精品解析：2026年内蒙古包头市青山区中考二模考试数学试题

机密★启用前 2026年初中学业水平考试模拟试卷（二） 数学 注意事项：1．本试卷共6页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 包头市气象局2026年5月5日09时发布天气实况：五一小长假期间我市将迎来冷空气，以晴到多云天气为主，5月7日山南最低气温，山北最低气温，则山南、山北最低气温差是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵山南最低气温为，山北最低气温为， ∴气温差为． 2. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的意义可知： A、选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、选项中的图形是轴对称图形，故此选项符合题意； D、选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 3. 一个不等式组中的两个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察图象即可求解． 【详解】解：由图象得，不等式组的解集为． 4. 中国航天事业成果丰硕，“神舟”“嫦娥”“天问”“北斗”是其中的标志性工程．现将印有这四个名称的4张卡片背面向上，洗匀放好．从中随机抽取2张卡片，恰好抽到“嫦娥”和“天问”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找出所有等可能的抽取结果，再统计符合题意的结果数，根据概率公式计算即可得到答案． 【详解】解：将“神舟”“嫦娥”“天问”“北斗”4张卡片分别记为：A，B，C，D， 画树状图如下： ∵共有12种等可能结果，其中恰好抽到“嫦娥”和“天问”的结果有2种， ∴恰好抽到“嫦娥”和“天问”的概率为． 5. 2026年总台春晚舞台上，融入了大量冰雪运动元素，展现了“冰与火”的视觉盛宴．如图1是某冰上舞蹈演员的表演瞬间，抽象为如图2所示的几何图形．已知演员的右臂与冰面平行，右臂与身体躯干的夹角为，腿部与冰面的夹角为，则躯干与腿部的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过作辅助线构造平行线，利用内错角相等将分割为两个角分别求解即可． 【详解】解：过点作，如图， ， ， ， ， ， ． 6. 在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（　　） A. 24 B. 27 C. 45 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式，代入求值的计算方法是解题的关键． 先求出关于的函数解析式，再分别求出，时的函数值，然后根据反比例函数的性质求出的取值范围，即可判断． 【详解】解：由题意设关于的函数解析式为：， 代入点得：， 解得：， ∴关于的函数解析式为， 当时，；当时，， ∵， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴， ∴的值可以为， 故选：C． 7. 根据《义务教育劳动课程标准（2022版）》的要求，某中学计划采购A、B两种型号的劳动工具开展农耕实践活动，预算总额设定为1200元．已知A型工具的单价比B型工具的单价便宜20元，如果全部购买A型工具，可比全部购买B型工具多买3把．设B型工具的单价为x元/把，则下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题为分式方程的实际应用题，解题思路为根据B型单价表示出A型单价，再结合总预算计算两种工具的可购买数量，最后根据数量关系列方程． 【详解】解：设B型工具单价为元/把， 由“A型工具单价比B型便宜20元”可得A型工具单价为元/把， 根据“如果全部购买A型工具，可比全部购买B型工具多买3把”可得， A选项符合题意． 8. 如图，，以O为圆心，长为半径画弧，交于点A，B，再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C，画射线交于点D，E为上一个动点，连接，．若，则阴影部分周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出的长，作点D关于的对称点，连接交于点，连接，则，此时，的最小值为，进而即可求解． 【详解】解：由题意得：平分， ∴， ∴的长， 作点D关于的对称点，连接交于点，连接，则，此时，的最小值为， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴阴影部分周长的最小值为． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 根据《内蒙古自治区能源发展“十五五”规划》，到“十五五”末，全区新能源本地消纳与外送电量合计将达到5200亿千瓦时，数据“5200亿”用科学记数法表示为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：先将亿改写为原数，得亿， 根据科学记数法的定义，可得． 10. 西安近几年城市发展迅速，交通便利．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃．其中偶数个苯环可视为同系物（图2），则第10个图中C原子的个数为______．（注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式如图1所示） 【答案】 64 【解析】 【分析】先根据前3个分子结构图中C原子的个数变化特点，可知第n个图表示的分子结构中，C原子的个数是个，再根据规律解答即可． 【详解】解：第1个图表示的分子结构中，C原子的个数是； 第2个图表示的分子结构中，C原子的个数是； 第3个图表示的分子结构中，C原子的个数是， 第n个图表示的分子结构中，C原子的个数是个， 则第10个图表示的分子结构中，C原子的个数是个． 11. 如图 ，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤在 A 处．在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤．已知射线从肿瘤右侧 10cm 的 B 处进入身体， 且射线与皮肤所成的夹角为∠CBA＝32.7°，则肿瘤在皮下的深度 AC 约为_____cm． 【参考数据：sin32.7°≈0.54，cos32.7°≈0.84，tan32.7°≈0.64】． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，根据正切函数的定义可得，即，即可求解． 【详解】解：由题意可得， 根据正切函数的定义可得， 则， 故答案为： 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，掌握三角函数的定义． 12. 如图，在中，对角线和相交于点，，，．延长至点，连接交于点，其反向延长线交于点，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，，，进而由勾股定理的逆定理得是菱形，，，即得到，得，得到，又由得，设，则，最后根据解答即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴的长为． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用零指数幂、绝对值、负整数指数幂、特殊角三角函数的运算法则分别化简各项，再合并同类项计算即可； （2）先对括号内部分通分计算，再将除法转化为乘法，因式分解后约分即可得到化简结果． 【小问1详解】 解：  ； 【小问2详解】 解：  ． 14. 近年来，国产AI大模型快速迭代，为了评估用户真实体验，某数码测评机构对两款热门AI助手开展满意度评分调研，分别随机抽取20份评分数据整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级： A： B： C： D：， （一）收集与整理 下面给出了部分信息：甲款（“智谱清言”）评分数据：63，71，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款（“通义千问”）评分数据中C组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90． 设备 平均数 中位数 众数 甲 86 85.5 b 乙 86 a 87 （二）描述与分析 甲、乙两款评分统计表（如图）：根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_________，_________，_________． （三）迁移与应用 （2）在此次测验中，有300人对乙款助手进行评分．请通过计算，估计其中对乙款助手非常满意（）的用户总人数． （3）如果要给这两款AI助手写一份测评结论，结合平均数、中位数、众数和高分用户占比，你会推荐哪一款？请写出至少一条数据支撑的理由，并给另一款助手提出一条具体的优化方向． 【答案】（1），， （2） （3）推荐乙款助手， 理由如下：甲、乙两款助手评分数据的平均数相同均为，但乙款助手的中位数比甲款助手的高，因此推荐乙款助手； 乙款助手可以进一步优化算法和训练数据，提升回答准确性，以提高中低分段的评价．（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）由中位数、众数的定义求出，先由组的人数求出组的占比，进而求出组的占比，即可求出； （2）由抽取的20份评分数据，可得的人数占比，由此估计当300人评分时满意的总人数； （3）由平均数、中位数、众数和高分用户占比的数据对两款产品进行分析并给出优化建议． 【小问1详解】 由乙款统计图可得，等级的人数为人， C组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90， 乙款的中位数， 由题干数据可得，甲款评分数据中出现的次数最多为次， 甲款的众数， 由题意，乙款C组的评分数据共有个，占比为， 组的占比，即． 【小问2详解】 由（1）得，随机抽取的20份评分数据中， 的用户占比为， 现有300人对乙款助手进行评分， 可估计，其中对乙款助手非常满意（）的用户总人数为人． 【小问3详解】 略． 15. 烧麦是内蒙古经典特色美食，皮薄馅足、鲜香地道，深受大众喜爱．某烧麦馆推出两款热销套餐：A套餐是单人餐：一笼烧麦，两份特色小菜，售价30元；B套餐是双人餐：两笼烧麦，五份特色小菜，售价67元；（每份特色小菜单价相同．） （1）求一笼烧麦和一份特色小菜的价格分别为多少元？ （2）每笼烧麦利润5元，每份特色小菜利润2元．根据市场需求，烧麦馆每日准备的B套餐数量是A套餐数量的3倍少5套，且两种套餐总数量不超过95套．假设准备的两种套餐全部售出，为使利润最大，该烧麦馆每天应准备多少套A套餐？最大利润是多少元？ 【答案】（1）一笼烧麦的价格为16元，一份特色小菜的价格为7元 （2）每天应准备25套A套餐，最大利润为1625元 【解析】 【分析】（1）设一笼烧麦的价格为元，一份特色小菜的价格为元，根据题意列方程组求解即可； （2）先求出A、B套餐的利润，再设每天准备套A套餐，则准备套B套餐，结合题意列不等式组求出a的范围，最后设总利润为元并结合一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设一笼烧麦的价格为元，一份特色小菜的价格为元， 根据题意，得， 解得， 答：一笼烧麦的价格为元，一份特色小菜的价格为元； 【小问2详解】 解：每套A套餐利润：笼烧麦利润份小菜利润，即 （元）， 每套B套餐利润：2笼烧麦利润份小菜利润，即 （元）， 设每天准备套A套餐，则准备套B套餐， 根据题意，得， 解得，且为整数， 设总利润为元， ∴ ， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当取最大值25时，总利润最大，即总利润为（元）， 答：该烧麦馆每天应准备套A套餐，最大利润为元． 16. 如图，在中，，，，点在的延长线上，且，过点作，交的延长线于点，以为直径的交于点． （1）求； （2）设交于点，试说明是的中点． 【答案】（1） （2） 证明：连接， ， ， 又 ， 是的直径， ， 是的中点． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，解题的关键是： （1）连接，在中，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，在中，根据勾股定理求出，然后证明，根据相似三角形的性质求出即可； （2）连接，由（1）可得，根据直径所对的圆周角是直角可得，然后根据三线合一的性质即可得证． 【小问1详解】 解：连接， ，，， ， ，， ， 而， ， ，即， 解得， 在中，根据勾股定理得， 为的直径， ， 而， ， ，即， 解得； 【小问2详解】 略 17. 综合与实践 问题情境：远离城市喧嚣，走进自然山野，露营已成为当下人们放松身心、享受生活、感受自然之美的热门休闲方式．已知某款露营帐篷的支架撑开后（如图）可近似看作抛物线． 建立模型：如图，抛物线与水平地面交于，两点，以的中点为原点，所在直线为轴，过点作的垂线与抛物线交于点，且点是抛物线的顶点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）．已知，． 问题解决： （1）求抛物线的函数表达式． （2）为保证在帐篷内坐着休息时不碰头，要求活动区域的高度不低于，求活动区域在水平方向上的最大宽度． （3）如图3，为获得更舒适的空间且方便悬挂露营灯，将抛物线支架沿竖直方向向上平移（平移后的抛物线可视为原抛物线向上平移后的一部分）后，在轴右侧抛物线上距原点水平距离为的点处悬挂露营灯，要求悬挂的露营灯高度不低于，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）确定，，，设抛物线的函数表达式为，代入后得到关于，，的方程组，求解即可； （2）当时，代入由（1）所得的抛物线的函数表达式得到，求解后可得答案； （3）确定平移后的抛物线解析式为，确定抛物线上的点的坐标为，再代入求出对应的的值即可． 【小问1详解】 解：∵，，为的中点， ∴， ∵以点为原点，所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）， ∴，，， 设抛物线的函数表达式为，过点，，， ∴， 解得： ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知：抛物线的函数表达式为， 当时，得：， 解得：或， ∴， ∴活动区域在水平方向上的最大宽度为； 【小问3详解】 解：∵将抛物线支架沿竖直方向向上平移， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∵在轴右侧抛物线上距原点水平距离为的点处悬挂露营灯，要求悬挂的露营灯高度不低于， ∴此时抛物线上的点的坐标为， ∴， ∴， ∴的最小值． 18. 如图，在中，F为边上的一个动点，连接． （1）当点F为边的中点时 ①如图1，过点B作，垂足为E，连接，延长交的延长线于G，求证：； ②如图2，将沿折叠，点C落在内处，连接并延长交于点G．若，求的长； （2）如图3，当时，延长到，使得，点M是边上一点．连接交于点N，当，BM平分，时，求出的面积． 【答案】（1）①证明：①∵四边形为平行四边形， ． ，． ∵点F为边的中点， ． 在和中 ． ． ， ． ． ②6 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据平行四边形的性质得 ，则，，即可证明，则，结合直角三角形的性质即可证明；②由折叠得，，则有，则，即可得到，进一步证明四边形为平行四边形，则，即可证明，可求的长； （2）过点M作于H， 得出，．再证，求出，，可得，证明，则求出的面积． 【小问1详解】 ①略 ②将沿折叠，点C落在内处， ，． 点F为边的中点， ． ． ． ， ． ． ． ∵四边形为平行四边形， ，． ∴四边形为平行四边形． ． ，， ． ， ． ． 【小问2详解】 解：如图，过点M作于H， ， ． 四边形为平行四边形， ． ． 平分， ． ． ． ． ， ． ． ． ． ． 在和中 ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 2026年初中学业水平考试模拟试卷（二） 数学 注意事项：1．本试卷共6页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 包头市气象局2026年5月5日09时发布天气实况：五一小长假期间我市将迎来冷空气，以晴到多云天气为主，5月7日山南最低气温，山北最低气温，则山南、山北最低气温差是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个不等式组中的两个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 中国航天事业成果丰硕，“神舟”“嫦娥”“天问”“北斗”是其中的标志性工程．现将印有这四个名称的4张卡片背面向上，洗匀放好．从中随机抽取2张卡片，恰好抽到“嫦娥”和“天问”的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 2026年总台春晚舞台上，融入了大量冰雪运动元素，展现了“冰与火”的视觉盛宴．如图1是某冰上舞蹈演员的表演瞬间，抽象为如图2所示的几何图形．已知演员的右臂与冰面平行，右臂与身体躯干的夹角为，腿部与冰面的夹角为，则躯干与腿部的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（　　） A. 24 B. 27 C. 45 D. 50 7. 根据《义务教育劳动课程标准（2022版）》的要求，某中学计划采购A、B两种型号的劳动工具开展农耕实践活动，预算总额设定为1200元．已知A型工具的单价比B型工具的单价便宜20元，如果全部购买A型工具，可比全部购买B型工具多买3把．设B型工具的单价为x元/把，则下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，以O为圆心，长为半径画弧，交于点A，B，再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C，画射线交于点D，E为上一个动点，连接，．若，则阴影部分周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 根据《内蒙古自治区能源发展“十五五”规划》，到“十五五”末，全区新能源本地消纳与外送电量合计将达到5200亿千瓦时，数据“5200亿”用科学记数法表示为_________． 10. 西安近几年城市发展迅速，交通便利．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃．其中偶数个苯环可视为同系物（图2），则第10个图中C原子的个数为______．（注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式如图1所示） 11. 如图 ，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤在 A 处．在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤．已知射线从肿瘤右侧 10cm 的 B 处进入身体， 且射线与皮肤所成的夹角为∠CBA＝32.7°，则肿瘤在皮下的深度 AC 约为_____cm． 【参考数据：sin32.7°≈0.54，cos32.7°≈0.84，tan32.7°≈0.64】． 12. 如图，在中，对角线和相交于点，，，．延长至点，连接交于点，其反向延长线交于点，若，则的长为______． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算： （1） （2） 14. 近年来，国产AI大模型快速迭代，为了评估用户真实体验，某数码测评机构对两款热门AI助手开展满意度评分调研，分别随机抽取20份评分数据整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级： A： B： C： D：， （一）收集与整理 下面给出了部分信息：甲款（“智谱清言”）评分数据：63，71，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款（“通义千问”）评分数据中C组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90． 设备 平均数 中位数 众数 甲 86 85.5 b 乙 86 a 87 （二）描述与分析 甲、乙两款评分统计表（如图）：根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_________，_________，_________． （三）迁移与应用 （2）在此次测验中，有300人对乙款助手进行评分．请通过计算，估计其中对乙款助手非常满意（）的用户总人数． （3）如果要给这两款AI助手写一份测评结论，结合平均数、中位数、众数和高分用户占比，你会推荐哪一款？请写出至少一条数据支撑的理由，并给另一款助手提出一条具体的优化方向． 15. 烧麦是内蒙古经典特色美食，皮薄馅足、鲜香地道，深受大众喜爱．某烧麦馆推出两款热销套餐：A套餐是单人餐：一笼烧麦，两份特色小菜，售价30元；B套餐是双人餐：两笼烧麦，五份特色小菜，售价67元；（每份特色小菜单价相同．） （1）求一笼烧麦和一份特色小菜的价格分别为多少元？ （2）每笼烧麦利润5元，每份特色小菜利润2元．根据市场需求，烧麦馆每日准备的B套餐数量是A套餐数量的3倍少5套，且两种套餐总数量不超过95套．假设准备的两种套餐全部售出，为使利润最大，该烧麦馆每天应准备多少套A套餐？最大利润是多少元？ 16. 如图，在中，，，，点在的延长线上，且，过点作，交的延长线于点，以为直径的交于点． （1）求； （2）设交于点，试说明是的中点． 17. 综合与实践 问题情境：远离城市喧嚣，走进自然山野，露营已成为当下人们放松身心、享受生活、感受自然之美的热门休闲方式．已知某款露营帐篷的支架撑开后（如图）可近似看作抛物线． 建立模型：如图，抛物线与水平地面交于，两点，以的中点为原点，所在直线为轴，过点作的垂线与抛物线交于点，且点是抛物线的顶点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）．已知，． 问题解决： （1）求抛物线的函数表达式． （2）为保证在帐篷内坐着休息时不碰头，要求活动区域的高度不低于，求活动区域在水平方向上的最大宽度． （3）如图3，为获得更舒适的空间且方便悬挂露营灯，将抛物线支架沿竖直方向向上平移（平移后的抛物线可视为原抛物线向上平移后的一部分）后，在轴右侧抛物线上距原点水平距离为的点处悬挂露营灯，要求悬挂的露营灯高度不低于，直接写出的最小值． 18. 如图，在中，F为边上的一个动点，连接． （1）当点F为边的中点时 ①如图1，过点B作，垂足为E，连接，延长交的延长线于G，求证：； ②如图2，将沿折叠，点C落在内处，连接并延长交于点G．若，求的长； （2）如图3，当时，延长到，使得，点M是边上一点．连接交于点N，当，BM平分，时，求出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $