=5+5i C.为纯虚数 D.在复平面内对应的点位于第三象限 10.已知复数z1=(i为虚数单位),下列说法正确的是(　　) A.z1在复平面内对应的点在第三象限 B.z1的虚部为-1 C.=4 D.满足|z|=|z1|的复数z在复平面内对应的点在以原点为圆心,半径为2的圆上 11.设f(θ)=cos θ+isin θ(i为虚数单位),则f2(θ)=cos 2θ+isin 2θ,f3(θ)=cos 3θ+isin 3θ,…,若f10(θ)为实数,则θ的值可能等于(　　) A. B. C. D. 三、填空题. 12.已知2i-3是关于x的方程2x2+px+26=0的一个根,则实数p=　　　　　.  13.(2025天津)i为虚数单位,则=　　　　.  14.已知复数z满足|z+2-4i|=2,则|z-1|的取值范围是　　　　　.  四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.求当实数m为何值或何取值范围时,复数z=+(m2-2m)i为 (1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数? 16.已知复数z满足|z|=1+3i-z,求的值. 17.设△ABC的两个内角A,B所对的边分别为a,b,复数z1=a+bi,z2=cos A+icos B,若复数z1z2为纯虚数,试判断△ABC的形状,并说明理由. 18.已知复数z1=m+ni,z2=2-2i和z=x+yi,设z=i-z2,m,n,x,y∈R.若复数z1所对应的点M(m,n)在曲线y=(x+2)2+上运动,求复数z所对应的点P(x,y)的轨迹C的方程. 19.已知复数z1满足(1+i)z1=-1+5i,z2=a-3+i,a∈R. (1)求z1的共轭复数; (2)若|z1-z2|<|z1|,求a的取值范围. 参考答案 1.A　∵z=i, ∴z的虚部为-.故选A. 2.C　∵=-i,∴在复平面上对应的点的坐标为-,-,位于第三象限.故选C. 3.C　i. 因为是实数,所以=0,解得m=-1,所以|m+2i|=|-1+2i|=.故选C. 4.B　∵i+i2+i3+i4=0,2 025=4×506+1,∴i+i2+i3+…+i2 025=506×(i+i2+i3+i4)+i=i.故选B. 5.C　因为z1=2-i,z1,z2在复平面内对应的点关于y轴对称,则z2=-2-i,所以=-i.故选C. 6.D　因为z在复平面内对应的点为(x,y),所以=x-yi,故-2i=x+(-y-2)i.因为|-2i|=3,所以=3,化简可得x2+(y+2)2=9.故选D. 7.A　显然,当z=i时,z+i+i+=1∈R,但当z+∈R时,若令z=a+bi(a,b∈R),则a+bi+=a++b-i∈R,所以有b=0或a2+b2=1,不一定有z=i.故p是q的充分不必要条件.故选A. 8.B　设z=x+yi(x,y∈R),则有+2x+2yi=13+6i,于是解得因为13-2x=≥0,故x≤,所以x=不符合要求,故z=4+3i.故选B. 9.AC　因为z1-2z2为实数,所以a-2(a-1)=0,解得a=2,所以z1=3+2i,z2=1+i,所以|z1|=,故选项A正确;z1z2=(3+2i)(1+i)=1+5i,故选项B错误;因为=(1+i)2=2i,所以=(2i)5=32i,故选项C正确;因为=3-2i,所以i,其对应的点,-在第四象限,故选项D错误.故选AC. 10.AB　复数z1==-=-=-1-i.z1在复平面上对应的点(-1,-1)在第三象限,故A正确;z1的虚部为-1,故B正确;(z1)4=(-1-i)4=[(1+i)2]2=(2i)2=-4,故C不正确;|z1|=,满足|z|=|z1|的复数z在复平面上对应的点在以原点为圆心,半径为的圆上,故D不正确.故选AB. 11.AC　f10(θ)=cos 10θ+isin 10θ,要使f10(θ)为实数,则sin 10θ=0,10θ=kπ(k∈Z),故θ=(k∈Z),当k=1时,θ=,当k=2时,θ=.故选AC. 12.12　∵2i-3是关于x的方程2x2+px+26=0的一个根,∴-2i-3是关于x的方程2x2+px+26=0的另一个根,则(2i-3)+(-2i-3)=-,得p=12. 13.　因为=-3i+1,所以=|-3i+1|=. 14.[3,7]　设z=x+yi(x,y∈R),∴z+2-4i=(x+2)+(y-4)i. ∵复数z满足|z+2-4i|=2, ∴=2,即(x+2)2+(y-4)2=4. ∴z在复平面内对应的点Z的集合是以(-2,4)为圆心,2为半径的圆. |z-1|表示的是点Z与点(1,0)之间的距离. 圆心与点(1,0)之间的距离d==5, 则|z-1|的取值范围是[d-r,d+r],即[3,7]. 15.解(1)若z为实数,则解得m=2. ∴当m=2时,z为实数. (2)若z为虚数,则虚部m2-2m≠0,且m≠0,解得m≠2且m≠0.∴当m的取值范围为(-∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞)时,z为虚数. (3)若z为纯虚数,则解得m=-3. ∴当m=-3时,z为纯虚数. 16.解设z=a+bi(a,b∈R),∵|z|=1+3i-z, ∴-1-3i+a+bi=0, 即解得 ∴z=-4+3i, ∴=3+4i. 17.解△ABC为等腰三角形或直角三角形.理由如下: 因为z1=a+bi,z2=cos A+icos B, 所以z1z2=(acos A-bcos B)+(acos B+bcos A)i. 又因为z1z2为纯虚数,所以 ① 由①及正弦定理,得sin Acos A=sin Bcos B, 即sin 2A=sin 2B.因为A,B为△ABC的内角, 所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=,即A=B或C=.故△ABC为等腰三角形或直角三角形. 18.解∵z1=m+ni,z2=2-2i, ∴z=i-z2=(m-ni)i-(2-2i)=(n-2)+(m+2)i. ∴x+yi=(n-2)+(m+2)i. ∴x=n-2,y=m+2,即n=x+2,m=y-2. 又点M(m,n)在曲线y=(x+2)2+上运动, ∴x+2=[(y-2)+2]2+,整理上式,得点P(x,y)的轨迹C的方程为y2=2x-1. 19.解(1)∵(1+i)z1=-1+5i, ∴z1==2+3i, ∴z1的共轭复数=2-3i. (2)z1-z2=2+3i-(a-3+i)=5-a+2i,a∈R. 若|z1-z2|<|z1|,则, 化为(a-2)(a-8)<0,解得2<a<8, ∴a的取值范围为(2,8). 5 学科网（北京）股份有限公司 $