第七章 复数 章末复习卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本卷为高中数学复数单元复习卷，以复数概念、运算及几何意义为核心，融合棣莫弗公式、欧拉公式等拓展内容，结合量子计算情境，梯度覆盖基础巩固与创新应用，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数坐标、虚部、纯虚数条件|基础概念直接应用，如第1题复平面坐标转化| |多选|3/18|复数向量、象限位置、欧拉公式|跨知识综合，如第11题结合量子计算情境考查数学眼光| |填空|3/15|实数条件、模长计算|简洁考查核心技能，如第14题复数模的最值| |解答|5/77|三角形式、方程根、最小值问题|分层设计，如第18题应用棣莫弗定理，体现数学思维与语言表达|

第七章 复数章末复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由复数的几何意义可得. 2．已知复数，则复数的虚部为（   ） A．i B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用虚数单位的幂次周期性化简复数，再根据复数虚部的定义确定结果. 【详解】虚数单位的幂次具有周期性，周期为4，对任意， 满足： ，，，， 则，故，因此， 根据复数虚部的定义：形如的复数，虚部为实数，可得的虚部为1. 3．已知，，（，），若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由，得，. 4．若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C．0 D．10 【答案】B 【详解】， 因为复数为纯虚数，所以，解得. 5．在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义，构造方程得解. 【详解】∵复数对应的点在虚轴上，∴，∴或. 故选：A. 6．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于y轴的对称点为B，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】向量对应的复数为，点A的坐标为， 点A关于y轴的对称点为B，点B的坐标为 向量对应的复数为． 7．已知复数满足，则实数的可能取值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】设复数(其中)，则，将代入，整理得：， 即，所以，得， 将代入第一个方程得： ，即， 两边平方得：，所以， 因为，且分母不能为0，所以，即， 所以从判断选项来看，的可能取值只有. 8．棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由棣莫弗公式，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数，（x，），在复平面内，，对应的向量分别为，，O为坐标原点，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】利用共轭复数及复数模的意义求解判断A；利用复数乘法及模的意义求解判断B；利用向量共线的坐标表示判断C；确定点的轨迹并求出最大值判断D. 【详解】对于A，，则，A正确； 对于B，，， 而，因此，B正确； 对于C，，由，得，C错误； 对于D，由，即， 得点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 表示点与点的距离，该距离最大值为，D正确. 10．已知复数，其中为实数，为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若为虚数，则或 B．若复平面内表示复数的点位于第二象限，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】BC 【分析】根据题意，根据复数的定义，以及复数的几何意义，以及复数的运算形式，逐项判定，即可求解. 【详解】由复数，其中为实数，为虚数单位， 对于A中，若为虚数，则满足，解得且，所以A不正确； 对于B中，若复平面内表示复数的点位于第二象限，则满足， 解得，所以B正确； 对于C中，若，可得，解得，所以C正确； 对于D中，当且，可得为虚数，为虚数，而，所以，所以D不正确. 故选：BC. 11．在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础．其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（   ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第一象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】ABC 【分析】对于A，根据题意可得，即可得虚部；对于B，根据题意可得，结合复数的几何意义分析判断；对于C，根据题意结合诱导公式分析判断；对于D，由题意可得，结合面积公式分析判断. 【详解】对于A，因为，所以的虚部为，故A正确； 对于B，因为， 所以在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B正确； 对于C，因为，， 所以，即，故C正确； 对于选项D：因为，， 则在复平面内分别对应点， 可得，， 则面积为， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．复数（其中为虚数单位）是实数，则实数__________. 【答案】 【详解】由复数为实数，则，得. 13．若，则________. 【答案】 【分析】根据复数三角形式的运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】因为， 根据复数的运算法则，可得. 故答案为：. 14．已知复数，若复数满足，则的最大值为______. 【答案】 【分析】由题意可设，根据辅助角公式及正弦函数性质计算求解即可. 【详解】若复数满足，可设， 则， 所以 ，其中， 由正弦函数性质可知，当时，， 此时有最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知是虚数单位，复数． (1)当复数为实数时，求的值； (2)当复数为纯虚数时，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据复数为实数得出方程解出即可； （2）根据复数为纯虚数得出方程组解出即可. 【详解】（1）由复数， 当复数为实数时，，解得：或. （2）由复数， 当复数为纯虚数时，，解得：. 16．当实数取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件？ (1)位于第二象限； (2)位于第四象限． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）写出复数对应的点的坐标，由该点位于第二象限，列出不等式组，解得的范围． （2）写出复数对应的点的坐标，由该点位于第四象限，列出不等式组，解得m的范围． 【详解】（1）该复数对应的点的坐标为， 当时，该点位于第二象限， 由，得，解得， 则当时，复平面内表示复数的点在第二象限． （2）该复数对应的点的坐标为， 当时，该点位于第四象限， 由，得，解得， 则当时，复平面内表示复数的点在第四象限． 17．已知复数． (1)若，求m，n的值； (2)若z是方程的一个复数根，求m，n的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据复数相等的条件，列出关于的二元一次方程组求解； （2）解一元二次方程求出复数根，分两个根分别讨论，分别利用复数相等构造方程组求解． 【详解】（1）已知复数，则 ，解得． （2）,解得， 若，则，解得； 若，则，解得． 18．在复平面内，复数对应的向量为(O为坐标原点)，设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，此为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理: ，，则.由棣莫弗定理导出了复数乘方公式: . (1)将复数表示为三角形式; (2)根据复数乘方公式，化简: 【答案】(1). (2) 【分析】（1）求出的值即可得答案； （2）由题意可得，再利用诱导公式求解即可. 【详解】（1）由题意得，当时， ， 故； （2） ， 故. 19．已知复数满足，求的最小值． 【答案】最小值为4． 【分析】方法一，设复数的代数形式，利用模的代数运算公式，利用的取值范围，求模的最小值； 方法二，利用复数模的几何意义，转化为圆外的点与圆上点的距离问题. 【详解】方法一  设，则， 即．． ． 由，得． ，． ． 当时，取得最小值，最小值为4． 方法二  由复数及其模的几何意义知， 满足，即的复数所对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 而的几何意义是：复数对应的点与点的距离． 由圆的知识可知的最小值为． 又，所以的最小值为． 2 / 9 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 复数章末复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则复数的虚部为（   ） A．i B． C．1 D． 3．已知，，（，），若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 4．若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C．0 D．10 5．在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 6．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于y轴的对称点为B，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 7．已知复数满足，则实数的可能取值为（   ） A．2 B． C．1 D． 8．棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数，（x，），在复平面内，，对应的向量分别为，，O为坐标原点，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则的最大值为 10．已知复数，其中为实数，为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若为虚数，则或 B．若复平面内表示复数的点位于第二象限，则 C．若，则 D．若且，则 11．在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础．其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（   ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第一象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．复数（其中为虚数单位）是实数，则实数__________. 13．若，则________. 14．已知复数，若复数满足，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知是虚数单位，复数． (1)当复数为实数时，求的值； (2)当复数为纯虚数时，求的值. 16．当实数取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件？ (1)位于第二象限； (2)位于第四象限． 17．已知复数． (1)若，求m，n的值； (2)若z是方程的一个复数根，求m，n的值． 18．在复平面内，复数对应的向量为(O为坐标原点)，设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，此为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理: ，，则.由棣莫弗定理导出了复数乘方公式: . (1)将复数表示为三角形式; (2)根据复数乘方公式，化简: 19．已知复数满足，求的最小值． 2 / 9 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $