精品解析：辽宁阜新市太平区2025-2026学年下学期九年级模拟检测（二）数学试卷

2025-2026（下）九年级模拟检测（二）数学试卷 （试卷满分：120分，考试时间：120分钟） 各位同学请注意：务必将试题答案写在答题卡对应的位置上，否则不得分． 一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 某几何体的主视图和俯视图如图所示，则该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 球体 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的三视图，利用三视图推导几何体的形状是解题的关键． 通过几何体的主视图是矩形和俯视图是圆形，即可得几何体为圆柱． 【详解】解：通过几何体的主视图和俯视图，可得几何体为圆柱， 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式化简，合并同类项，积的乘方运算，完全平方公式逐个计算判断即可． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意； 3. 如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角性质即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ， ∴； 故选：A． 4. 如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（ ） A. 正九边形 B. 正十边形 C. 正十二边形 D. 正十八边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆的关系以及圆周角定理，掌握构造同弧所对的圆心角是解题的关键． 构造弧所对的圆心角后，即可求解． 【详解】解：连接， ， ， ， 是正九边形的一条边． 故选：A． 5. 如图所示，某动点从点出发，随机向正上或正右走，到达或点后，继续向正上或正右走，最终可到达、、三点．其中到达点的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，其中到达E的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中到达E的结果有2种， ∴到达点E的概率为． 6. 如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与垂直的方向走了10米，到达点C，测得，那么的长为____米．（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，已知及其邻边，求∠α的对边，根据正切函数定义即可求解． 【详解】解：在中，，米， ∴， ∴． 7. 如图，在菱形中，，点，分别在边，上，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．根据菱形的性质可得：，，推出、是等边三角形，得到，，证明，得到，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，， 、是等边三角形， ，， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：B． 8. 在平面直角坐标系中，若点在第四象限内，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据第四象限的点的符号特征，列出不等式组进行求解即可. 【详解】解：由题意， 解得． 9. 2025年第三十四届哈尔滨国际经济贸易洽谈会上，黑龙江某大豆贸易商与外商谈判．贸易商先将原价上涨，增长率为，又下调，下调的百分率也为，最终以每吨3240元成交，若原价为每吨3400元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据原价为每吨3400元，先将原价上涨，增长率为，又下调，下调的百分率也为，最终以每吨3240元成交，列出方程即可. 【详解】解：由题意，得，即. 10. 如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．……按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则( )． A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据前几个图形圆的个数，找出一般求出规律，得出第n个图形中圆的个数，然后列出方程，解方程即可． 【详解】解：因为第1个图形中一共有个圆， 第2个图形中一共有个圆， 第3个图形中一共有个圆， 第4个图形中一共有4×(4+1)+2=22个圆； 可得第n个图形中圆的个数是； ， 解得（舍），， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了图形规律探索，一元二次方程的应用，解题的关键是找出一般规律，列出方程． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】已知是给定一元二次方程的一个根，将代入原方程，可得到关于的一元一次方程，解该方程即可得到的值． 【详解】由题意，将代入方程， 得 ， 整理得 ， 即 ， 解得 ． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点、均在函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，，若点，，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数k的几何意义求出，再根据的长求出点的坐标，进而得到的长，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：轴，， ∴，  反比例函数解析式为， ∵，  ，  轴，，  点的纵坐标为4， 当时，， 解得，  点的坐标为，点的坐标为，  ，  ． 14. 如图，某湖面上有一座抛物线型拱桥，以拱顶O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线的函数表达式为．某一时刻，桥下水面的宽度为16米，则此时拱顶O到水面的距离为__米． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得点的横坐标为8，把代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，点的横坐标为， 当时，， ， 此时拱顶O到水面的距离为（米）． 故答案为：4． 15. 如图，正方形的顶点，分别在轴和轴上，点坐标．连接，以点为圆心作弧分别交边于点，交线段于点，再分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作射线，将正方形沿着射线方向平移得到正方形．当点的对应点落在射线上时，点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形性质得出点 C和点 A 的坐标，进而确定直线 的解析式；根据作图痕迹判断为 的角平分线；根据平移性质得出四边形是平行四边形，进而判断出，根据平移得出直线的解析式，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵ 四边形 是正方形，点 B 坐标为  ， ∴，， 设直线 的解析式为， 将，代入，得：， 解得， ∴， 由平移得，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由作图知为 的角平分线， ∴， ∴， ∴， 由题意知，直线向下平移4个单位长度得到， ∴直线的解析式为， 设， 则， 解得， ∴点的坐标为． 三、解答题（本大题共8小题，解答需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16题10分，17-21每题各8分，22题12分、23题13分，共计75分） 16. 计算、化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）（或） 【解析】 【小问1详解】 解：      ； 【小问2详解】 解：     ． 17. 某中学为了解本校女同学定点投篮水平，从该校女生中随机抽取a名女同学进行测试，每人定点投篮五次．根据进球统计的数据结果，绘制出如图的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为______，图①中m的值为______，统计的这组女同学定点投篮进球数量数据的众数和中位数分别是______和______； （2）求统计的这组女同学定点投篮进球数量数据的平均数； （3）若女同学定点投篮五次进球数量不小于3个为“优秀”，该校共有2000名女同学，请估计该校女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数约为多少？ 【答案】（1）20，35，1，2 （2）2 （3）估计该校女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数约为人． 【解析】 【分析】（1）根据题意结合众数和中位数的定义求解即可； （2）根据加权平均的定义求解即可； （3）根据样本估计总体求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ； ∵， ∴； 进球数量为1个的人数最多，则定点投篮进球数量数据的众数为1个； 定点投篮进球数量数据的中位数是从小到大排列的第10和11个数， ∴中位数分别是； 【小问2详解】 解：， 这组数据的平均数为2； 【小问3详解】 解：样本中女同学定点投篮进球数量不小于3个的人数为：（人）， ∴， 答：估计该校女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数约为人． 18. 2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的礼品更是受到了大家的青睐，某商场销售甲，乙两种以马为主题的礼品，已知1份甲礼品和2份乙礼品价格为130元，2份甲礼品和3份乙礼品价格为210元． （1）求甲，乙两种类型的礼品单价各是多少元？ （2）某公司计划采购两种类型的礼品共100份作为给员工的奖励，若总费用不超过3600元，那么最多可以采购多少份乙种礼品？ 【答案】（1）甲种礼品单价为30元，乙种礼品单价为50元 （2）最多可以采购30份乙种礼品 【解析】 【分析】（1）设甲种礼品单价为x元，乙种礼品单价为y元，然后根据“1份甲礼品和2份乙礼品价格为130元，2份甲礼品和3份乙礼品价格为210元”，列出方程组，解之即可； （2）设采购a份乙种礼品，然后根据“总费用不超过3600元”，列出不等式，解之即可． 【小问1详解】 解：设甲种礼品单价为x元，乙种礼品单价为y元， 根据题意，得， 解得， 答：甲种礼品单价为30元，乙种礼品单价为50元． 【小问2详解】 解：设采购a份乙种礼品，则采购份甲种礼品， 根据题意，得， 解得， 答：最多可以采购30份乙种礼品． 19. 热爱劳动是一种美德．如图为扫帚及其平面示意图，已知，，． （1）求证：； （2）求点到地面的距离．（参考数据：，结果保留小数点后一位） 【答案】（1） 证明：五边形的内角和为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故； （2） 【解析】 【分析】（1）先求出五边形的内角和为，求出，根据，得出，即可求出，故； （2）过作于，过作于，过作于，则四边形为矩形，故，在中，解直角三角形求出，在中，解直角三角形求出，再根据 即求解可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过作于，过作于，过作于， 则四边形为矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 因此到的距离： ． 20. 某次物理实验中，探究弹簧所挂物体质量m（单位：）与弹簧伸长长度（单位：）之间的关系．现取A，B两种型号的弹簧各一个进行实验，当弹簧所挂物体质量为时，记录A型弹簧和B型弹簧的伸长长度和，数据如下： 所挂物体质量（） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A型弹簧伸长长度 0 5 10 15 20 25 B型弹簧伸长长度 0 1 2 3 4 5 6 通过分析数据发现，可以用函数刻画与与之间的关系，回答下列问题： （1）在给出的平面直角坐标系中，已有的函数图象，请补全的函数图象； （2）与的关系式为____________ （3）重新取弹簧各一个，再次进行实验．在A型弹簧上挂一些物体时伸长长度为，结合函数图象回答： ①这些重物的质量为____________； ②若将一部分物体从A型弹簧卸下，挂到B型弹簧上（B型弹簧上原始无重物），恰使得两个弹簧伸长长度一致，则需要挪动的物体质量约为____________． 【答案】（1） 补全的函数图象如图： （2） （3）①4，② 【解析】 【分析】该题考查了正比例函数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合． （1）根据表格数据补全的函数图象即可； （2）根据图象可得与是正比例函数，设与的关系式为，根据待定系数法求解即可； （3）①将代入求解即可； ②根据图象可得当，与是正比例函数，求出；设需要挪动的物体质量约为，则，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据图象可得与是正比例函数， 设与的关系式为， 代入可得，解得：， ∴； 【小问3详解】 解：①将时，， 即这些重物的质量为； ②根据图象可得当，与是正比例函数， 设与的关系式为， 代入可得，解得：， ∴； 设需要挪动的物体质量约为， 则， 解得：． 21. 如图，在中，，以为直径作，为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：直线与相切； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）连接，证明 即可求证； （）设， 则，利用勾股定理可得，得到，，又设，则，利用勾股定理得，即得，再利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵为上一点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又为的半径； ∴直线与相切； 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 22. 综合与实践 同学们学习了矩形的有关性质和判定定理，在课后数学实践活动中，李老师引导学生利用图形变换进行了进一步的探究． 【独立思考】：（1）如图1：四边形是矩形，且，对角线、交于点，求证：是等边三角形． 【操作探究】：（2）智慧小组进行了以下探究活动：如图2，点E为AB的中点，点F为射线上的一动点，连接EF，如图所示在EF上方构建矩形EFGH，使，和相交于点，连接、，当点F运动到点上方且时，判断四边形的形状，并说明理由． 【问题解决】：（3）创新小组进行操作时，发现了一些结论：如图3，若点P为的中点，点为矩形EFGH的对角线的交点，点O为矩形ABCD的对角线的交点，连接EK、KP、EP、OE、OF，在点F运动的过程中，发现的比值是一个定值，请你直接写出的比值． 【答案】 （1）∵四边形ABCD是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）结论：四边形是矩形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． （3） 【解析】 【分析】本题考查了解三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识点，解题关键是点作，垂足为，证明． （1）根据矩形性质可得，由边长比利用三角函数求出即可证明结论． （2）由可得，从而证明，又由中位线定理可得，，进而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，判定四边形是平行四边形，再由有一个角是直角的平行四边形是矩形得出结论； （3）点作，垂足为，连接，，可得，进而可得，再证明，可得，由此即可解题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）过点作，垂足为，连接，， 由（2）可知：四边形为矩形； ，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ 连接， ∵点K为矩形EFGH的对角线的交点， ∴、、三点共线，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 又∵矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． ∴， 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、．与轴交于点，直线经过、两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点是第四象限内抛物线上一点，点是坐标平面内一点，以、、、为顶点作平行四边形，求平行四边形面积的最大值； （3）若抛物线与直线在第三象限的图象组成新的图象，图象上有三个动点，，． ①当点在点左侧时，、两点（含，两点）之间的图象的最高点和最低点的纵坐标的差为，直接写出与之间的函数解析式并写出自变量的取值范围； ②当、两点之间的图象（含，两点）对应函数的最大值和最小值均不随的变化而变化，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）把代入，建立方程组求解即可； （2）过点F作轴交于点E，由，求出，求出直线的解析式，设，，得，表示出以、、、为顶点的平行四边形的面积，然后利用二次函数的性质求解； （3）①首先得到顶点为，由直线，得到当时，，然后分四种情况讨论求解即可； ②对，当时，解得或，然后分两种情况讨论求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：过点F作轴交直线于点E， 对，令，则， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得，解得， ∴直线的解析式为． 设，则， ∴， ∴以、、、为顶点的平行四边形的面积 ∵， ∴当时，以、、、为顶点的平行四边形的面积取得最大值； 【小问3详解】 解：①∵抛物线， ∴顶点为， ∵直线的解析式为， ∴当时，， 解得， ∵图象W由时的抛物线和第三象限的直线组成． 当在左侧时，， 解得． 当时，点P在直线上，点Q在抛物线上，、两点（含，两点）之间的图象的最低点为点，最高点为 ∵，， ∴； 当时，点P在直线上，点Q在抛物线上，、两点（含，两点）之间的图象的最低点为抛物线的顶点，最高点为， ∵， ∴； 当时，点P在抛物线上，点Q在抛物线上，、两点（含，两点）之间的图象的最低点为抛物线的顶点，最高点为， ∵， ∴； 当时，点P在抛物线上，点Q在抛物线上，、两点（含，两点）之间的图象的最低点为，最高点为， ∵，， ∴, 综上：； ②对，当时，， 解得或， 当，，即时， 点P在直线上，点R在抛物线上，、两点之间的图象（含，两点）对应函数的最大值为点B的纵坐标值，最小值为抛物线的顶点的纵坐标值，均不随的变化而变化， ∵， ∴， 当时，， 解得； 当时，， ∴， ∴，解得； 或，解得； ∴； 当，即时， 点P在抛物线上，点R在直线上，、两点之间的图象（含，两点）对应函数的最大值为点B的纵坐标值，最小值为抛物线的顶点的纵坐标值，均不随的变化而变化， ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴，解得； 或，解得； 当时， ∴， 解得, ∴, 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026（下）九年级模拟检测（二）数学试卷 （试卷满分：120分，考试时间：120分钟） 各位同学请注意：务必将试题答案写在答题卡对应的位置上，否则不得分． 一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 某几何体的主视图和俯视图如图所示，则该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 球体 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（ ） A. 正九边形 B. 正十边形 C. 正十二边形 D. 正十八边形 5. 如图所示，某动点从点出发，随机向正上或正右走，到达或点后，继续向正上或正右走，最终可到达、、三点．其中到达点的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与垂直的方向走了10米，到达点C，测得，那么的长为____米．（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，，点，分别在边，上，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，若点在第四象限内，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 2025年第三十四届哈尔滨国际经济贸易洽谈会上，黑龙江某大豆贸易商与外商谈判．贸易商先将原价上涨，增长率为，又下调，下调的百分率也为，最终以每吨3240元成交，若原价为每吨3400元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．……按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则( )． A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_______． 12. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点、均在函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，，若点，，，则_______． 14. 如图，某湖面上有一座抛物线型拱桥，以拱顶O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线的函数表达式为．某一时刻，桥下水面的宽度为16米，则此时拱顶O到水面的距离为__米． 15. 如图，正方形的顶点，分别在轴和轴上，点坐标．连接，以点为圆心作弧分别交边于点，交线段于点，再分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作射线，将正方形沿着射线方向平移得到正方形．当点的对应点落在射线上时，点的坐标为______． 三、解答题（本大题共8小题，解答需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16题10分，17-21每题各8分，22题12分、23题13分，共计75分） 16. 计算、化简： （1）； （2）． 17. 某中学为了解本校女同学定点投篮水平，从该校女生中随机抽取a名女同学进行测试，每人定点投篮五次．根据进球统计的数据结果，绘制出如图的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为______，图①中m的值为______，统计的这组女同学定点投篮进球数量数据的众数和中位数分别是______和______； （2）求统计的这组女同学定点投篮进球数量数据的平均数； （3）若女同学定点投篮五次进球数量不小于3个为“优秀”，该校共有2000名女同学，请估计该校女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数约为多少？ 18. 2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的礼品更是受到了大家的青睐，某商场销售甲，乙两种以马为主题的礼品，已知1份甲礼品和2份乙礼品价格为130元，2份甲礼品和3份乙礼品价格为210元． （1）求甲，乙两种类型的礼品单价各是多少元？ （2）某公司计划采购两种类型的礼品共100份作为给员工的奖励，若总费用不超过3600元，那么最多可以采购多少份乙种礼品？ 19. 热爱劳动是一种美德．如图为扫帚及其平面示意图，已知，，． （1）求证：； （2）求点到地面的距离．（参考数据：，结果保留小数点后一位） 20. 某次物理实验中，探究弹簧所挂物体质量m（单位：）与弹簧伸长长度（单位：）之间的关系．现取A，B两种型号的弹簧各一个进行实验，当弹簧所挂物体质量为时，记录A型弹簧和B型弹簧的伸长长度和，数据如下： 所挂物体质量（） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A型弹簧伸长长度 0 5 10 15 20 25 B型弹簧伸长长度 0 1 2 3 4 5 6 通过分析数据发现，可以用函数刻画与与之间的关系，回答下列问题： （1）在给出的平面直角坐标系中，已有的函数图象，请补全的函数图象； （2）与的关系式为____________ （3）重新取弹簧各一个，再次进行实验．在A型弹簧上挂一些物体时伸长长度为，结合函数图象回答： ①这些重物的质量为____________； ②若将一部分物体从A型弹簧卸下，挂到B型弹簧上（B型弹簧上原始无重物），恰使得两个弹簧伸长长度一致，则需要挪动的物体质量约为____________． 21. 如图，在中，，以为直径作，为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：直线与相切； （2）若，，求的长． 22. 综合与实践 同学们学习了矩形的有关性质和判定定理，在课后数学实践活动中，李老师引导学生利用图形变换进行了进一步的探究． 【独立思考】：（1）如图1：四边形是矩形，且，对角线、交于点，求证：是等边三角形． 【操作探究】：（2）智慧小组进行了以下探究活动：如图2，点E为AB的中点，点F为射线上的一动点，连接EF，如图所示在EF上方构建矩形EFGH，使，和相交于点，连接、，当点F运动到点上方且时，判断四边形的形状，并说明理由． 【问题解决】：（3）创新小组进行操作时，发现了一些结论：如图3，若点P为的中点，点为矩形EFGH的对角线的交点，点O为矩形ABCD的对角线的交点，连接EK、KP、EP、OE、OF，在点F运动的过程中，发现的比值是一个定值，请你直接写出的比值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、．与轴交于点，直线经过、两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点是第四象限内抛物线上一点，点是坐标平面内一点，以、、、为顶点作平行四边形，求平行四边形面积的最大值； （3）若抛物线与直线在第三象限的图象组成新的图象，图象上有三个动点，，． ①当点在点左侧时，、两点（含，两点）之间的图象的最高点和最低点的纵坐标的差为，直接写出与之间的函数解析式并写出自变量的取值范围； ②当、两点之间的图象（含，两点）对应函数的最大值和最小值均不随的变化而变化，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $