练习15 旋转性质的运用&练习16 二元一次方程整数解问题-【课时提优计划作业本】2025-2026学年七年级数学下册同步训练（苏科版·新教材）

七年级下册 《 练习15旋转性质的运用 【方法提示】旋转前后两图形能完全重合，对应角相等，这在与旋转有关的角度计算中很关键， 同时要注意这类问题由于位置不确定导致的多解 1.将一副三角板按如图所示的方式放置，三角板ABD可绕点D旋转，C为AB与DE的交 点.现有以下几个结论：①若CD平分∠ADB,则∠BCD=125°；②若AB∥DF,则∠BDC= 10°，③若∠ADF=120°，则∠ADC=75°；④若AB⊥FD,则AB∥EF.其中正确的结论有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (第1题) (第2题) 2.如图，一副三角板（△ABC与△DBE)的直角顶点B重合，已知∠A=60°，∠D=45°.若 △ABC固定不动，绕点B顺时针转动△DBE,则当△DBE的三边依次与AC平行时， ∠ABE的度数为 3.已知直线AB与直线CD平行，点N、E在直线CD上，点H、M在直线AB上，∠DNH= 2∠AME,直线EM交直线NH于点P. (1)如图1，试说明：∠MPH=∠AME. (2)如图2，以点N为旋转中心顺时针旋转直线NH交直线AB于点G,以点M为旋转中 心顺时针旋转直线ME交直线CD于点F,∠EMF=∠HNG+40°，当NG∥MF时，求 ∠AME的度数， (3)在(2)的条件下，如图3，直线ME交直线NG于点R,直线NH交直线FM于点S, ∠NRM的平分线所在直线与∠NSF的平分线所在直线交于点K.若∠HNG=50°，当 点N在线段EF上移动时，求∠RKS的度数. A HM B B HM B 入B 图1 图2 图3 备用图 《15 提分练习 练习16二元一次方程整数解问题 【方法提示】确定二元一次方程整数解的方法：首先用一个未知数的代数式表示另外一个未知 数，再对一个未知数取值求出另外一个未知数.确定二元一次方程恒定解的方法有两种：(1)特 殊值法，即对其中参数取特殊值，求出这组解；(2)将方程转化，根据“0乘任何数都得0”求解. 1.二元一次方程2x+3y=12的正整数解有 () A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 2.已知关于x、y的二元一次方程(3x一2y十9)十m(2x十y一1)=0，不论m取何值，方程总有 一个固定不变的解，这个解是 3.已知关于x、y的方程m.x十ny=m一2n,其中m、n是常数， (1)若=2，则兰的值是 (2)不论m、n取何值，该方程始终成立，则x一y的值是 4.已知关于x、y的二元一次方程ax十3y+b=0(a、b均为常数，且a≠0). (1)当a=1,b=一2时，用含x的代数式表示y: ”是该二元一次方程的一个解. ①探索a与b的关系，并说明理由； ②无论a、b取何值，这些方程都有一个公共的解，请求出这个公共解. 16》练习14折叠问题中角度的计算 1.C解析：由折叠可知，∠BEC=∠BEC, ∠B'CE=∠BCE,∠CB'E=∠B=90°，∴.∠B'CB= 2∠B'CE.AB'∥EC,.∠B'EC=∠BEC= ∠AB'E=B,∴∠B'CE=∠BCE=90°-∠B'EC= 90°-R.在长方形ABCD中，∠BCD=90°，即∠B'CD+ ∠BCB=90,e+2(90°-B=90,g=45+2a, .若a增大了10°，则3增大了5°. 2.70°或110°解析：分两种情况.当点N在射 线OA上运动时，如图1，延长CO到点D,∠BOC= 70°，.∠NOC=180°-∠BOC=110°，由折叠得， ∠NOM=∠NOM=110°，.CO∥AB,.∠ONO= ∠DON,∴.∠COM+∠DON=180°-∠NOM= 180°-110°=70°，.∠C0M+∠ON0=70°；当点 N在射线OB上运动时，如图2，延长CO到点E,由 折叠得，∠NOM=∠BOC=70°，：CO∥AB, ∴.∠ONO=∠EON,.∠COM+∠EON=180° ∠NOM=180°-70°=110°，.∠C0M+∠ONO= 110°.综上所述，当CO∥AB时，∠COM+∠ONO= 70°或∠COM+∠ONO=110°. D--- O B 图1 图2 3.(1)∠1=2∠ACB解析：由折叠的性质得， ∠CDM=∠C.∠1=∠C+∠CDM,∴.∠1= 2∠C,即∠1=2∠ACB.(2)由折叠的性质可得 ∠DMN=∠CMN,∠DNM=∠CNM,∠D=∠C. ,∠DMN+∠CMN+∠1=180°，∠DNM+ ∠CNM+∠2=180°，.2∠CMN+2∠CNM+ ∠1+∠2=360°.'∠D+∠DMN+∠DNM+ ∠CMN+∠CNM+∠C=360°，∴.2∠ACB+ 2∠CMN+2∠CNM=360°，.∠1+∠2=2∠ACB. 练习15旋转性质的运用 1.A解析：若CD平分∠ADB,则∠ADC= 45°，.∠BCD=∠A十∠ADC=60°+45°=105°，故 ①错误；若AB∥DF,且AB在DF的上方，则 ∠BDF=∠ABD=30°，∴.∠BDC=∠EDF- ∠BDF=15°，故②错误；若∠ADF=120°，且AD在 DF的下方时，则∠ADC=15°，故③错误；若AB⊥ FD,且EF⊥DF,则EF∥AB,故④正确.综上所述， 正确的结论有1个. 2.75°、120°或150°解析：当DE∥AC时，如图 1,∠BFE=∠A=60°，∠D=∠BEF=45°，.∠ABE= 180°-∠BEF-∠BFE=180°-45°-60°=75°；当 BE∥AC时，如图2，∠CBE=∠C=90°-∠A= 90°-60°=30°，.∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°+ 30°=120°；当BD∥AC时，如图3，∠CBD=∠C= 90°-∠A=90°-60°=30°，.∠ABE=360°- (∠ABC+∠CBD+∠DBE)=360°-(90°+30°+ 90)=150°.综上所述，∠ABE的度数为75°、120° 或150°. 图 图2 图3 3.(1).AB∥CD,.∠AHN=∠DNH ,∠DNH=2∠AME,.∠AHN=2∠AME. .∠AHN=∠AME+∠MPH,∴.2∠AME= ∠AME+∠MPH,∴.∠MPH=∠AME.(2)设 ∠AME=a,∠HNG=B,则∠DNH=2a,∠EMF= B+40°，∠DNG=∠DNH+∠HNG=2a+B, ∠AMF=∠AME+∠EMF-&+B+40°.：NG∥ MF,∴.∠DFM=∠DNG=-2a+R.AB∥CD, ∴.∠AMF=∠DFM,即a十B+40°=2a十B,解得a= 40°，∴.∠AME=40°.(3)由题意知，∠AME=40°， ∠HNG=50°，∠DNH=80°，∠EMF=90°.分两种 情况：①当点S在AB下方时，如图1，.NG∥MF, ∴.∠NSM=∠HNG=50°，∠NRM=180°-∠EMF= 90°，，RK是∠NRM的平分线，SK是∠NSF的平 分线，∠1=2∠NRM=45,∠2=2∠NSM= 25°，过点K作KT∥GN,.∠3=∠1=45°，NG∥ MF,.KT∥MF,.∠4=∠2=25°，.∠RKS= ∠3+∠4=45°+25°=70°；②当点S在AB上方时， 如图2，同理①可得，∠1=45°，∠2=25°，过点K作 《45 KQ∥MF,则KQ∥GN∥MF,∴.∠1=∠3=45°， ∠2=∠4=25°，.∠RKS=180°-∠3-∠4=110°. 综上所述，∠RKS的度数为70°或110°. F D F R片 B G可 B P外 图1 图2 练习16二元一次方程整数解问题 1.A解析：2x+3y=12,.3y=12-2x,.y= 232红.xy都是正整数，12-2x为3的倍数， ∴.由12-2x=3,解得x=4.5(不符合题意，舍去)； 由12一2x=6,解得x=3,则y=2;由12一2x=9,解 得x=1.5(不符合题意，舍去)；由12-2x=12,解得 x=0(不符合题意，舍去).综上所述，二元一次方程 2x+3)=12的正整数解有1组，为2=3， y=2. (x=一1， 2. 解析：根据题意，得 (y=3 (2x+y-1=0, 3x-2y+9=0, 解得2=1， (y=3. 3.)-2 解析：.mx十ny=m-2n,.mx一 m=-2n-y,.(x-1)m=(-2-y)n.=2, m=二2二义=2，整理得y=-2x,= n x-1 y-2.x 一).(2)3解析：不论m、n取何值，该方程始 2· 终成立，且由(1)知(x-1)m=(-2-y)n,.x-1= 0,-2-y=0,解得x=1,y=-2,∴.x-y=1 (-2)=3. 4.(1y-2写解析：把a=1,b=-2代人ax十 3y+b=0,得x+3y-2=0,3y=2-x,y=2,x 31 (2)①a=6.理由如下：把2=2，代入ax十3十6= y=-b1 0,得2a-3b+b=0,.2a-2b=0,即2a=2b,∴.a= b.②由①可知，a=b,.原方程可化为ax十3y十 a=0,即a(x十1)十3y=0.根据题意，得 c十1=0，解得=0，运共解为一1， 3y=0, (y=0. 46 练习17根据方程组的解之间的关系 求方程组中的参数 1.-2y=m0'@×4-①，得3x-2y=11m 1x-y=3m②， 又.3x-2y=11,.11m=11,解得m=1. 2.+2=6+70。②-0，得2x+3y (3x+5y=4k+18②， 3张+11.又：关于xy的方程组亿+2y=6+7, 的 3x+5y=4k+18 解也是方程2x+3y=11的解，∴.3k+11=11,解得 k=0. 3.(1)将方程x+2y一6=0转化为x=6一2y, 当y=1时，x=4;当y=2时，x=2,.方程x十2y一 6=0的所有正整数解为x=2,x=4, (2)由题 y=2,ly=1. 意，得x十y=0, 心解得6把}。代 x+2y-6=0, y=6 入x-2y+mz+5=0,解得m=-13. 6 (3)原方程 整理，得(1十m)x-2y=-5,当x=0时，y=2, x=0, 即方程x一2y十mx十5=0固定的解为5 y=2 (4/x+2y-6=00, ①十②得2x一6+m.x+ x-2y+mx+5=0②， 5=0心x2主mx恰为整数，m也为整数，2十 m=1或-1，即m=-1或-3. 练习18整体思想巧求方程组的解 35解析：两式相加，得6z=12,解 1.(1)/x=2, 得x=2:两式相减，得=14，解得y=名“此方程 x=2, 组的解为 7 (2)由题意，得3x2=1又 y=2 3x+2y=13, x=2, /m+5=2, /m=-3, =多n+3-子，解得1 由(1)知，解为7，即 2’(m=2 11 m= 21 (3) 解析：设m十n=x,m一n=y.由题 3 意，得8x二二2解得，区=4即m十”=4 3x+2y=26, ’y=7,{m-n=7,