专题06 直线、平面的平行与垂直（期末专练）-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦空间线面关系，以基础判定→平行垂直证明→截面轨迹综合为逻辑主线，通过多地区期末真题系统覆盖核心考法，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |位置关系|8题（多选/单选）|命题真假判断，强化概念辨析|从线面基本关系切入，为平行垂直证明奠基，培养数学思维的严谨性| |线面平行|5题（证明/探究）|结合三棱柱、正方体等几何体，考查判定定理应用|在位置关系基础上，构建平行关系的转化逻辑，发展几何直观| |线面垂直|9题（证明/存在性）|涉及菱形、正方形等背景，综合垂直判定与性质|与平行形成对偶体系，强化空间垂直关系的推理链，提升推理能力| |截面问题|8题（形状/面积）|正方体、长方体截面分析，需空间作图能力|从静态到动态，深化空间想象，体现数学眼光的空间观念| |动点轨迹|10题（范围/最值）|结合距离、平行等条件，考查轨迹方程与长度|综合线面关系与动态问题，培养模型观念与转化思想|

专题06 直线、平面的平行与垂直 目录 题型1：空间点、直线、平面之间的位置关系 2 题型2：空间直线、平面的平行 4 题型3：空间直线、平面的垂直 5 题型4：截面图形的问题 8 题型5：动点轨迹问题 12 题型1：空间点、直线、平面之间的位置关系 【例1.1.】 （多选）（24-25高一下·福建福州·期末）下列命题正确的是（    ） A．如果直线和平面满足，，那么 B．已知平面和直线，若，，，，则 C．已知平面和直线，若，， ，，则 D．已知平面和直线，若，，，则 【例1.2.】 （24-25高一下·江苏无锡·期末）已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中不正确的个数是（   ） ①若，，则； ②过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行； ③若，，，则平面、内必定分别存在一条直线与直线垂直； ④若、为异面直线且点，，则一定存在经过点的平面与、都平行． A． B． C． D． 【例1.3.】 （24-25高一下·天津·期末）已知三个不同的平面，，和三条不同的直线，，，下列命题中为假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 【例1.4.】 （24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线l，m，n与平面α，β，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【例1.5.】 （24-25高一下·云南曲靖·期末）已知直线，若，是异面直线，则a与d的位置关系为（    ） A．相交 B．异面 C．相交或异面 D．不确定 【例1.6.】 （24-25高一下·吉林长春·期末）已知，，是不同的直线，，是不同的平面，则下面命题正确的是（   ） A．，，， B．，，， C．，， D．，， 【例1.7.】 （24-25高一下·山东青岛·期末）已知两个不同的平面，和两条不重合的直线m，n，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，且n与平面、所成的角相等，则 C．若，，，则 D．若m，n为异面直线，且，，，，则 【例1.8.】 （24-25高一下·福建福州·期末）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列表述正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【例1.9.】 （24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（   ）． A．E，F，G，H四点共面 B．与是异面直线 C．，，三线共点 D． 题型2：空间直线、平面的平行 【例2.1.】 （24-25高一下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． 【例2.2.】 （24-25高一下·山东威海·期末）如图，在五面体ABCDEF中，平面平面，，，，，． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正切值为，求直线与所成角的余弦值． 【例2.3.】 （24-25高一下·陕西西安·期末）如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是线段上的动点，且满足．    (1)证明：平面． (2)当的长度最小时，求过且与平行的平面截正方体所得截面的面积． 【例2.4.】 （24-25高一下·山东枣庄·期末）如图，正方体的棱长为3，点M，N分别在棱，上，满足，点Q在正方体的内部或表面，且平面，则点Q组成的图形的面积是________． 【例2.5.】 （24-25高一下·北京通州·期末）如图，在长方体中，，，点，分别为，的中点，点为长方形内一动点（含边界），若直线平面，则点的轨迹长度为（    ） A．2 B． C． D． 题型3：空间直线、平面的垂直 【例3.1.】 （24-25高一下·北京丰台·期末）如图，在正方形中，E，F分别为边的中点，将，，分别沿折起；使三点重合于点G，则在四面体中，与平面垂直的一个平面为______. 【例3.2.】 （多选）（24-25高一下·云南昆明·期末）如图，四棱锥中，底面为菱形，分别为的中点．则平面的一个充分条件可以为（   ） A． B．平面 C． D． 【例3.3.】 （多选）（24-25高一下·广东潮州·期末）如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 【例3.4.】 （24-25高一下·河北秦皇岛·期末）如图，已知点为所在平面外一点，平面，，于，于，求证：    (1) 平面； (2). 【例3.5.】 （24-25高一下·吉林长春·期末）如图，在三棱柱中，，平面平面，平面平面．    (1)求证：平面； (2)求证：． 【例3.6.】 （24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为正方形，分别为的中点. (1)直接写出图中与平行的平面； (2)求证：平面平面； (3)在棱上是否存在点，使得平面平面?若存在，求三棱锥体积；若不存在，说明理由. 【例3.7.】 （24-25高一下·福建福州·期末）如图所示的四棱锥 中，平面，，， ，，F为PC的中点； (1)求证：平面 ； (2)求证：平面 ； (3)若P，B，C，D在同一个球面上，证明：这个球的球心在平面 ABCD上. 【例3.8.】 （24-25高一下·北京顺义·期末）如图，在几何体中，侧面是正方形，，，，，且与平面所成角为. (1)求证：平面平面； (2)求四棱锥的体积； (3)若平面与棱交于点，求四边形的面积. 【例3.9.】 （24-25高一下·北京·期末）如图，在四棱锥中，面，且，，，，是的中点，. (1)求证：平面； (2)设平面平面，判断并证明与平面的位置关系； (3)判断四棱锥是否存在外接球，如果存在，直接指出球心的位置，并写出球的体积；如果不存在，请说明理由. 题型4：截面图形的问题 【例4.1.】 （24-25高一下·云南曲靖·期末）在边长为12的正方体 中，，分别为线段，上的点，且满足 ，，平面与正方体各表面的交线所围成多边形为______边形；该多边形的周长为_________ 【例4.2.】 （24-25高一下·江西南昌·期末）如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【例4.3.】 （24-25高一下·河北承德·期末）如图，在棱长为1的正方体中，E是棱上的动点，F是棱AB上的动点，过点，C，F作正方体的截面α，则（   ）    A．存在点E，使得平面 B．三棱锥的体积是定值 C．截面α的形状为梯形 D．当截面α的面积取得最小值时，F为AB的中点 【例4.4.】 （多选）（24-25高一下·辽宁·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱，的中点，点是棱的中点，过线段作与平面平行的平面，截正方体所得的截面，下列选项正确的是（   ） A．截面图形是梯形 B．截面图形是五边形 C．截面的面积为 D．该截面所在平面截正方体的外接球所得截面的面积为 【例4.5.】 （多选）（24-25高一下·安徽阜阳·期末）一块长方体形木料如图所示，，，点为对角线的中点，过点将木料锯开，使得截面过，则（    ） A． B．截面的面积为 C．截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱柱 D．以点为球心，为半径的球面与截面的交线长为 【例4.6.】 （多选）（24-25高一下·福建泉州·期末）已知三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别为的中点，若，则（   ） A． B．三棱柱的体积为 C．与所成的角的余弦值为 D．平面截三棱柱所得的截面面积为 【例4.7.】 （多选）（24-25高一下·安徽合肥·期末）如图，已知正方体的棱长为交平面于点H，则下列说法正确的是（    ） A．点是的重心 B． C．面截正方体外接球所得截面的面积为 D．以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 【例4.8.】 （24-25高一下·北京西城·期末）在棱长为1的正方体中，点E在线段上运动，则下列说法正确的是______.    ①点E从点C运动到点的过程中，三棱锥的体积不变； ②对于每一个点E，在棱DC上总存在一点Q，使得平面； ③平面截正方体所得截面图形的面积的取值范围为； ④二面角的平面角的正切值最大为. 题型5：动点轨迹问题 【例5.1.】 （24-25高一下·吉林·期末）已知正方体的棱长为3，点M，N分别为线段，上的动点，点T在平面内，则的最小值是（    ）． A． B． C． D．1 【例5.2.】 （多选）（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知正方体的棱长为2，为空间中动点，为中点，则下列结论中正确的是（    ） A．若为线段上的动点，则存在点使得直线与所成角为 B．若为侧面上的动点，且平面，则点的轨迹的长度为 C．若为侧面上的动点，且，则点的轨迹的长度为 D．若为侧面上的动点，则存在点满足 【例5.3.】 (多选)（24-25高一下·河北雄安·期末）如图，正方体的棱长为2，点在线段上运动，则（   ） A．三棱锥的体积为定值 B．与平面所成角的正弦值随着点从移动到越来越大 C．的最小值为 D．当点为的中点时，过点作正方体外接球的截面，所得截面面积的最小值为 【例5.4.】 （多选）（24-25高一下·福建莆田·期末）在棱长为4的正方体中，点在棱上，且，点在正方形内（含边界）运动，则（    ） A．当时，平面截该正方体所得的截面面积为18 B．当时，点到平面的距离为 C．当，且平面时，点的轨迹长度为5 D．当，且时，点的轨迹长度为 【例5.5.】 （多选）（24-25高一下·四川成都·期末）在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，平面，且，点，，分别为棱，，的中点，则（   ） A． B．平面与平面所成角的正弦值为 C．过点，，的平面截四棱锥所得的截面图形的周长为 D．设点为侧面内（包括边界）的一动点，且，则点的轨迹长度为 【例5.6.】 （多选）（24-25高一下·山东菏泽·期末）如图，正方体的棱长为2，点，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列说法正确的有（    ） A．过，，三点的平面截正方体所得截面图形是四边形 B．存在点，使得平面 C．的最小值为 D．若，则点轨迹的长度为 【例5.7.】 （多选）（24-25高一下·陕西渭南·期末）在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则下列结论中正确的是（    ） A． B．异面直线与所成角的取值范围为 C．的最小值为 D．该直三棱柱的外接球的体积为 【例5.8.】 （多选）（24-25高一下·山东青岛·期末）在棱长为4的正方体中，点P为的中点，点E在线段上运动，点M在线段上运动，点N在正方形内（包含边界）运动，则下列结论正确的有（   ）    A．直线与平面所成角为定值 B．三棱锥外接球球心到平面的距离为 C．的最小值为8 D．若平面，则异面直线与所成角的余弦值取值范围是 【例5.9.】 （多选）（24-25高一下·福建福州·期末）如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是正方形内的动点，则（    ） A．平面截正方体所得截面面积为 B．经过四点的球的体积为 C．若垂直于，则的轨迹长度为 D．三棱锥的体积为 【例5.10.】 （多选）（24-25高一下·贵州安顺·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，G是棱上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．当G为棱中点时，直线平面 B．三棱锥外接球的表面积为 C．若H是棱上的动点，则的最小值为 D．若M为棱的中点，平面MEF截正方体所得截面图形的周长为 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 直线、平面的平行与垂直 目录 题型1：空间点、直线、平面之间的位置关系 2 题型2：空间直线、平面的平行 9 题型3：空间直线、平面的垂直 17 题型4：截面图形的问题 30 题型5：动点轨迹问题 44 题型1：空间点、直线、平面之间的位置关系 【例1.1.】 （多选）（24-25高一下·福建福州·期末）下列命题正确的是（    ） A．如果直线和平面满足，，那么 B．已知平面和直线，若，，，，则 C．已知平面和直线，若，， ，，则 D．已知平面和直线，若，，，则 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】线面平行的性质、面面垂直证线面垂直、面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】对于AB，由答案不完备即可判断；对于CD，分别由面面垂直、线面平行的性质判断即可. 【详解】对于A，如果直线和平面满足，，那么平行、相交或异面，故A错误； 对于B，已知平面和直线，若，，，，则或相交，故B错误； 对于C，由面面垂直的性质可知，若，， ，，则，故C正确； 对于D，由线面平行的性质可知，若，，，则，故D正确. 故选：CD. 【例1.2.】 （24-25高一下·江苏无锡·期末）已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中不正确的个数是（   ） ①若，，则； ②过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行； ③若，，，则平面、内必定分别存在一条直线与直线垂直； ④若、为异面直线且点，，则一定存在经过点的平面与、都平行． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据线面垂直性质可知①错误，由点、线、面的位置关系以及线面平行的性质可得②错误，利用线面垂直的性质可知③正确，利用正方体可判断④错误. 【详解】对于①，若，则可知或，如下图中所示： 即①错误； 对于②，不妨取正方体为例，如下图所示： 直线外一点，此时平面与均与直线平行， 因此过直线外一点，可以作与这条直线平行的平面并不唯一，即②错误； 对于③，在直线上取点、，设点、在平面内的射影点分别为、， 则，，故，故、、、共面， 由平面几何的相关知识可知，在平面内必存在直线，使得， 因为，，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 同理可知，在平面内也存在直线与直线垂直，即③正确； 对于④，不妨取正方体为例，如下图所示： 当点在上底面上时，此时不存在经过点的平面与、都平行，④错. 【例1.3.】 （24-25高一下·天津·期末）已知三个不同的平面，，和三条不同的直线，，，下列命题中为假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】利用空间线面的位置关系逐个判断即可. 【详解】因为，，所以，A正确； 若，，则或，B不正确； 因为，，，所以， 因为，，，根据线面平行的性质定理，所以，又，所以，C正确； 因为，，所以，D正确. 故选：B 【例1.4.】 （24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线l，m，n与平面α，β，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】若，分析出有或相交或异面三种情况，即可判断A；若，过做平面，设，根据线面平行的性质定理得到，进而得到，再根据面面垂直的判定定理得到，即可判断B；若，，分析出有或与相交或三种情况，即可判断C；若，分和两种情况讨论的位置关系即可判断D. 【详解】若，则或相交或异面，故A错误； 若，则存在过的平面，，则由线面平行的性质定理可知， 又因为，所以，因为，所以，故B正确； 若，，则或与相交或，故C错误； 若，，，当时，； 当时，或与相交，或，故D错误； 故选：B 【例1.5.】 （24-25高一下·云南曲靖·期末）已知直线，若，是异面直线，则a与d的位置关系为（    ） A．相交 B．异面 C．相交或异面 D．不确定 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】异面直线的概念及辨析、平面的基本性质及辨析 【分析】根据已知直线的位置关系，结合平面的基本性质，空间想象来判断a与d的位置关系. 【详解】由，是异面直线，则异面或相交，又，故异面或相交. 故选：C 【例1.6.】 （24-25高一下·吉林长春·期末）已知，，是不同的直线，，是不同的平面，则下面命题正确的是（   ） A．，，， B．，，， C．，， D．，， 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】通过举出反例可判断选项A，B，D；根据线面垂直的性质可判断选项C. 【详解】对于选项A： 当时，若，，，，则由面面平行的判定定理可得：， 当时，则，平行或相交，故选项A错误； 对于选项B： 当时，若，，，，则由线面垂直的判定定理可得：， 当时，则与相交或，故选项B错误； 对于选项C：因为，，所以， 又因为，所以，故选项C正确； 对于选项D： 当时，若，，，则由面面垂直的性质可得：， 当时，则或与相交，故选项D错误， 故选：C. 【例1.7.】 （24-25高一下·山东青岛·期末）已知两个不同的平面，和两条不重合的直线m，n，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，且n与平面、所成的角相等，则 C．若，，，则 D．若m，n为异面直线，且，，，，则 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】对于A，根据线面平行性质推断线线位置即可判断；对于BC，举出反例可判断；对于D，结合异面直线性质以及面面平行的判定定理即可判断. 【详解】对于A，如图示，若，，则可能是或异面，A错误； 对于B，若，当时，n与平面、所成的角相等， 此时，B错误； 对于C，如图，设，且， ，当时，有成立，此时可斜交，不一定垂直，C错误， 对于D，如图，过m作平面γ与平面交于l， 由于，，故，而，，故， 由于m，n为异面直线，且，故必相交，结合，得，D正确， 故选：D 【例1.8.】 （24-25高一下·福建福州·期末）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列表述正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】线面平行的性质、面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】利用线面、面面位置关系，结合线面平行的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，由，，得或或与相交，A错误； 对于B，由，，，得或与相交，B错误； 对于C，由，得，存在过的平面，则，， 而，于是，又，，因此，所以，C正确； 对于D，，，由，得可以是与垂直的平面内的任意直线， 因此可以与平行、相交或在内，D错误. 故选：C 【例1.9.】 （24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（   ）． A．E，F，G，H四点共面 B．与是异面直线 C．，，三线共点 D． 【答案】D 【难度】0.64 【知识点】空间中的点（线）共面问题、空间中的线共点问题、异面直线的判定 【分析】利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断AB；利用平面的基本事实推理判断C；举反例即可判断D. 【详解】对于A，在三棱柱中，分别为的中点， 连接， 由是的中位线，得， 由，且，得四边形是平行四边形， 则，，因此四点共面，A正确； 对于B，因为平面，平面，， 所以与是异面直线，正确； 对于C，延长，相交于点， 由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 而平面平面，则，三线共点，C正确； 对于D，由，且可知，四边形是梯形， 若∠=∠，则梯形是等腰梯形，而题设条件无法得出， 所以D不一定正确. 题型2：空间直线、平面的平行 【例2.1.】 （24-25高一下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，满足即可，理由见解析 【难度】0.85 【知识点】证明线面平行、证明面面平行、补全面面平行的条件 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理推得，利用三棱柱的性质易得，即可由线线平行证得线面平行； （2）线段上存在点，满足，即可由线线平行推得线面平行再证明面面平行即可. 【详解】（1）因，，则，故， 在三棱柱中，，则， 因平面，平面，则平面. （2） 如图，线段上存在点，满足，即可使平面平面，理由如下： 因，则，则，因平面， 平面，故平面， 由（1），因平面， 平面，故平面， 又平面，故平面平面. 【例2.2.】 （24-25高一下·山东威海·期末）如图，在五面体ABCDEF中，平面平面，，，，，． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正切值为，求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】由线面角的大小求值、线面平行的性质、证明线面平行、求异面直线所成的角 【分析】（1）由，利用线面平行判断定理得平面，再利用线面平行的性质定理即可得证； （2）由，则为直线与所成的角或补角，再证平面，则为直线与平面所成的角，即可计算，最后在中计算即可. 【详解】（1）因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以； （2）因为， 所以为直线与所成的角或其补角， 因为，，所以为平行四边形， 所以， 因为平面平面，平面平面，，平面, 所以平面，则平面， 连接，所以为直线与平面所成的角， 则，可得， 因为，所以， 因为，，所以， 可得， 所以直线与所成角的余弦值为． 【例2.3.】 （24-25高一下·陕西西安·期末）如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是线段上的动点，且满足．    (1)证明：平面． (2)当的长度最小时，求过且与平行的平面截正方体所得截面的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、由平面的基本性质作截面图形、判断正方体的截面形状 【分析】（1）分别过作的平行线，把它们与平面的交点连接起来即为所找的与平行的直线，用线面平行判定定理证明即可. （2）把表示成关于的函数，并求出使取得最小时的的值，进而可确定，位置，再分别过，作的平行线，即可找到截面. 【详解】（1）    在平面内过点作平行线分别交，于，； 在平面内过点作的平行线分别交，于，，连接，； 在中，由，可知，又且正方体边长为1， 代入可得，所以， 所以；同理可得. 又由，且，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）由第1问知四边形为平行四边形，所以； 在中，由，可得， 所以，所以；在中，，所以， 所以在中， ， 当时，最小，此时M，N分别是线段上的中点. 由，分别是线段上的中点，可得，，，分别是各自所在棱的中点， 又因为，所以四点共面， 又，平面，平面， 平面，所以四边形即为所求截面. 由于，，，分别是各自所在棱的中点，可得，且， 所以四边形为平行四边形，又平面，且, 所以平面，平面，， 所以四边形为矩形，而，， 故四边形的面积. 【例2.4.】 （24-25高一下·山东枣庄·期末）如图，正方体的棱长为3，点M，N分别在棱，上，满足，点Q在正方体的内部或表面，且平面，则点Q组成的图形的面积是________． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】立体几何中的轨迹问题、证明面面平行、证明线面平行 【分析】在上取点，使得，证得平面平面，得到点的轨迹组成的图形为，在等腰三角形中，求得底边上的高，即可求解. 【详解】在上取点，使得， 分别连结， 因为，可得，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 由且，可得， 又由且，所以， 在正方体中，可得，所以， 因为平面，且平面，所以平面， 同理可证平面， 又因为，且平面，所以平面平面， 因此点的轨迹组成的图形为， 在等腰三角形中，， 可得底边上的高为， 所以面积为， 故答案为：. 【例2.5.】 （24-25高一下·北京通州·期末）如图，在长方体中，，，点，分别为，的中点，点为长方形内一动点（含边界），若直线平面，则点的轨迹长度为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】立体几何中的轨迹问题、证明面面平行、证明线面平行 【分析】根据给定条件，过点作出与平面平行的长方体部分截面，确定点的轨迹即可. 【详解】在长方体中，取的中点，连接, 由点为的中点，得，则四边形是平行四边形， ，又，则四边形是平行四边形， 于是，取中点，在上取点，使得，连接， 而，则四边形为平行四边形，，而平面，平面， 于是平面，由为的中点，得，而平面，平面， 则平面，又平面，因此平面平面， 由直线平面，点平面，则点在平面与平面的交线上， 从而点的轨迹是线段，而， 所以点的轨迹长度为. 故选：C 题型3：空间直线、平面的垂直 【例3.1.】 （24-25高一下·北京丰台·期末）如图，在正方形中，E，F分别为边的中点，将，，分别沿折起；使三点重合于点G，则在四面体中，与平面垂直的一个平面为______. 【答案】平面（或平面） 【难度】0.85 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直 【分析】根据正方形性质可得相应线线垂直，从而根据线面、面面垂直的判定定理即可得到结论. 【详解】在正方形ABCD中，， 故在四面体中，， 平面，故平面， 而平面，故平面平面， 同理平面平面， 故答案为：平面（或平面） 【例3.2.】 （多选）（24-25高一下·云南昆明·期末）如图，四棱锥中，底面为菱形，分别为的中点．则平面的一个充分条件可以为（   ） A． B．平面 C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直 【分析】连接，通过中位线定理证明，将平面转化为平面.所以寻找平面内与或垂直的直线即可 【详解】 连接交于点O， 选项A，分别为的中点， ， A选项，∵底面为菱形，， 又，且，平面，平面 平面，A正确 选项B，平面，且平面，， ∵底面为菱形，， 又，平面，平面 平面 平面，B正确 选项C，，∵底面为菱形，， 条件不足以证明平面，C错误 选项D，，且为中点， ∵底面为菱形，， 又，平面，平面 平面 平面，D正确 故选：ABD 【例3.3.】 （多选）（24-25高一下·广东潮州·期末）如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直 【分析】根据面面垂直的判定定理、线面垂直的性质和判定定理对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 假设，因为平面， 所以平面，又平面， 所以，而平面平面，所以， 在中，，不能同时成立，所以A错误； 对于选项B： 因为平面平面，所以， 因为平面， 所以平面，又平面，所以，选项B正确； 对于选项C： 因为平面平面，所以平面平面，所以C正确； 对于选项D： 由选项B可知平面，因为平面，所以平面平面，所以D正确. 故选：BCD. 【例3.4.】 （24-25高一下·河北秦皇岛·期末）如图，已知点为所在平面外一点，平面，，于，于，求证：    (1) 平面； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）由平面，得，结合利用线面垂直的判定定理可证得结论； （2）由（1）可得，结合可证得平面，则，再结合可证得平面，进而可证得. 【详解】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为，所以， 因为，平面， 所以平面； （2）证明：由（1）得平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以. 【例3.5.】 （24-25高一下·吉林长春·期末）如图，在三棱柱中，，平面平面，平面平面．    (1)求证：平面； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】面面垂直证线面垂直、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直 【分析】（1）由勾股定理可得，又平面平面，可得平面，从而，同理，根据线面垂直的判定定理可得结论； （2）取为的中点，由平面得，则，可证得，所以，进而可得，证得平面，所以，从而平面，进而可得结论． 【详解】（1）因为，所以，所以， 又平面平面，平面平面平面，所以平面． 又平面，所以， 同理可得平面，又平面，所以， 又平面，所以平面； （2）取为的中点，连接，      由（1）知平面，又平面，所以， 又，所以， 所以， 又，则， 所以，所以． 又，所以，所以， 因为，所以， 又平面，又平面，所以， 又，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以． 【例3.6.】 （24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为正方形，分别为的中点. (1)直接写出图中与平行的平面； (2)求证：平面平面； (3)在棱上是否存在点，使得平面平面?若存在，求三棱锥体积；若不存在，说明理由. 【答案】(1)平面，平面 (2)证明见解析 (3)存在， 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、证明面面垂直 【分析】（1）由已知可得，，然后由线面平行的判定定理可得结论； （2）由已知面面垂直可得平面，再由面面垂直的判定定理可证得结论； （3）当为中点时，满足条件，连接，设，可得，，再结合面面垂直可得平面，然后由面面垂直的判定得平面平面，利用等体积法可求得三棱锥体积. 【详解】（1）因为四边形为正方形，分别为的中点. 所以，，， 所以四边形和四边形均为平行四边形， 所以，， 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面； （2）因为四边形为正方形，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. （3）存在，当为中点时，平面平面. 证明：连接，设， 因为四边形为正方形，E，M分别为、的中点， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为为中点，所以. 因为，E为的中点， 所以，，. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以平面. 又因为平面，所以平面平面. 所以存在点，使得平面平面. 则. 【例3.7.】 （24-25高一下·福建福州·期末）如图所示的四棱锥 中，平面，，， ，，F为PC的中点； (1)求证：平面 ； (2)求证：平面 ； (3)若P，B，C，D在同一个球面上，证明：这个球的球心在平面 ABCD上. 【答案】(1) 证明：取PB 中点M，连接MF、AM， M、F分别为PB、PC的中点， ， ，点在上，， ， 且， 四边形AEFM为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB， 平面PAB. (2) 证明：，， ， 平面， ， ，平面PAB，平面PAB， 平面PAB， 平面PAB， ， ，M为PB的中点， ， ，平面PBC，平面PBC， 平面PBC， ， 平面PBC. (3) 证明：平面， ， ， ， ， ， ，， ， ，， 在同一个球面上，且， 为球心， 球心在平面ABCD上. 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、证明线面平行、证明线面垂直 【分析】（1）取PB 中点M，连接MF、AM，根据几何性质，可得四边形AEFM为平行四边形，进而可得，根据线面平行的判定定理，即可得证； （2）根据线面垂直的性质、判定定理，可证，结合等腰三角形性质，可证平面PBC，即可得证； （3）根据题干条件，可分别计算PE、BE、CE、DE的长度，结合条件，即可得证. 【详解】（1）略； （2）略； （3）略. 【例3.8.】 （24-25高一下·北京顺义·期末）如图，在几何体中，侧面是正方形，，，，，且与平面所成角为. (1)求证：平面平面； (2)求四棱锥的体积； (3)若平面与棱交于点，求四边形的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、面面平行证明线线平行、证明面面垂直 【分析】（1）由线面垂直的判定定理得平面，又由面面垂直的判定定理即可得证； （2）先计算梯形的面积，利用四棱锥的体积公式即可求解； （3）先证平面平面，过点作交于，计算，得四边形为等腰梯形，根据梯形的面积公式即可求解. 【详解】（1）由侧面是正方形有，又, 又平面，所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）由（1）有平面，又，所以平面， 所以为与平面所成角，即， 又，所以，即， 所以梯形的面积为， 所以四棱锥的体积为； （3）由侧面是正方形，得，平面，平面， 所以平面，又，平面，平面， 所以平面，又，平面，所以平面平面， 连接，平面平面，平面平面，则， 由，所以， 又，，所以，， 由，，所以， 过点作交于， 由有，又，，，即， 所以，所以四边形为等腰梯形， 如图作，所以， ，所以， 所以等腰梯形的面积为：. 【例3.9.】 （24-25高一下·北京·期末）如图，在四棱锥中，面，且，，，，是的中点，. (1)求证：平面； (2)设平面平面，判断并证明与平面的位置关系； (3)判断四棱锥是否存在外接球，如果存在，直接指出球心的位置，并写出球的体积；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)与平面平行，理由见解析； (3)四棱锥存在外接球，球心的位置为的中点，球的体积为. 【难度】0.65 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明线面平行、证明线面垂直 【分析】（1）先得到，由勾股定理和等腰三角形三线合一得到⊥，从而得到线面垂直； （2）由余弦定理得到，，从而得到平面，由线面平行的性质得到，从而得到平面； （3）四棱锥是否存在外接球，取决于四边形是否有外接圆，由于⊥，，故的中点即为四边形的外接圆圆心，又面，从而确定球心的位置为的中点，并求出外接球半径和体积. 【详解】（1）面，平面，所以， 因为，，，由勾股定理得， 又，所以， 因为是的中点，所以⊥， 因为，平面，所以⊥平面； （2）与平面平行，理由如下： 因为，，由余弦定理得 ， 又，故，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面平面，平面，所以， 因为平面，平面，所以平面； （3）四棱锥是否存在外接球，取决于四边形是否有外接圆， 由于⊥，，故的中点即为四边形的外接圆圆心， 取的中点，连接，又面，则⊥平面， 且，所以球心的位置为的中点， 且半径为，球的体积为. 题型4：截面图形的问题 【例4.1.】 （24-25高一下·云南曲靖·期末）在边长为12的正方体 中，，分别为线段，上的点，且满足 ，，平面与正方体各表面的交线所围成多边形为______边形；该多边形的周长为_________ 【答案】 五 【难度】0.65 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、判断正方体的截面形状 【分析】过点在平面内作，分别交，的延长线于两点，，连接，分别交，于，，连接各平面上的交点，即可得到平面与正方体各表面的交线所围成多边形；通过三角形相似以及勾股定理可以求出五边形各边边长，即可求出该多边形的周长. 【详解】如图，连接，，，过点在平面内作，分别交，的延长线于，，连接，分别交，于，，连接，，，，所以五边形为平面与正方体各表面的交线所围成多边形， 过点作，过点作，所以， 由正方体，知， 因为，，所以， 所以为上靠近的三等分点，为上靠近的三等分点， 所以，因为，所以根据勾股定理可得：， 因为，为对角线，所以， 又因为，所以为等腰直角三角形，所以， 同理，又因为，，所以， 所以与相似，因为，所以， 所以，同理与相似，所以， 所以，所以根据勾股定理可得：，， 所以五边形周长为. 故答案为：五；. 【例4.2.】 （24-25高一下·江西南昌·期末）如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、面面平行证明线线平行 【分析】根据给定条件，借助面面平行性质作出截面，进而求出截面面积. 【详解】因为在棱长为的正方体中，由、分别为、的中点， 得，且，由且，得四边形为平行四边形， 即，设平面交棱于点，由平面平面， 且平面平面，平面平面，得， 由为的中点，得为的中点，设直线分别交、的延长线于点P、Q，如图： 连接交棱于点，连接交棱于点，连接、，则截面为六边形. 由，E为的中点，得，又，则为的中点， 同理为的中点，六边形是边长为1的正六边形， 所以截面面积为 故选：A 【例4.3.】 （24-25高一下·河北承德·期末）如图，在棱长为1的正方体中，E是棱上的动点，F是棱AB上的动点，过点，C，F作正方体的截面α，则（   ）    A．存在点E，使得平面 B．三棱锥的体积是定值 C．截面α的形状为梯形 D．当截面α的面积取得最小值时，F为AB的中点 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】判断正方体的截面形状、锥体体积的有关计算、判断线面是否垂直 【分析】由线面垂直的性质判断A，由体积公式判断B，由截面的真正形状判断C，由正方体的对称性或求出截面面积的最小值判断D. 【详解】对A，矩形中，与不垂直，因此平面不可能成立，A错； 对B，平面，所以到平面的距离为定值， 所以三棱锥即三棱锥的体积为定值；B正确； 对C，当与重合时，截面即为矩形，它不是梯形，C错；（实际上可证明截面是平行四边形） 对D，由对称性可知，截面与棱相交，记交点为， 由面面平行的性质定理知，所以截面是平行四边形， 由对称性可知当为中点时，截面是菱形，面积最小，证明如下： 设，则，，又， 则， ， ， 所以，即为中点时，截面面积最小，D正确. 故选：BD.      【例4.4.】 （多选）（24-25高一下·辽宁·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱，的中点，点是棱的中点，过线段作与平面平行的平面，截正方体所得的截面，下列选项正确的是（   ） A．截面图形是梯形 B．截面图形是五边形 C．截面的面积为 D．该截面所在平面截正方体的外接球所得截面的面积为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】判断正方体的截面形状、球的截面的性质及计算、证明面面平行 【分析】对于AB，根据面面平行的判定定理找到截面，并进行证明，则得出截面为梯形；对于C，根据截面等腰梯形的面积公式计算得到结果；对于D，先求的正方体的外接球半径，再利用等体积法计算球心到截面的距离，进而计算截面圆半径，最后计算圆的面积； 【详解】 延长至点使得，取的中点，连接， 因为点分别是棱，的中点，点是棱的中点， 所以，在正方体中，， 因为平面，平面，所以平面， 同理平面， 又且平面，所以平面平面， 则过线段作与平面平行的平面为梯形. 对于AB，A正确，B错误； 对于C，正方体的棱长为2，所以， ， 计算等腰梯形的高为 则截面梯形面积为，C正确； 对于D，正方体的外接球球心在正方体体对角线的中点， 所以球的半径， 在正方体中，设点到平面的距离为，则球心到平面的距离为， 在中，，， 所以，则面积为， 根据等体积，解得， 因此该截面所在平面截正方体的外接球所得截面圆的半径， 所以面积为，D正确； 故选：ACD. 【例4.5.】 （多选）（24-25高一下·安徽阜阳·期末）一块长方体形木料如图所示，，，点为对角线的中点，过点将木料锯开，使得截面过，则（    ） A． B．截面的面积为 C．截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱柱 D．以点为球心，为半径的球面与截面的交线长为 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】线面垂直证明线线垂直、球的截面的性质及计算、判断正方体的截面形状、棱柱的结构特征和分类 【分析】利用线面垂直的判定性质，结合反证法推理判断A；作出截面并求出面积判断BC；确定截面小圆圆心及半径，进而求出交线长判断D. 【详解】对于A，连接，由平面平面，得， 假定，而平面，则平面， 又平面，则，矩形为正方形，与矛盾，A错误； 对于B，过点作直线平行于，分别交于两点，连接， 由是的中点，得分别为的中点，则， 四边形为过点及直线的长方体的截面，由平面， 平面，得，又，因此四边形为矩形， 而，此截面面积，B正确； 对于C，由选项B知，截面截长方体截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱柱，C正确； 对于D，过作于点，由平面平面， 得，又平面，则平面， 因此点为以点为球心，长为半径的球面被平面所截小圆圆心， 球面与截面的交线为以点为圆心，长为半径的半圆弧， 显然，则交线长为，D正确. 故选：BCD 【例4.6.】 （多选）（24-25高一下·福建泉州·期末）已知三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别为的中点，若，则（   ） A． B．三棱柱的体积为 C．与所成的角的余弦值为 D．平面截三棱柱所得的截面面积为 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】柱体体积的有关计算、由平面的基本性质作截面图形、求异面直线所成的角、线面垂直证明线线垂直 【分析】利用线面垂直可证，故可判断A；利用线面垂直作出三棱柱的高，再用三棱柱体积公式计算即可判断B；利用定义作出异面直线所成角，结合余弦定理计算出角的余弦值可判断C；作图确定截面为梯形，利用公式求其面积可判断D. 【详解】对于选项A，，， 故，故，故， 而，平面， 故平面，而平面，故，故选项正确. 对于选项B，连接， 底面是边长为2的正三角形，，则， 和都是边长为等边三角形， 为中点，， 在中，利用余弦定理可得，， 过点作于点， 由上可知，平面，平面， 又平面，则， 由，，平面，可得平面， 所以就是三棱柱的高，且, 又，所以三棱柱的体积，故选项B错误. 对于选项C， 连接，在中，，利用余弦定理可得，解得， 延长至点，使，连接，则且， 即为与所成的角（或其补角）， 在中，,利用余弦定理可得，， 则在中，，，利用余弦定理可得，故选项C正确. 对于选项D，连接， 分别为的中点，, 四点共面，则平面截三棱柱所得的截面即为梯形， ,为等腰三角形， 底边上的高，即梯形的高为， 梯形的面积为，故选项D正确. 故选：ACD. 【例4.7.】 （多选）（24-25高一下·安徽合肥·期末）如图，已知正方体的棱长为交平面于点H，则下列说法正确的是（    ） A．点是的重心 B． C．面截正方体外接球所得截面的面积为 D．以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用、球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】对A，由正方体的性质可知，判断可得；对B，作出图形可得；对C，得到面与正方体外接球的球心O之间的距离，然后计算即可；对D，作出图形，按照交线作出分类，求出弧线的长度，然后求和即可. 【详解】在正方体中 因为，所以H是的外心，由于是等边三角形，所以点H也是的重心，则选项A正确： 由A可知：连接交中点于点M， 则，B正确； 易得面与正方体外接球的球心O之间的距离， 故其截外接球所得圆的半径为，其圆的面积为，故C错误； 如图， 球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面、面ABCD和面上； 另一类在不过顶点A的三个面上，即面、面和面上.在面上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上， 因为，则，同理， 所以，故弧EF的长为，而这样的弧共有三条. 在面上，交线为弧FG且在一个小圆上，此时，小圆的圆心为，半径为，所以弧FG的长为，这样的弧也有三条. 于是，所得的曲线长，故D正确. 故选：ABD. 【例4.8.】 （24-25高一下·北京西城·期末）在棱长为1的正方体中，点E在线段上运动，则下列说法正确的是______.    ①点E从点C运动到点的过程中，三棱锥的体积不变； ②对于每一个点E，在棱DC上总存在一点Q，使得平面； ③平面截正方体所得截面图形的面积的取值范围为； ④二面角的平面角的正切值最大为. 【答案】①④ 【难度】0.65 【知识点】求二面角、证明线面平行、锥体体积的有关计算、判断正方体的截面形状 【分析】根据线面平行得平面，从而利用等体积法求出三棱锥的体积判断①，举反例判断②，在线段上取点使得，连接，则平面为所求的截面，设点到的距离为，将截面面积范围问题转化为的范围，根据正方体的性质求解即可判断判断③，利用定义作出二面角的平面角，求出最大角即可判断④. 【详解】对于①，由正方体的性质知，平面，平面， 所以平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以为定值，正确； 对于②，当点位于点时，平面即平面，平面， 因为平面平面，，所以平面不成立，错误； 对于③，在线段上取点使得，连接，    根据正方体的性质可知，且， 故平面为所求的截面，设点到的距离为， 菱形的面积， 根据正方体的对称性可知，当点位于点或点时，取到最大值，此时， 当点位于的中点时，取到最小值，此时， 所以，， 即截面图形的面积的取值范围为，错误； 对于④，取是的中点，连接，    根据正方体的性质可知，所以， 所以为二面角的平面角， 当点位于点时，取到最大值， 在中，， 即二面角的平面角的正切值最大为，正确； 故答案为：①④ 题型5：动点轨迹问题 【例5.1.】 （24-25高一下·吉林·期末）已知正方体的棱长为3，点M，N分别为线段，上的动点，点T在平面内，则的最小值是（    ）． A． B． C． D．1 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】立体几何中的轨迹问题、求点面距离、求异面直线的距离 【分析】作出A点关于的对称点E，M关于的对称点为，可得，再把异面直线间距离转化为点到平面的距离，利用棱锥的体积求解. 【详解】如图，作A点关于的对称点为E，M关于的对称点为， 记d为直线与之间的距离，则， 由，可得平面，则d为E到平面的距离， 因为， 而，故． 故选：A. 【例5.2.】 （多选）（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知正方体的棱长为2，为空间中动点，为中点，则下列结论中正确的是（    ） A．若为线段上的动点，则存在点使得直线与所成角为 B．若为侧面上的动点，且平面，则点的轨迹的长度为 C．若为侧面上的动点，且，则点的轨迹的长度为 D．若为侧面上的动点，则存在点满足 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】立体几何中的轨迹问题、证明线面平行、求异面直线所成的角 【分析】根据异面直线的夹角、线面平行、勾股定理、对称性等知识对选项逐一计算判断. 【详解】对于选项A： 作交于，因为，所以. 所以直线与所成角为直线与所成角. 因为，设， 则，解得. 根据勾股定理. 因为平面，，所以平面， 又平面，所以. 所以，化简得， 解得，因，所以， 所以在上不存在点使得直线与所成角为，所以A错误； 对于选项B： 取的中点分别为，根据中位线定理得， 因为平面，而不在平面内， 所以平面. 所以点的轨迹为，其长度为，所以B正确； 对于选项C： 因为平面，平面，所以. 根据勾股定理. 所以点的轨迹为以为原点以为半径的四分之一圆， 其轨迹长度为，所以C正确； 对于选项D： 延长至使得，连接. 那么是的最短路径. 根据勾股定理可得， 所以在侧面上不存在点满足，所以D错误. 故选：BC. 【例5.3.】 (多选)（24-25高一下·河北雄安·期末）如图，正方体的棱长为2，点在线段上运动，则（   ） A．三棱锥的体积为定值 B．与平面所成角的正弦值随着点从移动到越来越大 C．的最小值为 D．当点为的中点时，过点作正方体外接球的截面，所得截面面积的最小值为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明线面垂直 【分析】证得平面并结合锥体体积判断A；证得平面判断B；利用两点间线段最短判断C；求出最小截面圆半径判断D. 【详解】对于A，在正方体中，的面积为定值，而， 平面，平面，则平面，即点到平面的距离为定值， 因此三棱锥的体积为定值，A正确； 对于B，由平面，平面，得，而， 平面，则平面，即与平面所成角为，B错误； 对于C，将正与等腰置于同一平面，连接， 显然垂直平分，，C正确； 对于D，正方体的外接球的半径，当点为中点时，以点为截面圆心的截面面积最小， 又正方体的中心（即外接球球心）到点的距离为1，因此截面圆半径最小为， 所以截面面积的最小值为，D正确. 故选：ACD 【例5.4.】 （多选）（24-25高一下·福建莆田·期末）在棱长为4的正方体中，点在棱上，且，点在正方形内（含边界）运动，则（    ） A．当时，平面截该正方体所得的截面面积为18 B．当时，点到平面的距离为 C．当，且平面时，点的轨迹长度为5 D．当，且时，点的轨迹长度为 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】判断正方体的截面形状、锥体体积的有关计算、求点面距离、立体几何中的轨迹问题 【分析】对于A，取中点，连接，可得平面截该正方体所得的截面即为梯形并求出该梯形面积即可判断；对于B，设点到平面的距离为d，则由即可求解判断；对于C，分别取四等分点，且，可得平面平面即可得点的轨迹，进而得解；对于D，在平面内过E作交于点，过此时的点F作分别交于，求证平面即可得动点F的轨迹并求出轨迹长度. 【详解】对于A，当时，由题可知此时点在棱中点上， 取中点，连接，则， 因为且，所以四边形是平行四边形，所以， 所以，所以由可唯一确定一个平面， 所以平面截该正方体所得的截面即为梯形， 因为， 所以平面截该正方体所得的截面梯形的面积为，故A正确； 对于B，当时，由题可知此时点在棱中点上，设点到平面的距离为d， 则由即，故B错误； 对于C，当即，分别取四等分点， 且，连接，则，且， 由A可知，所以，则由可唯一确定一个平面， 又在平面外，平面，所以平面， 由正方体性质可知且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以，同理可得， 所以，因为在平面外，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面， 所以点F的轨迹为，所以点的轨迹长度为，故C正确； 对于D，由正方体结构性质可知平面， 因为平面，所以， 在平面内过E作交于点， 则此时，所以与相似， 所以，过此时的点F作分别交于， 则且即， 因为，平面，所以平面， 因为，所以动点F的轨迹为线段，所以动点的轨迹长度为，故D正确. 故选：ACD 【例5.5.】 （多选）（24-25高一下·四川成都·期末）在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，平面，且，点，，分别为棱，，的中点，则（   ） A． B．平面与平面所成角的正弦值为 C．过点，，的平面截四棱锥所得的截面图形的周长为 D．设点为侧面内（包括边界）的一动点，且，则点的轨迹长度为 【答案】AD 【难度】0.15 【知识点】立体几何中的轨迹问题、求二面角、证明线面垂直、由平面的基本性质作截面图形 【分析】A选项，作出辅助线，得到线面垂直，得到⊥，结合⊥，得到线面垂直，证出；B选项，作出辅助线，得到即为平面与平面所成角，由余弦定理和勾股定理求出各边长，由正弦定理得到；C选项，作出辅助线，得到五边形即为过点，，的平面截四棱锥所得的截面图形，并求出各个边的长度，相加得到周长；D选项，证明线面垂直，得到点的轨迹为以为圆心，长度为半径的圆在侧面的部分，求出两段圆弧的圆心角，从而求出弧长，得到答案. 【详解】A选项，取的中点，连接， 因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以， 因为底面是边长为1的正方形，所以⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥，故⊥， 因为，所以⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以； B选项，连接，交相交于点，连接， 因为，分别为棱，的中点，故，， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥，， 所以即为平面与平面所成角， 其中，，故， ，， 在中，由余弦定理得 ， 故， 由正弦定理得，即， 解得，B错误； C选项，直线与直线分别相交于，连接， 分别与相交于，连接， 故五边形即为过点，，的平面截四棱锥所得的截面图形， 由于≌，所以，，， 由A知，⊥，由B知，，故， 在中，，由余弦定理得 ， ，由于，由勾股定理逆定理得， 所以，在Rt中，， 故，同理可得， 由B可知，，故， 由于为的中点，由三线合一可得， 由对称性，又， 所以截面图形的周长为，C错误； D选项，因为平面，平面，所以， 又⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 点为侧面内（包括边界）的一动点，且， 由勾股定理得，如图所示， 的中点为，则⊥，，又， 所以点的轨迹为以为圆心，长度为半径的圆在侧面的部分， 即与两部分，其中， 所以，同理，故， 所以，D正确. 故选：AD 【例5.6.】 （多选）（24-25高一下·山东菏泽·期末）如图，正方体的棱长为2，点，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列说法正确的有（    ） A．过，，三点的平面截正方体所得截面图形是四边形 B．存在点，使得平面 C．的最小值为 D．若，则点轨迹的长度为 【答案】BC 【难度】0.4 【知识点】立体几何中的轨迹问题、面面平行证明线面平行、由平面的基本性质作截面图形、判断正方体的截面形状 【分析】对于A，利用正方体的截面作法，作出截面即可判断；对于B，取的中点为点，证明平面平面，在上取点，即得平面；对于C，通过作点关于平面的对称点，将转化为，结合图形，当三点共线时即得的最小值；对于D，以为直径作半圆，当点为半圆上的点时，证明平面时，即可得到，从而确定轨迹为半圆，求其弧长即得. 【详解】 对于A，如图，设直线与直线分别交于点， 连接交于点，连接交于点， 故过，，三点的平面截正方体所得截面图形是五边形，故A错误； 对于B，如图，取的中点为，连接，因点，分别是，的中点，则， 因平面，平面，则平面， 又，同法可得平面， 因平面，故平面平面， 取点，则平面，则平面，故B正确； 对于C，如图，作出点关于平面的对称点，连接，交平面于点， 因此时，则即为最小值， 取的中点，连接，易得，则，故C正确； 对于D，如图，以为直径作半圆，当点为半圆上的点时，， 因平面， 平面，则， 又平面，故平面， 又平面，故，即点的轨迹为半圆，其弧长为，故D错误. 故选：BC. 【例5.7.】 （多选）（24-25高一下·陕西渭南·期末）在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则下列结论中正确的是（    ） A． B．异面直线与所成角的取值范围为 C．的最小值为 D．该直三棱柱的外接球的体积为 【答案】AD 【难度】0.4 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、求异面直线所成的角 【分析】构造正方体模型判断A、B，展开为平面图形，两点间直线最短，即可求出最小值，从而判断C，由直三棱柱的外接球即为棱长为2的正方体的外接球，求出外接球半径，进而求外接球体积判断D. 【详解】A：如图，将几何体补为正方体，易知， 由平面， 平面，则， 由且都在平面内，故平面， 平面，则，对； B：如图，将几何体补为正方体， 当动点M与点B重合时，此时直线与所成角最小，为，但不满足直线异面； 当动点M由点B向点C运动时，直线与所成角逐渐变大， 当动点M与点C重合时，直线与所成角最大， 而是等边三角形，所以直线与所成角为， 又，故直线与所成角最大为， 所以异面直线与所成角的取值范围为，错； C：如图，将平面与平面展为同一平面，则，错； D：由上分析，直三棱柱的外接球即为棱长为2的正方体的外接球，故外接球的半径为， 所以外接球体积为，对. 故选：AD 【例5.8.】 （多选）（24-25高一下·山东青岛·期末）在棱长为4的正方体中，点P为的中点，点E在线段上运动，点M在线段上运动，点N在正方形内（包含边界）运动，则下列结论正确的有（   ）    A．直线与平面所成角为定值 B．三棱锥外接球球心到平面的距离为 C．的最小值为8 D．若平面，则异面直线与所成角的余弦值取值范围是 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、多面体与球体内切外接问题、求异面直线所成的角、求线面角 【分析】对于A，由面面平行可得即为直线与平面所成角，，点M在线段上运动，不是定值，故A错误；对于B，根据墙角模型易得外接球半径，利用球的截面性质可求距离；对于C，由要最小，首先要最小，过作平面，可得；对于D，易得在线段运动，过作平面，即就是异面直线与所成角或其补角，，，进而求出余弦值的取值范围. 【详解】对于A,由正方体性质知平面平面， 故直线与平面所成角等于直线与平面所成的角， 因为⊥平面，所以即为直线与平面所成角， ，点M在线段上运动，不是定值， 故直线与平面所成角不为定值，A错误；    对于B，由于两两垂直， 故三棱锥外接球即为以为长宽高的长方体的外接球， ，故外接球直径为， 又， 故， 故，则的外接圆的半径为， 结合外接球球心和的外接圆的圆心的连线垂直于平面， 故三棱锥外接球球心到平面的距离为，B正确； 对于C，要最小，首先要最小， 即当平面时，取得最小值， 过作平面，此时三点共线，，    在正方体，易得， 所以， 则，故C正确； 对于D，设中点为，    所以， 因为平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 因为，平面， 所以平面平面， 即在线段运动，过作平面， 所以，， 显然为锐角，即就是异面直线与所成角， 其中， 又为钝角，所以，又， 所以， ， 当时，取得最大值，为， 当时，取得最小值，为， 所以异面直线与所成角的余弦值取值范围是，故D正确； 故选：BCD. 【例5.9.】 （多选）（24-25高一下·福建福州·期末）如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是正方形内的动点，则（    ） A．平面截正方体所得截面面积为 B．经过四点的球的体积为 C．若垂直于，则的轨迹长度为 D．三棱锥的体积为 【答案】ABD 【难度】0.15 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、由平面的基本性质作截面图形、线面垂直证明线线垂直 【分析】利用中位线定理结合正方体性质得到，再结合四点共面，由梯形的性质求出梯形的高，并结合梯形面积公式判断A；合理作出辅助线，将目标外接球转化为长方体的外接球，进而求出外接球半径，最后结合球的体积公式判断B；对于C，合理作出辅助线，利用线面垂直的性质得到，将底面单独拿出，建立平面直角坐标系，求出关键点的坐标，利用向量方法得到，进而结合线面垂直的定理得到面，最后确定的轨迹就是线段，利用勾股定理求解其长度判断C；对于D，合理作出辅助线，结合题意得到，再将三棱锥的体积转化为三棱锥的体积，利用线面垂直的性质和判定定理得到面，进而确定到面的距离为，再利用三角形面积公式求出，最后结合三棱锥的体积公式求解D即可. 【详解】对于A，如图，在棱长为2的正方体中，连接， 由正方体性质得四边形是矩形，故， 因为分别是的中点， 所以，，而，故， 则四点共面，梯形即为所求截面， 由勾股定理得，，，则， 由梯形的性质得梯形的高为， 由梯形面积公式得梯形面积为，故A正确； 对于B，如图，找中点，中点，连接， 由题意得经过四点的球就是长方体的外接球， 由长方体性质得外接球半径为， 由球的体积公式得球的体积为，故B正确； 对于C，如图，找中点，连接，且交于， 由正方体性质得平面，而平面，则， 如图，将底面单独拿出，以为原点建立平面直角坐标系， 则，可得，， 得到，故，由勾股定理得， 而，平面，故平面， 因为平面，所以，而是正方形内的动点， 则的轨迹就是线段，长度为，故C错误， 对于D，如图，找中点，延长交于，连接， 由已知得，由正方体性质得，， 由对顶角性质得，由中点性质得， 故，则， 可得四边形是平行四边形，故，则， 而， 由正方体性质得面，而面， 故，，因为面，， 所以面，故到面的距离为， 由三角形面积公式得， 由棱锥的体积公式得，故D正确. 故选：ABD 【例5.10.】 （多选）（24-25高一下·贵州安顺·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，G是棱上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．当G为棱中点时，直线平面 B．三棱锥外接球的表面积为 C．若H是棱上的动点，则的最小值为 D．若M为棱的中点，平面MEF截正方体所得截面图形的周长为 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】判断正方体的截面形状、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明线面平行 【分析】A选项，作出辅助线，得到平面，平面，得到面面平行，进而得到线面平行；B选项，三棱锥外接球为以三边为长宽高的长方体的外接球，从而求出外接球半径和表面积；C选项，将两平面展开到同一平面内，利用勾股定理求出最小值；D选项，作出平面MEF截正方体所得截面图形，求出周长. 【详解】A选项，取的中点，又G为棱中点，E，F分别是棱，的中点， 故，， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 因为，平面， 所以平面平面， 因为直线平面，所以平面，A正确； B选项，显然两两垂直， 故三棱锥外接球为以三边为长宽高的长方体的外接球， 设外接球半径为，则， 故外接球表面积为，B错误； C选项，将正方形和矩形沿着棱展开，如图， 连接与相交于点，的最小值即为的长度， 其中，， 由勾股定理得，C正确； D选项，取的中点，的中点，的中点， 连接，可证得，六点共面， 平面MEF截正方体所得截面图形即为正六边形，边长为， 故周长为，D正确. 故选：ACD ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $