第七章 课时3 球的接、切、截问题讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦球的接、切、截问题这一高考核心考点，依据课标要求系统梳理球的截面性质、几何体接切常用结论，按“知识梳理-基础回顾-考点扫描”架构，通过外接球（定义法、补形法）、截面问题、内切球三个考向的例题精讲与规律总结，帮助学生构建空间几何问题的解题框架。 资料突出分层突破策略，如将外接球问题拆解为定义应用与补形转化，结合2025年模拟真题训练，培养学生的空间观念与推理能力。设置基础巩固、考点对点、综合应用三级练习，配合即时反馈，有效提升学生空间想象与解题效率，为教师精准把控复习节奏提供实用指导。

课时3 球的接、切、截问题 一、课标要求 1．掌握几何体的外接球和内切球问题. 2．体验解决多面体“接”“切”问题的思维过程，感悟不同方法的要领. 二、知识梳理 1、常用的球的截面的性质 (1)球的任何截面均为圆面； (2)球心和截面(不过球心)圆心的连线 于截面； (3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为 2.几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R ①若球为正方体的外接球，则2R＝ ②若球为正方体的内切球，则2R＝ ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝ (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R= . (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 三、基础回顾 1．已知一个正方体的顶点都在一个球面上，它的棱长是a cm，则该球的体积为（ ） A． cm3 B． cm3 C． cm3 D． cm3 2．已知一圆锥的底面周长，母线长为3，则该圆锥的内切球的体积为（ ） A． B． C． D． 3．（多选题）用一个平面去截如图所示的圆柱体，则所得的截面可能是（ ） A． B． C． D． 4．将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可制作的最大零件的体积为 ． 四、考点扫描 考点一 几何体的外接球 考向1 利用球的定义 例1 （1）在三棱锥中，底面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则（    ） A．1 B． C． D． （2）已知某正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．100π B．128π C．144π D．192π 规律方法： 对点训练 （1）已知菱形ABCD的边长为2，B＝60°.将△ABC沿AC折起，折起后记点B为P，连接PD，得到三棱锥P－ACD，如图所示，则当三棱锥P－ACD的表面积最大时，三棱锥P－ACD外接球的体积为(　　) A. B. C．2π D. （2）某建筑的形状可视为内、外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个实心模型. 如图，已知模型内层底面圆直径为12 cm，外层底面圆直径为16 cm，且内、外层圆柱的底面圆周都在一个直径为20 cm的球面上，则此模型的体积为________ cm3. 考向2 补成长方体或棱柱 例2 （1）(2025·广东汕头市模拟)已知三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC且PA＝8，AC＝6，则球O的表面积为(　 　) A．10π B．25π C．50π D．100π （2）(2025·河南焦作市模拟)已知三棱锥P－ABC的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且PA＝3，PB＝PC＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为________. 规律方法： 对点训练 （1）在四面体SABC中，SA⊥平面ABC，在△ABC中，内角B，A，C的大小成等差数列，SA＝AC＝2，AB＝1，则该四面体的外接球的表面积为________． （2）(2025·浙江湖州市调研)在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则三棱锥A－BCD的外接球的体积为________. 考点二 球的截面问题 例3 (2025·河南新乡市三模)已知球O的半径为5，点A到球心O的距离为3，则过点A的平面α被球O所截的截面面积的最小值是(　 　) A．9π B．12π C．16π D．20π 规律方法： 对点训练 已知在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.过直线O1O2的平面截圆柱得到四边形ABCD，其面积为8.若P为圆柱底面圆弧CD的中点，则平面PAB与球O的交线长为________. 考点三 几何体的内切球 例4（1）(2025·安徽淮北市模拟)在正四棱锥P－ABCD中，PA＝5，AB＝6，则该正四棱锥内切球的表面积是(　 　) A．　 B． C．　 D． （2）（2025·新高考Ⅱ卷）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________． 规律方法： 对点训练 (1)已知一圆锥的底面圆半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ． (2)半球内放三个半径为的小球，三小球两两相切，并且与球面及半球底面的大圆面也相切，则该半球的半径是(　　) A．1＋ B.＋ C.＋ D.＋ 课时3 球的接、切、截问题参考答案 二、知识梳理 1.（2）垂直 （3）r＝ 2.（1） ① a ②a ③a （2） （3）3∶1 三、基础回顾 1． C【解析】正方体的体对角线长与球的直径长相等. cm,于是.故选C. 2. A【解析】圆锥的轴截面如图所示： 设圆锥的底面圆半径为r，内切球的半径为R.因为圆锥的底面周长，所以， 解得 . 又母线长为3，所以.又，解得 ，所以内切球的体积是 .故选A. 3．ABC【解析】当截面与轴截面平行时，所截截面为矩形；当截面与上、下底面平行时，所截截面为圆；当截面不经过上、下底面斜切时，截面为椭圆；当截面经过上、下底面时（交线不是圆面的切线时），截面为上、下两条边平行，中间两条腰是曲线的图形，故截面的形状不可能是三角形.故选ABC. 4．36π cm3【解析】最大零件为正方体的内切球. ，于是. 四、考点扫描 例1 （1）C【解析】  因为平面，平面，所以.由面，所以面.由面，则，由面，则.是和的公共斜边，则是三棱锥的外接球直径.由，设，则，则.故选C． （2）A【解析】由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为××3＝3，××4＝4.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上．设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋OO＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋OO＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π.故选A. 对点训练 （1）D【解析】由题意可得，△ACD，△ACP均为边长为2的等边三角形，△PAD，△PCD为全等的等腰三角形，则三棱锥P－ACD的表面积S＝2S△ACD＋2S△PCD＝2××2×2×＋2××2×2sin∠PCD＝2＋4sin∠PCD≤2＋4，当且仅当sin∠PCD＝1，即PC⊥CD时，三棱锥P－ACD的表面积取最大值，此时△PAD，△PCD为直角三角形，PD＝＝2，取PD的中点O，连接OA，OC，由直角三角形的性质可得OA＝OC＝OD＝OP＝，即三棱锥P－ACD的外接球的球心为O，半径R＝，故外接球体积V＝π×()3＝.故选D. （2）　912π【解析】由题意，设球心为O，模型内层圆柱底面的圆心为O1，模型外层圆柱底面的圆心为O2，点A，B分别在圆O1，O2上，如图，连接AO，BO，AO1，BO2，OO1，则O2在OO1上. 因为AO＝BO＝10 cm，AO1＝6 cm，BO2＝8 cm，在Rt△AO1O中，由勾股定理得OO1＝＝8(cm)，在Rt△BO2O中，由勾股定理得OO2＝＝6(cm)，所以内层圆柱的高h1＝16 cm，外层圆柱的高h2＝12 cm，所以此模型的体积V＝π×12＋π×(16－12)＝912π(cm3)． 例2 （1）D【解析】三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC且PA＝8，AC＝6，把三棱锥P－ABC补成一个长方体，如图所示，所以长方体的外接球即是三棱锥P－ABC的外接球．因为PA＝8，AC＝6，可得长方体的外接球的半径为R＝×＝5，所以球O的表面积为S＝4π×52＝100π．故选D. （2）　34π【解析】根据题意，三棱锥P－ABC可以嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线， 设长方体交于一个顶点的三条棱长分别为a，b，c，如图所示，则a2＋b2＝PA2＝18，a2＋c2＝PB2＝25，b2＋c2＝PC2＝25，解得a＝3，b＝3，c＝4.所以该三棱锥的外接球的半径R＝＝＝，所以该三棱锥的外接球的表面积S＝4πR2＝4π×＝34π. 对点训练 （1）　8π【解析】由题意，在△ABC中，内角B，A，C的大小成等差数列，可得2A＝B＋C. 因为A＋B＋C＝π，可得3A＝π，即A＝.在△ABC中，由余弦定理的推论可得cos A＝＝，即＝，解得BC＝，所以AC2＝AB2＋BC2，所以AB⊥BC，所以该四面体的外接球与该长方体的外接球是相同的，如图所示，根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得(2R)2＝22＋12＋()2，解得R2＝2，所以该四面体的外接球的表面积为S＝4πR2＝8π. （2）π【解析】在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，将其补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的体对角线就是球的直径.设长方体同一顶点处的三条棱长分别为a，b，c.由题意，得ab＝，ac＝，bc＝，解得a＝，b＝，c＝1，所以球的直径为＝，它的半径为，球的体积为×＝π. 例3 C【解析】 由点A到球心O的距离为3，得球心O到过点A的平面α距离的最大值为3，因此过点A的平面α被球O所截的截面小圆半径的最小值为＝4，所以所求截面面积的最小值是42π＝16π．故选C. 　 对点训练 π【解析】设球O的半径为r，则AB＝BC＝2r，而S四边形ABCD＝AB·BC＝4r2＝8，所以r＝. 如图，连接PO2，O1P，作OH⊥O2P于点H，易知O1O2⊥AB.因为P为的中点，所以AP＝BP.又O2为AB的中点，所以O2P⊥AB.又O1O2∩O2P＝O2，O1O2，O2P⊂平面O1O2P，所以AB⊥平面O1O2P.又OH⊂平面O1O2P，所以AB⊥OH.因为OH⊥O2P，且AB∩O2P＝O2，AB，O2P⊂平面ABP，所以OH⊥平面ABP.因为O1O2＝2r＝2，O1P＝，O1O2⊥O1P，所以O2P＝＝＝，所以sin∠O1O2P＝＝＝，所以OH＝OO2×sin∠O1O2P＝×＝.易知平面PAB与球O的交线为一个圆，其半径为r1＝＝＝，交线长为l＝2πr1＝2π×＝π. 例4（1）C【解析】如图，过点P作PO⊥平面ABCD，则O为正方形ABCD的中心，连接OA．因为AB＝6，所以OA＝3，所以OP＝＝＝，则四棱锥P－ABCD的体积V＝×62×＝12， 四棱锥P－ABCD的表面积S＝6×6＋×6××4＝84．设四棱锥P－ABCD内切球的半径为r，内切球的球心为O′.由V＝VO′－ABP＋VO′－BCP＋VO′－CDP＋VO′－ADP＋VO′－ABCD， 可得V＝S·r，即12＝×84r，解得r＝，故四棱锥P－ABCD内切球的表面积是4πr2＝．故选C. （2）【解析】圆柱的底面圆半径为，设铁球的半径为r，且. 由圆柱与球的性质知， 即，， 对点训练 （1） π【解析】易知半径最大的球即为该圆锥的内切球．圆锥PE及其内切球O如图所示. 设内切球的半径为R，则sin ∠BPE＝＝＝，所以OP＝3R，所以PE＝4R＝＝＝2，所以R＝，所以内切球的体积V＝πR3＝π，即该圆锥内半径最大的球的体积为π. （2）D【解析】三个小球的球心O1，O2，O3构成边长为2的等边三角形，则其外接圆半径为2.设半球的球心为O，小球O1与半球底面切于点A.如图，经过点O，O1，A作半球的截面，则半圆⊙O的半径为OC，OC⊥OA，作O1B⊥OC于点B. 则OA＝O1B＝2.设该半球的半径是R，在Rt△OAO1中，由(R－)2＝22＋()2可得R＝＋.故选D. . 学科网（北京）股份有限公司 $