精品解析：2024年内蒙古包头市青山区中考二模数学试题

2024年初中学业水平考试模拟试卷 数 学 一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 下列四个数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的概念，解题关键是熟记常见无理数的种类，常见无理数的三种情况：①开方开不尽的数；②与有理数的和差积商；③有规律但无限不循环的小数． 【详解】解：A、是有理数，不符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是有理数，不符合题意； D、开方开不尽，是无理数，符合题意； 故选：D． 2. 2024年李强总理政府工作报告指出，今年发展主要预期目标是：国内生产总值增长左右；城镇新增就业1200万人以上．将数据“1200万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的表示形式即可求解，熟练掌握科学记数法的表示形式：“，其中，n是正整数”是解题的关键． 【详解】解：1200万， 故选B． 3. 如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线上，若，则∠2等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．根据直角三角形的直角与平角之间的关系可得到与互余，再根据平行线的性质可知的度数． 【详解】解：∵直角三角板的直角顶点在直线上，， ∴， ∵， ∴； 故选：D． 4. 对任意整数，都能（ ） A. 被3整除 B. 被4整除 C. 被5整除 D. 被6整除 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方差公式，分解因式后判断，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． 【详解】∵， ∴故一定能被4整除， 故选B． 5. 如图，实数在数轴上对应的点到原点的距离为5．下列各数中，与最接近的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到，，继而得到， 解答即可． 本题考查了绝对值，实数大小比较，熟练掌握两点间距离越小，两个数越靠近是解题的关键． 【详解】根据题意，得到， 因为 所以 所以在之间， 所以 所以数轴上表示数m与的距离小于表示数m与的距离， 即数m与 最接近， 故选A． 6. 某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）是：168，184，187，188，197．现用一名身高为178cm的队员换下场上身高为197cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数变大，方差变小 D. 平均数变大，方差变大 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数和方差，能根据公式正确求出一组数据的平均数和方差是解题的关键．先根据公式分别求出原来数据和新数据的平均数和方差，然后比较即可得到答案． 【详解】解：原来数据的平均数：（cm）， 方差： 现在数据的平均数：（cm）， 方差： ∴平均数变小了，方差变小了． 故选：A． 7. 如图，已知点在上，为的中点．若，，则的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的性质及弧长公式，解题的关键是掌握圆周角定理和圆心角，弧的关系．连接，由，得，又为的中点．故，即知，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接，如图： C为的中点， ， ， ， ， ， 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，点B在y轴正半轴上，点，将沿x轴正方向平移得到，若点E恰好落在直线上，则此时点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点，求出点B的坐标，再结合即可求出点E的坐标，从而知道平移的方向，即可求解． 【详解】解：∵点， ∴， ∵是以点A为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵E是点B沿x轴向右平移得到的点， ∴点E的纵坐标为2， 将代入中，得， ∴点， ∴点E是点B向右平移4个单位长度得到的， ∴点D也是点A向右平移4个单位长度得到的， ∴点，即点， 故选：B． 【点睛】本题考查了平移的性质，等腰直角三角形的性质，求出平移的方向是解题关键． 9. 如图，在菱形中，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好经过点，与边交于点，连接．有以下四个结论：①，②如果，那么，③，④；其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质和菱形的性质．连接，如图，先利用基本作图可判断垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，，，再利用菱形的性质得到，，则可判断和都为等边三角形，从而可对①进行判断；利用勾股定理在中计算出，接着在中计算出，从而可对②进行判断；利用，可对③进行判断；最后根据三角形面积公式可对④进行判断． 【详解】解：连接，如图， 由作法得垂直平分， ，，， 四边形为菱形， ，， ， 和都为等边三角形， ，所以①正确； ， ，， 在中，， ，， ， ， ，所以②正确； ，， ，所以③错误； ，， 而， ，所以④正确． 故选：B． 10. 如图，正方形的边长为，的边，分别与边相交于点，，若的面积为，则与的长度比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形的面积公式，由正方形的性质可求，，由面积的和差关系可求，即可求，，由相似三角形的判定和性质可求解． 【详解】解：如图，过点作于，交于， 在正方形中，，， 又， 四边形是矩形， ，且正方形边长为， 正方形的面积， ， 的面积为， ， ， ， ，， ，， ， 故选：C． 二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡上对应的横线上． 11. 因式分解：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查利用完全平方公式进行因式分解，直接利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，化为最简二次根式后，它们的被开方数相同，列出方程求解是解题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与二次根式是同类二次根式，且， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 化简：的结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先对分子进行因式分解，然后根据分式乘法法则进行计算． 【详解】原式 故答案为 【点睛】本题考查了分式的乘除法．在完成此类化简题时，应先将分子、分母中能够分解因式的部分进行分解因式．有些需要先提取公因式，而有些则需要运用公式法进行分解因式．通过分解因式，把分子分母中能够分解因式的部分，分解成乘积的形式，然后找到其中的公因式约去． 14. 如图，圆O的直径垂直于弦，垂足是E，的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质和圆周角定理．解题的关键是熟练掌握以上知识点，根据圆周角定理得，由于圆的直径垂直于弦，根据垂径定理得，且可判断为等腰直角三角形，所以，然后利用进行计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵圆直径垂直于弦， ∴，则为等腰直角三角形， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 15. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】-3． 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，则，根据根与系数的关系得出，再将其代入整理后的代数式计算即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴ = =1+2×（-2） =-3 故答案为：-3． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解． 16. 如图，反比例函数的图象上有一动点A，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义和反比例函数的性质，相似三角形的判定与性质．正切函数的定义，连接，作轴于点M，轴于点N，根据题意可得，从而表达出的值，再证明，得到两个三角形的面积之比，根据k的几何意义得出k的值即可． 【详解】解：连接，作轴于点M，轴于点N，如图， 由题意可知，点A、点B关于原点对称， ∴， ∵ ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 而， ∴， ∵， 而， ∴ 故答案：. 三、解答题：本大题共有7小题，共72分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 17. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则和解不等式组的方法是解题的关键． （1）依次利用特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式的乘法，零指数幂进行化简，再相加减即可； （2）分别解每一个不等式，求出解集公共部分即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解①得：； 解②得：， 故不等式组的解集为：． 18. 某班数学教师给七（1）班学生推荐《数学密码》、《数学家的故事》、《原来数学》三本数学课外读物，小明和小聪商量做一个数学游戏，将这三本书的书名写在形状与质地完全相同且不透明的三张卡片上，并将这三张卡片倒扣在桌面上，第一步：由小明在这三本书中随机抽取一本；第二步：由小聪在剩下的两本书中随机抽取一本， （1）小明抽到的《生活中的数学》是__________事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”） （2）请用画树状图法或列表法，求小明抽中《原来数学》、小聪抽中《数学家的故事》的概率． 【答案】（1）不可能 （2） 【解析】 【分析】本题考查了随机事件的定义以及用列举法求解概率的知识，随机事件的定义：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．理解随机事件的定义，掌握树状图或者列表法求事件概率是解题的关键． （1）根据随机事件的定义即可判断； （2）画出树状图，可知一共有6种等可能的结果，其中小明抽中《原来数学》、小聪抽中《数学家的故事》的结果有1种，利用概率公式即可得解． 【小问1详解】 解：因为是随机抽取，则抽中的结果是随机的， 从《数学密码》、《数学家的故事》、《原来数学》三本数学课外读物中，小明抽到的《生活中的数学》是不可能事件． 故答案为：不可能； 【小问2详解】 将《数学密码》、《数学家的故事》、《原来数学》三本数学课外读物分别记为A，B，C，画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中小明抽中《原来数学》、小聪抽中《数学家的故事》的结果有：1种， ∴小明抽中（原来数学）、小聪抽中（数学家的故事）的概率为． 19. 如图，我市在三角形公园旁修建了两条骑行线路：①；②．经勘测，点A在点B的正西方10千米处，点C在点B的正南方，点A在点C的北偏西方向，点D在点C的正南方20千米处，点E在点D的正西方，点A在点E的北偏东方向．（参考数据：） （1）求的长度．（结果保留根号） （2）由于时间原因，小渝决定选择一条较短线路骑行，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？ 【答案】（1）千米 （2）选择线路② 【解析】 【分析】题目主要考查矩形的判定和性质，解三角形的应用，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键． （1）过点E作，交的延长线于点F，根据矩形的判定和性质得出，结合图形，利用解三角形求解即可； （2）根据解三角形得出，，然后比较两条线路即可． 【小问1详解】 解：过点E作，交的延长线于点F， ， 由题意得：， ∴四边形是矩形， ， 在中，，千米， （千米）， 千米， （千米）， 在中，， （千米）， 千米， 的长度为千米； 小问2详解】 他应该选择线路②， 理由：在中，， （千米）， 在中，千米，， （千米）， ∴线路①的总路程（千米）， 线路②的总路程（千米）， ∵47.3千米千米， ∴他应该选择线路②． 20. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化.开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）： （1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？请说明理由. 【答案】（1）第30分钟学生的注意力更集中； （2）能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得和的函数表达式，再分别求第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断； （3）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能． 【小问1详解】 设线段所在直线的解析式为， 把代入得, ∴， ∴， 设，所在双曲线的解析式为， 把代入得， ∴． 当时，； 当时，． ∴． ∴第30分钟学生的注意力更集中； 【小问2详解】 能 令，则， ∴． 令，则， ∴． ∵， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目 【点睛】本题考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 21. 如图，在中，，点是的中点，以为直径作，分别与，交于点，，过点作的切线，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长．（用两种方法求解） 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用已知条件证明，即可得到； （2）连接，先利用勾股定理求出，进而求出，再求出，进而求出，利用面积法即可得出结论．或连接，先根据勾股定理算出，然后结合两组对应角分别相等得证，然后把数值代入，进行计算，即可作答． 【小问1详解】 证明：连接， ，， ， 是直径， ，即， ， ，， 是的中位线， ， ， 是的切线， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接， 在中，根据勾股定理得，， 点是中点， ， 是的直径， ， ， ， ， ． （方法二）连接， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴， ∵， ∴F为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 得. 【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，判断出是解本题的关键． 22. （1）如图，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：； [问题解决] （2）如图，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：； [类比迁移] （3）如图，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】（）证明见解析；（）证明见解析；（）． 【解析】 【分析】（）由矩形的性质得，再证，即可得出结论； （）证，得，再证，得，然后由平行线的性质得，即可得出结论； （）延长至点，使，连接，，得，，再证是等边三角形，得，即可解决问题． 本题考查了 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ∴； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， 点在的延长线上， ， 又， ， ， ， ， ； （3）解：如图3，延长至点，使，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 即的长为3． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质，正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 23. 如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，当点在直线上方的抛物线上时，连接、，交于点，若，求的取值范围； （3）已知是直线上一动点，将点绕着点旋转得到点，若点恰好落在二次函数的图像上，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）过点作轴交于，过点作轴交于，利用待定系数法可得到直线的解析式为，设，且，则，由，得，可得，即取最大值，结合，即可求得答案； （3）当点绕着点顺时针旋转得到点时，过点作轴于点，过点作轴于点，可证得，得出，，设点，则，，可得；当点绕着点逆时针旋转得到点时，则，代入抛物线解析式即可求得答案． 【小问1详解】 解：设抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得：， 解得， 故抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 如图，过点作轴交于，过点作轴交于， 设直线的解析式为，把，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 设，且，则， ， 将代入，得到 ， ，， 轴，轴， ， ， ， ， 当时，取得最大值， ， ， 的最大值为， ； 【小问3详解】 当点绕着点顺时针旋转得到点时， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ，， ， ， ， ， ，， 点在直线：上，设点， 则，， ，， 点的坐标为， 点在抛物线上，代入抛物线解析式得：， 解得：，， 点的坐标为或 当点绕着点逆时针旋转得到点时， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 同理可得点的坐标为 点在抛物线上，代入抛物线解析式得：， 解得：，， 点的坐标为或； 综上所述点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，同角的余角相等,全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年初中学业水平考试模拟试卷 数 学 一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 下列四个数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 2024年李强总理政府工作报告指出，今年发展主要预期目标是：国内生产总值增长左右；城镇新增就业1200万人以上．将数据“1200万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线上，若，则∠2等于（ ） A. B. C. D. 4. 对任意整数，都能（ ） A. 被3整除 B. 被4整除 C. 被5整除 D. 被6整除 5. 如图，实数在数轴上对应的点到原点的距离为5．下列各数中，与最接近的是（ ） A. B. C. D. 6. 某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）是：168，184，187，188，197．现用一名身高为178cm的队员换下场上身高为197cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数变大，方差变小 D. 平均数变大，方差变大 7. 如图，已知点在上，为的中点．若，，则的长等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知是以点A为直角顶点等腰直角三角形，点B在y轴正半轴上，点，将沿x轴正方向平移得到，若点E恰好落在直线上，则此时点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好经过点，与边交于点，连接．有以下四个结论：①，②如果，那么，③，④；其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10. 如图，正方形的边长为，的边，分别与边相交于点，，若的面积为，则与的长度比为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡上对应的横线上． 11. 因式分解：______． 12. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则_______． 13. 化简：的结果是_______． 14. 如图，圆O的直径垂直于弦，垂足是E，的长为_____． 15. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 16. 如图，反比例函数的图象上有一动点A，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，，则_________． 三、解答题：本大题共有7小题，共72分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 17. （1）计算：； （2）解不等式组：． 18. 某班数学教师给七（1）班学生推荐《数学密码》、《数学家的故事》、《原来数学》三本数学课外读物，小明和小聪商量做一个数学游戏，将这三本书的书名写在形状与质地完全相同且不透明的三张卡片上，并将这三张卡片倒扣在桌面上，第一步：由小明在这三本书中随机抽取一本；第二步：由小聪在剩下的两本书中随机抽取一本， （1）小明抽到的《生活中的数学》是__________事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”） （2）请用画树状图法或列表法，求小明抽中《原来数学》、小聪抽中《数学家的故事》的概率． 19. 如图，我市在三角形公园旁修建了两条骑行线路：①；②．经勘测，点A在点B的正西方10千米处，点C在点B的正南方，点A在点C的北偏西方向，点D在点C的正南方20千米处，点E在点D的正西方，点A在点E的北偏东方向．（参考数据：） （1）求长度．（结果保留根号） （2）由于时间原因，小渝决定选择一条较短线路骑行，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？ 20. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化.开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）： （1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生注意力更集中？ （2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？请说明理由. 21. 如图，在中，，点是的中点，以为直径作，分别与，交于点，，过点作的切线，交于点． （1）求证：； （2）若，，求长．（用两种方法求解） 22. （1）如图，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：； [问题解决] （2）如图，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：； [类比迁移] （3）如图，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 23. 如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，当点在直线上方的抛物线上时，连接、，交于点，若，求的取值范围； （3）已知是直线上一动点，将点绕着点旋转得到点，若点恰好落在二次函数的图像上，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$