精品解析：江苏省苏州市昆山市秀峰中学2025-2026学年八年级下学期第二次形成性评价数学试题

2025-2026学年八年级（下）第二次形成性评价 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 已知线段，线段，则线段a、b的比例中项是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，已知，，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的实数根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 4. 下列条件之一能使菱形ABCD是正方形的为（　　） ①AC⊥BD ②∠BAD=90° ③AB=BC ④AC=BD． A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①②③ 5. 如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. 3 D. 7. 如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知：菱形中，，，与交于点，点为上一点，以为对称轴，折叠，使点的对应点恰好落在边上，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9. 在比例尺为的地图上，测得两城市的距离是，则两城市的实际距离是______． 10. 已知：，则______． 11. 已知m是方程的一个根，则的值为___________． 12. 菱形的两条对角线的长是方程的两根，则菱形的面积是 _____． 13. 如图所示，已知点分别是中边的中点，相交于点，，则的长为________ 14. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，则可列方程__________． 15. 如图，在中，，，点P和点D分别是线段，上的动点，始终满足．则有最小值等于________． 16. 在矩形中，已知，．点E为线段上的一个动点，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，运动时间为t（秒）．在矩形的内部作正方形，连接．若直线将矩形的面积分成两部分，则t的值为_____． 三、解答题（共11小题，满分82分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知关于的方程（为常数）． （1）求证：不论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根为和，且，求的值． 19. 如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的顶点， （1）图1中的值为______； （2）请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． ①请在图2中以线段为一边，画一个格点，使它与相似； ②请在图3中画一个最小的格点，使它与相似． 20. 如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，，，，求的长． 21. 如图，在中，，，平分交边于点D． （1）求证：； （2）已知，，求的长度． 22. 如图，在中，E、F分别为边的中点，BD是对角线，过A点作平行四边形交的延长线于点G． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是菱形． 23. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若每件衬衫降价4元，则该商场每天可盈利多少元？ （2）若该商场平均每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价多少元？ 24. 如图1是某兴趣小组通过蜡烛成像实验探究凸透镜成像规律的光路图，现将图1的光路图抽象为图2所示的数学几何图形，实物蜡烛发出的光线平行于直线，光线经过凸透镜后，经过焦点F与经过凸透镜中心O的光线交于点D，其中四边形是矩形，，． （1）将长为8厘米的蜡烛进行移动，使物距为30厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距为12厘米，求像的长度． （2）在（1）的条件下，已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长 25. 定义：如果关于x的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，是“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③ （2）若是“邻根方程”，求的值． （3）若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 26. 如图1，在等腰三角形中，，，有两动点P、Q分别在边、上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点A和点B同时出发，点P沿线段按方向向终点B运动，点Q沿线段按方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题： （1）如图1，当t为何值时，； （2）当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； （3）点P、Q在运动过程中，是否存在这样的t，使得的面积等于4？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 27. 我们对“等腰邻相似三角形”下个定义，以四边形为例，如图1，四边形中，为对角线，在的上取一点P，连接，如果是等腰三角形，且与相似，则我们称是该四边形边上的“等腰邻相似三角形”． （1）如图2， 中，，若是边上的“等腰邻相似三角形”，且， ，则的大小是 ； （2）如图3，在四边形中，若，，请在图3中画出一个边上的“等腰邻相似三角形”，并证明是边上的“等腰邻相似三角形”； （3）若是某个四边形的“等腰邻相似三角形”，且，与相似，请直接写出对角线长度的所有可能值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级（下）第二次形成性评价 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 已知线段，线段，则线段a、b的比例中项是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例中项的概念，注意：求两条线段的比例中项的时候，应舍去负数． 根据比例中项的概念结合比例的基本性质得：比例中项的平方等于两条线段的乘积，求解即可． 【详解】解：设它们的比例中项是，则 ， 解得（线段是正数，负值舍去）． ∴线段a、b的比例中项是 故选：C． 2. 如图，已知，，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，理解并掌握平行线分线段成比例的计算方法是解题的关键． 根据平行线分线段成比例的计算方法得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， A、∵的值不确定，无法比较，故原选项不正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴，故该选项正确，符合题意； C、∵的值不确定，故原选项错误，不符合题意； D、∵的值不确定，故原选项错误，不符合题意； 故选：B ． 3. 一元二次方程的实数根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据，判断作答即可． 【详解】解：，，， ， 方程有两个不等的实数根， 故选：A 4. 下列条件之一能使菱形ABCD是正方形的为（　　） ①AC⊥BD ②∠BAD=90° ③AB=BC ④AC=BD． A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用正方形的判定方法，有一个角是90°的菱形是正方形，以及利用对角线相等的菱形是正方形进而得出即可． 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴当∠BAD=90°时，菱形ABCD是正方形，故②正确； ∵四边形ABCD是菱形， ∴当AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故④正确； 故选C. 【点睛】此题考查正方形的判定，解题关键在于掌握判定定理. 5. 如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据，可以得到，然后即可判断添加各个选项中的条件是否可以使得，本题得以解决． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当添加条件时，则，故选项A不符合题意； 当添加条件时，则，故选项B不符合题意； 当添加条件时，则，故选项C不符合题意； 当添加条件时，则和不一定相似，故选项D符合题意； 故选：D． 6. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先证明出，然后得到，然后求出，进而求解即可． 【详解】如图所示， ∵ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定． 7. 如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形，设，根据含30度的直角三角形的性质，得到，根据角平分线的性质，结合同高三角形的面积比等于底边比，得到，进而求出的长，勾股定理求出的长，等角的正弦值相等，得到，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设，则：， ∵平分，， ∴点到的距离相等均为的长，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； 故选：A． 8. 已知：菱形中，，，与交于点，点为上一点，以为对称轴，折叠，使点的对应点恰好落在边上，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】欲求的长，需要找出与相关联的（或转化为求）．经过观察发现．则，只需求出长即可进一步解出的长度． 【详解】是菱形， ， ， ， 由拆叠可知， ，， ， ， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的性质、轴对称图形的性质、三角形相似的判定及性质，找到已知线段长与所求线段长的比例关系是解本题的关键． 二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9. 在比例尺为的地图上，测得两城市的距离是，则两城市的实际距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例尺的应用，设它的实际长度为，根据比例尺的定义，列出比例式即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：设它的实际长度为xcm， 由题意得，， ∴， 故答案为：． 10. 已知：，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由得，然后代入所求分式化简计算即可． 【详解】解：， ∴， ∴． 11. 已知m是方程的一个根，则的值为___________． 【答案】4044 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的定义，将m代入，求出，即可求出的值． 【详解】解： m是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：4044． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的定义、代数式求值，解题的关键是熟练运用整体代入思想． 12. 菱形的两条对角线的长是方程的两根，则菱形的面积是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程根与系数的关系和菱形的面积，根据根与系数的关系得出菱形的两对角线的积为，再根据面积公式求出即可． 【详解】解：设方程的两个根为，， 则由根与系数的关系得：， ∵菱形的两条对角线的长是方程的两根， ∴菱形的对角线的积为， ∴菱形的面积是， 故答案为． 13. 如图所示，已知点分别是中边的中点，相交于点，，则的长为________ 【答案】6 【解析】 【分析】根据点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，利用三角形重心的性质可解此题． 【详解】∵点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G， ∴G为△ABC的重心， ∴2FG＝GC， ∵FG＝2， ∴GC＝4， ∴CF＝6． 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查学生对三角形重心的性质这一知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题． 14. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，则可列方程__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设该快递店揽件日平均增长率为，列方程为， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，点P和点D分别是线段，上的动点，始终满足．则有最小值等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，二次函数最值，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法．先根据等腰三角形性质得出，证明，得出，即，求出，然后根据二次函数性质求出的最大值，即可得到的最小值． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 又， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ， ∴当时，有最大值， ， ∴当有最大值时，有最小值是， 故答案为：． 16. 在矩形中，已知，．点E为线段上的一个动点，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，运动时间为t（秒）．在矩形的内部作正方形，连接．若直线将矩形的面积分成两部分，则t的值为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质．分两种情况讨论直线将矩形的面积分成两部分时t的值：①设直线交于点M，当时，直线将矩形的面积分成两部分；②设直线交于点M交的延长线于点K，当时，直线将矩形的面积分成两部分．情况①证明，根据相似三角形对应边成比例列出方程求得t的值，情况②先证明得到，再证明，根据相似三角形对应边成比例列出方程求得t的值． 【详解】解：①如图，设直线交于点M，当时，直线将矩形的面积分成两部分， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，设直线交于点M交的延长线于点K，当时，直线将矩形的面积分成两部分， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，t的值为或． 故答案为：或． 三、解答题（共11小题，满分82分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 移项得 配方得 整理得 开方得 解得 ， 【小问2详解】 解： 移项整理得 提取公因式得 则或 解得， 18. 已知关于的方程（为常数）． （1）求证：不论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根为和，且，求的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式，据此可得答案； （2）根据根与系数的关系得出，，利用即可得到k的值． 【小问1详解】 证明：由题意知，，，， 则， 所以，无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：由题意知，，， ∵， ∴，解得：． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，当，方程有两个相等的实数根，当时，方程无实数根． 19. 如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的顶点， （1）图1中的值为______； （2）请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． ①请在图2中以线段为一边，画一个格点，使它与相似； ②请在图3中画一个最小的格点，使它与相似． 【答案】（1） （2）①即为所求； ②即为所求（答案不唯一）； 【解析】 【分析】（1）根据网格及相似三角形的判定和性质即可求解； （2）①利用网格画出即可；②结合网格及勾股定理，利用三边对应成比例画图即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①略；②略． 20. 如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． （1）连接，交于点，先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据平行四边形的判定即可得证； （2）先利用勾股定理可得，则可得，再根据求解即可得． 【小问1详解】 证明：如图，连接，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴互相平分， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 21. 如图，在中，，，平分交边于点D． （1）求证：； （2）已知，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明三角形相似是关键； （1）由三角形内角和及角平分线得，从而得； （2）由已知可求得，再由即可求解． 【小问1详解】 证明：在中，，， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，在中，E、F分别为边的中点，BD是对角线，过A点作平行四边形交的延长线于点G． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵E、F分别为边的中点， ∴，． ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）∵平行四边形， ∴， ∵， ∴． 又∵F为边的中点， ∴． ∴平行四边形是菱形 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可知，．由E、F分别为边的中点可推出．即可利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，证明四边形是平行四边形，即得出结果． （2）根据平行四边形得出，由，可推出，根据直角三角形斜边中线的性质，可推出，所以平行四边形是菱形 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若每件衬衫降价4元，则该商场每天可盈利多少元？ （2）若该商场平均每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价多少元？ 【答案】（1）若每件衬衫降价4元，则商场平均每天可盈利1008元 （2）每件衬衫应降价20元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，因式分解法解一元二次方程，有理数的混合运算等知识点，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意得到每天的销售量，然后由“每天盈利每天销售量每件盈利”进行解答； （2）设每件衬衫应降价元，根据“每天售出件数每件盈利每天盈利”，列出方程解答即可． 【小问1详解】 解：∵每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件， ∴若商场每件降价4元，商场平均每天可多售出（件）， ∴每天共盈利（元）， 【小问2详解】 设每件衬衫应降价元，则商场平均每天可销售件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∵要扩大销售量，尽量减少库存， ∴． 答：每件衬衫应降价20元． 24. 如图1是某兴趣小组通过蜡烛成像实验探究凸透镜成像规律的光路图，现将图1的光路图抽象为图2所示的数学几何图形，实物蜡烛发出的光线平行于直线，光线经过凸透镜后，经过焦点F与经过凸透镜中心O的光线交于点D，其中四边形是矩形，，． （1）将长为8厘米的蜡烛进行移动，使物距为30厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距为12厘米，求像的长度． （2）在（1）的条件下，已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长 【答案】（1）cm （2）cm 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）由题意可得：，再证明，然后运用相似三角形的性质即可解答； （2）通过证明，然后运用相似三角形的性质即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ∵ ，， ∴， ∴， ∴，即，解得：（cm）． 【小问2详解】 解：∵ ，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，解得：（cm）． 25. 定义：如果关于x的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，是“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③ （2）若是“邻根方程”，求的值． （3）若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①③ （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，理解题意“邻根方程”的定义是解题关键． （1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系即可得到，的数量关系． 【小问1详解】 解：①解方程得：，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得：， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得：，， ， 方程是“邻根方程”． 故答案为：①③． 【小问2详解】 解：解方程得：，， 该方程式“邻根方程”， 或， 解得：或． 【小问3详解】 解：一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”， 设方程的两个根为、，则，，，， 得， ， ， ． 26. 如图1，在等腰三角形中，，，有两动点P、Q分别在边、上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点A和点B同时出发，点P沿线段按方向向终点B运动，点Q沿线段按方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题： （1）如图1，当t为何值时，； （2）当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； （3）点P、Q在运动过程中，是否存在这样的t，使得的面积等于4？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质判定，得到，表示出，，代入比例式，解方程即可； （2）分和分别讨论即可； （3）过P作，垂足为D，作边上的高，利用三线合一和勾股定理求出，证明，得到，表示出，再根据三角形的面积得出关于t的方程，解之即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：， 当时，； 【小问2详解】 ∵，，， ∴当时， 同（1）可得：； 当时， ，即， 解得：； 综上：当或时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； 【小问3详解】 存在，理由是： 如图，过P作，垂足为D，作边上的高， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，故不合题意， ∴，即存在，使得的面积等于4． 【点睛】本题考查了三角形综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形三线合一，解一元二次方程，分类讨论． 27. 我们对“等腰邻相似三角形”下个定义，以四边形为例，如图1，四边形中，为对角线，在的上取一点P，连接，如果是等腰三角形，且与相似，则我们称是该四边形边上的“等腰邻相似三角形”． （1）如图2， 中，，若是边上的“等腰邻相似三角形”，且， ，则的大小是 ； （2）如图3，在四边形中，若，，请在图3中画出一个边上的“等腰邻相似三角形”，并证明是边上的“等腰邻相似三角形”； （3）若是某个四边形的“等腰邻相似三角形”，且，与相似，请直接写出对角线长度的所有可能值． 【答案】（1） （2）见详解；见详解 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，根据等边对等角得出，再结合已知条件进一步即可解决问题； （2）在线段上取一点P，使得，则即为所求，然后证明即可． （3）分四种情形分别求解即可解决问题； 【小问1详解】 解∶∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． ∴ 故答案为：． 【小问2详解】 解：如下图：在线段上取一点P，使得，即等腰邻相似三角形， 证明∶∵, ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是一个边上的“等腰邻相似三角形”， 【小问3详解】 解：由题意是等腰直角三角形， ∵与，与相似， ∴，都是等腰直角三角形； 如图4中，当点P在线段上，时， ∵，，都是等腰直角三角形； ∴，，，，, ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 如图5中，当点P在线段上，时， 作交的延长线于E． 则， 又∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴． 当时，四边形不存在，不符合题意； 如图6中，如图7中，的长度与图4，图5类似． 综上所述，满足条件的的长度为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定与正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $