第12章 定义 命题 证明-【课时提优计划作业本】2025-2026学年七年级数学下册同步训练（苏科版·新教材）

6一3x;移项、合并同类项，得5x≤10；系数化为1，得x≤2.解 集在数轴上表示如图： 012 1.1)3zty-t3a0'①+@，得4红+4y=4+4a,得 x+3y=2+a②. x十y=1十a,又.x+y<0,.1+a<0,解得a<-1. (2):a<-1,1-a>0,a+2<0,1-a+la+2|= 11 1-a-a-z=2-2a. 考点三：12.C解析：解不等式3x一2≥4，得x≥2；解不等式 2x<x十6，得x<6.∴.不等式组的解集为2≤x<6.解集在数 轴上表示如图： 02 6 13.1解析：解不等式5x-2>3x一4，得x>一1；解不等式 }x≥x二名得x≤1.不等式组的解集为-1<x≤1： 等式组的最大整数解为1.14.一1≤m<0解析： {2x-3≥3(z-2)②.解不等式0，得x>m;解不等式②，得 (x-m>0①， x≤3.：原不等式组有解，∴.原不等式组的解集为m<x≤3. :该不等式组恰好有四个整数解，∴.整数解为0、1、2、3， 2x-1<-9①， .-1≤m<0.15.(1) {1-x≥2+@. 解不等式①，得x< 3 一4：解不等式@，得≤子.“不等式组的解集为x<-4 (2)解不等式2x-2)<x+3,得x<7;解不等式<2x 得>号∴不等式组的解集为号<x<7 考点四：16.(1)设A种湘绣作品的单价为x元/件，B种湘绣 作品的单价为y元/件.根据题意，得：+2=70， 解得 {2x+3y=1200, (工=300·答：A种湘绣作品的单价为300元/件，B种湘绣作 y=200. 品的单价为200元/件.(2)设购买A种湘绣作品m件，则 购买B种湘绣作品(200一m)件.根据题意，得300m+ 200(200一m)≤50000，解得m≤100.答：最多能购买A种湘 绣作品100件. 直击中考前沿 1.A2.C解析：移项、合并同类项，得2x≤1；系数化为 1,得x≤2.3.A4.C解析：设小明要答对x道题，则答 错或不答的题数为(20-x)道.根据题意，得10x一5(20一x)≥ 80,解得x≥12，.他至少要答对12道题.5.x<16.m 3解析：解不等式x-3>-1,得x>2;解不等式-x< -m十1，得x>m-1.不等式组的解集为x>2,∴m-1≤ 2,解得m≤3.7.一2a<-1解析：解不等式2x-3≤0， 得x≤号；解不等式x一a>0,得x>a.“此不等式组恰有 3个整数解，则这3个整数解为1、0、-1，∴.一2≤a<一1. 8.一17≤P<一7解析：根据题意，得 课时提优计划作业本·鸯 (a+3(1-2a)≥-2①， 1-2a+3(1+4a)>P②， 解不等式①，得a≤l;解不等式②， 得a>P。3.:不等式组有3个整数解，整数解为-1,01， 101 二-2≤03<1，解得-17≤P<-7.9.解不等式①，得 x<2;解不等式②，得x>一3，.原不等式组的解集为一3< x<2.10.(1)设A种材料的单价为x元，则B种材料的单 价为(x一3)元.根据题意，得4x=6(x一3)，解得x=9,.x 3=6.答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元， (2)设购买A种材料m件，则购买B种材料(50一m)件.根据 题意，得9m十6(50一m)≤360，解得m≤20.答：最多能购买 A种材料20件. 第12章定义命题证明 12.1定义 课堂演练 1.A2.A3.C4.D解析：有理数可分为正有理数、0 和负有理数，故A选项不符合题意；正整数集合、0与负整数 集合合在一起构成整数集合，故B选项不符合题意；0是整 数，但不是分数，故C选项不符合题意；整数和分数统称为有 理数，故D选项符合题意.5.4解析：：单项式一x-y 与2xy动是同类项，.1-a=3,2b=4,解得a=-2,b=2, .ab=(-2)2=4.6.-2解析：(a-2)xa1-1十3>5是 关于x的一元一次不等式，∴.|a-1=1且a-2≠0，解得a= 一2.7.①等边三角形②等腰直角三角形 课后拓展 8.C9.一6或8解析：当x≥5时，2x一5=11，解得x=8; 当x<5时，-x十5=11，解得x=-6.综上所述，x的值为-6 成总、10-名解斩：“点A在数输上表示的数是一合 1 =号，即点A在数轴上表示的数是号，依此类 11 一3 1-（-2) 推，点A3在数轴上表示的数是3，点A4在数轴上表示的数是 2,…由此可见，从点A开始，这列点在数轴上所表 示的数按-合，号3循环出现，2026÷3=675…1点 1 A2在数轴上表示的数是-2·11.(1)28和2028是“神 秘数”.理由如下：，28=4×7=82一62,2028=4×507= 5082一5062，.28和2028这两个数是“神秘数”.(2)是.理 由如下："'(2n十2)2-(2n)2=4n2+8n十4-4n2=4(2n+1), ∴这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数.(3)不是. 理由如下：由(2)可知，“神秘数”可表示为4(2n+1),2+1是 奇数，因此“神秘数”是4的倍数，不是8的倍数..(2n+3)2 (2n+1)2=4n2+12n+9-4n2-4n-1=4(2n+2)=8(n+1), ∴两个连续奇数的平方差(n取正数)不是“神秘数” 12.(1)OC为∠AOB的“分补线”.理由如下：∠AOB= 140°，∠AOC=100°，∴.∠BOC=∠AOB-∠AOC=40. ∠AOB+∠BOC=140°+40°=180°，∴.OC为∠AOB的“分 补线”.(2)①：OD平分∠AOB,∴∠AOD=∠BOD= 号∠AOB.:OC为∠AOB的“分补线”，OCOD重合， 号∠A0B+∠A0B-180,∠A0B-120:@如图.设 学·七年级下册(SK版) 5 ∠BOC=&..OC为∠AOB的“分补线”，.∠AOB十 ∠BOC=180°，.∠AOB=180°一a.OD平分∠AOB, ∴∠A0D=∠B0D=3(180-a)=90-g∠C0D= ∠A0C∠A0D=180-a-a-(90'-号）-90°-2.0D 为∠AOC的“分补线”，.有两种可能：∠AOD十∠AOC= 180°或∠C0D+∠AOC=180°.当∠AOD+∠AOC=180°时， 90°-号十180°-a-a=180°，解得a=36,∠A0B=180°- 36°=14；当∠C0D+∠A0C=180时，90°-竖+180°-a a=180,解得&=(19），∠A0B=180-(1) (98）综上所述，∠A0B的度数为14或(9）) 12.2命题 课堂演练 1.B2.A3.B4.如果两个角相等，那么这两个角是对 顶角5.一个角是已知角的补角这个角大于已知角 6.如果a2=b,那么a=b假7.(1)是命题.如果两个角是 对顶角，那么这两个角相等.真命题.(2)不是命题.(3)是 命题.如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互 余.真命题.8.(1)如果a十b=0,那么a=|b,是真命题， 其逆命题为如果|a=b,那么a十b=0,是假命题.(2)如 果a>0,那么a>0,是真命题，其逆命题为如果a2>0,那么 α>0，是假命题.(3)等角的补角相等，是真命题，其逆命题 为如果两个角的补角相等，那么这两个角相等，是真命题 (4)四边形的内角和为360°，是真命题，其逆命题为内角和为 360°的多边形是四边形，是真命题. 课后拓展 9.B解析：①“两直线平行，内错角相等”的逆命题为“内错 角相等，两直线平行”，是真命题，符合题意；②“若a=b,则 a2=b2”的逆命题为“若a2=b,则a=b”,是假命题，不符合题 意；③“相等的角是对顶角”的逆命题是“对顶角相等”，是真命 题，符合题意；④“等边三角形的其中一个角是60°”的逆命题 是“有一个角是60°的三角形是等边三角形”，是假命题，不符 合题意.综上所述，逆命题是真命题的有2个.10.C 解析：一共有三种命题组合方式，分别为：①如果a>b,c<0, 那么a(c-1)<b(c-1),是真命题；②如果a>b,a(c-1)< b(c-1),那么c<0,是假命题；③如果c<0,a(c一1)<b(c- 1),那么a>b,是真命题.11.②③④12.(1)（任选一种作 答即可)①②为条件，③为结论，证明如下：：DF∥AE, .∠A=∠DFB,∠FDE=∠A,.∠FDE=∠DFB .DE∥BA;①③为条件，②为结论，证明如下：DF∥AE, DE∥BA,∴.∠A=∠DFB,∠FDE=∠DFB,.∠FDE= ∠A;②③为条件，①为结论，证明如下：：DE∥BA,.∠FDE ∠DFB,'∠FDE=∠A,∠A=∠DFB,∴DF∥AE. (2)·∠FDE=∠A,∠A=∠BDF=2∠EDC,∠FDE+ ∠BDF+∠EDC-180,:∠A+∠A+号∠A-180, 课时提优计划作业本·鸯 .∠A=72°.DF∥AE,.∠AFD=180°-∠A=108°. 13.(1)证明：AB∥DE,BC∥DF,.∠B=∠CGE,∠D= ∠CGE,∠B=∠D.(2)∠B十∠D=180°.理由如下： AB∥DE,BC∥DF,∴.∠B+∠DGB=180°，∠D=∠DGB, .∠B+∠D=180°.(3)相等或互补 12.3证明 课堂演练 1.D2.B3.C解析：(2n+3)2-25=[(2m+3)+5][(2n+ 3)-5]=(2n+8)(2n-2)=4(n+4)(n-1),.(2n+3)2-25 一定能被4整除.4.a∥c5.70°解析：如图.，∠1十 ∠2=180°，∠1+∠6=180°，.∠2=∠6，.a∥b,.∠4= ∠5..∠3=110°，∴.∠5=180°-110°=70°，∴.∠4=70°. -b 6.同旁内角互补，两直线平行∠BAP=∠APC等式的性 质AE∥PF7.证明：设两个奇数分别为m=2k十1，n= 2s十1（其中k、s都为整数），∴.m十n=2k+1+2s+1=2(k十 s十1).：k5都是整数，k十s十1是整数，∴.2(k十5十1)一定 能被2整除，∴m十n一定能被2整除，∴.两个奇数的和是 偶数. 课后拓展 8.B解析：如图，第一次拐的角是∠1，第二次拐的角是∠2， ·两次拐弯后，汽车在原来的方向上平行前进，·∠1=∠2 由此可知，两次拐弯的方向不相同，但角度相等，观察四个选 项可知，只有选项B符合题意」 2 9.C解析：.∠ABE=160°，∠CDF=150°，.∠ABP=180°- ∠ABE=20°，∠CDP=180°-∠CDF=30°..AB∥CD∥ MN,∴.∠BPN=∠ABP=20°，∠DPN=∠CDP=30°， ∴.∠EPF=∠BPN+∠DPN=20°+30°=50°.10.44°解 析：：AD∥BC,∠CEF=68°，.∠AFE=∠CEF=68°， ∠EFD=180°-∠AFE=112°.由折叠，得∠DFE= ∠EFD=112°，.∠GFD=∠DFE-∠AFE=112°-68°= 44°.11.证明：这个四位数为1000a十100b+10c+d. 1000a+100b+10c+d=3(333a+33b+3c)+(a+b+c+d). :a+b+c+d能被3整除，3(333a十33b+3c)也能被3整除， '.这个四位数能被3整除. 专题12代数推理 1.,(2x+3)·(6x+2)-6x(2x+13)+8(7x+2)=12x2+ 4x+18x+6-12x2一78x+56x+16=22,.代数式的值与x 的取值无关.2.(1).A=x一1，B=2x+m,C=2x2+x十 n,A·B=C,.(x-1)(2x十m)=2x2+x十n,整理，得 2x+(m-2)z-m=2x2+x+dm-2=10, 解得m=3, 1n=-m②， 学·七年级下册(SK版) 6 n=一3.（2)证明：由m=3,n=一3，得B=2x十3，C=2x2十 x-3,.B2-2C=(2x+3)2-2(2x2+x-3)=4x2+12x+ 9-4x2一2x十6=10x+15=5(2x+3).:x为正整数，.2x十 3为整数，.代数式B2-2C总能被5整除.3.(1)5625 9025解析：752=7×(7+1)×100+25=5625,952=9× (9+1)×100+25=9025.(2)证明：十位数字是a(a是1至 9的整数)，个位数字是5的两位数是10a+5,则(10a十5)2= 100a2+2×10a×5+25=100a2+100a+25,而100a(a+1)+ 25=100a2+100a+25,∴.(10a+5)2=100a(a+1)+25成立 4.任意写出三个个位数是5的两位数：25,65,75，则252= (10×2+1×5)2=(2×5X2+1×5)2=[5×(2×2+1)]2= 25×(2×2+1)2,652=(10X6+1×5)2=(2X5×6+1×5)2= [5×(2×6+1)]2=25×(2×6+1)2,752=(10×7+1×5)2= (2×5×7+1×5)2=[5×(2×7+1)]2=25×(2×7+1)2,由 此发现，以上数均能被25整除，假设这两位数为10x十5，则 (10x+5)2=(x×2×5+1×5)=25(2x十1)2.5.(1)证明： a2-8a十10=a2-8a+16-16+10=(a-4)2一6，不论a取何 值，(a一4)2≥0，当且仅当a=4时等号成立，.(a一4)2一6≥ -6,∴.a2-8a+10的最小值为-6.(2)-2x2+12x-7= -2(x2-6.x)-7=-2(x2-6x+9-9)-7=-2(x-3)2+ 11,不论x取何值，(x一3)≥0，当且仅当x=3时等号成立， .一2(x一3)2+11≤11，.当x=3时，代数式一2x2+12x一7 有最大值11.6.(1)证法1：x2一y2=(x+y)(x一y),且 x>y>0,x十y>0,x-y>0,.x2-y2>0.证法2：x> y>0,∴.x>xy,xy>y(不等式的两边都乘以同一个正数， 不等号的方向不变)，.x2>y2(不等式的传递性)，x2 y>0.(2)证明：a<b,a+b26,.ab<b 专题13平行线性质与判定综合推理 1.:BF,DE分别平分∠ABC与∠ADC,∠I=合∠ABC, ∠2=2∠ADC.又：∠ABC=∠ADC,∠1=∠2.又'∠1= ∠3，∴∠2=∠3，.AB∥DC.2.证明：AB∥CD, ∴.∠ABC+∠BCD=180°.：BD平分∠ABC,CA平分 ∠BCD,∠CBE=∠ABC,∠BCE-2∠BCD,∠CBE+ ∠BCE=2(∠ABC+∠BCD)=号X180=90,∴∠BBC- 90°，.AC⊥BD.3.证明：AC∥DE(已知)，∴.∠BCA= ∠BED(两直线平行，同位角相等)，即∠1十∠2=∠4十∠5， ∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）.，·DC∥EF(已知)， ∠3=∠4（两直线平行，内错角相等），.∠1=∠4（等量代 换)，.∠2=∠5（等式的性质）.CD平分∠BCA(已知)， ∠1=∠2（角平分线的定义），.∠4=∠5（等量代换）， .EF平分∠BED(角平分线的定义).4.，AB∥CD, .∠BED=∠B=100°..EG平分∠BED,.∠DEG 7∠BED=7×10o0=50.:EF1EG,∠GEF=90 .∠GEF+∠FEC+∠DEG=180°，∴.∠FEC=40°. 5.(1)EG∥CD.证明如下：.DF∥AC,.∠CDF=∠ACD .∠CDF+∠CEG=180°，，.∠ACD+∠CEG=180°，∴.EG∥ CD.(2).EG⊥AB,EG∥CD,∴.CD⊥AB,∴.∠CDB=90° :DF平分∠BDC,∠BDF-号∠CDB-号X90-45 2 课时提优计划作业本·鸯 .DF∥AC,.∠A=∠BDF=45°.6.(1)证明：AE平分 ∠CAF,∴.∠EAF=∠EAC.'∠FEA=∠EAF,.∠FEA= ∠EAC,.EF∥AC.(2)AC平分∠DAB,.∠DAC= ∠BAC.设∠DAC=∠BAC=x,则∠DAB=2x.,∠FEA- ∠DAC=50°，∴.∠FEA=∠DAC+50°=x+50°，.∴.∠EAF= ∠EAC=∠FEA=x+50°，∴.∠BAF=∠EAF+∠EAC+ ∠BAC=x+50°+x+50°+x=3x+100°.∠BAF与 ∠BAD互补，∴∠BAF+∠BAD=180°，.3x+100°+2x= 180°，解得x=16°，.∴.∠EAF=∠FEA=x+50°=66°， ∴.∠F=180°-∠FEA-∠EAF=180°-66°-66°=48°. 7.(1)证明：.AB∥CD,∴.∠B=∠DCE..∠B=∠D, .∠DCE=∠D,.AD∥BE.(2).AB∥CD,∠2=60°， ∴.∠BAE=∠2=60°，∠BAC=∠ACD,∠B=∠DCE, .∠EAC+∠BAC=60°.·∠BAC=2∠EAC,.∠EAC= 20°，∴.∠BAC=∠ACD=40°..∠1+∠ACD+∠DCE=180°， .∠DCE=180°-∠1-∠ACD=180°-60°-40°=80°， .∠B=∠DCE=80°.8.(1)证明：，AD∥BC,.∠A十 ∠B=180°.∠A=∠C,∴.∠C+∠B=180°，AB∥CD. (2)∠1=∠2.理由如下：AD∥BC,.∠2=∠G,∠AEB= ∠CBE.:∠AEB=2∠G,.∠CBE=2∠G,∠1+∠2= 2∠G,.∠1=∠G,又，∠2=∠G,∴∠1=∠2. 周练（九） 1.C2.C3.C4.C解析：①“同旁内角互补，两直线平 行”的逆命题是“两直线平行，同旁内角互补”，是真命题； ②“若|a=|bl,则a=b”的逆命题是“若a=b,则|a=|b”, 是真命题；③“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”， 是假命题.5.C解析：当∠C=40°时，此时∠C=∠D,则 AC∥DE,原说法错误，故A选项不符合题意；当∠B=40°时， 此时∠B=∠D,无法证明平行，原说法错误，故B选项不符合 题意；当∠BOC=140°时，∠DOF=140°，此时∠DOF+∠D= 180°，则BF∥DE,原说法正确，故C选项符合题意；当∠F= 40时，此时∠F=∠D,无法证明平行，原说法错误，故D选项 不符合题意.6.如果一个数是正数，那么这个数大于0 7.一110（答案不唯一）8.等腰三角形是等边三角形 假9.①②③④解析：∠1=∠2，由内错角相等，两直线平 行可判定a∥b,故①符合题意；∠3+∠4=180°，由同旁内角 互补，两直线平行可判定a∥b,故②符合题意；，∠3=180° ∠6，∠4=180°-∠5，.∠3+∠4=360°-（∠6+∠5）， ∠5+∠6=180°，.∠3+∠4=180°，.a∥b,故③符合题 意；∠7=∠2+∠3，∠7=∠1+∠3，.∠1=∠2，.a∥b, 故④符合题意.综上所述，能够判定直线a∥b的是①②③④. 10.120°解析：.AB∥CD∥EF,.∠DEF=∠D,∠C ∠B=60°.BC∥DE,∴.∠C+∠D=180°，.∠D=120°， .∠DEF=120°.11.180°解析：如图，延长CD至点G. AB∥CD,.∠a+∠ADG=180.:CD∥EF,∴∠Y= ∠FDG,∴.∠a+∠B-∠Y=∠a+∠ADG+∠FDG-∠Y= ∠a+∠ADG=180° a D E 学·七年级下册(SK版) 7 12.同位角相等，两直线平行∠4两直线平行，同旁内角 互补等量代换DE∥AC两直线平行，同位角相等 13.已知：①∠1=∠2，②∠B=∠C；求证：③∠A=∠D.证 明：∠AGB=∠2，∠1=∠2，∠AGB=∠1，.CE∥FB .∠AEC=∠B.又.∠B=∠C,.∠AEC=∠C,.AB∥ CD,∴∠A=∠D.已知：③∠A=∠D,②∠B=∠C;求证： ①∠1=∠2.证明：.∠A=∠D,.AB∥CD,.∠AEC= ∠C.又∠B=∠C,.∠AEC=∠B,∴.CE∥FB,.∠AGB= ∠1..∠AGB=∠2，∴.∠1=∠2.已知：③∠A=∠D, ①∠1=∠2；求证：②∠B=∠C.证明：：∠A=∠D,.AB∥ CD,.∠AEC=∠C..∠AGB=∠2，∠1=∠2，.∠AGB= ∠1，∴.CE∥FB,.∠AEC=∠B,∴.∠B=∠C.14.验证： .(6+3)2-62=92-62=(9+6)×(9-6)=3×(9+6) ∴.(6+3)2-62能被3整除.证明：(2n+3)2一(2n)2= (2n+3+2n)(2n+3-2n)=3(4n+3),∴.(2n+3)2-(2n)2能 被3整除，即比2n大3的数与2n的平方差能被3整除. 15.(1)平行.理由如下：，MG∥FN,∴.∠EFN=∠EMG. ∠EFN=∠G,∠G=∠EMG,∴.EF∥GH.(2)证明：如 图，延长EF交CD于点P.AB∥CD,.∠AEF=∠EPH. .'EP∥GH,.∠EPH=∠GHD,∴.∠AEF=∠GHD. AE B M C D 12.4定理 第1课时三角形内角和定理及其推论 课堂演练 1.A解析：可以判断真假的陈述句叫作命题，故①说法错 误；根据定理的定义可知，真命题不一定是定理，故②说法错 误；定理是由基本定义出发，通过推理判断为正确的命题，故 ③说法错误；“同位角相等”是假命题，定理都是真命题，故④ 说法错误.综上所述，说法正确的有0个，2.D解析：在证 明过程中，定义、基本事实、定理、题设（已知条件）都可以作为 逻辑推理的依据.3.B解析：.∠A=50°，∠C=60°， .∠CBD=∠A+∠C=50°+60°=110°..BE为△ABC的 外角∠CBD的平分线，∠EBD=号∠CBD=55,490 解析：∠A+∠1+∠ADE=180°，∠A+∠B+∠C=180°， ∠1=∠B,∴.∠ADE=∠C..∠C=90°，∴.∠ADE=90 5.75°解析：：∠ACB=90°，∠A=30°，∴.∠ABC=60° ∠ABC=∠F+∠BDF,∠F=45°，∴∠BDF=∠ABC ∠F=60°-45°=15°.：∠EDF=90°，∴.∠EDB=∠EDF ∠BDF=90°-15°=75°.6.证明：AD是△ABC的角平 分线，.∠DAC=∠BAD.:∠ADE=∠DAE,∴∠ADE- ∠BAD=∠DAE-∠DAC..'∠ADE-∠BAD=∠B, ∠DAE-∠DAC=∠EAC,.∠EAC=∠B.7.方法一：如 图1，连接AC并延长，在△ADC中，∠1=∠D+∠DAC,在 △ABC中，∠2=∠B+∠BAC,∴.∠BCD=∠1+∠2= ∠D+∠B+∠BAC+∠DAC=∠D+∠B+∠BAD=140° ∴.李叔叔量得∠BCD=142°，就可以断定这个零件不合格. 方法二：如图2，延长DC交AB于点M,∠CMB=∠A十 课时提优计划作业本·鸯 ∠D=90°+30°=120°，.∠DCB=∠CMB+∠B=120°+ 20°=140°，∴.李叔叔量得∠BCD=142°，就可以断定这个零件 不合格. M 图1 图2 课后拓展 8.C解析：如图，：∠3=110°，∴.∠4=180°-∠3=70°， ∴.∠1-∠2=∠4=70°. 62 9.55°解析：.AB∥CD,∠B=130°，.∠BCF=∠B= 130°，.∠ECF=180°-∠BCF=180°-130°=50°.：∠DFE= ∠ECF+∠E,∠DFE=105°，.∠E=∠DFE-∠ECF= 105°-50°=55°.10.a十23=180°解析：，BF和CG分别 是∠ABD和∠ACE的平分线，.设∠ABF=∠DBF=O, ∠ACG=∠ECG=P,则∠ABD=20,∠CBH=∠DBF=0, ∠ACE=2p,∠BCH=∠ECG=P,∴∠ABC=180°-∠ABD= 180°-20，∠ACB=180°-∠ACE=180°-2g.在△ABC中， ∠A+∠ABC+∠ACB=180°，a+180°-20+180°-2p= 180,整理，得0+9=90+号a.在R△HBC中，∠H十 ∠CBH+∠BCH=180,9+0+p=180,8+90+7a= 180°，整理，得a+2B=180°.11.证明：(1)：∠ACD是 △ABC的一个外角，∠2是△BCE的一个外角，∴.∠ACD= ∠ABC+∠A,∠2=∠1+∠E,.∠A=∠ACD-∠ABC, ∠E=∠2-∠1.CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC 的平分线，.∠ACD=2∠2，∠ABC=2∠1，∠A=2∠2- 2∠1=2（∠2-∠1）=2∠E.(2)由(1)，得∠A=2∠E. .∠A=∠ABC,∠ABC=2∠4，∴.2∠E=2∠4，即∠E=∠4， AB∥CE.12.(1)证明：∠A+∠B+∠AOB=180°， ∠C+∠D+∠COD=180°，∠AOB=∠COD,∴.∠A+∠B= ∠C+∠D.(2)∠B+∠C=2∠P.证明如下：AP、DP分 别是∠BAO、∠CDO的平分线，.∠BAP=∠PAC= 合∠BA0,∠BDP=∠PDC=合∠CDO.由(I),得∠B+ ∠BAP=∠BDP+∠P,∠PDC+∠C=∠PAO+∠P,即 ∠B+日∠BA0=合∠CD0+∠P,∠C+合∠CD0 2∠BAO+∠P,·∠B+∠BA0+∠C+∠CD0- 合∠CDO+∠P+∠BAO+∠P,即∠B+∠C=2∠P. (3)2∠P=∠B+∠C.证明如下：，∠BAO与∠CDO的相邻 补角的平分线交于点P,.∠PAB=号(180-∠BAO), ∠PDB-(180-∠BDC.:∠P+∠PaB-∠B+ 学·七年级下册(SK版) ∠PDB,∠P+合(180-∠BA0)=∠B+号(180 ∠BDC),即2∠P-∠BAO=2∠B-∠BDC①.又：∠BAO+ ∠B=∠C+∠BDC②，①+②，得2∠P=∠B+∠C 专题14三角形角平分线的综合应用 1.(1):CD平分∠ACB,∠ACB=70°，.∠ACD= 2∠ACB=35.:∠ADC=80,∠BAC=180-∠ACD ∠ADC=180°-35°-80°=65°.(2)由(1)，得∠BAC=65°. AH⊥BC,.∠AHC=90°，∠HAC=90°-∠ACB= 90°-70°=20°，.∠BAH=∠BAC-∠HAC=65°-20°= 45°.2.(1)：∠BAC+∠B+∠C=180°，∠B=20°，∠C= 60°，∴∠BAC=180°-20°-60°=100°.：AE是∠BAC的平 分线，.∠BAE=∠CAE=号∠BAC=50.:AD⊥BC, ∴∠ADC=∠ADB=90°，.∠CAD=90°-∠C=30°， .∠DAE=∠CAE-∠CAD=50°-30°=20°.(2)①150° 2x°②∠F的度数是定值，∠F=15°，理由如下：：AF平分 ∠BAC,.∠CAF=∠BAF=号∠BAC=75°-x.:FD⊥ BC,∴.∠EDF=90°.：∠F+∠EDF+∠DEF=180°=∠C+ ∠AEC+∠CAE,而∠DEF=∠AEC,∴∠F+∠EDF= ∠C+∠CAE,即∠F+90°=(x+30)°+75°-x°，∴∠F=15. 3.(1)60°解析：：∠ABC=50°，∠ACB=70°，.∠A 180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-70°=60°.(2)130° 解析：∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P,∴.∠1= 2∠ABC,∠2=号∠ACB,∠BPC=180-∠1-∠2 180°-2∠ABC-2∠ACB=180°-2（∠ABC+∠ACB). :∠ABC+∠ACB=180°-∠A,∠BPC=180°-2X(180° ∠A)=90°+号∠A:∠A=80,∠BPC=90°+2X80 130.(3)90°-？∠A解析：由(2)，得∠BPC=90°+ 号∠A,∴∠DPC=180°-∠BPC=180°-(90+2∠A 90-合∠A4.∠1=合∠ABC,∠2=合∠ACB, ·.∠B0C=180°-（∠1+∠2）=180°-3（∠ABC+∠ACB) 180-号(180-∠A),即∠B0C=90°+号∠A:∠1- 3∠ABC,∠2=号∠ACB,∠B0C=180°-（∠1+∠2） 180°-号（∠ABC+∠ACB)=180°-号(180°-∠A),即 ∠B0C=120+3∠A:∠1=7∠ABC,∠2=∠ACB, ∴.∠B0C=180°-（∠1+∠2）=180°-1（∠ABC+∠ACB)= 180-（180-∠A,即∠B0C="元2X180+1∠A 5.65°解析：∠BAC=70°，∠B=50°，∠ACB=180° ∠BAC-∠B=180°-70°-50°=60°，.∠ACD=180° ∠ACB=180°-60°=120°.CP平分∠ACD,.∠ACP= 课时提优计划作业本·鸯 ∠ACD=60.同理可得∠CAP=5,∠P=180 ∠ACP-∠CAP=180°-60°-55°=65°.6.(1)45°解析： 根据题意，得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°一90°=90°， .∠MBC+∠NCB=360°-（∠ABC+∠ACB)=270°. .BP、CP分别平分∠MBC、∠NCB,.∠PBC+∠PCB= (∠MBC+∠NCB)=135,∠BPC=180°-（∠PBC+ ∠PCB)=180°-135°=45°.(2)112.5°解析：由(1)，得 ∠PBC+∠PCB=135°.又：BQ、CQ分别平分∠PBC、 ∠PCB,∠QBC+∠QCB=合（∠PBC+∠PCB)=6.5, ∴.∠BQC=180°-（∠QBC+∠QCB)=180°-67.5°= 112.5°.7.(1)25°解析：：∠ACB=70°，.∠ACD= 180°-∠ACB=180°-70°=110.B0平分∠ABC,C0平分 ∠ACD,∠ABC=60,∠OBC=∠ABC=号×60=30， ∠0cD=号∠ACD=号X10°=5，∠B0C=∠0cD ∠0BC=5°-30=25.(2)∠B0C=合∠BAC.理由如下： 设∠ABC=x°，∠ACB=y°.在△ABC中，∠BAC=(180- x-.:B0平分∠ABC.∴∠0BC=(日：C0平分 ∠ACD,∠0CD=合(180-y,∠B0C=∠0cD- ∠08C=是(180-y°-（合°=合(180-y-)°- 2∠BAC.8.()∠A=80,∠ABC+∠ACB=180°- ∠A=100°.∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P, :∠PBC=吉∠ABC,∠PCB=合∠ACB,∠PBC+ ∠PCB=合∠ABC+号∠ACB=合（∠ABC+∠ACB)= 50°，.∠P=180°-（∠PBC+∠PCB)=130°.(2）由(1)知 ∠ABC+∠ACB=100°，∴.180°-∠MBC+180°-∠NCB= 100°，.∠MBC+∠NCB=260°.∠MBC、∠NCB的平分线 1 交于点Q,·∠QBC=7∠MBC,∠QCB=2 ∠NCB, :∠QBC+∠QCB=合∠MBC+2∠NCB=(∠MBC+ ∠NCB)=130°，.∠Q=180°-（∠QBC+∠QCB)=50. (3)在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，∠A 的度数为60°或90°或120°.理由如下：由(2)知，∠Q=180°- (∠QBC+∠QCB)=180°-2（∠MBC+∠NCB)=180°- 合a80+∠A）=9g-言∠A.:∠QcB=合∠NCB. ∠EBC-号∠ABC,.∠E=∠QCB-∠EBC=合∠NCB 2∠ABC=号（∠NCB-∠ABC)=合∠A.:BP平分 ∠ABC,BQ平分∠MBC,·∠PBC=是∠ABC,∠QBC= ∠MBC,:∠PBQ=∠PBC+∠QBC=合∠ABC+ 号∠MBC=号×180°=90.知果△BQE中，存在一个内角等 学·七年级下册(SK版) 于另一个内角的2倍，那么分四种情况：①当∠EBQ=2∠E 90°时，∠E=45°，.∠A=90°；②当∠EBQ=2∠Q=90°时， ∠Q=45°，.∠E=45°，.∠A=90°；③当∠Q=2∠E时 ∠E=1+2×90°=30，∴∠A=60,④当∠E=2∠Q时， ∠E=1千2×90°=60，∠A=120.综上所述，当∠A的度 2 数为60°或90°或120°时，△BQE中存在一个内角等于另一个 内角的2倍. 第2课时多边形内角和与外角和定理 课堂演练 1.B解析：小强转过的角度之和正好是五边形ABCDE 的外角和，.小强转过的角度之和为360°.2.B解析：设 多边形的边数为n,根据题意，得(n一2)×180°=360°，解得 n=4.3.C解析：，多边形的每一个外角等于30°，.360°÷ 30°=12，∴.这个多边形的边数是12，.其内角和为(12-2)× 180°=1800°.4.A5.1800°解析：(12-2)×180°= 1800°.6.10解析：设这个多边形的边数为n,根据题意， 得(n一2)×180°=360°×4，解得n=10,∴.这个多边形的边数 是10.7.40°解析：正九边形的每个外角的度数为360°÷ 9=40°.8.300°解析：，∠A=120°，，∠A的外角为60°. .∠1+∠2+∠3+∠4+60°=360°，.∠1+∠2+∠3+ ∠4=300°.9.9解析：设多边形的一个外角为α，则与其相 邻的内角为3a十20°.根据题意，得(3a十20)+a=180°，解得 a=40°，即多边形的每个外角为40°，.多边形的边数为360°÷ 40°=9.10.（1)设新多边形的边数为n.根据题意，得(n 2)·180°=2160°，.n=14.剪去一角有如图所示的三种剪 法，剪完后新多边形的边数可以比原多边形的边数多一、相等 或少一，故原多边形的边数为13或14或15， (2)设多边形的边数为n.,2024÷180≈11.2，.n一2=12， .n=14,.少算的内角的度数为180°×12一2024°=136°，故 多边形的边数为14，少算的内角的度数为136°， 课后拓展 11.B解析：根据题意可知，小林一共左转了96÷12=8（次） 回到了点P,.小林从点P出发又回到点P正好走了一个正 八边形，∴.a=360°÷8=45°.12.70°解析：如图，过点C 作CG∥PQ.PQ∥MN,.PQ∥CG∥MN,.∠2=∠BCG, ∠1=∠DCG,∴.∠1+∠2=∠DCG+∠BCG=∠BCD.,六 边形ABCDEF是正六边形，∠BCD=(6-2)X180 6 120°.∠1=50°，.∠2=120°-50°=70°. A B B(2 (第12题) (第13题) 13.360°解析：如图，设AC与DE交于点M,与BF交于点 N.:∠FNM是△ABN的一个外角，∠EMN是△MCD的一 课时提优计划作业本·鸯 个外角，∴.∠FNM=∠A+∠B,∠EMN=∠C+∠D. :∠FNM+∠EMN+∠E+∠F=360°，∴.∠A+∠B+ ∠C+∠D+∠E+∠F=360°.14.(1)：∠ABC=50°， ∠A=∠C=90°，∠ADC=360°-90°-50°-90°=130°. :DF平分∠CDA,∠ADF=∠ADC=65.(2)证明： .∠A=∠C=90°，∴.∠ABC+∠ADC=180°..BE平分 ∠ABC,DF平分∠ADC,·∠ABE=∠CBE=2∠ABC, ∠ADF=∠CDF=∠ADC,·∠ABE+∠ADF= 合（∠ABC+∠ADC)=合×180=90，又：∠ABE+ ∠AEB=90°，.∠ADF=∠AEB,∴.BE∥DF.15.(1)CN∥ BM理由如下：如图1.：a十B=180°，∴.CD∥AB,∴∠ECD= ∠CBA.又：CN平分∠ECD,BM平分∠CBA,∴.∠1= 3∠ECD,∠2=合∠CBA∠1=∠2，：CN/BM 1 M D M 6 ON D B 图1 图2 (2)①20°解析：如图2.，BO、CO分别是∠ABC、∠DCE的 平分线，∴.∠3=∠4，∠1=∠2.设∠1=∠2=x,∠3=∠4= y,∴.∠ECD=∠1+∠2=2x,∠CBA=∠3+∠4=2y.又 :∠5+∠CBA+∠A+∠ADC=360°，且∠A=a,∠ADC= B,∴∠5=360°-a-B-2y.又，∠5+∠ECD=180°，∠5= 180°-2x,.360°-a-B-2y=180°-2x,.2x-2y=a+B 180°..∠1=∠3十∠6，'.∠6=∠1-∠3=x-y,.2∠6= a+B-180°=65°+155°-180°=40°，.∠6=20°，即∠B0C= 20.②∠B0C=十9-90.理由如下：如图2.：B0,C0分 2 别是∠ABC、∠DCE的平分线，∴.∠3=∠4，∠1=∠2.设 ∠1=∠2=x,∠3=∠4=y.同理①可得2x-2y=a十B- 180°.∠1=∠3+∠6，.∠6=∠1-∠3=x-y,.2∠6= a十g-180,∠6=+里-90，即∠B0C=a时9-90. 2 (3)90°-十E解析：如图3.：BM、CN分别是∠ABC、 2 ∠DCE的平分线，∠4=∠5，∠1=∠2.设∠1=∠2=x, ∠4=∠5=y,∠BCD=180°-（∠1+∠2）=180°-2x, ∠CBA=∠4+∠5=2y.又.'∠BCD+∠CBA+∠A+∠D= 360°，且∠A=a,∠D=B,.∠BCD=360°-a-B-2y, .360°-a-3-2y=180°-2x,∴.2x-2y=a+3-180°.又 ∠4=∠3+∠BOC,∴.∠B0C=∠4-∠3=∠4-∠1=y x,-2∠B0C=a+B-180°，∠B0C=90°-a+里 2 2D 图3 学·七年级下册(SK版) 0 第3课时反证法 课堂演练 1.D2.A3.C解析：，∠EAB=64°，∴.∠BAD=180°- ∠EAB=16.:AC平分∠BAD,·∠CAB=号∠BAD= 58°..BC⊥AC,.∠ACB=90°，∴.∠ABC=90°-∠CAB= 32°.，DE∥FG,∴.∠ABF=∠EAB=64°，∴.∠CBF=∠ABF ∠ABC=64°-32°=32°.4.a≥c5.-2(答案不唯一) 6.266°解析：如图，过点E作EM∥AB.:AB∥CD,.AB CD∥EM,∴.∠2+∠AEM=180°，∠3+∠DEM=180°， ∴.∠2+∠AEM+∠3+∠DEM=360°，即∠1+∠2+∠3= 360°，.∠2+∠3=266°. E 7.已知：如图，∠1是△ABC的一个外角，求证：∠1=∠A十 ∠B.证明：假设∠1≠∠A十∠B.在△ABC中，∠A十∠B十 ∠2=180°.，B、C、D在一条直线上，.∠1+∠2=180°， ∴∠A+∠B+∠2≠∠1+∠2=180°，与“∠A+∠B+∠2= 180°”矛盾，.假设不成立，.∠1=∠A+∠B. 2入1 D 8.(1)证明：如图1，过点E作EF∥AB,则∠1=∠B.AB∥ CD,.EF∥CD,.∠2=∠D,.∠B+∠D=∠1+∠2，即 ∠B十∠D=∠BED. A A E G D C 图1 图2 (2)∠B-∠D=∠BED.理由如下：如图2，过点E作EF∥ AB,则∠BEF=∠B.又AB∥CD,.EF∥CD,∴.∠DEF ∠D.又：∠BEF-∠DEF=∠BED,∴∠B-∠D=∠BED. 课后拓展 9.C解析：如图，过点G作GM∥AB,.∠2=∠5.AB∥ CD,.MG∥CD,∴∠6=∠4，∴.∠FGH=∠5+∠6=∠2+ ∠4.：FB、HG分别为∠EFG、∠EHD的平分线，∴∠1= ∠2=合∠EFG,∠3=∠4=合∠EHD,∠E+2∠FGH= ∠E+2(∠5+∠6)=∠E+∠1+∠2+∠3+∠4=∠E+ ∠1+∠2+∠EHD=150°.AB∥CD,.∠ENB=∠EHD, .∠E+∠1+∠2+∠ENB=150°.：∠1=∠E+∠ENB, .∠1+∠1+∠2=150°，.3∠1=150°，∠1=50° ∴.∠EFG=2×50°=100°. N AB C M G--- --D 公4 EE---H CH D ▣N (第9题) (第10题) 课时提优计划作业本·鸯 10.100°解析：如图，过点D作DG∥AB,过点E作EH∥ AB.EF⊥MN,∠MFE=90°.AB∥MN,.AB∥DG∥ EH∥MN,∴.∠ACD+∠CDG=180°，∠GDE=∠DEH, ∠HEF=∠MFE=90°..∠DEF=120°，∠BCD=110°， .∴.∠GDE=∠DEH=30°，∠CDG=180°-110°=70°， ∴.∠CDE=∠CDG+∠GDE=100°.11.30°解析：如图， 过点E作EF∥AB.∠3=160°，∴∠BEF=180°-∠3= 20°..CD∥AB,∴.EF∥CD,∴.∠1=∠FEH=∠2-∠BEF= 50°-20°=30°. 工作篮四B 3 F-- 2少E 、CH1 支撑平台可 12.证明：假设三角形中的所有内角都大于60°，∴.∠A+ ∠B十∠C>180°，这与“三角形的内角和为180”相矛盾，.假 设不成立，.三角形三内角中至少有一个内角小于或等于 60°.13.(1)如图1，过点P作PG∥AB,则∠EPG= ∠BEP=30°.AB∥CD,PG∥CD,.∠FPG=180°- ∠CFP=25°，∴.∠EPF=∠EPG+∠FPG=30°+25°=55° E D -D 图1 图2 (2)∠EPF=∠PFC一∠PEA.理由如下：如图2，过点P作 PG∥AB,.∠EPG=∠PEA.AB∥CD,.PG∥CD, ∴∠PFC=∠FPG.:∠EPF=∠FPG-∠EPG,∴.∠EPF= ∠PFC-∠PEA.(3):FH平分∠PFC,EH平分∠PEA, :∠HFC=号∠PFC,∠HEA-合∠PEA.由(2)，得∠H- ∠HFC-∠HEA.'∠EPF=∠PFC-∠PEA=a,.∠H= ∠HFC-∠HEA=专∠PFC-合∠PEA=(∠PFC ∠PEA)=7,∠H的度数为a 专题15平行线中的拐点问题 1.如图，过点C作CF∥AB.:AB∥DE,DE∥CF, .∠DCF=180°-∠CDE=180°-138°=42°，∴.∠BCF= ∠BCD+∠DCF=30°+42°=72°.又：AB∥CF,∴∠ABC= ∠BCF=72° C F 2.AB∥CD.理由如下：如图，过点E作EF∥AB,则∠ABE十 ∠BEF=180°.：∠ABE=120°，.∠BEF=180°-120°= 60°..∠BEC=95°，∴.∠CEF=95°-60°=35°.又.∠DCE 35°，∴.∠CEF=∠DCE,∴.EF∥CD,∴.AB∥CD A 学·七年级下册(SK版) 1 3.(1)75°解析：如图，过点E作EF∥AB.AB∥CD, ,.AB∥EF∥CD,.∠ABE=∠1，∠DCE=∠2，∴.∠BEC= ∠1+∠2=∠ABE+∠DCE=75°. A 少E D (2)70°解析：：∠ABE和∠DCE的平分线的交点为E1, ∴∠BE,C=∠ABE,+∠DCE:=号（∠ABE+∠DCE)= 之∠BEC=70,(3)会解折：∠ABE和∠DCE,的平 分线的交点为E2,.由(1)，得∠BE2C=∠ABE2十∠DCE2= 2(∠ABE,+∠DCE,)=∠BE,C=∠BEC:∠ABE 和∠DCE2的平分线的交点为E,∴∠BEC=∠ABE十 ∠DCE,=(LABE,+∠DCE,)=∠IBE,C=g∠BEC, …以此类推，∠BE.C=是∠BEC,当∠BEC=a时， ∠BE.C=是.4.(1)①70°解析：如图1，过点F作FH∥ AB.,AB∥CD,AB∥CD∥FH,.∠ABF=∠BFH, ∠CDF=∠DFH,∴.∠ABF+∠CDF=∠BFH+∠DFH= ∠BFD.,∠CDE的平分线与∠ABE的平分线交于点F, .∠ABE=2∠ABF,∠CDE=2∠CDF..∠ABE=60°， ∠CDE=80°，∴.∠ABF=30°，∠CDF=40°，∴.∠BFD=70° ②∠BED=2∠BFD.证明如下：如图1，过点F作FH∥ AB,过点E作EG∥AB.:AB∥CD,AB∥CD∥FH∥EG, '.∠ABF=∠BFH,∠CDF=∠DFH,∠ABE=∠BEG, ∠CDE=∠DEG,∴.∠ABF+∠CDF=∠BFH+∠DFH= ∠BFD,∠ABE+∠CDE=∠BEG+∠DEG=∠BED. :∠CDE的平分线与∠ABE的平分线交于点F,∴.∠ABE= 2∠ABF,∠CDE=2∠CDF,.∠BED=2∠BFD.(2)360° ∠BED=2∠BFD解析：如图2，过点F作FH∥AB,过点E 作EG∥AB.,AB∥CD,∴.AB∥CD∥FH∥GE,∴.∠ABF= ∠BFH,∠CDF=∠DFH,∠ABE=18O°-∠BEG,∠CDE= 18O°-∠DEG,∴.∠ABF+∠CDF=∠BFH+∠DFH= ∠BFD,∠ABE+∠CDE-360°-（∠BEG+∠DEG)=360°- ∠BED.:∠CDE的平分线与∠ABE的平分线交于点F, .∠ABE=2∠ABF,∠CDE=2∠CDF,∴.360°-∠BED= 2∠BFD C 图1 图2 5.A解析：如图，过点E作EF∥CD,则∠FED=∠D. :AB∥CD,∴.EF∥AB,∴∠FEB=∠B.I∠B=2∠D ∠DEB=22°，∴.∠FEB=∠FED+∠DEB=2∠D,∴.∠D十 22°=2∠D,.∠D=22° F-- E D 课时提优计划作业本·鸯 6.A解析：如图，过点E作EM∥AB,则∠MEA=∠EAB AB∥CD,.EM∥CD,.∠MEC=∠C=52°.，∠CEA= 27°，∴∠EAB=∠MEA=∠MEC+∠CEA=79°. M---- 一D 7.(1)如图1，过点C作CF∥AB,∠B+∠BCF=180°.又 AB∥DE,.CF∥DE,.∠FCD+∠D=180°，.∠B+ ∠BCF+∠FCD+∠D=360°，即∠B+∠BCD+∠D=360°， ∴.∠BCD=360°-∠B-∠D=360°-135°-145°=80°. (2)∠B十∠BCD十∠D=360.理由如下：如图1.CF∥AB, ∴.∠B+∠BCF=180.又AB∥DE,∴.CF∥DE,∠FCD+ ∠D=180°，∴∠B+∠BCF+∠FCD+∠D=360°，即∠B+ ∠BCD+∠D=360°.(3)∠B+∠C+∠D+∠E=540°. (4)[180(n-1)]°解析：如图2，过点E作EQ∥CD,过点F 作FW∥CD,过点G作GR∥CD,过点H作HY∥CD.:CD∥ AB,∴.EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD,∴.∠1+∠MEQ= 180°，∠QEF+∠EFW=180°，∠WFG+∠FGR=180°， ∠RGH+∠GHY=180°，∠YHN+∠6=180°，∴.∠1+∠2+ ∠3+∠4+∠5+∠6=5×180°=900°.同理，如题图3，∠1+ ∠2+∠3+…+∠n=(n-1)×180°=[180(n-1)]°. B A E W 4G -D D 图1 图2 8.(I)EG⊥FG.理由如下：：EG平分∠BEF,FG平分∠EFD, ∠EFG=?∠DFE,∠FEG=?∠BER,:AB∥CD, ∴.∠DFE+∠BEF=18O,∴∠EFG+∠FEG=号∠DFE+ 号∠BEF=2(∠DFE+∠BEF)=90,∠EGF=180°- (∠EFG+∠FEG)=90°，∴.EG⊥FG.(2).·∠EFP= ∠EPF,AB∥CD,·∠BEP=∠EPF=∠EFP,设∠BEP= ∠EPF=∠EFP=3x,如图1，当∠BEQ=x,∠PEQ=2x, ∠EFQ=2x,∠QFP=x时，过点Q作QR∥AB,:AB∥CD, ∴.AB∥CD∥QR,∴∠EQR=∠BEQ=x,∠FQR=∠QFD= x,∴.∠EQF=∠EQR十∠FQR=2x,∴.∠EQF=∠EFQ;如 图2，当∠BEQ=x,∠PEQ=2x,∠EFQ=x,∠QFP=2x时， 过点Q作QR∥AB,同理可得∠EQF=∠EQR十∠FQR= 2x十x=3x,.∠EQF=3∠EFQ;如图3，当∠BEQ=2x, ∠PEQ=x,∠EFQ=x,∠QFP=2x时，过点Q作QR∥AB, 同理可得∠EQF=∠EQR+∠FQR=2x+2x=4x,∴.∠EQF= 4∠EFQ;如图4，当∠BEQ=2x,∠PEQ=x,∠EFQ=2x, ∠QFP=x时，过点Q作QR∥AB,同理可得∠EQF= 是∠EFQ综上所述，∠EF与∠EPQ的关系为∠EOF ∠EFQ或∠EQF=3∠EFQ或∠EQF=4∠EFQ或∠EQF= 学·七年级下册(SK版) 号∠EFQ.(3)∠ENK=∠EMK解析：如图5，过点N 作NT∥AB,设EF与NK相交于点S,:AB∥CD,.AB∥ CD∥NT,设∠AEF=2x,∠MKF=2y,∴.∠EFK=∠AEF= 2x.:∠AEM的平分线所在直线与∠MKF的平分线所在直 线相交于点N,∠TNK=∠NKF=∠MKN=号∠MKF- ∠ENT=∠AEN=合∠AEF=x,∴∠MSK=∠EFK+ ∠NKF=2x+y,.∠EMK=∠MSK+∠MKN=2x+2y. :∠ENK=∠ENT+∠TNK=x+y,.∠ENK= ∠EMK. A E B A B R 图1 图2 --- KD 图5 周练（十） 1.B2.D3.D4.A解析：：正三角形的一个内角是 60°，.正n边形的一个内角为(360°-60)÷2=150°，正n 边形的一个外角为180°-150°=30°，∴.n=360°÷30°=12. 5.A解析：如图，延长AB交l2于点F..l1∥L2,.∠BFD ∠2.，正五边形ABCDE的每个外角相等，∴.∠FBC=360°÷ 5=72°.，∠1=∠BFD+∠FBC,.∠1-∠BFD=∠FBC= 72°，即∠1-∠2=72°. 6.8解析：360°÷45°=8.7.8或7或6解析：设新多边 形为n边形，则(n-2)×180°=900°，解得n=7,∴原多边形 的边数为8或7或6.8.144°解析：正五边形内角和为 (5-2)×180°=540°，.每个内角的度数为540°÷5=108°， .∠ABC=360°-2×108°=144°.9.88°解析：：∠A= 42°，.∠ABC+∠ACB=180°-42°=138°.∠ABD= 专∠ABC,∠CBD=号∠ABC:∠BCD=号∠ACB, ∠CBD+∠BCD=号（∠ABC+∠ACB)-号×138=92， ∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB)=88°.10.180° 课时提优计划作业本·鸯 解析：如图，延长EB交AC于点F.∠1=∠C十∠E,∠2 ∠DBE+∠D,且∠1+∠2+∠A=180°，∴.∠A+∠DBE+ ∠C+∠D+∠E=180°. 11,证明：假设一个三角形中最多有一个锐角，则另两个角为 直角或钝角，故此时三角形内角和超过180°，与三角形内角和 定理相矛盾，故假设不成立，∴.△ABC中至少有两个角是锐 角.12.(1)AD∥BE.证明如下：∠1=∠2+∠EBF, ∠ABC=∠EBF+∠ABE,∠ABC=∠1，∴∠ABE=∠2. ∠2+∠A=180°，∴∠ABE+∠A=180°，.AD∥BE. (2),AD⊥CD,.∠D=90°.，AD∥BE,∴.∠BEC=∠D= 90°.：∠FEC=55°，.∠2=∠BEC-∠FEC=35°.由(1)，得 ∠ABE=∠2，.∠ABE=35°.：BE是∠ABC的平分线， ∴.∠EBF=∠ABE=35°.13.(1)证明：如图1，连接BD. ∠A+∠ABD+∠ADB=18O°，∠C+∠CBD+∠CDB= 18O°，∠ABC=∠ABD+∠CBD,∠ADC=∠ADB+∠CDB, ∴∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°. G Q B 图1 图2 (2)不合格.理由如下：如图2，延长AB、CD交于点G.,AE⊥ EC,.∠E=90°.∠BAE=115°，∠DCE=117°，∴.∠G= 360°-（∠BAE+∠E+∠DCE)=38°≠40°，.该模板不合 格.14.(1)65°解析：如图1，过点P作PQ∥AB.:AB∥ CD,.AB∥PQ∥CD,∴.∠APQ=∠A=30°，∠DPQ=∠D= 35°，.∠APD=∠APQ+∠DPQ=65° B A D --------0 C D 图1 (2)150°解析：如图2，过点P作PQ∥AB.:AB∥CD ∴.AB∥PQ∥CD,.∠APQ=180°-∠A=30°，∠D=180°- ∠DPQ.∠APD=60°，∴∠DPQ=∠APD-∠APQ=30°， ∴.∠D=150. A Q----- D 图2 (3)∠B=180°-∠a+∠Y.理由如下：如图3，过点P作PQ∥ AB.AB∥CD,.AB∥PQ∥CD,.∠BPQ=180°-∠B, 学·七年级下册(SK版) 3· ∠DPQ=∠D,..∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=180°-∠B十 ∠D,∴.∠B=180°-∠a+∠x. B A PB a C D 图3 综合与实践 1.(I)两直线平行，内错角相等∠ACD EAG ACF 内错角相等，两直线平行(2)小潘的说法正确.证明如下：由 平移的性质可知AB∥CD,BC∥AD,∴.∠B+∠BAD= ∠D+∠BAD=180°，∴.∠B=∠D.由折叠的性质，得∠AGE= ∠B,∠CHF=∠D,∴.∠AGE=∠CHF,.EG∥HF. (3)由平移的性质，得CD=AB,由折叠可得AG=AB,CH= CD,.'.CH=AB,.'.HG=AG+CH-AC=2AB-AC..'HG 的长不小于号AC,且不大于号AC,∴号AC≤2AB-AC≤ 号AC号AC≤AB≤号AC号<8≤号AB.AC都 是整数，.符合题意的AC的最小值为7，此时AB的长为4. 2.(1)40°(2)如图，过点E作EK∥AB.:AB∥CD .AB∥EK∥CD,∴.∠BFE=∠KEF,∠KEG=∠EGD .∠FEK+∠KEG=∠FEG=90°，∴.∠BFE+∠EGD=90°」 :∠EGD=4∠BFE,.∠BFE=18°，∠EGD=72°.：∠FGE= 60°，∴∠FGC=180°-60°-72°=48°.：EM平分∠FEG,GM 平分∠PGC,∴∠FEM=号×90=45，∠McC=2×48 24°，∠KEM=45°-18°=27°.∴.∠M=∠KEM+∠MGC= 27°+24°=51°.(3)结论②正确.理由如下：设∠DGE= ∠NGE=x°，.∠CGN=180°-2x°.同理(2)可得∠BFE+ ∠DGE=∠FEG=90°，.∠BFE=90°-x°.①∠CGN+ ∠BFE=270°-3x,∴.∠CGN+∠BFE的值变化.②CCX ∠BFE 180°-2g=2.故结论②正确. 90°-x° G D 复习课 知识梳理 1.(1)定义命题(2)条件结论2.互逆原命题逆 命题3.(1)证明(2)定理(3)①平行②180°④(n 2)·180°360°4.(1)举出反例5.(1)反证法 题组提优训练 考点一：1.C2.D3.C解析：“同旁内角互补，两直线平 行”的逆命题为“两直线平行，同旁内角互补”，为真命题，故 A选项不符合题意；“若a2=b,a=b”的逆命题为“若a=b,则 a2=b”,为真命题，故B选项不符合题意；“锐角与钝角互为 补角”的逆命题为“若两个角互补，则这两个角分别为锐角、钝 角”，为假命题，故C选项符合题意；“相等的角是对顶角”的逆 课时提优计划作业本·鸯 命题为“对顶角相等”，为真命题，故D选项不符合题意. 4.D5.两负数相除商是正数6.在同一平面内，两条平 行的直线垂直于同一直线7.∠B≥90° 考点二：8.B解析：由三角形的外角性质可知，∠α=30°+ 45°=75°.9.80°解析：BP平分∠ABC,CP平分∠ACD, ∴∠PBC=号∠ABC,∠PCD=合∠ACD,:∠ACD=∠A+ ∠ABC,∠PCD=∠PBC+∠P,·(∠A+∠ABC)- ∠PBC+∠P-∠ABC+∠P,∠A-2∠R.:∠P-40, .∠A=80°.10.70°解析：设∠EDB=x°，由翻折的性质， 得∠B'DE=∠EDB=x.:∠B'DC'=40°，∠EDC=x° 40°，.∠CDC=180°-∠EDB-∠EDC=220°-2x°. :△ABC沿DF翻折，点C落在点C处，∴∠CDF=2∠CDC 110°-x.,DE∥AC,.∠C=∠EDB=x°.在△DFC中， ∠DFC=180°-∠C-∠CDF=70°.，DF∥AB,.∠A= ∠DFC=70° 考点三：11.5解析：：正多边形的每个外角都是72°，.该 多边形的边数为360°÷72°=5，.mn,3》=5X(行-3)- 2 2 5(条)，即这个正多边形有5条对角线.12.400°解析： :∠1=40°，∠AED=180°-∠1=140°，.∠A+∠B+ ∠C+∠D=180°×(5-2)-∠AED=540°-140°=400°. 考点四：13.(1)证明：，∠1=∠BDC,.AB∥CD,∠2= ∠ADC.,∠2+∠3=180°，.∠ADC+∠3=180°，∴.AD∥ CE.(2)DA⊥FE,∴.∠DAF=90°，∠2=∠DAF- ∠FAB=90°-55°=35°.由(1)，知AD∥CE,∴.∠ADC= ∠2=35°.DA平分∠BDC,∠1=∠BDC,.∠1=∠BDC 2∠ADC=70°，.∠ABD=180°-∠1=180°-70°=110°. 14.(1)证明：.BE平分∠ABC,∴.∠ABC=2∠EBC=64° AD⊥BC,∠ADB=∠ADC=90°，∴∠BAD=90°-64°= 26°.∠C+∠EBC=∠AEB,∴.∠C=∠AEB-∠EBC= 70°-32°=38°，∴.∠CAD=90°-38°=52°=2∠BAD ∴.∠BAD:∠CAD=1:2.(2)分两种情况：①如图1， ∠EFC-90°，∴∠BEF=90°-∠EBC=90°-32°=58°；②如 图2，∠FEC=90°，∴.∠EFC=90°-38°=52°，.∠BEF= ∠EFC-∠EBC=52°-32°=20°.综上所述，∠BEF的度数 为58°或20°. 图1 图2 15.(1)=解析：如图1，过点E作EF∥AB,则EF∥AB∥ CD,∴.∠B=∠BEF,∠D=∠DEF,∴.∠B+∠D=∠BEF十 ∠DEF=∠BED. A 图1 学·七年级下册(SK版) (2)逆命题为：若∠B+∠D=∠BED,则AB∥CD.该逆命题 为真命题.理由如下：如图1，过点E作EF∥AB,则∠B= ∠BEF..'∠B+∠D=∠BED,∠BEF+∠DEF=∠BED ∴∠D=∠DEF,.EF∥CD.EF∥AB,∴AB∥CD. (3)证明：如图2，过点N作NG∥AB,交AM于点G,则NG∥ AB∥CD,∴.∠BAN=∠ANG,∠GNC=∠NCD..'∠AMN 是△ACM的一个外角，.∠AMN=∠ACM+∠CAM.又 :∠AMN-∠ANM,∠ANM=∠ANG+∠GNC, .∠ACM+∠CAM=∠ANG+∠GNC,∴∠ACM+ ∠CAM=∠BAN+∠NCD.,CN平分∠ACD,∴.∠ACM= ∠NCD,∴.∠CAM=∠BAN. B D 图2 直击中考前沿 1.A2.C3.A解析：∠1=18°，.∠ACF=90°+ ∠1=108°..CF∥DE,.∠ADE=∠ACF=108..∠ADE+ ∠2+∠A=180°，∠A=30°，.∠2=180°-30°-108°=42°. 4.C解析：由题意可知，AB∥PQ∥CD,∴.∠ABE+∠BGP 180°，∠PGD+∠CDF=180°..·∠ABE=130°，∠CDF= 150°，.∠BGP=180°-130°=50°，∠PGD=180°-150° 30°，∴.∠BGD=∠BGP+∠PGD=50°+30°=80°，.∴.∠EGF= ∠BGD=80°.5.B解析：如图，过点C作CG∥AB.DF∥ AB,.DF∥AB∥CG,.∠1+∠CAB=180°，∠2=∠CED ∠BAC=120°，∠ACE=100°，.∠1=60°，.∠2=∠ACE ∠1=40°，∴.∠CED=∠2=40°. A -B C D E F 6.C解析：：∠A=∠E=号×180°×(5-2)=108， .∠AMN+∠ENM=360°-∠A-∠E=144.∠1= ∠AMN,∠2=∠ENM,.∴.∠1+∠2=∠AMN+∠ENM= 144°.7.同位角相等，两直线平行8.假解析：，a>b, .a一3>b-3,∴.“若a>b,则a一3<b一3”是假命题. 9.130°解析：.AB∥CD,∠D=50°，.∠AOE=∠D=50°， .∠BOE=180°-∠AOE=180°-50°=130°.10.9解析： 多边形的每个内角都是140°，∴.多边形的每个外角都是 180°一140°=40°，.这个多边形的边数为360°÷40°=9. 11.720°解析：观察图形可知，该正多边形是正六边形，∴.该 正多边形的内角和为(6一2)×180°=4×180°=720°. 期末高频考点 期末高频考点(1) 1.D2.A解析：m3·m3=m5,故A选项符合题意；m3十 m3=2m3,故B选项不符合题意；(m3)2=m5,故C选项不符合 题意：m÷m2=m,故D选项不符合题意.3.D4.A解 析：162×43X26=2-1,.(24)2×（22)3×26=23x-1,即 28X26X25=23x-1,28+6+6=23x-1,.8十6十6=3x-1,解得 x=7.5.D解析：x十y-3=0,.x十y=3,.2·2= 课时提优计划作业本·数 22+y=23=8.6.A解析：3·3=5X10=3a+=3= 50,.a+b=c.7.(1)x8(2)a+a8.5×10-99.8 解析：25x÷2w-1=25x-3+1,5x-3y-2=0,5x-3y=2, 原式=22+1=23=8.10.1解析：(-0.125)2026×82026 (-0.125×8)2026=(-1)2026=1.11.4解析：由x-3y十 2=0,得3y-x=2,∴2+y·4=2x+y。22w-2红=2+y+2-红= 2=2公=412.m≠号解析：(3m-2)”=1有意义， ∴3m-2≠0，解得m≠号.13.4解析：2z-3y十6=0， .2x-3y=-6,.4+1·82-y=22x+D·232-0=22x+2. 26-3y=22x-3+8=26+8=22=4.14.4或2或0解析：若 x-3=1,则x=4,此时(x一3)2=14=1，符合题意；若x-3= -1,则x=2,此时(x-3)=(-1)2=1,符合题意；若x=0, 则(x一3)=（一3）°=1，符合题意.综上所述，x的值为4或2 或0.15.(1)原式=1+4一5÷1=0.(2)原式=1-9+ }=-7是.16（原式=a6a6‘=a61= 1 (2)原式=x5-4x5十x8=-2x.17.（1)原式=2m·2”= 3×5=15.(2)原式=(23)m÷(22)”=(2m)3÷(2")2=33: 52=27 =2518.(1)4=2,(2)=2,2==2,2x= 8,.x=4.(2).3x+1-3=18,.3X32-32=2X32,∴.2× 3*=2×32,∴.x=2.19.(1)由题意得2￥3=33×32=27× 9=243.(2),2*(x+1)=81,.3x+1×32=3,x+1+ 2=4,解得x=1.20.(1)34-8 27 解析：38=27， （-20r=163,27》=3,(-2,16)=4,(-号）'=-景， “(-号-岛)=3.（2)设(5,10)=p,(5,2)=9,则有5 10,50=2,50÷50=5-4=19=5,p-g=1,(5,10)- 2 (5,2)=1. 期末高频考点(2) 1.A2.B解析：(a+b)2=a2+2ab+b2≠a2+b2,故A选项 错误；（一x一y)2=x2+2xy十y,故B选项正确；(x十3）(x-2)= x2+x-6≠x2-6,故C选项错误；(-a-b)(a十b)=-(a十 b)2≠a2一2，故D选项错误.3.D解析：，4x2十(k-1)x+ 25是一个完全平方式，.k-1=士20，解得k=21或k=一19. 4.A解析：.A一B=(x一3)(x-7)-(x-2)(x一8)=x2 10x十21一(x2-10x+16)=5>0,.A>B.5.D解析： 18×(3+1)(32+1)(34+1)…(34+1)+9=9×2×(3+ 1)(32+1)(3+1)…(34+1)+9=9×(3-1)×(3+1)(32十 1)(34+1)…(34+1)+9=9×(3128-1)+9=9×3128-9+ 9=32×312s=3130,130÷4=32…2,3×3=9.6.(1)-6xy (2)ab-aB(3)2m-3(4)4a22+12ab+97.0解 析：(-x十a)(2x2+bx-3)=-2x3-bx2+3x+2ax2+abx 3a=-2x3+(-b十2a)x2十(3十ab)x-3a,.结果不含x的 二次项，∴.-b+2a=0,∴.2b-4a=-2(-b+2a)=-2×0= 0.8.5解析：x=y十3，x-y=3,又：xy=4,x2 3xy十y2=x2-2xy+y2-xy=(x-y)2-xy=32-4=5. 9.24解析：根据题意得，ab=6,2(a十b)=12,.a十b=6, 学·七年级下册(SK版) 5第12章 定义命题证明 12.1定义 课堂演练 1.(教材讨论变式)下列四个图形中，∠1和∠2是对顶角的是 人2 2.下列图形中，多边形有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.下列语句中，属于定义的是 A.两点之间的所有连线中，线段最短 B.两个锐角的和大于直角 C.乘积为1的两个数互为倒数 D.同旁内角互补，两直线平行 4.下列关于有理数的说法正确的是 A.有理数可分为正有理数和负有理数两大类 B.正整数集合与负整数集合合在一起构成整数集合 C.0既不属于整数也不属于分数 D.整数和分数统称为有理数 5.若单项式一x1-ay4与2x3y2b是同类项，则a= 6.已知(a-2)xa-1+3>5是关于x的一元一次不等式，则a的值为 7.为了说明各种三角形之间的关系，小敏画了如下的结构图.请你写出图中标注①和②所指的 图形的名称：① 、② 三角形 等腰三角形 ① ⑨ 直角三角形 142 第2章定义命题证明 课后拓展 8.如图，下列关于各组角的位置判断错误的是 () A.∠1与∠4是同旁内角 B.∠3与∠4是内错角 C.∠5与∠6是同旁内角 D.∠2与∠5是同位角 2a-b(a≥b), 人6 9.现定义运算“☆”：对于任意有理数a与b,满足a☆b= 例 -a+b(a<b). 如：5☆3=2X5-3=7,-号☆1=号十1=多若有理数x满足*5=1，则x的值为 10.在数轴上，点P表示的数是a,点P'表示的数是己。，我们称点P'是点P的“相关点”，已知 数轴上点A1的“相关点”为A2,点A2的“相关点”为A3,点A3的“相关点”为A4…这样 依次得到点A1A2AA…A.,若点A1在数轴上表示的数是一2，则点A2在数轴上 表示的数是 11.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.例如： 4=4×1=22一02,12=4×3=42一22,20=4×5=62一42，因此4、12、20都是“神秘数”. (1)28和2028这两个数是“神秘数”吗？请仿照例题进行说明. (2)设两个连续偶数为2n十2和2n(其中n取非负整数)，由这两个连续偶数构造的“神秘 数”是4的倍数吗？为什么？ (3)两个连续奇数的平方差（取正数）是“神秘数”吗？为什么？ 12.如图，从∠AOB(90°<∠AOB<180°)的顶点出发，在∠AOB的内部作一条射线OC,将 ∠AOB分成∠AOC和∠BOC两个角，若其中至少有一个角与∠AOB互为补角，则称该射 线OC为∠AOB的“分补线”. (1)若∠AOB=140°，∠AOC=100°，请判断此时OC是否为∠AOB的“分补线”，并说明 理由. (2)若OD平分∠AOB,OC为∠AOB的“分补线”. ①当OC与OD重合时，求∠AOB的度数； ②当OD为∠AOC的“分补线”时，请画出图形并求出此时∠AOB的度数. 《143 一课时提优计划作业本数学七年级下册(SK版) )》》)》>》))) 12.2命题 课堂演练 1.(教材尝试变式)下列句子中，属于命题的是 A.直线、射线和线段 B.垂线段最短 C.利用三角板画出60°的角 D.直角都相等吗？ 2.下列命题中，属于假命题的是 A.若|a=|b,则a=b B.两直线平行，内错角相等 C.对顶角相等 D.若a=0,则ab=0 3.关于命题“如果a>0,b>0,那么ab>0”,下列判断正确的是 A.该命题及其逆命题都是真命题 B.该命题是真命题，其逆命题是假命题 C.该命题是假命题，其逆命题是真命题 D.该命题及其逆命题都是假命题 4.写出命题“对顶角相等”的逆命题： 5.一个角的补角大于这个角，这个命题的条件是 ,结论是 6.命题“如果a=b,那么a2=b”的逆命题是 ,该逆命题是 (填“真”或 “假”)命题 7.判断下列句子是否是命题，若是命题，请把它改写成“如果…那么…”的形式，并判断它 是真命题还是假命题. (1)对顶角相等. (2)绝对值相等的两个数的平方相等吗？ (3)直角三角形中两锐角互余， 8.写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假. (1)如果a十b=0,那么a|=|bl. (2)如果a>0,那么a2>0. (3)等角的补角相等， (4)四边形的内角和为360°. 144》 第2章定义命题证明 课后拓展 9.给出下列命题：①两直线平行，内错角相等；②若a=b,则a2=b;③相等的角是对顶角；④等 边三角形的其中一个角是60°.它们的逆命题是真命题的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.用三个不等式a>b、c<0、a(c一1)<b(c一1)中的两个作为条件，余下的一个不等式作为结 论，组成一个命题，则可以组成真命题 () A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 11.在命题“对于实数a、b,若 ,则a<b”的横线处填下面的条件之一：①a<b;②a<b; ③日>名>0：④<.所有能使这个命题成为真命题的条件是 .(填序号) 12.已知：如图，D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点， (1)给出下列三个条件：①DF∥AE;②∠FDE=∠A;③DE∥BA.请你用其中两个作为已 知条件，另一个作为结论，构造一个真命题，并给出证明. 条件： ,结论： .(填序号) 证明： (2)在(1)的条件下，若∠A=∠BDF=2∠EDC,求∠AFD的度数. 13.某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题，甲同学认为该命题 是真命题，并作图如图1所示，已知AB∥DE,BC∥DF,BC与DE交于点G (1)根据甲同学的作图及已知条件，求证：∠B=∠D. (2)乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，并作图如图2所 示，已知条件与甲同学相同，得到∠B≠∠D.根据乙同学的作图，试判断∠B与∠D的 数量关系，并说明理由、 (3)综合甲、乙两同学的探究，发现：两边分别平行的两个角的数量关系是 D E G G 4 B 图1 图2 《145 一课时提优计划作业本数学七年级下册(SK版) )》》》》》) 12.3证明 课堂不演练 1.(教材讨论变式)下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述正确的是 A.只需观察得出 B.只需依据经验获得 C.通过自己亲自试验得出 D.必须有根据地进行推理 2.如图，下列推理不正确的是 ( A..∠AEB=∠C,.AE∥CD B..∠AEB=∠ADE,∴.AD∥BC C..AD∥BC,∴.∠C+∠ADC=180° D.,AB∥DE,∴.∠AED=∠BAE (第2题) (第5题) 3.已知n是正整数，则下列数中一定能整除(2十3)2一25的是 A.6 B.3 C.4 D.5 4.在同一平面内，若a⊥b,b⊥c,则a与c的位置关系是 5.如图，∠1十∠2=180°，∠3=110°，则∠4的度数是 6.如图，∠BAP+∠APD=180°，∠1=∠2，求证：∠E=∠F. 完成下面推理过程， 证明：.∠BAP+∠APD=180°（已知）， .AB∥CD( (两直线平行，内错角相等). .∠1=∠2（已知）， ∴.∠BAP-∠1=∠APC-∠2( 即∠EAP=∠FPA. (内错角相等，两直线平行). ∴∠E=∠F(两直线平行，内错角相等). 7.证明：两个奇数的和是偶数. 146》 第2章定义命题证明 课后拓展 8.一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么这两次拐弯 的角度可能是 () A.第一次右拐50°，第二次左拐130° B.第一次左拐50°，第二次右拐50° C.第一次左拐50°，第二次左拐50° D.第一次右拐50°，第二次右拐50° 9.如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE、DF的反向 延长线交于主光轴MN上一点P.若∠ABE=160°，∠CDF=150°，则∠EPF的度数是 ( A.20° B.30° C.50° D.70° E (第9题) (第10题) 10.如图，在长方形纸片ABCD中，AD∥BC,AB∥CD,∠A=90°，将纸片沿EF折叠，使顶 点C、D分别落在点C'、D处，CE交AF于点G.若∠CEF=68°，则∠GFD'的度数 为 11.阅读下列材料，并完成相应任务， 我们已经知道，能被3整除的数的特征是这个数的各个数位上数的和是3的倍数， 已知：一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别是a、b、c,且a十b十c能被3整除。 求证：这个三位数也能被3整除 证明：根据题意，得这个三位数为100a十10b十c. 100a+10b+c=(99a+9b)+(a+b+c)=3(33a+3b)+(a+b+c). ,a十b十c能被3整除，3(33a+3b)也能被3整除， .这个三位数能被3整除。 任务：一个四位数的千位、百位、十位和个位上的数字分别是a、b、c、d,且a十b十c十d能被 3整除，求证：这个四位数能被3整除. 《147 一课时提优计划作业本数学七年级下册(SK版))》)) 专题12代数推理 目/类型一/运用整式乘法法则推理 1.试说明：代数式(2x+3)(6x+2)一6x(2x+13)+8(7x+2)的值与x的取值无关. 2.下面有3张卡片，卡片上分别写有相应的代数式，且满足A·B=C(m、n为常数). (1)求m、n的值 (2)若x为正整数，求证：代数式B2一2C总能被5整除. A=x-1 B=2x+m C=2x2+x+n 3.“速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性.观察下列各式： 152=1×(1+1)×100+25=225; 252=2×(2+1)×100+25=625; 352=3×(3+1)×100+25=1225; 我们发现如下速算规律：十位数字是a(a是1至9的整数)，个位数字是5的两位数平方的 结果是100a(a+1)+25.我们可以用所学知识证明这个结论.这种在数与代数领域的推理 或证明称为代数推理. 任务： (1)请根据上述规律计算：752= ;952= (2)请证明上述阅读材料中的结论. 148》 第2章定义命题证明 4.初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内 容.例：设abcd是一个四位数，若a十b+c+d可以被9整除，则这个数可以被9整除.如何用 代数式说明该规律？ 证明：abcd=1000a+100b+10c+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)=9(111a+11b+c)+ (a+b+c+d),显然9(111a+11b+c)能被9整除，因此，如果a+b十c+d能被9整除，那么 abcd就能被9整除 模仿上述例子，任意写出三个个位数是5的两位数，观察它们的平方有什么规律，并用代数 式说明该规律. 5.阅读材料： 学习完《整式乘法》，某校七年级数学兴趣小组探索了代数式3a2十6a一9的最值问题，具体 过程如下： .3a2+6a-9=3(a2+2a)-9=3(a2+2a+1-1)-9=3[(a+1)2-1]-9=3(a+1)2-3 9=3(a+1)2-12,不论a取何值，(a十1)2≥0，当且仅当a=-1时等号成立， ∴.(a+1)2-12≥-12.∴.代数式3a2+6a-9的最小值是-12. 根据上面的材料，解决下列问题： (1)求证：代数式a2一8a+10的最小值为一6. (2)判断：代数式一2x2十12x一7有最大值还是最小值？求出此时x的值. 目/类型二/运用不等式的性质推理 6.代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命 题的正确性 (1)请用两种方法证明：若已知实数x、y满足x>y>0,则x2一y>0. (2)请你尝试证明：若a<b,则<， 《149 一、课时提优计划作业本数学七年级下册(SK版)>>>)方 专题13平行线性质与判定综合推理 目/类型一/由角的数量关系判定两直线位置关系 1.如图，已知∠ABC=∠ADC,BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC,且∠1=∠3.试说明： AB∥DC. 2.如图，已知AB∥CD,BD平分∠ABC,CA平分∠BCD.求证：AC⊥BD. 目/类型二/由平行线证明角的关系 3.如图，已知AC∥DE,DC∥EF,CD平分∠BCA.求证：EF平分∠BED.(证明需注明理由) 4.如图，已知AB∥CD,∠B=100°，EG平分∠BED,EF⊥EG,求∠FEC的度数. 150》 第2章定义命题证明 目/类型三/平行线的判定与性质推理综合 5.如图，在△ABC中，点E在AC上，点F在BC上，点D、G在AB上，DF∥AC,且∠CDF+ ∠CEG=180°. (1)猜想EG与CD的位置关系并证明. (2)若EG⊥AB,DF平分∠BDC,求∠A的度数. 6.如图，已知∠FEA=∠EAF,AE平分∠CAF. (1)求证：EF∥AC. (2)若AC平分∠DAB,∠BAF与∠BAD互补，∠FEA-∠DAC=50°，求∠F的度数. 7.如图，已知AB∥CD,∠B=∠D,AE交BC的延长线于点E. (1)求证：AD∥BE (2)若∠1=∠2=60°，∠BAC=2∠EAC,求∠B的度数. 8.如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=∠C. (1)求证：AB∥CD (2)如图2，点E在线段AD上，点G在线段AD的延长线上，连接BG,∠AEB=2∠G.问： ∠1与∠2相等吗？请说明理由. 图 图2 5] 一课时提优计划作业本数学七年级下册(SK版)) 周练（九） （范围：12.1一12.3，满分100分) 一、选择题（每小题6分，共30分） 1.下列不属于定义的是 () A.两边相等的三角形是等腰三角形 B.两点之间线段的长度叫这两点之间的距离 C.正方形的四条边相等 D.含有未知数的等式叫作方程 2.下列语句属于命题的是 () A.作直线AB的平行线 B.在线段AB上任取一点C C.等角的余角相等 D.同位角都相等吗？ 3.下列命题是真命题的是 () A.同位角相等 B.相等的角是对顶角 C.两直线平行，内错角相等 D.两个锐角的和是锐角 4.给出下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若|a=|b,则a=b;③对顶角相等.它们的 逆命题是真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 5.如图，已知BF、CD相交于点O,∠D=40°，下列说法正确的是 A.当∠C=40°时，AB∥CD B.当∠B=40°时，BF∥DE C.当∠BOC=140°时，BF∥DE D.当∠F=40°时，CD∥EF 二、填空题（每小题5分，共30分） 6.将命题“正数都大于0”改写成“如果…，那么…”的形式： 7.用一组a、b、c的值说明命题“如果a<b,那么ac<bc”是假命题，这组值可以是a= b= ,C= 8.命题“等边三角形是等腰三角形”的逆命题是 ,它是 (填“真”或 “假”)命题. 9.如图，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3+∠4=180°；③∠5+∠6=180°；④∠7=∠2+ ∠3.其中能够判定直线a∥b的是 ·（填序号) 人B D E (第9题) (第10题) (第11题) 10.如图是一辆正在工作的电动曲臂式高空作业车及其结构示意图，其中AB∥CD∥EF,BC∥ DE.若∠ABC=60°，则∠DEF的度数为 11.如图，直线AB∥CD∥EF,则∠a+∠3-∠y= 152》 第2章定义命题证明 三、解答题（共40分） 12.(10分)如图，点H、D在AB上，点F、G在AC上，点E在BC上，已知 HG⊥AB,DF⊥AB,∠2+∠3=180°，求证：∠1=∠A. 证明：.HG⊥AB,DF⊥AB(已知)， ∴.∠AHG=∠HDF=90°（垂直的定义） ∴.DF∥HG( ). .∠3+ =180°( :∠2十∠3=180°（已知）， .∠2=∠4( (内错角相等，两直线平行). .∠1=∠A( 13.(10分)如图，直线AD与AB、CD分别交于A、D两点，EC、BF分别与AB、CD相交于点 E、C、B、F.给出下列三个条件：①∠1=∠2；②∠B=∠C;③∠A=∠D.请将其中两个作为 已知条件，一个作为结论，组成一个真命题，并证明.（只写出一种情况即可） 已知： ,求证： 证明： 14.(10分)猜想：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除.请按要求完成验证 与证明， 验证：请用偶数6验证该结论是正确的， 证明：设偶数为2，试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除. 15.(10分)中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷.如图1是一个“互”字，如图2是 由图1抽象的几何图形，其中AB∥CD,MG∥FN,点E、M、F在同一条直线上，点G、N、H 在同一条直线上，且∠EFN=∠G. (1)EF与GH平行吗？请说明理由. (2)求证：∠AEF=∠GHD. 互 FL 图1 图2 《153 一课时提优计划作业本数学七年级下册(SK版) )》》》》》》)5 12.4定理 第1课时三角形内角和定理及其推论 课堂演练 1.(教材练习变式)有下列说法：①不正确的判断就不是命题；②真命题都是定理；③基本事实 是由基本定义出发，通过推理判断为正确的命题；④“同位角相等”是定理.其中正确的说 法有 () A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.可以用来作为判断其他命题真假的依据的是 A.基本事实、已知条件、定义 B.定义、基本事实、定理 C.基本事实、定理、已知条件 D.基本事实、定理、定义、已知条件 3.如图，BE为△ABC的外角∠CBD的平分线，若∠A=50°，∠C=60°，则∠EBD的度数为 () A.50° B.55° C.60° D.65° (第3题) (第4题) (第5题) 4.如图，∠C=90°，∠1=∠B,则∠ADE的度数为 5.将一副直角三角板按如图方式放置，∠A=30°，∠F=45°.若边AB经过点D,则∠EDB的 度数为 6.如图，AD是△ABC的角平分线，E是BC延长线上一点，∠ADE=∠DAE,求证：∠EAC=∠B. 7.一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠D应分别是20°和30°.李叔叔量 得∠BCD=142°，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？请用两种不同的方法说 明理由 154》 第2章定义命题证明 课后拓展 8.一天，李明和爸爸一起到建筑工地去，看见了一个如图所示的人字架.爸爸说：“李明，我考考 你！这个人字架中的∠3=110°，你能求出∠1比∠2大多少吗？”请你帮李明计算一下，正确 的答案是 A.50° B.60 C.70° D.80 G D B 3 人21 (第8题) (第9题) 第10题) 9.如图，AB∥CD,点B、C、E在同一条直线上，点F在CD上，连接EF.若∠B=130°， ∠DFE=105°，则∠E的度数为 10.如图，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的平分线， 延长FB和GC交于点H.设∠A=a,∠H=B,则a与B之间的数量关系为 11.如图，在△ABC中，CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线. (1)求证：∠A=2∠E (2)若∠A=∠ABC,求证：AB∥CE: 12.如图，在△AOB与△COD中，∠AOB与∠COD是对顶角， 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：∠A十∠B=∠C+∠D. (2)如图2，AP、DP分别是∠BAO、∠CDO的平分线，探索∠P、∠B和∠C之间的数量关 系，并加以证明 (3)如图3，∠BAO与∠CDO的相邻补角的平分线交于点P,探索∠P、∠B和∠C之间的 数量关系，并加以证明， 《55 一课时提优计划作业本数学七年级下册(SK版)>》》 专题14三角形角平分线的综合应用 目/类型一/与三角形角平分线和高有关的计算 1.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D,AH⊥BC,且∠ACB=70°，∠ADC=80°. (1)求∠BAC的度数. (2)求∠BAH的度数. 2.(1)如图1，在△ABC中，AD⊥BC,AE是∠BAC的平分线，若∠B=20°，∠C=60°，求 ∠DAE的度数， (2)如图2，已知AF平分∠BAC交边BC于点E,过点F作FD⊥BC于点D,∠B=x°， ∠C=(x十30)°. ①∠BAC= ;(用含x的式子表示) ②∠F的度数是否为定值？若是，直接写出∠F的度数；若不是，请说明理由. 图 图2 目/类型二/与三角形的两个内角的平分线有关的计算 3.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P. (1)若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠A的度数为 (2)若∠A=80°，则∠BPC的度数为 (3)试直接写出∠DPC与∠A之间的数量关系：∠DPC= B 4.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AC、AB上，BD,CE相交于点O.若∠1=)∠ABC, ∠2=2∠ACB,则∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系？若∠1=号∠ABC,∠2= 3∠ACB,则∠BOC与∠A的大小关系如何？若∠1=∠ABC,∠2=1∠ACB,则∠B0C 与∠A的大小关系如何？ 2入 156》 第2章定义命题证明 目/类型三/与三角形的两个外角的平分线有关的计算 5.如图，在△ABC中，∠BAC=70°，∠B=50°，AP平分△ABC的外角∠CAE,CP平分△ABC 的外角∠ACD,则∠P的度数为 D (第5题) (第6题) 6.如图，直线l与直角∠MAN相交于点B、C,BP、CP分别平分∠MBC、∠NCB. (1)∠BPC的度数为 (2)若BQ、CQ分别平分∠PBC、∠PCB,则∠BQC的度数为 目/类型四/与三角形的一个内角和一个外角的平分线有关的计算 7.如图，在△ABC中，∠ABC与外角∠ACD的平分线相交于点O. (1)若∠ABC=60°，∠ACB=70°，则∠BOC的度数为 (2)请探究∠BOC和∠BAC之间的数量关系，并说明理由， 国/类型五/三角形内角、外角角平分线综合 8.小新在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来 一起看一下吧： 在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P. (1)如图1，如果∠A=80°，求∠P的度数. (2)在(1)的条件下，如图2，作△ABC的外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q,求∠Q的 度数. (3)如图3，作△ABC的外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q,延长线段BP、QC交于 点E,在△BQE中，是否存在一个内角等于另一个内角的2倍？若存在，直接写出∠A 的度数；若不存在，请说明理由. 图 图3 《157 课时提优计划作业本数学七年级下册(SK版))))))) 第2课时多边形内角和与外角和定理 课堂演练 1.(教材讨论变式)如图，小强站在五边形健身步道的起点P处，沿着P、B、C、 D、E、A、P的方向行走，最终回到了点P处.在这过程中，小强转过的角度 说明了 ( ) A.五边形的内角和是540 B.五边形的外角和是360° C.五边形的内角和是360° D.五边形的外角和是180° 2.若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数是 A.3 B.4 C.5 D.6 3.若一个多边形的每一个外角都是30°，则这个多边形的内角和等于 A.1440° B.1620° C.1800° D.1980° 4.多边形的边数增加1，则它的外角和 () A.不变 B.增加180° C.增加360° D.无法确定 5.(2024·无锡)正十二边形的内角和等于 6.若一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是 7.如图是第四套人民币中的菊花1角硬币，则该硬币边缘携刻的正九边形的每个外角的度 数为 B D (第7题) (第8题) 8.如图，在五边形ABCDE中，∠A=120°，则∠1+∠2+∠3十∠4的度数是 9.在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°，则这个多边形 的边数为 10.(1)小明将一张多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为2160°，求原多边形 的边数， (2)小明在算另一张多边形纸片的内角和时不小心少算了一个内角，得到的结果为2024°， 求它的边数及少算的内角的度数. 158》 第2章定义命题证明 课后拓展 11.如图，小林从点P向西直走12m后，向左转，转动角度a,再走12m,如此重复，小林共走了 96m回到点P,则x的度数为 () A.30° B.45° C.60° D.不存在 y P a (第11题) (第12题) (第13题) 12.将一把直尺和正六边形ABCDEF按如图所示的位置放置，若∠1=50°，则∠2的度 数为 13.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E十∠F的度数为 14.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC,DF平分∠CDA. (1)若∠ABC=50°，求∠ADF的度数 (2)求证：BE∥DF. 15.如图，已知点E在四边形ABCD的边BC的延长线上，BM、CN分别是∠ABC、∠DCE的 平分线，设∠BAD=a,∠ADC=B. (1)如图1，若a十3=180°，判断BM、CN的位置关系，并说明理由. (2)如图2，若a十B>180°，BM、CN相交于点O ①当a=65°，3=155°时，∠BOC的度数为 ②∠BOC与α、B有怎样的数量关系？请说明理由. (3)如图3，若a十B<180°，BM、CN的反向延长线相交于点O,则∠BOC= .（用含 a、B的代数式表示)》 E E M 图1 图2 图3 《159 课时提优计划作业本数学七年级下册(SK版)>》>) 第3课时反证法 课堂演练 1.(教材问题变式)用反证法证明“在△ABC中，∠A、∠B的对边是a、b.若∠A<∠B,则a< b”时，第一步应假设 () A.a>b B.a=b C.a≤b D.a≥b 2.对于命题“如果∠1十∠2=90°，那么∠1≠∠2.”能说明它是假命题的反例是 A.∠1=∠2=45° B.∠1=40°，∠2=50° C.∠1=50°，∠2=50° D.∠1=40°，∠2=40° 3.如图，直线DE∥FG,∠EAB=64°，AC平分∠BAD,BC⊥AC,则∠CBF的度数为() A.26 B.30° C.32 D.34° D C (第3题) (第6题) 4.用反证法证明“已知a<b,b<c.求证：a<c”,第一步应先假设 5.要说明命题“若a<1,则a2<1”是假命题，可以举的反例是a= .(写出一个即可) 6.如图，某校教学楼和实验楼顶部各有一个射灯，当光柱相交，且它们都在同一个平面内时，若 ∠1=94°，则∠2十∠3的度数为 7.用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 8.(1)如图1，AB∥CD,求证：∠B+∠D=∠BED. (2)如图2，AB∥CD,试探究∠B、∠D与∠E之间的数量关系，并说明理由. A 图1 图2 160》 第2章定义命题证明 课后拓展 9.如图，AB∥CD,E为AB上方一点，FB、HG分别为∠EFG、∠EHD的平分线.若∠E十 2∠G=150°，则∠EFG的度数为 () A.90° B.95° C.100° D.150° 工作篮才四B B Z/1 支撑平台9 CH (第9题) (第10题) (第11题) 10.如图是一款长臂折叠LED护眼灯示意图，EF与桌面MN垂直，当发光的灯管AB恰好与 桌面MN平行时，∠DEF=120°，∠BCD=110°，则∠CDE的度数为 11.如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若∠3=160°，∠2=50°，则 ∠1的度数为 12.用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”. 已知：∠A、∠B、∠C是△ABC的内角 求证：∠A、∠B、∠C中至少有一个内角小于或等于60°. 13.(1)如图1，已知AB∥CD,∠BEP=30°，∠CFP=155°，求∠EPF的度数 (2)如图2，若AB∥CD,点P在AB的上方，则∠PFC、∠PEA、∠EPF之间有何数量关 系？并说明理由 (3)如图3，在(2)的条件下，已知∠EPF=a,∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点 H,求∠H的度数.（结果用含α的式子表示） 图1 图2 图3 6] 一课时提优计划作业本数学七年级下册(SK版)>》》) 专题15平行线中的拐点问题 目/类型一/“Z”型 1.如图，已知AB∥DE,∠BCD=30°，∠CDE=138°，求∠ABC的度数. 2.如图，∠BEC=95°，∠ABE=120°，∠DCE=35°，问：AB与CD平行吗？请说明理由. A 目/类型二/“M”型 3.已知AB∥CD,CE、BE的交点为E,现进行如下操作： 第一次操作：分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1;第二次操作：分别作∠ABE1和 ∠DCE的平分线，交点为E2;第三次操作：分别作∠ABE2和∠DCE的平分线，交点为E;·; 第n次操作：分别作∠ABEm-1和∠DCEm-1的平分线，交点为Em, E E3… 图1 图2 (1)如图1，已知∠ABE=50°，∠DCE=25°，则∠BEC= (2)如图2，若∠BEC=140°，则∠BE1C= (3)猜想：若∠BEC=a,则∠BEC=· 目/类型三/“钩”型 4.已知AB∥CD,E是平面内一点，∠CDE的平分线与∠ABE的平分线交于点F. (1)若点E的位置如图1所示. ①若∠ABE=60°，∠CDE=80°，则∠BFD= ②探究∠BFD与∠BED的数量关系并证明你的结论. (2)若点E的位置如图2所示，则∠BFD与∠BED满足的数量关系为 图1 图2 162 第2章定义命题证明 5.如图，AB∥CD,∠B=2∠D,∠E=22°，则∠D的度数为 A.22° B.44° C.68 D.30° B 一A D (第5题) (第6题) 6.如图，AB∥CD,∠E=27°，∠C=52°，则∠EAB的度数为 () A.79° B.27 C.52 D.25 目/类型四/“U”型 7.(1)如图1，若AB∥DE,∠B=135°，∠D=145°，求∠BCD的度数 (2)如图1，在AB∥DE的条件下，你能得出∠B、∠BCD、∠D之间的数量关系吗？请说明 理由. (3)如图2，AB∥EF,根据(2)中的猜想，直接写出∠B+∠C+∠D+∠E的度数. (4)如图3，∠1+∠2+∠3+…+∠n的度数为 图1 图2 图3 目/类型五/综合型 8.已知AB∥CD,E、F分别为AB、CD上的两点，连接EF. (1)如图1，EG平分∠BEF,FG平分∠EFD,试判断EG与FG的位置关系，并说明理由. (2)如图2，点P在CD上且在点F右侧，∠EFP=∠EPF,EQ、FQ分别将∠BEP和 ∠EFD分成了1：2两部分，请画图探究并直接写出∠Q与∠EFQ的关系， (3)如图3，K为CD上且在点F右侧的定点，M是直线EF上的一个动点，∠AEM的平分 线所在直线与∠MKF的平分线所在直线相交于点N,请直接写出∠EMK与∠ENK的 数量关系： A CF KD 图1 图2 图3 《163 一课时提优计划作业本数学七年级下册(SK版)>》>)羽 周练（十） (范围：12.4，满分100分) 一、选择题（每小题5分，共25分） 1.下列角度不可能是多边形内角和的是 A.180° B.270° C.360° D.900° 2.下列选项中，可以用来说明命题“若x2>1,则x>1”是假命题的反例是 ( A.x=-1 B.x=1 C.x=3 D.x=-3 3.牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一.”那么我们用反证法证明“在同一平面内， 若a⊥b,c⊥b,则a∥c”时，首先应假设 () A.a∥b B.c∥b C.a与b相交 D.a与c相交 4.如图是某小区花园内用正边形铺设的小路的局部示意图，若用3块正n边形围成的中间 区域是一个小正三角形，则n的值为 () A.12 B.10 C.8 D.6 正n边形/ 正n边形 正n边形 (第4题) (第5题) 5.如图，五边形ABCDE是正五边形，若11∥L2,则∠1一∠2的度数为 A.72 B.36° C.45° D.47° 二、填空题（每小题5分，共25分） 6.已知一个多边形的每个外角都是45°，则这个多边形的边数为 7.已知一个多边形纸片剪去其中某一个角后，形成的新多边形的内角和为900°，那么原多边形 的边数为 8.如图所示的地面由正五边形和正n边形两种地砖镶嵌而成，则∠ABC的度数为 (第8题) (第9题) (第10题) 9如图，在△ABC中，∠A=42,∠ABD=号∠ABC,∠BCD=号∠ACB,则∠BDC的度 数为 10.如图，A、B、C、D、E是同一平面上的五个点，则∠A十∠B十∠C+∠D+∠E的度数 为 164》 第2章定义命题证明 三、解答题（共50分） 11.(10分)用反证法证明：△ABC中至少有两个角是锐角. 12.(10分)如图，在四边形ABCD中，E、F分别是边CD、BC上的点，且∠ABC=∠1，∠A十 ∠2=180°. (1)请判断直线AD和直线BE的位置关系，并证明， (2)若BE是∠ABC的平分线，AD LCD,∠FEC=55°，求∠EBF的度数. 13.(15分)(1)已知四边形ABCD如图1所示，求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360° (2)如图2所示是一块模板，按规定，AB、CD的延长线相交成40°的角.因交点不在板上，质 检员不便测量，于是测得∠BAE=115°，∠DCE=117°.如果你是质检员，请你判断模板 是否合格？并说明理由. 图1 图2 14.(15分)如图1是一种网红弹弓的实物图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图 (如图2和图3)，弹弓的两边可看成是平行的，即AB∥CD,各活动小组探究∠APD与 ∠A、∠D之间的数量关系时，有如下发现： (1)在图2所示的图形中，若∠A=30°，∠D=35°，则∠APD的度数为 (2)在图3中，若∠A=150°，∠APD=60°，则∠D的度数为 (3)有同学在图2和图3的基础上，画出了如图4所示的图形，其中AB∥CD,请判断∠Q、 ∠β、∠y之间的关系，并说明理由. B P<B D 图1 图2 图3 图4 《165 课时提优计划作业本数学七年级下册(SK版) 综合与实践 阅读课本材料《探索研究》，解决下列问题： 1.如图1是“小心有电”警示牌，班级数学兴趣小组想要制作图中的闪电标识.如图2，他们先 在纸上画一条线段AB,利用三角尺和直尺将AB平移，得到线段DC,连接AD、BC,裁出四 边形ABCD,连接AC,在BC、AD上取点E、F,将△ABE、△CDF分别沿AE、CF折叠，得 到△AGE、△CHF,点G、H均在AC上，则有∠AGE=∠B,AG=AB,∠CHF=∠D, CH=CD. (1)以下是组员小新证明AE与CF平行的过程，根据他的思路，请你帮他补全证明过程， 由画法可得，AB∥CD,所以∠BAC=∠ACD( 由折叠可得∠EAG=2∠BAC,∠ACF=】 所以∠ =∠ (等量代换).所以AE∥CF( (2)如图3，组员小潘的说法正确吗？如果正确，请你帮她证明这一结论；如果不正确，请说 明理由， (3)在制作过程中，小组发现，当HG的长不小于gAC,且不大于7AC时，闪电形态较美观. 若AB、AC的长均为整数，当AC最短时，求AB的长 如果EGHF,标 不用担心，EG肯 识会更好看！ 定与HF平行的！ 小新 小潘 图1 图2 图3 166》 第2章定义命题证明 2.在“综合与实践”课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动.已知直线 AB、CD,直角三角板EFG,AB∥CD,∠FEG=90°，∠EGF=60°. (1)小明将三角板按如图1方式摆放，点G在CD上，边GF与AB交于点H.若∠FHA= 80°，则∠EGD的度数是 (2)小亮将三角板按如图2方式摆放，点F、G分别在AB、CD上，∠FEG的平分线与∠FGC 的平分线交于点M,若∠EGD=4∠BFE,求∠M的度数， (3)小颖将图2中的三角板进行适当转动，点F、G仍然分别在AB、CD上，如图3，再将 ∠DGE沿边GE翻折，边GD的对应边GN与AB交于点N,小颖给出下列两个结论： ①∠CGN+∠BFE的值不变：②的值不变.其中只有-个是正确的，你认为哪个 是正确的？请说明理由， 图1 图2 图3 《167 一课时提优计划作业本数学七年级下册(SK版) 复习课 知识梳理 1.定义与命题 (1)对一个概念作出明确规定的语句叫作这个概念的 ;可以判断真假的陈述句叫 作 (2)数学命题一般都由 和 两部分组成： 2.互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二 个命题的条件，那么这两个命题叫作 命题，其中一个命题叫作 ,另一个叫 作原命题的 3.证明 (1)从命题的条件出发，根据一些已知的事实（如概念的定义、基本性质、真命题等），用“因 为…，所以…”的形式一步一步推出命题的结论，从而确定这个命题是真命题的过程 称为 (2)一般情况下，数学中把一些基本的、重要的真命题叫作 (3)常见定理及推论 ①平行线的性质定理：平行于同一条直线的两条直线 ②三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 ③三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 ④多边形的内角和及外角和定理：边形的内角和等于 ;多边形的外角和等 于 4.命题的真假 (1)假命题：判断一个命题是假命题，只需要 即可 (2)真命题：定义、基本事实、定理都属于真命题.判断一个命题是真命题，需要经过有条理地 证明， 5.反证法 (1)通过否定命题的结论，发现了矛盾，从而反过来肯定命题结论成立的证明方法叫 作 (2)用反证法证明一个命题的步骤一般为：①先假设命题的结论不成立；②从这个假设出发， 经过若干步推理，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原来命题的结论正确. 题组提优训练 目/考点一/定义、命题与反证法 1.下列语句中，属于定义的是 ) A.对顶角相等 B.作一条直线和已知直线垂直 C.单项式多项式统称为整式 D.图形的平移不改变图形的形状和大小 168》 第2章定义命题证明 2.下列语句中，属于命题的是 A.你今天打卡了吗？ B.请注意交通安全！ C.画出两条相等的线段 D.同位角相等 3.下列命题中，其逆命题是假命题的是 A.同旁内角互补，两直线平行 B.若a2=b2,则a=b C.锐角与钝角互为补角 D.相等的角是对顶角 4.要证明命题“若a>b,则a2>b2”是假命题，下列a、b的值不能作为反例的是 A.a=1,b=-2 B.a=0,b=-1 C.a=-1,b=-2 D.a=2,b=-1 5.“两负数的商为正数”的条件是 ,结论是 6.写出命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”的逆命题： 7.在△ABC中，AB=AC,求证：∠B<90°.用反证法证明：第一步是假设 目/考点二/三角形的内角和定理及其推理 8.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的度数为 A.105° B.75 C.65° D.55 D (第8题) (第9题) (第10题) 9.如图，BP、CP分别是△ABC的内角、外角的平分线，若∠P=40°，则∠A的度数 为 10.如图，点D、E、F分别在△ABC的各边上，DE∥AC,DF∥AB,将△ABC沿DE翻折，使得 点B落在点B'处，沿DF翻折，使得点C落在点C'处.若∠BDC'=40°，则∠A的度数 为 目/考点三/多边形的内角和、外角和 11.若一个正多边形的每个外角都是72°，则这个正多边形有 条对角线。 12.如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1=40°，则∠A+∠B+∠C+∠D的度数 是 《169 一、课时提优计划作业本数学七年级下册(SK版)>>>)方 目/考点四/证明 13.如图，已知∠1=∠BDC,∠2+∠3=180°. (1)求证：AD∥CE. (2)若DA平分∠BDC,DA⊥FE于点A,∠FAB=55°，求∠ABD的度数， 14.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC,已知∠EBC=32°，∠AEB=70°. (1)求证：∠BAD:∠CAD=1:2. (2)若F为线段BC上的任意一点，当△EFC为直角三角形时，求∠BEF的度数. 15.(1)如图1，AB∥CD,则∠B+∠D ∠E.(填“>”“<”或“=”) (2)写出(1)中命题的逆命题，判断逆命题的真假并说明理由. (3)如图2，已知AB∥CD,在∠ACD的平分线上取两个点M、N,使得∠AMN=∠ANM, 求证：∠CAM=∠BAN. 图1 图2 170》> 第2章定义命题证明 直击中考前沿 1.(2025·广西)在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示.测量线 段AB的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是 A.垂线段最短 B.两点确定一条直线 C.两点之间，线段最短 D.两直线平行，内错角相等 北 北 0 70° 起跳线BC (第1题) (第2题) (第3题) (第4题) 2.(2025·苏州)如图，在A、B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东 70°.若A、B两地同时开工，要使公路准确接通，则∠α的度数为 ( ) A.100 B.105° C.1109 D.115° 3.(2025·威海)如图，直线CF∥DE,∠ACB=90°，∠A=30°.若∠1=18°，则∠2的度数为 () A.42 B.38 C.36° D.30° 4.(2025·扬州)如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE、 DF交于主光轴上一点G.若∠ABE=130°，∠CDF=150°，则∠EGF的度数是 ) A.60° B.70° C.809 D.90 5.(2025·凉山州)如图，DF∥AB,∠BAC=120°，∠ACE=100°，则∠CED的度数为() A.30 B.409 C.60° D.80° D E (第5题) (第6题) (第9题) (第11题) 6.(2025·眉山)如图，直线L与正五边形ABCDE的边AB、DE分别交于点M、N,则∠1+∠2 的度数为 A.216 B.180° C.1449 D.120° 7.(2024·宿迁)命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是 8.(2024·无锡)命题“若a>b,则a-3<b-3”是 命题.（填“真”或“假”） 9.(2025·连云港)如图，AB∥CD,直线AB与射线DE相交于点O.若∠D=50°，则∠BOE的 度数为 10.(2025·扬州)若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数为 11.(2025·江西)如图，创意图案中间空白部分为正多边形，该正多边形的内角和为 17]