专题07 立体几何中的空间角和空间距离（期末专练）-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦立体几何空间角与距离计算，以题型为纲系统覆盖异面直线所成角、线面角、二面角及空间距离，通过多地区期末真题构建从基础到综合的训练体系，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |异面直线所成的角|7题|结合中点、正方体、直四棱柱等，考查平移法求角|从空间两条直线位置关系出发，通过平移转化为平面角| |直线与平面的夹角|8题|含证明与计算、动态点问题，涉及直三棱柱、正四棱锥|基于线面垂直判定，利用射影定义转化线面角| |二面角|10题|覆盖折叠问题、动态点、正三棱柱等，考查二面角大小|从面面位置关系入手，通过作棱的垂线或法向量求平面角| |空间距离的计算|7题|包含点到面、线到面距离，结合体积法、直三棱柱等|基于空间距离定义，利用等体积法或向量法转化计算|

专题07 立体几何中的空间角和空间距离 目录 题型1：异面直线所形成的角 2 题型2：直线与平面的夹角 4 题型3：二面角 6 题型4：空间距离的计算 10 题型1：异面直线所形成的角 【例1.1.】 （24-25高一下·山东济宁·期末）如图，在正四面体中，分别是与的中点，设和所成角为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【例1.2.】 （多选）（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【例1.3.】 （24-25高一下·北京·期末）如图，在正方体中，M，N分别为的中点，则异面直线MN与所成的角等于_____________． 【例1.4.】 （24-25高一下·江苏镇江·期末）在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例1.5.】 （24-25高一下·北京通州·期末）如图，在正方体中，点，，分别为，，的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例1.6.】 （24-25高一下·河北唐山·期末）已知直四棱柱的棱长均为2，，设，分别是相邻两个面的对角线所在的直线，则与所成角的余弦值不可能为（    ） A． B． C． D． 【例1.7.】 （24-25高一下·黑龙江绥化·期末）如图，为圆锥底面直径，点C是底面圆O上异于A，B的动点，已知，圆锥侧面展开图是圆心角为的扇形，当与所成角为时，与所成角为（   ） A． B． C． D． 题型2：直线与平面的夹角 【例2.1.】 （24-25高一下·福建福州·期末）如图，直三棱柱，，平面平面，直三棱柱的体积为，则与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 （24-25高一下·北京·期末）如图，已知正四棱锥的高为4，棱AB的长为2，点H为侧棱PC上一动点，则当面积取得最小值时，OH与平面ABCD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【例2.3.】 （24-25高一下·福建福州·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是的中点，求证： (1)平面； (2) (3)若平面与平面的交线为，求与平面所成的角. 【例2.4.】 （24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正方体中，O为线段AC的中点，点E在线段上，则直线OE与平面所成角的余弦值的范围是______. 【例2.5.】 （多选）（24-25高一下·山东泰安·期末）三棱锥中，为中点，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．直线与平面所成角的正弦值为 C．直线与所成角为 D．过的平面与三棱锥的外接球的截面面积最小值为 【例2.6.】 （24-25高一下·湖北黄冈·期末）如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面，，是线段上一动点，，. (1)证明：三棱柱是直三棱柱； (2)若，求平面截三棱柱所得截面的面积； (3)是否存在，使得直线与平面所成角的正切值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【例2.7.】 （24-25高一下·山东青岛·期末）如图，在三棱锥中，为等边三角形，E为的中点，，且． (1)证明：平面； (2)若F为线段上的动点，当的面积最小时，求与平面所成角的正弦值． 【例2.8.】 （24-25高一下·福建福州·期末）如图，某人在水平地面上的点O处观测垂直水平面的墙面上的动点P，观测点O到墙面的距离，墙角处点B到点A的距离，墙面上，当动点P沿射线在墙面上移动时，仰角θ(直线与水平面所成的角)正切值的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型3：二面角 【例3.1.】 （24-25高一下·四川成都·期末）已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线SA，SB互相垂直且的面积为3，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 【例3.2.】 （24-25高一下·辽宁·期末）如图，在三棱锥中，D为BC的中点，平面平面ABC，，，，三棱锥的体积为，则锐二面角的正切值为______．    【例3.3.】 （24-25高一下·安徽合肥·期末）已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，体积为，则此四棱台的侧面与下底面所成二面角的正弦值为___________. 【例3.4.】 （多选）（24-25高一下·广东广州·期末）如图，在正三棱柱中，E，F分别是棱，上的点．记直线与所成角的大小为，与平面所成角的大小为，二面角的大小为，则（    ）． A． B． C．当时， D．当时， 【例3.5.】 （24-25高一下·河北唐山·期末）如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面平面．，分别是棱，的中点． (1)求证：平面； (2)若，，求二面角的正切值． 【例3.6.】 （24-25高一下·江苏常州·期末）在直三棱柱中，，，，，． (1)若平面，求的值； (2)设二面角与二面角的平面角分别为，若，求的值． 【例3.7.】 （24-25高一下·天津滨海新区·期末）如图， 在空间四边形中， 是边长为的等边三角形，平面平面，， 且， 则与平面所成角的大小是________________；二面角的余弦值是________． 【例3.8.】 （多选）（24-25高一下·福建福州·期末）已知空间四边形中，，，且，设AC与平面BCD所成角为α，二面角的平面角为β，则（   ） A． B． C．的最小值为 D． 【例3.9.】 （24-25高一下·山东日照·期末）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长均为4，D，E分别为棱的中点，且平面ABC. (1)求证：平面BDE； (2)设为棱上一点（不包含端点）， ①若为棱的中点（如图①），三棱柱被过G，B，D三点的平面所截，求截面的面积； ②求二面角的取值范围. 【例3.10.】 （24-25高一下·吉林·期末）如图，在等边中，D，E分别是线段，上异于端点的动点，且，现将沿直线折起，使平面平面，当D从B滑动到A的过程中，则下列选项中正确的是（    ）． A．先变大后变小 B．二面角的平面角变小 C．与平面所成的角变大 D．与所成的角先变小后变大 题型4：空间距离的计算 【例4.1.】 （24-25高一下·河南安阳·期末）已知等边的边长为1，平面，且，则点到平面的距离为______． 【例4.2.】 （24-25高一下·福建福州·期末）如图，各棱长均为2的直三棱柱中，D为的中点，点到平面的距离为（    ）． A． B．2 C． D． 【例4.3.】 （24-25高一下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在四棱锥中，平面，，分别为棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【例4.4.】 （24-25高一下·吉林·期末）如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点． (1)证明：平面； (2)求直线到平面的距离． 【例4.5.】 （24-25高一下·河北邯郸·期末）“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形组成的多面体.某广场的石凳就是由6个全等的正方形和8个全等的正三角形构成的阿基米德多面体，它可以看成一个正方体截去八个一样的四面体得到，称之为截半立方体.若图中截半立方体的棱长，则异面直线AD和FP所成的角为____________，直线EB到平面PGQ的距离为____________. 【例4.6.】 （24-25高一下·河北承德·期末）如图，在正四棱台中，． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【例4.7.】 （24-25高一下·广东河源·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，点是的中点.点到平面的距离为. (1)证明：平面； (2)若，平面平面，且交面于，求； (3)若与平面所成角为，求直线到平面的距离的最小值. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 立体几何中的空间角和空间距离 目录 题型1：异面直线所形成的角 2 题型2：直线与平面的夹角 10 题型3：二面角 23 题型4：空间距离的计算 40 题型1：异面直线所形成的角 【例1.1.】 （24-25高一下·山东济宁·期末）如图，在正四面体中，分别是与的中点，设和所成角为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】根据异面直线所成角的定义，借助平行关系作平行线，从而找到异面直线所成角（或补角）即可求. 【详解】如图，连接MD，设O为MD的中点，连接ON､OC，则且，    所以为异面直线AM与CN所成的角（或补角），若四面体的棱长为1，则， 所以，，. 在中，即. 故选：A 【例1.2.】 （多选）（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】利用异面直线所成角的定义和余弦定理求解可得. 【详解】取的中点为，连接，，如图：    在中，，且，在中，，且， 因为异面直线与所成角的大小为，所以直线PM，PN的夹角为，则或， 当时，由余弦定理得，，得. 当时，由余弦定理得，，得. 综上所述，或. 故选：CD 【例1.3.】 （24-25高一下·北京·期末）如图，在正方体中，M，N分别为的中点，则异面直线MN与所成的角等于_____________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】连接，可证M，N分别为的中点，且可求得，再根据正方体的性质可得∥，为异面直线MN与所成的角（或其补角），即可得答案. 【详解】连接 设正方体的棱长为, ∵与是正方形，M，N分别为的中点， 所以M，N分别为的中点， ∴ ∴是等边三角形，∴ 在由正方体中,∥，， ∴四边形是平行四边形，∴∥， 所以为异面直线MN与所成的角（或其补角）. 异面直线MN与所成的角为. 故答案为：. 【例1.4.】 （24-25高一下·江苏镇江·期末）在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.5 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】根据题意得到该直四棱柱为长方体，通过平移直线找到异面直线所成角，结合直角三角形求解即可. 【详解】由题意直四棱柱中，底面为矩形，故该直四棱柱为长方体. 连接. 因为四边形为矩形，则， 所以或其补角即为异面直线与所成角， 长方体中，平面， 因为平面，所以. 因为，且， 则， 在中，， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 【例1.5.】 （24-25高一下·北京通州·期末）如图，在正方体中，点，，分别为，，的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】余弦定理解三角形、求异面直线所成的角 【分析】连接，取的中点，连接，通过证明可得，即得为异面直线与所成的角或其补角，利用余弦定理即可. 【详解】 如图，连接，取的中点，连接. 因点，，分别为，，的中点，则，即得， 则，易证，即得， 则，故得，即得，从而， 即为面直线与所成的角或其补角. 设正方体棱长为2，则，， 在中，由余弦定理，， 即异面直线与所成的角的余弦值为. 故选：C. 【例1.6.】 （24-25高一下·河北唐山·期末）已知直四棱柱的棱长均为2，，设，分别是相邻两个面的对角线所在的直线，则与所成角的余弦值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、棱柱的结构特征和分类 【分析】作出直四棱柱由面对角线构成的四面体，在四面体的各个面中求出三角形内角的余弦判断即可. 【详解】直四棱柱中，四面体的六条棱所在直线能表征直四棱柱各个面上所有对角线， 该四棱柱的所有棱长都为2，，则，， 在中，，； 在中，，； 在中，，； 在中，，， 所以选项ABD均有可能，C不可能. 故选：C 【例1.7.】 （24-25高一下·黑龙江绥化·期末）如图，为圆锥底面直径，点C是底面圆O上异于A，B的动点，已知，圆锥侧面展开图是圆心角为的扇形，当与所成角为时，与所成角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求异面直线所成的角 【分析】先求出圆锥的母线长为2，得到为等边三角形，为等腰直角三角形，作出辅助线，得到（或其补角）即为与所成角，并由勾股定理和余弦定理求出各边长，利用余弦定理求出，求出，进而得到与所成角大小. 【详解】，故圆锥底面积周长为，设圆锥的母线长为， 圆锥侧面展开图是圆心角为的扇形，设扇形的半径为，则， 则，解得，即， 与所成角为时，所以为等边三角形，， 又为底面圆的直径，所以⊥，又， 由勾股定理得，故为等腰直角三角形， 其中，由勾股定理逆定理得⊥， 取的中点，连接，则，， 取的中点，连接，则， 故（或其补角）即为与所成角， 连接，则⊥平面，取的中点，连接，， 则，故⊥平面，又平面，所以⊥， 其中，，， ，，， 在中，由余弦定理得 ， 故， ， 所以，则与所成角大小为. 故选：D 题型2：直线与平面的夹角 【例2.1.】 （24-25高一下·福建福州·期末）如图，直三棱柱，，平面平面，直三棱柱的体积为，则与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】柱体体积的有关计算、求线面角、面面垂直证线面垂直 【分析】过点作，垂足为，由平面平面可得平面，进而得到，结合直三棱柱的特征可得，进而得到平面，可得为直线与平面所成的角，进而求解即可. 【详解】过点作，垂足为， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面，而平面， 则为直线与平面所成的角，且， 因为，且直三棱柱的体积为， 所以，解得， 而，则，即， 则与平面所成的角为. 故选：C. 【例2.2.】 （24-25高一下·北京·期末）如图，已知正四棱锥的高为4，棱AB的长为2，点H为侧棱PC上一动点，则当面积取得最小值时，OH与平面ABCD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求线面角 【分析】根据给定条件，结合正四棱锥的结构特征确定取得最小值时的位置，再利用几何法求出线面角的余弦值. 【详解】在正四棱锥中，平面，平面，则， 而，平面，于是平面， 又平面，则，而，要的面积取得最小值， 当且仅当，此时， 由平面平面，得在平面内射影为， 即是OH与平面ABCD所成的角，， 所以OH与平面ABCD所成角的余弦值为. 故选：C 【例2.3.】 （24-25高一下·福建福州·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是的中点，求证： (1)平面； (2) (3)若平面与平面的交线为，求与平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、求线面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）连接 ，交于点，即证，利用线面平行的判断定理即可得证； （2）由线面垂直的判断定理证面，再利用线面垂直的性质定理即可得证； （3）延长交于，连接，则面，面，又面，面，即证 ，得为与平面所成的角，即可求. 【详解】（1）连接 ，交于点， 可知四边形是平行四边形，可得为 中点， 又是的中点，则，又平面，平面， 所以平面． （2）根据题意，三棱柱为直三棱柱，则， 又由，则， ，面，面 则有面，又面，所以， 又由，则四边形为正方形，则， 又由，面，面，则有面， 面，则； （3）延长交于，连接，则面，面，又面，面， 则直线即为直线．由，且，则， 又且，所以且，则四边形为平行四边形，故，故为与平面所成的角． 因为，所以． 即与平面所成的角为． 【例2.4.】 （24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正方体中，O为线段AC的中点，点E在线段上，则直线OE与平面所成角的余弦值的范围是______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、求点面距离、求线面角 【分析】求出点到平面的距离，再求出线段的取值范围，利用线面角的正弦公式求解. 【详解】令正方体的棱长为2，由，得四边形为平行四边形， 则，而平面，平面，于是平面， 点到平面的距离等于点到平面的距离， ，，由， 得，解得，矩形中，O为线段AC的中点， 则，令直线OE与平面所成的角为，则， 所以直线OE与平面所成角的余弦值的范围是. 故答案为： 【例2.5.】 （多选）（24-25高一下·山东泰安·期末）三棱锥中，为中点，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．直线与平面所成角的正弦值为 C．直线与所成角为 D．过的平面与三棱锥的外接球的截面面积最小值为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、求异面直线所成的角、求线面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】由题可证，根据线面垂直的判定可证平面，继而得到；设中点为，可证平面，所以就是直线与平面所成角，即可得到直线与平面所成角的正弦值；设中点为，根据异面直线夹角可知就是直线与所成角或其补角，在中通过求即可得到直线与所成角；根据题意可知都是直接三角形，有公共斜边，即可确定球心在中点处，再利用球的截面得性质即可得截面面积最小值. 【详解】 ，，， 又，所以，即， 又，平面， 所以平面，平面，，故A正确； 设中点为，连接， ，，， 又平面，平面，所以， 又平面，所以平面，， 即就是直线与平面所成角， ，，故B错误； 设中点为，连接， 分别是中点，， 即就是直线与所成角或其补角， 在中，，，， ，所以直线与所成角为，故C正确； 又，所以，即， 则都是直接三角形，有公共斜边， 所以三棱锥的外接球球心在中点处，外接球半径， 即垂直截面时，截面面积最小，此时截面半径， 所以截面面积最小值为，故D正确； 故选：ACD 【例2.6.】 （24-25高一下·湖北黄冈·期末）如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面，，是线段上一动点，，. (1)证明：三棱柱是直三棱柱； (2)若，求平面截三棱柱所得截面的面积； (3)是否存在，使得直线与平面所成角的正切值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【难度】0.65 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、证明线面垂直、求线面角 【分析】（1）在上任取一点，过作交于，在上任取一点，过作交于，可证平面，证明可得结论； （2）过作，交于点，连接，截面为直角梯形，求得面积即可； （3）延长交于点，过作于，所以平面，连接，为与平面所成的角，可得，进而可求的值. 【详解】（1）如图： 在上任取一点，过作交于， 在上任取一点，过作交于， 由平面平面，平面平面，平面 所以：平面， 同理有平面，从而有， 平面，平面，所以平面， 又因为平面平面，平面， 从而有，即平面. 从而三棱柱是直三棱柱. （2） 当时，连接延长交直线于，所以， 又因为，所以，所以为线段上靠近的一个三等分点， 过作，交于点，连接， 因为三棱柱为直棱柱，所以平面平面， 又，平面，平面平面， 所以平面，所以平面， 从而截面为直角梯形，， 所以， 从而直角梯形的面积为. （3） 延长交于点，过作于， 因为三棱柱为直棱柱，所以平面平面， 又平面，平面平面， 所以平面，连接， 则为与平面所成的角， 由，，可知，， 若直线与平面所成角的正切值为，即， 从而，即，，从而易得， 即点为上靠近的一个三等分点，. 【例2.7.】 （24-25高一下·山东青岛·期末）如图，在三棱锥中，为等边三角形，E为的中点，，且． (1)证明：平面； (2)若F为线段上的动点，当的面积最小时，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】空间垂直的转化、线面垂直证明线线垂直、求线面角、证明线面垂直 【分析】（1）利用勾股定理逆定理判断，结合，利用线面垂直的判定定理证明线面垂直. （2）先根据的面积最小，确定点的位置，再确定与平面所成的角，利用余弦定理解三角形，求出线面角的余弦，再利用同角三角函数的基本关系，求线面角的正弦. 【详解】（1）因为为中点，是等边三角形，所以， 又，，，平面， 所以平面， 又平面，所以， 已知，则， 又，，在等边中，，所以， 由勾股定理逆定理，所以， 因为，，平面，所以平面. （2）如图：连接， 由（1）知平面，平面，所以， 所以，所以当的面积最小时，最小， 在中，若最小，则， 此时，， 因为，，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 过点作，垂足为. 因为平面平面，所以平面， 所以（或其补角）是与平面所成的角. 在中，由余弦定理可得， 所以， 即与平面所成角的正弦值为． 【例2.8.】 （24-25高一下·福建福州·期末）如图，某人在水平地面上的点O处观测垂直水平面的墙面上的动点P，观测点O到墙面的距离，墙角处点B到点A的距离，墙面上，当动点P沿射线在墙面上移动时，仰角θ(直线与水平面所成的角)正切值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、求线面角 【分析】过点作，根据线面角定义说明直线与水平面所成的角为，设，分析得，转换为函数的最值即可求解. 【详解】如图所示，过点作， 因为平面平面，平面， 所以平面， 所以直线与水平面所成的角为， 设，因为，，所以，， 又因为点到平面的距离为， 所以 设，则， 所以当时，有最小值，此时有最大值， 且最大值为. 故选：A. 题型3：二面角 【例3.1.】 （24-25高一下·四川成都·期末）已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线SA，SB互相垂直且的面积为3，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求二面角、线面垂直证明线线垂直、由线面角的大小求值 【分析】根据二面角的平面角的概念，做出二面角的平面角，求出各边长，在求出二面角的平面角的正弦值，可求得二面角的大小. 【详解】取的中点，连接， 因为，为的中点，则， 由垂径定理可得，所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 因为，，则为等腰直角三角形， 所以，则，，， 因为平面，则为直线SA与圆锥底面所成角，即， 则在中，，故， 所以， 因为，故，即二面角的大小为. 故选：B. 【例3.2.】 （24-25高一下·辽宁·期末）如图，在三棱锥中，D为BC的中点，平面平面ABC，，，，三棱锥的体积为，则锐二面角的正切值为______．    【答案】2 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、求二面角 【分析】过点P作，垂足为E，根据面面垂直，线面垂直及线线垂直的性质得到为二面角的平面角，再结合锥体的体积公式及勾股定理即可求解． 【详解】如图，在平面PAD内，过点P作，垂足为E， 因为平面平面ABC， 又平面平面，平面PAD， 所以平面ABC， 又因为平面ABC， 所以， 因为，即， 又，PD，平面PAD， 所以平面PAD， 又因为平面PAD， 所以， 又因为， 所以为二面角的平面角， 因为三棱锥的体积，解得， 由勾股定理可得， 所以二面角的正切值为． 故答案为：．    【例3.3.】 （24-25高一下·安徽合肥·期末）已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，体积为，则此四棱台的侧面与下底面所成二面角的正弦值为___________. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】台体体积的有关计算、求二面角 【分析】根据正四棱台的体积公式求出棱台的高，再找出侧面与下底面所成二面角，求出各边长，最后求出该二面角的正弦值. 【详解】在正四棱台中，， 令上下底面中心分别为、，连接，则棱台的高为， 取的中点，的中点，连接， 过点作⊥于点，则， 如图所示，侧面与下底面所成二面角的平面角是， 由， 解得，故，， 由勾股定理得， 其正弦值， 即四棱台的侧面与下底面所成二面角的正弦值为 故答案为： 【例3.4.】 （多选）（24-25高一下·广东广州·期末）如图，在正三棱柱中，E，F分别是棱，上的点．记直线与所成角的大小为，与平面所成角的大小为，二面角的大小为，则（    ）． A． B． C．当时， D．当时， 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求线面角、求二面角、求异面直线所成的角 【分析】利用正三棱柱的性质，把空间角转化为平面角，再结合直角三角形的正切函数，把角的大小转化为边的大小比较，从而可判断各选项. 【详解】 过作于点，过点作于点，连接， 由正三棱柱的性质可知：就是直线与所成的角，所以， 由正三棱柱的性质可知：平面，所以就是与平面所成角， 则， 由正三棱柱的性质可知：， 又因为，平面， 所以平面，又因为平面， 所以，即就是二面角的一个平面角，则， 由图可知：，故A正确； 因为，而 所以有，结合正切函数在锐角范围内单调递增，可得，故B正确； 因为，而，， 所以，又因为是锐角，所以，故C错误； 因为， 又， 所以，结合正切函数在锐角范围内单调递增，可得，故D正确； 故选：ABD． 【例3.5.】 （24-25高一下·河北唐山·期末）如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面平面．，分别是棱，的中点． (1)求证：平面； (2)若，，求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2)2. 【难度】0.65 【知识点】面面垂直证线面垂直、线面垂直证明线线垂直、求二面角、证明线面平行 【分析】（1）利用线面平行的判定推理得证. （2）由面面垂直的性质，结合二面角的平面角的意义作出图形，进而求出其正切值. 【详解】（1）在三棱柱中，取中点，连接，由是的中点， 得，则四边形是平行四边形，， 而平面，平面，所以平面. （2）在平面内过点作于，由平面平面，侧面平面， 得平面，而平面，则，在平面内过作于， 连接，又平面，则平面， 又平面，则，是二面角的平面角， 由，，得，， 因此，所以二面角的正切值为2. 【例3.6.】 （24-25高一下·江苏常州·期末）在直三棱柱中，，，，，． (1)若平面，求的值； (2)设二面角与二面角的平面角分别为，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求二面角、证明线面平行 【分析】（1）连接交于点，连接，由线面平行的性质可得出，再结合中位线的性质可得出的值； （2）过点在平面内作，垂足为，连接，分析可知二面角和二面角的平面角分别为、求得，的长，法一：利用二倍角的正切公式可得，即可求出的值；法二：利用角平分线的性质可得，可求解. 【详解】（1）连接交于点，连接． ∵平面，平面，平面平面，   ∴．                                       又在直三棱柱中，侧面为平行四边形， ∴是的中点， ∴是的中点，∴. （2）过点在平面内作，垂足为，连接， ∵，，，平面， ∴平面， ∵平面，∴， 又∵，，平面， ∴平面，                                  又平面，∴，， ∴二面角和二面角的平面角分别为， 即，，             ∵，，， ∴， ∴， 法一：当时，，                  而，                                                 ∵，∴，解得或              又，∴．                                                  法二：当时，为的角平分线，且， ∴，                                               又，∴． 【例3.7.】 （24-25高一下·天津滨海新区·期末）如图， 在空间四边形中， 是边长为的等边三角形，平面平面，， 且， 则与平面所成角的大小是________________；二面角的余弦值是________． 【答案】 / 【难度】0.4 【知识点】求线面角、求二面角 【分析】说明为与平面所成的角，二面角的平面角为，结合解三角形知识即可求解. 【详解】第一空：过点作于点，   平面平面，平面平面，平面， 平面，则为与平面所成的角， ，，， 第二空：如图所示，过点作于点，过点作交于点，过点作垂直交于点，则， 取的中点，连接， 所以二面角的平面角为， 由题意，因为，，， 所以点分别是的中点，所以， 因为，，所以， 因为平面，平面，所以，所以， 所以三角形是等腰三角形，其中，， 由等面积法有，，解得， 所以，所以， 所以， 因为平面，，所以点在三角形内的射影必定为的交点， 即点在三角形内的射影必定为等边三角形的中心， 所以，，所以， 故所求为. 故答案为：；. 【例3.8.】 （多选）（24-25高一下·福建福州·期末）已知空间四边形中，，，且，设AC与平面BCD所成角为α，二面角的平面角为β，则（   ） A． B． C．的最小值为 D． 【答案】ABC 【难度】0.4 【知识点】证明线面垂直、求线面角、求二面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据题意，分别在中，利用余弦定理求判定A；作平面于点，设得到，作于点得到为二面角的平面角，求得判定 B；根据直线与平面所成角的定义和最小角定理判定D；由且，结合三角函数的基本关系式可判定C. 【详解】由题设中， 在中，则，A对； 过作平面于点（注意其位置不定），设， 则为直线AC与平面BCD所成角，故， 过作于点，由平面，平面，则， 且都在平面内，则平面，平面，则， 综上，为二面角的平面角， 在中，故，B对； 由，其中为AC与平面BCD所成角， 结合线面角的定义及最小角定理有，即，D错； 由且，则， 所以，即，C对. 故选：ABC 【例3.9.】 （24-25高一下·山东日照·期末）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长均为4，D，E分别为棱的中点，且平面ABC. (1)求证：平面BDE； (2)设为棱上一点（不包含端点）， ①若为棱的中点（如图①），三棱柱被过G，B，D三点的平面所截，求截面的面积； ②求二面角的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②二面角的取值范围 【难度】0.4 【知识点】求二面角、证明线面垂直 【分析】（1）连接，先证明平面，则，易得，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）①取的中点，取的中点，连接，证明，即可得出图形，再求出四边形面积即可；②过作交于，连接，根据线面垂直的性质可得，则二面角的平面角即为，再解即可. 【详解】（1）如图所示，连接，由题意可知平面，四边形是菱形， 平面，所以，又因为D为棱的中点，是正三角形， 所以，又，不面， 所以平面， 又因为平面，所以， 在菱形中，有， 而D，E分别为棱的中点，则，所以， 因为，平面，所以平面； （2）①取的中点，取的中点，连接， 则且，又且， 所以且，所以四边形是平行四边形， 所以且，因为分别为的中点， 所以且，所以， 所以过过G，B，D三点的截面即为四边形， 因为平面，平面，所以， 故截面为直角梯形，又底面是边长为4的等边三角形且， 所以，， 所以截面面积为； ②过作交于，连接，则， 因为平面，平面，所以， 故二面角的平面角即为， 若为棱上一点，且， 因为， 所以， ， 所以， 令， ， 由双勾函数的性质可得在上单调递减， 所以，所以， 所以， 故二面角的取值范围. 【例3.10.】 （24-25高一下·吉林·期末）如图，在等边中，D，E分别是线段，上异于端点的动点，且，现将沿直线折起，使平面平面，当D从B滑动到A的过程中，则下列选项中正确的是（    ）． A．先变大后变小 B．二面角的平面角变小 C．与平面所成的角变大 D．与所成的角先变小后变大 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】求二面角、求线面角、求异面直线所成的角、余弦定理解三角形 【分析】过点A作，交于点H，交于点G，连接，可证明在沿直线折起的过程中，平面，然后用的值分别将各个选项中的角的相应三角函数表示出来，然后判断可得答案. 【详解】设等边的边长为1，，则， 在中，由，得， 如图，过点A作，交于点H，交于点G，连接，则， ，， 所以，， 在沿直线折起的过程中，，始终满足． 由平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，则， 在中，， 所以 所以为定值， 所以大小不变，故A错误； 如图，过H作交于点O， 由，得， 由平面，平面，得， 又，，平面，所以平面， 所以为二面角的平面角， 在中，，所以大小不变，故B错误； ， 由，得， 又，且，，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又平面，平面，则， 所以， ， 设点D到平面的距离为d， 由等体积法可得，即， 则， 设与平面所成的角为，则， 在D从B滑动到A的过程中，x的值从1变小到0，这一过程中逐渐变大． 所以在这一过程中，变小，则角变小，故C不正确； 由，则（或其补角）为与所成的角． 由上可知，， 则， 函数的对称轴为， 当时，函数单调递减， 当时，函数单调递增， 所以在x从1变到的过程中，变小，变小， 在x从变到0的过程中，变大，变大，故D正确． 故选：D. 题型4：空间距离的计算 【例4.1.】 （24-25高一下·河南安阳·期末）已知等边的边长为1，平面，且，则点到平面的距离为______． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】求点面距离 【分析】利用等体积法即可求点到平面的距离. 【详解】如图，因为平面，所以为三棱锥的高， 则， 由平面，平面，得， 在直角中，，同理， 则等腰的底边上的高为， 则， 设点到平面的距离为，则， 得． 故答案为：. 【例4.2.】 （24-25高一下·福建福州·期末）如图，各棱长均为2的直三棱柱中，D为的中点，点到平面的距离为（    ）． A． B．2 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】锥体体积的有关计算、求点面距离 【分析】利用，可求点到平面的距离. 【详解】由题意可得，平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 又平面，平面，所以， 又直三棱柱各棱长均为2，所以， ， 所以，， 设点到平面的距离为， 由，得，所以， 解得. 故选：A. 【例4.3.】 （24-25高一下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在四棱锥中，平面，，分别为棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求点面距离、证明线面垂直 【分析】（1）连接，利用条件证明四边形是正方形，继而可由与证得平面； （2）先利用条件求出的长，推得，从而得到的面积，再根据等体积即可求得点到平面的距离. 【详解】（1）    如图，连接，因点为的中点，且， 则可得，易知四边形是正方形，则， 因平面，平面，故， 又平面，故平面. （2）在中，， 在中，， 又，因，则， 则的面积为，又的面积为， 设点到平面的距离为，则由可得， 则，即点到平面的距离为. 【例4.4.】 （24-25高一下·吉林·期末）如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点． (1)证明：平面； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、求直线与平面的距离 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理得证. （2）将线面距离转化为点面距离，再利用等体积法求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，连接，交于点N，连接，如图： 则N为的中点，而M为的中点，则，又平面，平面， 所以平面． （2）连接，由，得，又平面，平面， 则，又平面，因此平面， 又平面，则，又，则是等腰直角三角形， ，，， ，设点A到平面的距离为d， 由，得，解得， 由平面，得直线到平面的距离即为点A到平面的距离， 所以直线到平面的距离为． 【例4.5.】 （24-25高一下·河北邯郸·期末）“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形组成的多面体.某广场的石凳就是由6个全等的正方形和8个全等的正三角形构成的阿基米德多面体，它可以看成一个正方体截去八个一样的四面体得到，称之为截半立方体.若图中截半立方体的棱长，则异面直线AD和FP所成的角为____________，直线EB到平面PGQ的距离为____________. 【答案】 / 【难度】0.65 【知识点】求面面距离、求直线与平面的距离、求异面直线所成的角、锥体体积的有关计算 【分析】利用异面直线的定义求出夹角；将截半立方体还原成正方体，利用平行平面的距离，结合等体积法求得答案. 【详解】依题意，，则是异面直线AD和FP所成的角或其补角， 在中，，因此； 将截半立方体还原成正方体，由截半立方体的结构特征知，平面平面， 则直线EB到平面PGQ的距离等于平面与平面的距离， 而三棱锥都是正三棱锥，它们的高所在直线与正方体的一条体对角线重合， 设三棱锥的高等于，而侧棱长为，由， 得，即，解得， 而，所以所求距离. 故答案为：； 【例4.6.】 （24-25高一下·河北承德·期末）如图，在正四棱台中，． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【难度】0.65 【知识点】求点面距离、证明线面平行 【分析】（1）连接交于点，连接，证明，然后得证线面平行； （2）由等体积法计算：. 【详解】（1）连接交于点，连接， 是正四棱台的对角面与下底面和上底面的交线，则， 又，所以，即， 所以是平行四边形，所以，， 又平面，平面，所以平面； （2）由（1）平面，所以， 正四棱台中，， 作于，则是正四棱台的高，正四棱台中，，，则， ， 所以， 又，是中点，所以， 由（1）知，而， 所以， 设点到平面的距离为，则，， 所以点到平面的距离为. 【例4.7.】 （24-25高一下·广东河源·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，点是的中点.点到平面的距离为. (1)证明：平面； (2)若，平面平面，且交面于，求； (3)若与平面所成角为，求直线到平面的距离的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)1 【难度】0.4 【知识点】由线面角的大小求值、线面平行的性质、求直线与平面的距离、证明线面平行 【分析】（1）取PA的中点，证明，再由线面平行的判定即可证得平面. （2）由（1）所得结论，利用线面平行的性质可得，由题意可知平面，从而，利用中点结合平面几何知识可求，进而求得. （3）过点作的垂线，垂足为，连接，由题意为与平面所成角.由平面，所以直线到平面的距离等于点到平面的距离， 由得，即得直线到平面的距离的最小值. 【详解】（1）设点为的中点，连接. 因为为中点，所以，且 根据题意可知，且. 从而可得，且. 即可得四边形为平行四边形. 即可得平面平面. 所以平面； （2）由第（1）问可知平面平面，平面平面. 所以，因为交面于，所以直线与直线重合，即可得. 在中，点是的中点，所以. 由第（1）问可知. 又点到平面的距离为，且，所以平面， 而平面，所以. 在中，，根据勾股定理可得. 从而可得. （3）过点作的垂线，垂足为，连接. 因为平面平面，平面平面，所以平面， 所以为与平面所成角. 由题意可得.在中，，所以. 从而可得.点到平面的距离为. 所以，从而可得的最小值为1，即点到平面的距离的最小值为1. 由第（1）问可知平面，所以直线到平面的距离等于点到平面的距离， 故直线到平面的距离的最小值为1. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $