第39讲 专题 球的切接问题 讲义-2027年高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦球的切接问题核心考点，按补形法、线面垂直、面面垂直等15个知识点系统梳理，通过基础回顾、题型分类（正棱锥型等七类）、例题精讲的教学流程，帮助学生构建空间几何问题的解题框架，突破高考高频难点。 讲义以“数学眼光”培养空间观念，“数学思维”提升推理能力，如正棱锥型中通过补形构造正方体，线面垂直型用勾股定理建立半径方程。设置分层例题训练，配合方法总结，确保高效突破，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第39讲 专题 球的切接问题 题型一 正棱锥型 7 题型二 线面垂直型 14 题型三 面面垂直型 20 题型四 二面角型 29 题型五 其他型（圆台棱台等外接球） 38 题型六 最值问题 45 题型七 内切球 52 【基础回顾】 知识点一：正方体、长方体外接球（补形） 1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 3、补成长方体 （1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． （2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体，且正方体的棱长，如图3所示． （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 图1 图2 图3 图4 知识点二：正四面体外接球（可补形） 如图，设正四面体的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为． 知识点三：对棱相等的三棱锥外接球（补形） 四面体中，，，，这种四面体叫作对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题． 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 知识点四：直棱柱外接球（线面垂直型） 如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 图1 图2 图3 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出 知识点五：直棱锥外接球（线面垂直型） 如图，平面，求外接球半径． 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②． 知识点六：正棱锥与侧棱相等模型（正棱锥型） 1、正棱锥外接球半径： ． 2、侧棱相等模型： 如图，的射影是的外心 三棱锥的三条侧棱相等 三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点． 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出． 知识点七：侧棱为外接球直径模型 方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形． 知识点八：共斜边拼接模型 如图，在四面体中，，，此四面体可以看成由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径． 知识点九：垂面模型（面面垂直型） 如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 图1 图2 知识点十：最值模型 这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等 知识点十一：二面角模型 如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 知识点十二：坐标法 对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从烦琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度． 知识点十三：圆锥圆柱圆台模型 1、球内接圆锥 如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断． 由图、图可知，或，故，所以． 2、球内接圆柱 如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足． 3、球内接圆台 ，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 知识点十四：锥体内切球 方法：等体积法，即 知识点十五：棱切球 方法：找切点，找球心，构造直角三角形 题型一 正棱锥型 【例题精讲】 1．已知轴截面为正三角形的圆锥的表面积与球的表面积相等，则圆锥的体积与球的体积的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，结合表面积公式，可得圆锥底面半径r与球的半径R的关系，代入体积公式，整理变形，即可得答案. 【详解】设圆锥的底面半径为r，球的半径为R， 由题意，圆锥的母线长为，高为， 则圆锥的表面积，球的表面积， 所以，解得， 则圆锥的体积，球的体积， 所以圆锥的体积与球的体积的比. 2．已知正四棱锥外接球的表面积为，则正四棱锥的体积为（    ） A．12 B．24 C．48 D．56 【答案】C 【分析】设顶点在底面上的射影为，先求得球的半径为 再分球心在高上和两种情况分别求出高,进而得棱锥的体积. 【详解】如图，设四棱锥的顶点在底面上的射影为， 则为四棱锥的高． 四棱锥为正四棱锥， 点为底面正方形的中心，且平面． 由正四棱锥的对称性可知，球心在直线上， ． 设球的半径为 球的表面积为 ，解得． 又，即． 当球心在高上时，， 底面的面积为 正四棱锥的体积． 当球心不在高上时，， 正四棱锥的体积． 故C正确． 3．已知三棱锥的顶点均在球的球面上，且球心在棱上，若球的表面积为，则三棱锥的体积最大值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先由球的表面积求出半径，结合球心在上可知为直径、为直角三角形，分别求出的最大面积和点到平面的最大距离，代入三棱锥体积公式即可得最大值. 【详解】设球的半径为， 则有，解得， 又因为球心在棱上， 所以为直径且， 所以为直角三角形，且, 要使棱锥的体积最大， 则的面积最大，且点到平面的距离也要最大， 当平面时，最大，此时, 又, 当且仅当时，等号成立； 设三棱锥的体积为， 所以， 所以. 4．一个正六棱锥的高为，底面边长为，则它的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出示意图，确定球心的位置，设外接球的半径为，构造关于的等式，解出的值，结合球体表面积公式可求得结果. 【详解】在正六棱锥中，设点为正六边形的中心，连接、， 易知为等边三角形，所以，， 由正棱锥的几何性质可知，外接球球心在直线上， 设外接球的半径为，则， 由勾股定理可得，即，解得， 故该正六棱锥的外接球的表面积为. 5．三棱锥满足，且，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由底面三角形的已知边角求出其外接圆半径，结合侧棱相等得到高，再利用球心在高的线上且到顶点和底面顶点距离相等求出球半径，最后计算表面积. 【详解】设点在底面的投影为，因为， 所以点是的外心，则，且底面，球心在上， 由正弦定理得外接圆的直径，解得半径， 即，则， 设，外接圆半径为，则， 则，且， 则，解得，则外接球半径， 则三棱锥外接球的表面积为. 6．已知正四面体各条棱的中点都在球的表面上，则球的表面积与该正四面体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令正四面体的棱长为6，根据给定条件，结合正四面体的结构特征确定球心的位置，再利用球面性质求出球半径，进而求出它们表面积之比. 【详解】取正四面体各棱中点，如图， 可得平面平面，且，作平面于点，交平面于， 则为中点，且球心是的中点，即，令正四面体的棱长为6， ，，， 而，因此球的半径， 所以球的表面积与该正四面体的表面积之比为. 故选：C. 7．正四棱锥的体积为8，，若该四棱锥的顶点均在一个球面上，则这个球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，由体积可算得正四棱锥的高，再由勾股定理可求得外接球的半径，进而求得其表面积. 【详解】如图，设为外接球球心，底面于点，设， 由正四棱锥的体积为8，即，解得，则， 又，所以，， 在中，，即，解得， 所以外接球的表面积为. 故选：C. 8．已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由棱台的体积公式可得棱台的高，再求棱台的外接球体积即可. 【详解】由题可知，，设棱台高为， 则，解得，    根据正四棱台的特性，正四棱台的外接球半径即为四边形外接圆半径， 又，，所以， 则，所以为直角三角形， 故为四边形外接圆直径， 正四棱台的外接球半径，体积. 故选：B. 9．已知正四棱台，，，侧棱与底面所成的角为，则此正四棱台外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出正四棱台的高，设O距离下底面距离为x，由题意可得，解方程即可知正四棱台下底面中心即为球心，求出外接球的半径，再由球的表面积公式即可得出答案. 【详解】由题意可知，正四棱台的高为， 其外接球的球心O在正四棱台的高上，如图所示. 不妨设O距离下底面距离为x，则， 解得，即正四棱台下底面中心即为球心， 则外接球的直径为，表面积为， 故选:C. 10．已知一个正四棱锥的底面边长为，高为，若该四棱锥的顶点都在球的球面上，则球的体积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，利用正四棱锥的特征，过作棱锥的高，过球心且交于与的交点，连接，设球的半径为，在中，利用勾股定理构建方程，即可求出球的半径，求得球的体积. 【详解】如图，正四棱锥外接于球， 过作棱锥的高，过球心且交于与的交点， 连接，设球的半径为， 则，， 且， 所以， 即，解得， 所以球的体积为.    故选：A 题型二 线面垂直型 【例题精讲】 1．已知三棱锥，⊥平面，，=90o，，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积是（     ） A．20 B．18 C．16 D．12 【答案】A 【分析】根据已知体积求出三棱锥各棱长，利用三棱锥三条棱两两垂直的特点将其补为长方体，通过长方体体对角线求出外接球半径，进而计算外接球表面积. 【详解】已知，，设，则， 由题意，又平面， 所以，已知， 解得，即，得， 因此， 将三棱锥补成一个长方体，如图，则为三棱锥外接球的直径， 在中，，外接球半径， 则，外接球表面积. 2．一个三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，且长度分别为，，，已知该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，把三棱锥补成一个长方体，结合长方体的对角线就是球的直径，求得外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】三棱锥中，共顶点S的三条棱两两相互垂直，且其长分别为， 因为三棱锥的四个顶点同在一个球面上， 则三棱锥是长方体的一个角，可扩展为长、宽、高分别为的长方体， 三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，长方体的对角线就是球的直径， 设长方体的外接球的半径为，可得 所以外接球的半径为，可得外接球的表面积为． 3．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，与均为以为斜边的直角三角形．若该三棱锥的外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，利用球的表面积公式求出外接球半径，结合三角形的性质和勾股定理求出，结合余弦定理、三角形面积公式及三棱锥体积公式计算求解． 【详解】 记三棱锥外接球的半径为，则，解得， 与均为以为斜边的直角三角形， 中点为外接球球心，故， 在中，，由勾股定理得： ， 同理可得， 取中点，连接， 为等边三角形，边长为2，则，， 中，，故； 又，平面， 故平面，则三棱锥体积为， 中，， 由余弦定理得：， 则， ， ． 4．在矩形中，，，沿矩形对角线将折起得到四面体，则四面体的外接球体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用矩形折叠后两个直角三角形共斜边的性质，确定外接球球心为BD中点，计算半径后代入球体积公式求解. 【详解】因为四边形为矩形，故，沿折起得到后，， 因此与均为斜边为的直角三角形. 设中点为，可得， 即为四面体的外接球球心，外接球半径. 所以，故， 所以外接球体积. 5．已知三棱锥，平面，，，，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合题意与棱锥的体积公式得到，，再作图确定球心的位置，利用勾股定理求解球的半径，最后求解表面积即可. 【详解】设，则，， 所以的面积， 而三棱锥体积． 所以解得，即，， 如图，取中点，过作平面的垂线，即平面， 所以，所以球心在直线上， 连接，，所以（为外接球半径）， 取中点，连接，得到， 又因为，所以四边形为矩形， 所以，， 由勾股定理得， 得到表面积． 6．在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积与体积分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】将三棱锥补成长方体，计算出长方体的体对角线长，即为该三棱锥外接球的直径，再结合球体表面积与体积公式求解即可. 【详解】因为，，则，故. 又平面，，可将三棱锥补成长方体，如图： 所以三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线长. 设三棱锥的外接球半径为， 则，故. 因此该球的表面积为， 体积为. 7．在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为等边三角形，，，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取中点，判断点到三棱锥的距离都相等，得到外接球半径，代入求解即可. 【详解】 因为为等边三角形，所以. 在等腰中，，则. 在中，，，， 则，所以. 同理可得，. 取中点，连接，. 在中，有；在中，有， 则点到三棱锥的距离都相等，则点即为三棱锥的外接球的球心， 显然，的外接球的半径为. 所以球的表面积. 8．已知三棱锥的体积为，．若该三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先找到的外接圆圆心位置，结合三棱锥的体积确定外接球半径及外接球球心的位置，并利用勾股定理建立关于的方程求解，最后用球的表面积公式计算求解. 【详解】 已知，，所以的面积. ，直角三角形外接圆圆心为斜边中点， 设中点为，则. 因为三棱锥体积，代入得，， 又，为中点，由等腰三角形三线合一得， 且 ， 因此平面，即在底面投影为. 设，球半径为，则. ，， 联立得，解得，因此. 即球的表面积. 9．如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，由及正弦定理，得外接圆半径， 在三棱锥中，由平面，得三棱锥外接球球心在线段的中垂面上， 因此三棱锥外接球球心到平面的距离， 所以三棱锥外接球半径，该球的表面积. 10．已知三棱锥，平面，，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理求出的外接圆半径，再由线面垂直关系求出外接球半径，可得其表面积. 【详解】在中，设其外接圆半径为， ，，， 根据正弦定理，所以. 因为平面，所以外接球的球心到平面的距离. 设外接球半径为R，根据勾股定理，代入解得 ， 因此外接球表面积. 题型三 面面垂直型 【例题精讲】 1．在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据面面垂直的性质，结合直角三角形的性质判断球心的位置，进而列方程求得半径，再利用球的表面积公式进行求解即可. 【详解】因为，且， 所以， 所以是以为斜边的等腰直角三角形， 设的中点为，连接， 因为是边长为2的等边三角形， 所以，且. 又因为二面角的大小为， 所以平面平面， 又平面平面，所以平面， 所以三棱锥外接球的球心在上，设为， 如图，连接，设球的半径为， 所以有， 所以三棱锥外接球的表面积为. 2．四面体ABCD中，平面平面，，，，，则该四面体外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】1.本题的核心是利用面面垂直的性质和外接球的球心判定来求解. 2.在直角三角形中，斜边即为外接圆的直径，由已知条件及勾股定理计算出斜边的长. 3.结合,可推出外接圆的直径也是，最终确定球心位置，求出球体半径，进一步求出球体的体积. 【详解】如图，设的外心为，过点作于点，连接、、， 取的中点，连接，则. 因为面面，面面，平面， 所以，面， 因为平面，所以. 在直角三角形中，，，,得. 在中，由正弦定理得，，解得，. 在直角三角形中，，则， 在直角三角形中，由面积公式得，，解得，， 则，. 在直角三角形中，则， 在直角三角形中，则， 即， 所以，点为该四面体外接球的球心，故其体积为. 【点睛】方法归纳： 1.对于含面面垂直的四面体外接球问题，通常是先找出其中一个面的外接球直径，再利用面面垂直的性质确定球心的位置. 2.外接球的球心到四面体各个顶点的距离相等，是确定球心位置的关键. 易错归纳： 1.容易忽视面面垂直这个条件，错误地以的外接圆作为球的大圆. 2.球体的体积公式记错，混淆了半径与体积的关系式. 3．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面是等边三角形，且侧面底面，则四棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为，分别过作两个平面的垂线交于点，点即为该球的球心，求出长度，由勾股定理可求出四棱锥外接球的半径，再由球的表面积公式可得出答案． 【详解】 如图，在四棱锥中， 取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为， 分别过作两个平面的垂线交于点，则由外接球的性质知， 点即为该球的球心，连接并延长，交于，则是线段的中点， 连接，则四边形为矩形， 在等边中，可得，则，即， 在正方形中，因为，可得， 在中，，即， 所以四棱锥外接球的表面积为． 4．如图，在底面为正方形的长方体中，为底面ABCD内的一个动点（包括边界），且满足，若四面体的体积的最小值为，则长方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得点的轨迹是平面ABCD内以点为圆心、圆心角为且半径为1的圆弧，分析可得点到BD的距离的最小值为，进而可得面积的最小值为，再根据棱锥的体积公式结合题设可求得，进而求解即可. 【详解】由，则点的轨迹是平面ABCD内以点为圆心、圆心角为且半径为1的圆弧， 如图，连接AC交BD于点四边形ABCD为正方形，为AC的中点，且， ． 设点到BD的距离为，则， 面积的最小值为． 平面，解得， 设长方体的外接球的半径为， ， 长方体的外接球的表面积为． 5．在三棱锥中，为正三角形，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意证明三棱锥外接球的球心即正三角形的中心，计算得解. 【详解】如图，取的中点，连接， 因为为正三角形，所以，又二面角的平面角为， 所以平面，则， 设为正三角形的中心，则， 因为，所以，又， 所以， 所以，则，即为三棱锥外接球的球心， 因为，所以， 所以三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积为. 6．在四面体中，平面平面，，若点均在球的球面上，且，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取AB的中点，由条件可得点为的外心，由平面平面，可得四面体的外接球球心为的外心，利用正弦定理即可求得其半径，进而求出答案. 【详解】如图，取AB的中点M，因，则点为的外心， 又因平面平面，平面平面， 故四面体的外接球球心必在平面内，且是的外心， 易得平面，故有， 在中，，，由正弦定理，，则， 故四面体的外接球的表面积为. 7．四面体中，平面平面，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由正弦定理求出的外接圆半径，作于点，求得，证明，先后求得，得，求出，进而，推得点为该四面体外接球的球心，即可求得其表面积. 【详解】如图，设的外心为点，过点作于点，连接， 取边的中点为点，连接，则. 因平面平面平面平面， 平面， 则平面又平面故. 因为，，所以， 在中，由正弦定理，，解得， 在中，，则， 在中，由面积相等可得，解得， 则，， 在中，，在中，， 即，故点为该四面体外接球的球心，故其表面积为. 8．在三棱锥中，，其余棱长均为2，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，确定球心的位置，利用球的截面圆性质求出球半径，进而求出球的表面积. 【详解】在三棱锥中，都是边长为2的正三角形，取中点，连接， 则，，是二面角的平面角， 又，则，即，而， 平面，因此平面，令的外心分别为， 则平面，，同理，四边形是矩形， ，而，则， 所以球的表面积为. 故选：A 9．在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点，，，都在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，由直角三角形性质可得，则点就是球心，再利用线面垂直的性质定理可得平面，从而可结合三棱锥体积公式计算即可得. 【详解】如图，取的中点，连接，，因为，， 所以，因此点就是球心，又， 故是等腰直角三角形，所以， 因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 设球半径为，则，，则，， 所以三棱锥的体积， 所以，所以球的表面积为.    故选：A. 10．已知三棱锥P-ABC中，平面平面，且平面ABC是边长为的等边三角形，，，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（   ） A．52π B．39π C．26π D．13π 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，根据题设中的条件求出外接球球心的坐标，求出半径即可得表面积. 【详解】令是三棱锥P-ABC外接球的球心，是在平面上的射影.，分别为的中点，则∥. ∵，∴ . ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面 ∵是等边三角形，∴，是的重心. 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. ∵，，则， ∴，. 设，由,得， 化简得解得. ∴三棱锥外接球的表面积为. 故选：A. 题型四 二面角型 【例题精讲】 1．在三棱锥中，，均为等边三角形，，，则该三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，，可得，分别取与的外心，，过点，分别作两平面的垂线，两垂线交于点，则点为三棱锥外接球的球心，利用勾股定理求得三棱锥外接球的半径，得解. 【详解】如图，取的中点，连接，， 因为、所以，， 所以，又，所以. 分别取与的外心，，易知点，分别在，上， 过点，分别作两平面的垂线，两垂线交于点，则点为三棱锥外接球的球心. 由已知可得，，连接，易得， 所以，则，则， 所以在中，，即三棱锥外接球的半径为， 所以该三棱锥外接球的表面积为. 2．已知多面体，面，四边形为矩形，，且，则多面体外接球的体积与此多面体的体积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】多面体可以看成是以为顶点，以为底面的四棱锥，利用体积公式，求得，再利用球的截面圆的性质，求得，结合体积公式，求得外接球的体积为，进而得到答案. 【详解】由多面体可以看成是以为顶点，以为底面的四棱锥， 其中为矩形，且， 因为面，且平面，所以， 又因为，且，平面， 所以平面，即三棱锥的高为， 在直角中，因为，可得， 所以多面体的体积为， 因为平面，且四边形是矩形，所以平面，且， 所以和是垂直于底面的两条平行线段， 该几何体的外接球球心底面上的射影是的外心， 球心到底面的距离等于和长度平均值的一半， 因为，所以， 在直角中，斜边为，所以外心是斜边的中点， 底面外接圆半径为， 设外接球的半径为，可得， 所以外接球的体积为， 所以多面体外接球的体积与此多面体的体积之比为. 3．在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形作出二面角的平面角，利用几何知识可求，，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心，则三棱锥的外接球的球心在直线上，根据求解半径． 【详解】如图1，过作垂足为，取的中点，连接， ∵，∴，， 又，，则，， 中，， 过作，且=，连接，则， ∴，， 根据题意可得为二面角的平面角， 即，则， 由题意可得，则，则， 如图2，∵，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心， 则三棱锥的外接球的球心在直线上，连接 ，则 ∴△的外接圆半径，则 设三棱锥的外接球的半径为，则 即，解得 则表面积为.    4．在三棱锥中，为边长为2的等边三角形，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取AB中点D，先证平面平面，再利用球心到两垂直平面的垂线与的重心 、的外心H的关系，通过勾股定理求出外接球半径的平方，进而得到球的表面积. 【详解】取AB中点D，连接PD，CD，由，得，且， 又为边长为2的等边三角形，所以，又， 所以，所以， 又，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 设球心为O，的重心为G，等边三角形的重心与外心重合，的外心为H， 由球的性质可知平面，平面， 设外接圆的半径为，则， 在中，，即，得， 所以，，记球的半径为R， 则，球的表面积为． 5．在三棱锥中，，平面与平面夹角的余弦值为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二面角的大小求出的值，证明成立，则三棱锥为正方体的一个角，据此求出外接球的半径便可得到表面积． 【详解】取的中点，连接， 因为， 所以， 所以就是平面与平面的夹角， 设，则，则， 即，解得， 所以，即， 同理，，将三棱锥放置在如图的正方体中， 由正方体的外接球的直径为正方体的对角线长知， 三棱锥外接球的直径， 所以三棱锥外接球的表面积． 故选：B． 6．已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作辅助线，找到二面角的平面角，利用相关线段长度，结合二面角的余弦值求出的长度，再利用勾股定理求出正三棱锥的高，设外接球半径为，根据外接球的性质，结合勾股定理列出关于的方程，求解出，最后利用球的表面积公式计算出外接球的表面积. 【详解】如图所示，正三棱锥，作平面于点，则为正三角形的中心， 取的中点，连接，设外接球心为，则在上，连接.    由已知的边长为6，由于，即二面角的平面角，则. 因为，所以， 所以，. 设外接球的半径为，则，， 又，， 所以，解得. 故正三棱锥外接球的表面积. 故选：C. 7．如图，在平面四边形中，，是边长为3的正三角形．将该四边形沿对角线折成一个大小为的二面角，则四面体的外接球的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，取的中点，找到的外心，然后平面，根据二面角的平面角为找到球心，然后计算长度求出，最后根据球的体积公式计算即可. 【详解】如图，取的中点，连接，    设为正的外心，则点在上，且． 设为四面体的外接球球心，则平面． ，则为的外心，平面． 二面角的大小为，则直线与平面成角，． 是边长为3的正三角形，则，． 在中，． 在中，，则， 四面体的外接球半径，. 故选：B． 8．在三棱锥中，，若三棱锥的外接球表面积为，则二面角的大小为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，作出球心，利用外接球半径，外接圆半径，可求得即可得到二面角的大小. 【详解】设外接圆圆心分别为，外接圆半径为，三棱锥外接球半径为， 过分别作平面，平面的垂线，交点即为三棱锥的外接球心， ，，即， 所以在中点处，， ，， ，且在垂直平分线上， 所以， 三棱锥的外接球表面积为， ，， 又平面，平面，所以， 则，所以， 又平面，平面，所以， 又，所以共面， 所以就是二面角的平面角， 或. 故选：A. 9．如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，设外接圆的圆心为，设三棱锥外接球的球心为，连接，，设，过点作的平行线，与的延长线交于点，连接，利用题中条件分别求得 ，,4，进而，，由，列式，解得，再根据球的表面积公式即可得答案． 【详解】如图，设外接圆的圆心为， 因为都是等腰三角形，，， 所以，是的中点． 设三棱锥外接球的球心为，连接，，则平面． 过点作交的延长线于点． 设在平面内的射影为，连接， 因为二面角的大小为, 所以． 因为是等腰三角形，且， 所以， 所以 ． 过点作的平行线，与的延长线交于点，连接， 则,4，， ． 设，则由，可得， 解得， 故三棱锥外接球的表面积为． 10．在菱形中，已知，，沿将折起，得到三棱锥，使二面角的余弦值为，若球与三棱锥的各条棱均相切，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点为，连接，确定即为二面角的平面角，然后根据余弦定理求出，进而求出球的半径和表面积. 【详解】在菱形中，已知，，都是等边三角形， ，取的中点为，连接，则. 所以即为二面角的平面角，. 所以. 由余弦定理得. 所以，因此三棱锥所有棱长：， 所以三棱锥为正四面体. 所以棱切球的半径为，那么球的表面积为. 题型五 其他型（圆台棱台等外接球） 【例题精讲】 1．若一个圆锥的底面半径r与一个球的半径相等，且这两个几何体的体积相等，则该圆锥的高为（   ） A．2r B． C．4r D． 【答案】C 【详解】设圆锥的高为，则，解得. 2．已知圆台的上、下底面圆半径分别为2，，高为3，若该圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用圆台的结构特征，结合球的截面圆性质列式求出球半径，再求出球的表面积. 【详解】设球的半径为，球心到上底面圆距离为，而球心在圆台两底面圆圆心确定的直线上， 则球心到下底面圆距离为，因此，解得， 所以球O的表面积为. 3．已知一圆台的上､下底面半径分别为2，4，体积为，则该圆台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆台的体积公式求出该圆台的高，进而求出其外接球的半径即可. 【详解】由题可知，圆台上底面面积，下底面面积， 设该圆台的高为，外接球的半径为， 则体积，解得， 可得解得 所以该圆台的外接球的表面积为. 4．如图，在三棱锥中，平面平面，和都是等腰三角形，且，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过面面垂直确定球心的大致位置，在直角三角形中利用勾股定理可求球的半径，结合表面积公式可得答案. 【详解】如图，由题可知，外接圆的圆心O是的中点. 设三棱锥外接球的球心为，连接，则平面. 过A作，与的延长线交于点，则由平面平面，可得平面. 因为，，所以，. 取的中点E连接，，可得，， 则. 设，连接，，则，解得， 故三棱锥外接球的表面积为. 5．将一个半径为 1 的铁球熔化后， 浇铸成一个正四棱台形状的铁锭， 若这个铁锭的上、下底面边长分别为 1 和 2 ， 则它的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用球和正四棱台的体积相等直接计算即可． 【详解】球的体积为，设铁锭的高为，则正四棱台的体积为， 由球和正四棱台的体积相等，可得，解得. 6．已知正四棱台， ，则该正四棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由正四棱台的体积可得正四棱台的高，再根据球的几何性质可得球的半径，进而可得球的表面积. 【详解】因为， 所以结合体积公式，可得正四棱台的高， 记上下底面的中心分别为，， 所以该正四棱台的外接球球心在直线上， 设，外接球半径为，则 则，解得，， 所以外接球表面积. 7．已知底面半径为1，体积为的圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设该圆锥的高为，所以，解得， 设球的半径为，由题意知，解得， 所以球的表面积为． 8．已知直四棱柱的侧面积为，在等腰梯形中，，，，若异面直线与所成角的余弦值为，则该直四棱柱外接球的表面积为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找出余弦值，建立关于底面边长的方程，解出其关系.再结合直四棱柱侧面积公式，列方程解出侧棱长，然后算出等腰梯形的高，找到底面等腰梯形外接圆的圆心，求出外接球的半径，最后用球的表面积公式计算结果 【详解】因为，所以异面直线与所成角等于，故. 设，由得，设直四棱柱侧棱长为. 在中，，平方化简得. 因为直四棱柱侧面积，代入、 得 整理得，解得，舍去负根， 因此，即，. 易得等腰梯形的高， 故可在平面建立坐标系， 设等腰梯形四个顶点坐标， 由对称性可知外接圆圆心在轴上，设为，，即，解得，因此. 直四棱柱外接球半径满足，因此外接球表面积为 9．如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先建立空间直角坐标系，求出上下底面正方形的顶点坐标、中心坐标，再设外接球球心，利用球心到上下底面顶点距离均为半径列方程，解出半径后计算外接球表面积. 【详解】取下底面正方形的中心为坐标原点，建立如图所示的坐标系， 因为下底面边长为，几何体的高为， 故，，， ，，，，. 设几何体外接球的球心为，外接球半径为. 在中，， 在中， 则，解得. 所以. 故该几何体的外接球的表面积 故选：B. 10．已知圆台的母线长为l，半径为R的球C与圆台的上、下底面及母线都相切，且，则圆台与球C的体积之比为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】设圆台上底面半径为，下底面半径为，且，根据题意求得，根据圆台、球的体积公式计算即可求解. 【详解】如图，设圆台上底面半径为，下底面半径为，且， 设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心一定在的中点处， 设球与母线切于点，所以，所以， 所以与全等，所以，同理， 圆台的，母线长， 在中，，即， 所以，故， 因为， 球的体积为， 圆台与球C的体积之比为. 11．已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线与三棱锥外接球直径的关系，求出外接球半径，进而求出外接球的表面积. 【详解】将三棱锥补成长方体，如图， 设长方体的长、宽、高分别为， 由于三棱锥的棱长满足，，， 根据长方体面对角线的性质，可得，即， 所以长方体的体对角线长为，因此三棱锥的外接球直径，所以， 所以外接球的表面积. 故选：A 题型六 最值问题 【例题精讲】 1．一个高为，上、下底面半径分别是1cm和4cm的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则当该铁球体积最大时，该铁球的体积与圆台的体积的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出圆台轴截面，分析可知当球与相切时，其体积最大，再计算出球的体积和圆台的体积即可得比值. 【详解】如图，作出圆台的轴截面，可知当球与相切时体积最大， 由切线性质可得，作，垂足分别为， 可知，所以，又， 所以，则， 设球的半径也即圆的半径为，由 可得，解得，因为， 所以该球是存在的，此时球的体积为， 圆台的体积为，所求比值为. 2．已知圆柱的轴截面是周长为24的矩形，其上下底面的圆周都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设该圆柱高为，底面半径为，则可得、间关系，再表示出圆柱的侧面积后，利用二次函数性质可得取最大时的、，从而可求出此时该球的半径，即可得其体积. 【详解】设该圆柱高为，底面半径为，则，即有， 圆柱的侧面积， 故当且仅当、时，取最大， 此时圆柱的外接球半径为， 则该球的体积. 3．四面体的各顶点均在同一个球面上，且，当四面体的体积最大时，该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先取中点O，分析、与的垂直关系，确定四面体体积的表达式，因为四面体体积最大时，需高最大，所以当平面平面时，体积取得最大值，建立空间直角坐标系，求出外接球的球心坐标，计算外接球半径，最后利用球的表面积公式求解. 【详解】取的中点为O，连接， 由于，故， 平面，故平面， 设，则，， 设，则四面体的体积， 要使得四面体的体积最大，必有，即此时平面平面， 则此时，令，， 则，当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故时，取得最大值，此时取得最大值， 即得， 以O为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设四面体的外接球的球心为，则， 即， 解得，即外接球球心为， 故外接球半径为， 故外接球的表面积为. 4．在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，．若点均在球的表面上，则当四棱锥的体积最大时，球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，分析可得四边形必为等腰梯形，即可求出所需长度，分析可得，梯形的面积为定值，要使四棱锥的体积最大，必有平面，则球心在上，根据勾股定理，求出半径R，代入公式，即可得答案. 【详解】由题意可得共圆，且， 所以四边形必为等腰梯形，如图所示， 取中点，中点，则， 因为，，则， 所以，则， 所以梯形的面积为定值． 因为是等腰直角三角形，为斜边的中点，，所以， 要使四棱锥的体积最大，必有平面，此时平面， 而点为的外心，因此球心在上， 设，球的半径为， 则，即，解得， 所以，球的表面积． 5．将两个球放入棱长为1的正方体中，则这两个球体积和的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由已知推得两球球心的位置，设出球心，半径，进而推得，代入体积公式，求导根据导函数得出函数的单调性，进而得出函数的最值点，代入化简，即可得出答案. 【详解】要使两个球的体积之和最大，则应满足两个球互相外切， 并且分别与正方体的面相切，即应有两个球球心连线位于正方体的体对角线上. 如图，设两球的球心分别为，半径为， 由已知可得，，， 所以，则， ，. 又， 所以，. 因为，所以. 又两球的体积之和， 且， 当时，有， 即函数在上单调递减； 当时，有， 即函数在上单调递增. 当时，， 所以 . 又， 故函数的最大值为. 6．已知圆台的母线长为3，上下底面半径比为1:2，当圆台体积最大时，此圆台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用圆台的结构特征求出圆台体积与其高的函数关系，再利用导数求出取最大值的条件，再按外接球球心在两平行平面间及外分类求出球半径即可. 【详解】设圆台上底半径为，则其下底半径为，高， 此圆台的体积，， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则当，即时，此圆台体积取得最大值， 设球的半径为，则球心到两个截面距离分别为， 显然此圆台的外接球球心在两底圆心确定的直线上， 则或， 解，无解；解，得， 所以此圆台的外接球的表面积为. 故选：C 7．三棱锥的底面为正三角形，侧棱底面，若，则该三棱锥外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，可得的外接圆半径，，根据直棱柱的外接球半径公式结合二次函数运算求解即可. 【详解】设，则正的外接圆半径， 因为，则， 则该三棱锥外接球半径， 当且仅当时，等号成立， 所以该三棱锥外接球表面积的最小值为. 故选：C. 8．已知四面体ABCD的顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，是边长为3的正三角形，则四面体ABCD的体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出球的半径及三角形外接圆半径，进而求出球心到平面的距离，从而求出D到平面ABC的距离的最大值，最后利用四面体体积公式计算求解． 【详解】设球心为O，球的表面积为，解得， 是边长为3的正三角形， 的外接圆半径， 到平面的距离， D到平面ABC的距离的最大值为， 四面体的体积的最大值为 ． 故选：A． 9．一个圆锥的底面直径为2，体积为，若该圆锥能够被整体放入一个球内，则该球的表面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，可得当该球为圆锥的外接球时，球的表面积最小，设球的半径为，再根据勾股定理求出球的半径可得答案. 【详解】由题意知，当该球为圆锥的外接球时，球的表面积最小， 圆锥的底面半径为，体积为 高， 设球的半径为，由图可得，解得， 故球的表面积的最小值为 故选：C    10．唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似的看作是半球与圆柱的组合体（如图2）．假设内壁表面光滑，其内壁表面积为cm2，半球的半径为cm，当时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆柱的高为，根据圆柱和球的表面积公式求得，再根据圆柱和球的体积公式求出酒杯和半球的体积，结合题意求得的范围，即可得解. 【详解】设圆柱的高为， 则，所以, 酒杯的体积， 半球的体积， 因为酒杯的容积不大于半球体积的2倍， 所以，解得， 又因，所以， 所以， 当时，的最小值为. 故选：C. 题型七 内切球 【例题精讲】 1．已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得：正三角形内切圆半径，就是圆锥内切球的半径， 且边长为4的正三角形内切圆半径为：， 所以圆锥内切球的表面积为：. 2．若球O是轴截面为正三角形的圆锥的内切球，则圆锥的表面积与球O的表面积的比值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】设球半径为，圆锥的底面圆半径为，高为， 轴截面如图所示， ， 因为球是轴截面为正三角形的圆锥的内切球， 所以，， 所以， 所以圆锥的表面积与球的表面积之比为. 3．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆台内切球对应轴截面等腰梯形有内切圆的性质得到母线长，结合勾股定理求出球半径，代入表面积公式计算结果. 【详解】设球的半径为，圆台上底面半径，下底面半径. 因为球与圆台两个底面相切，因此圆台的高； 球与圆台侧面也相切，说明圆台的轴截面（等腰梯形）存在内切圆， 根据有内切圆的四边形对边之和相等，可得圆台母线长； 由圆台母线、高、半径之差的勾股关系：， 代入已知量得，解得； 代入球的表面积公式，得. 【点睛】本题考查圆台内切球的组合体性质，核心结论是有内切球的圆台满足：母线长等于上下底面半径之和，圆台的高等于内切球的直径，结合平面几何勾股定理即可求解. 4．已知球O是棱长为2的正方体的内切球，则球O与三棱锥的公共部分的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】可知棱长为2的正方体的内切球半径为1，球心在正方体的中心， 根据对称性可知三棱锥占整个正方体的， 则球O与三棱锥的公共部分的体积也为整个球的体积的，为. 5．已知某圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，在该圆锥内置球的体积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用扇形弧长公式和面积公式，即可求解弧长和底面半径，再借助内切球的性质，可解得内切球半径，从而问题得解. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为， 则由题意可得：，由勾股定理可得：， 设圆锥的内切球半径为，如图可知：， 由勾股定理可得：， 解得：， 所以该圆锥内置球的半径最大值为，即此时体积为：， 故选：C 6．已知某圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则该圆锥的内切球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用轴截面的性质及平面几何知识即可求出内切球半径，再根据球的表面积公式即可求解. 【详解】如图，设该圆锥内切球的球心为，半径为， 球切该圆锥的母线于点，为该圆锥底面圆的圆心， 则，，因为，所以，又， ，则，解得， 故该圆锥的内切球的表面积为. 故选：C 7．正方体，棱长为2，正方体的内切球记为球O，则球O与三棱锥的公共部分的体积记为，三棱锥的体积记为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】可知棱长为2的正方体的内切球半径为1，球心在正方体的中心， 根据对称性可知三棱锥的体积占整个正方体的， 则球O与三棱锥的公共部分的体积也为整个球的体积的，为，即， 三棱锥的体积记为， 则. 8．棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出正四面体的体积及表面积，利用求出内切球的半径，再通过求出空隙处球的最大半径，从而即可求最大体积. 【详解】如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大， 设内切球球心为O，半径为，空隙处的最大球球心为，半径为， 由正四面体结构特征可知G为的中心，面， 设E为中点，球O和球分别与面相切于F和. 易得，，， 由可得， 又，， 故，，， 又由和相似，可得，即，解得， 即空隙处的最大球的半径为. 所以空隙处的最大球的体积为. 故选：D 9．已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为，则此圆台的表面积与其内切球（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设上底面半径为，下底面半径为，根据圆台的内切球的性质以及线面角可得，且母线长为，以及内切球的半径，再结合圆台和球的面积公式运算求解. 【详解】设上底面半径为，下底面半径为， 如图，取圆台的轴截面，作，垂足为， 设内切球与梯形两腰分别切于点， 可知，， 由题意可知：母线与底面所成角为， 则，可得， 即，，可得， 可知内切球的半径， 可得，， 所以. 故选：D. 10．已知圆台存在内切球（球与圆台上、下底面以及侧面均相切），若圆台的上、下底面积分别为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：作出该圆台的轴截面，利用圆台的母线长为，再利用勾股定理求出，由球表面积可得答案；解法二：作出该圆台的轴截面，利用求出，即，再由球表面积可得答案. 【详解】解法一：作出该圆台的轴截面如下图所示，切点为，依题意， ，，解得，， 因为 所以圆台的母线长为，故， 故球的表面积为. 解法二：作出该圆台的轴截面如下图所示，切点为，依题意， ，，解得，， 因为， ，所以， 即，又，所以， 可得，即， 则球的半径， 故球的表面积为. 故选：B. 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第39讲 专题 球的切接问题 题型一 正棱锥型 7 题型二 线面垂直型 8 题型三 面面垂直型 9 题型四 二面角型 11 题型五 其他型（圆台棱台等外接球） 12 题型六 最值问题 14 题型七 内切球 16 【基础回顾】 知识点一：正方体、长方体外接球（补形） 1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 3、补成长方体 （1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． （2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体，且正方体的棱长，如图3所示． （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 图1 图2 图3 图4 知识点二：正四面体外接球（可补形） 如图，设正四面体的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为． 知识点三：对棱相等的三棱锥外接球（补形） 四面体中，，，，这种四面体叫作对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题． 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 知识点四：直棱柱外接球（线面垂直型） 如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 图1 图2 图3 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出 知识点五：直棱锥外接球（线面垂直型） 如图，平面，求外接球半径． 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②． 知识点六：正棱锥与侧棱相等模型（正棱锥型） 1、正棱锥外接球半径： ． 2、侧棱相等模型： 如图，的射影是的外心 三棱锥的三条侧棱相等 三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点． 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出． 知识点七：侧棱为外接球直径模型 方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形． 知识点八：共斜边拼接模型 如图，在四面体中，，，此四面体可以看成由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径． 知识点九：垂面模型（面面垂直型） 如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 图1 图2 知识点十：最值模型 这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等 知识点十一：二面角模型 如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 知识点十二：坐标法 对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从烦琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度． 知识点十三：圆锥圆柱圆台模型 1、球内接圆锥 如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断． 由图、图可知，或，故，所以． 2、球内接圆柱 如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足． 3、球内接圆台 ，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 知识点十四：锥体内切球 方法：等体积法，即 知识点十五：棱切球 方法：找切点，找球心，构造直角三角形 题型一 正棱锥型 【例题精讲】 1．已知轴截面为正三角形的圆锥的表面积与球的表面积相等，则圆锥的体积与球的体积的比为（    ） A． B． C． D． 2．已知正四棱锥外接球的表面积为，则正四棱锥的体积为（    ） A．12 B．24 C．48 D．56 3．已知三棱锥的顶点均在球的球面上，且球心在棱上，若球的表面积为，则三棱锥的体积最大值为（   ） A． B．2 C． D． 4．一个正六棱锥的高为，底面边长为，则它的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．三棱锥满足，且，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．已知正四面体各条棱的中点都在球的表面上，则球的表面积与该正四面体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 7．正四棱锥的体积为8，，若该四棱锥的顶点均在一个球面上，则这个球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 8．已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 9．已知正四棱台，，，侧棱与底面所成的角为，则此正四棱台外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 10．已知一个正四棱锥的底面边长为，高为，若该四棱锥的顶点都在球的球面上，则球的体积等于（ ） A． B． C． D． 题型二 线面垂直型 【例题精讲】 1．已知三棱锥，⊥平面，，=90o，，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积是（     ） A．20 B．18 C．16 D．12 2．一个三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，且长度分别为，，，已知该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（   ） A． B． C． D． 3．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，与均为以为斜边的直角三角形．若该三棱锥的外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4．在矩形中，，，沿矩形对角线将折起得到四面体，则四面体的外接球体积为（     ） A． B． C． D． 5．已知三棱锥，平面，，，，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 6．在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积与体积分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 7．在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为等边三角形，，，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 8．已知三棱锥的体积为，．若该三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 10．已知三棱锥，平面，，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型三 面面垂直型 【例题精讲】 1．在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 2．四面体ABCD中，平面平面，，，，，则该四面体外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 3．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面是等边三角形，且侧面底面，则四棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在底面为正方形的长方体中，为底面ABCD内的一个动点（包括边界），且满足，若四面体的体积的最小值为，则长方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．在三棱锥中，为正三角形，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．在四面体中，平面平面，，若点均在球的球面上，且，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．四面体中，平面平面，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，，其余棱长均为2，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 9．在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点，，，都在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 10．已知三棱锥P-ABC中，平面平面，且平面ABC是边长为的等边三角形，，，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（   ） A．52π B．39π C．26π D．13π 题型四 二面角型 【例题精讲】 1．在三棱锥中，，均为等边三角形，，，则该三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．已知多面体，面，四边形为矩形，，且，则多面体外接球的体积与此多面体的体积之比为（     ） A． B． C． D． 3．在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 4．在三棱锥中，为边长为2的等边三角形，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．在三棱锥中，，平面与平面夹角的余弦值为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平面四边形中，，是边长为3的正三角形．将该四边形沿对角线折成一个大小为的二面角，则四面体的外接球的体积为（    ）    A． B． C． D． 8．在三棱锥中，，若三棱锥的外接球表面积为，则二面角的大小为（    ） A．或 B．或 C． D． 9．如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 10．在菱形中，已知，，沿将折起，得到三棱锥，使二面角的余弦值为，若球与三棱锥的各条棱均相切，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 题型五 其他型（圆台棱台等外接球） 【例题精讲】 1．若一个圆锥的底面半径r与一个球的半径相等，且这两个几何体的体积相等，则该圆锥的高为（   ） A．2r B． C．4r D． 2．已知圆台的上、下底面圆半径分别为2，，高为3，若该圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 3．已知一圆台的上､下底面半径分别为2，4，体积为，则该圆台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在三棱锥中，平面平面，和都是等腰三角形，且，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．将一个半径为 1 的铁球熔化后， 浇铸成一个正四棱台形状的铁锭， 若这个铁锭的上、下底面边长分别为 1 和 2 ， 则它的高为（    ） A． B． C． D． 6．已知正四棱台， ，则该正四棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 7．已知底面半径为1，体积为的圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知直四棱柱的侧面积为，在等腰梯形中，，，，若异面直线与所成角的余弦值为，则该直四棱柱外接球的表面积为（） A． B． C． D． 9．如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 10．已知圆台的母线长为l，半径为R的球C与圆台的上、下底面及母线都相切，且，则圆台与球C的体积之比为（   ） A． B． C．2 D． 11．已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 题型六 最值问题 【例题精讲】 1．一个高为，上、下底面半径分别是1cm和4cm的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则当该铁球体积最大时，该铁球的体积与圆台的体积的比值为（   ） A． B． C． D． 2．已知圆柱的轴截面是周长为24的矩形，其上下底面的圆周都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为（   ） A． B． C． D． 3．四面体的各顶点均在同一个球面上，且，当四面体的体积最大时，该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，．若点均在球的表面上，则当四棱锥的体积最大时，球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．将两个球放入棱长为1的正方体中，则这两个球体积和的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆台的母线长为3，上下底面半径比为1:2，当圆台体积最大时，此圆台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．三棱锥的底面为正三角形，侧棱底面，若，则该三棱锥外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．已知四面体ABCD的顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，是边长为3的正三角形，则四面体ABCD的体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 9．一个圆锥的底面直径为2，体积为，若该圆锥能够被整体放入一个球内，则该球的表面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 10．唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似的看作是半球与圆柱的组合体（如图2）．假设内壁表面光滑，其内壁表面积为cm2，半球的半径为cm，当时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 题型七 内切球 【例题精讲】 1．已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．若球O是轴截面为正三角形的圆锥的内切球，则圆锥的表面积与球O的表面积的比值为（   ） A． B．3 C． D． 3．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 4．已知球O是棱长为2的正方体的内切球，则球O与三棱锥的公共部分的体积为（   ） A． B． C． D． 5．已知某圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，在该圆锥内置球的体积最大值为（    ） A． B． C． D． 6．已知某圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则该圆锥的内切球的表面积为（   ） A． B． C． D． 7．正方体，棱长为2，正方体的内切球记为球O，则球O与三棱锥的公共部分的体积记为，三棱锥的体积记为，则（    ） A． B． C． D． 8．棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为（   ） A． B． C． D． 9．已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为，则此圆台的表面积与其内切球（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 10．已知圆台存在内切球（球与圆台上、下底面以及侧面均相切），若圆台的上、下底面积分别为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 1 / 58 学科网（北京）股份有限公司 $