精品解析：2025年辽宁省阜新市太平区 中考二模数学试题

2024-2025（下）九年级教学质量检测（二） 数学试卷 （试卷满分：120分 考试时间：120分钟） 各位同学请注意：务必将试题答案写在答题卡对应的位置上，否则不得分． 一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 下列各数中，绝对值最大的是（ ） A B. C. D. 3 2. 下列几何体中，主视图为三角形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 一副三角板如图所示摆放，直线，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过原点 B. 开口向上 C. 对称轴是直线 D. 最高点是 8. 春暖花开，正是放风筝的好时节．随着电影《哪吒2》的热映，哪吒、敖丙、太乙真人的卡通形象风筝备受人们喜爱．小强和小军分别从这三种卡通形象的风筝中任选一个购买，则他们两个都未选择太乙真人的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 某农业合作社在春耕期间采购了，两种型号无人驾驶农耕机器，已知每台型机器进价比每台型机器进价的2倍少万元；采购相同数量的，两种型号机器．分别花费了万元和万元．若设每台型机器的进价为万元，根据题食可列出关于的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线，相交于点，其中，的坐标分别为，．反比例函数（）的图象经过点，将矩形向右平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是______． 12. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为，则阴影部分的面积为________． 13. 如图，在中，，是的平分线，若，，则的长为______． 14. 如图，在中，，，，按如下步骤作图： ①分别以点，为圆心，以大于的长为半径在两边作弧，交于两点，； ②作直线，分别交，于点，； ③过作交于点，连接，． 则四边形的周长为______． 15. 美术课上，聪聪用一块边长为2的正方形的厚纸板，做了一套七巧板（如图①）．慧慧用聪聪做的七巧板拼成了如图②所示的美术作品，则图中______． 三、解答题（本大题共8小题，解答需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16题10分，17-21每题各8分，22题12分、23题13分，共计75分） 16. （1）计算：； （2）计算： 17. 某中学准备从七年级演唱非常好的甲、乙两位同学中选出一位参加区教体局举办的“庆六一”晚会．为此邀请五位评委进行现场打分，将甲、乙两位选手的得分数据整理成下列统计图与统计表． 平均数 中位数 方差 甲 8.8 0.56 乙 9 0.96 根据以上信息，解决下列问题： （1）表格中的______，______； （2）你认为选谁更合适？请说明理由； （3）在演唱比赛中，往往在所有评委给出分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后，选谁更合适，请说明理由． 18. 某商场计划购进甲、乙两种不同型号背包，已知购进甲型号背包2个和乙型号背包3个共需270元；购进甲型号背包3个和乙型号背包2个共需230元． （1）甲、乙两种型号背包每个的进价分别是多少元？ （2）商场决定甲型号背包以每个40元价格出售，乙型号背包以每个90元价格出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种背包共100个，当购进的背包全部售出后，该商场要想获得利润超过1200元，则最多购进甲种背包多少个？ 19. 图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框 上，通过推动左侧活页门开关；图2是其俯视图简化示意图，已知轨道 ,两扇活页门的宽 ,点固定，当点在上左右运动时，与的长度不变(所有结果保留小数点后一位). (1)若,求的长； (2)当点从点向右运动60时，求点在此过程中运动的路径长. （参考数据：sin50°≈0.77, cos50°≈0.64, tan50°≈1.19, π取3.14） 图1 图2 20. 某摄影团队利用两架无人机进行高空拍摄．1号、2号无人机从海拔高的A处同时出发，分别以、的速度匀速上升．上升了时，1号无人机不再继续上升，悬停在空中，等2号无人机达到同一高度时，1号无人机开始匀速降落，经过了降落到出发点．1号无人机降落过程中，2号无人机继续上升．设1号、2号无人机在飞行过程中的海拔高度分别为，，他们飞行的时间为x，y与x关系的图象如图所示． （1）点C的坐标为______； （2）求段的关于x的函数解析式； （3）在飞行的过程中，当两架无人机竖直方向上的高度差不超过时，远程遥控信号可能会相互干扰，则两架无人机信号受到干扰的时长是多少？ 21. 如图，为的直径，C为外一点，交于点D，E为的中点，且． （1）求证：为切线； （2）若，求的值． 22. 在数学课上，同学们探索正多边形中隐藏的变化规律．已知正边形每个内角的度数为，点在上，连接，将绕点顺时针旋转，旋转角为，点的对应点为点，连接，探究的度数和的关系． 【问题初探】 小明同学就等边三角形．给出了方法：如图1，在上截取，连接，易证，．在小明的启发下，同学们顺利地求出了正方形和正五边形等正多边形中的度数． （1）图2和图3分别是正方形和正五边形，分别写出的度数；图2中______，图3中______，正边形中______； 【类比探究】 （2）如图4，是等边三角形，点在的延长线上，过点作的垂线，点在上，且，连接，将射线绕点顺时针旋转，交直线于点，求证：； 【学以致用】 （3）如图5，在矩形中，交于点．点在上，连接，将线段绕点顺时针旋转，旋转角为，点的对应点为点，连接并延长，交于点，连接．若，求的面积． 23. 定义：点是轴上一点，函数的图象与函数的图象关于点中心对称，将这一变换称为“变换”．将函数的图象在直线的左侧部分与函数的图象在直线上及右侧部分组成的新图象记为对应的函数为． （1）若，函数图象上的点经过变换后的坐标为______； （2）若函数为直线为直线，则点的坐标为______； （3）已知，且 ①若图象上的三个点，且的面积为2，求的值； ②当时，图象上的点的纵坐标的最大值与最小值之差为，求关于的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025（下）九年级教学质量检测（二） 数学试卷 （试卷满分：120分 考试时间：120分钟） 各位同学请注意：务必将试题答案写在答题卡对应的位置上，否则不得分． 一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 下列各数中，绝对值最大的是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的性质．根据绝对值的性质分别计算比较即可． 【详解】解：∵， ∴绝对值最大数是． 故选：C． 2. 下列几何体中，主视图为三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别判断每个选项中的主视图是否满足条件即可； 【详解】A、主视图为 ，是三角形，故此选项正确； B、主视图为 ，是矩形，故此选项错误； C、主视图为 ，是圆，故此选项错误； D、主视图为 ，是矩形，故此选项错误； 故选A． 【点睛】此题考查简单空间图形的三视图，解题关键在于掌握图形的判别． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方，根据同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，计算正确，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、故选项不符合题意； 故选：B． 4. 一副三角板如图所示摆放，直线，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”以及平角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 5. 如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，根据，，求出，根据“圆内接四边形的对角互补”求出即可，熟练运用圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键． 详解】解：， ， 四边形内接于， ， ， 故选：D． 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据判别式的意义得到，然后求出不等式的解集即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故选：A． 7. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过原点 B. 开口向上 C. 对称轴是直线 D. 最高点是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了的图象和性质．根据二次函数的顶点式，分析开口方向、对称轴、顶点坐标及是否经过原点，即可． 【详解】解：当时，，则图象经过，故A选项错误，不符合题意； 因为，则抛物线开口向下，故B选项错误，不符合题意； C、对称轴是直线，故C选项错误，不符合题意； D、顶点坐标为，即最高点是，故D选项正确，符合题意； 故选：D 8. 春暖花开，正是放风筝的好时节．随着电影《哪吒2》的热映，哪吒、敖丙、太乙真人的卡通形象风筝备受人们喜爱．小强和小军分别从这三种卡通形象的风筝中任选一个购买，则他们两个都未选择太乙真人的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及他们两个都未选择太乙真人的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将这三种卡通形象的风筝分别记为A，B，C， 列表如下： A B C A B C 共有16种等可能的结果，其中他们两个都未选择太乙真人的结果有：，，，，共4种， ∴他们两个都未选择太乙真人的概率为． 故选：C． 9. 某农业合作社在春耕期间采购了，两种型号无人驾驶农耕机器，已知每台型机器的进价比每台型机器进价的2倍少万元；采购相同数量的，两种型号机器．分别花费了万元和万元．若设每台型机器的进价为万元，根据题食可列出关于的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握分式方程的应用是解题的关键． 设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元，根据采购数量相同可列方程． 【详解】解：设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元， 依题意得，， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线，相交于点，其中，的坐标分别为，．反比例函数（）的图象经过点，将矩形向右平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质，矩形的性质，先求解反比例函数为，结合矩形的性质求解，再结合平移的性质可得答案． 【详解】解：∵反比例函数（）的图象经过点， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为， ∵矩形的对角线，相交于点， ∴点是的中点， ∵，的坐标分别为，， ∴，即， 当，则， ∴平移的距离为， 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】由题意得，， 解得， 故答案为∶． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围问题，解题的关键是掌握函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12. 如图，若方格纸中每个小正方形边长均为，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示（见详解），根据相似三角形的性质，三角形的高的比等于相似比，由此可求的长，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，根据题意得，正方形，，是对角线，与交于点，过点作直线于，交于， ∵，，，设，则， ∴， ∴，即，解方程得，， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查格点三角形与三角形相似，掌握格点三角形的特点，相似三角形的性质是解题的关键． 13. 如图，在中，，是的平分线，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，过点作于点，由角平分线的性质得，再由勾股定理求出，进而证明得，设，则，然后在中，由勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理和角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵ ∴ ∵是的平分线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，按如下步骤作图： ①分别以点，为圆心，以大于的长为半径在两边作弧，交于两点，； ②作直线，分别交，于点，； ③过作交于点，连接，． 则四边形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理逆定理、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，由作图可得，垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，，，，由勾股定理逆定理可得，证明出，得出点为的中点，即，再证明，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得，垂直平分， ∴，，，， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：． 15. 美术课上，聪聪用一块边长为2的正方形的厚纸板，做了一套七巧板（如图①）．慧慧用聪聪做的七巧板拼成了如图②所示的美术作品，则图中______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，理解图形的含义是解本题的关键． 根据题意得：，图中的三角形均为等腰直角三角形，，图②中，，再根据，可求出，即可求解． 详解】解：如图， 根据题意得：，图中的三角形均为等腰直角三角形， ∴， 图②中，， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 故答案为： 三、解答题（本大题共8小题，解答需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16题10分，17-21每题各8分，22题12分、23题13分，共计75分） 16. （1）计算：； （2）计算： 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算以及分式的化简，解题的关键是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质以及分式的基本性质和因式分解公式． （1）根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质分别化简各项，再进行计算； （2）先对分子分母进行因式分解，再根据分式的基本性质进行化简． 【详解】解： （1） （2） 17. 某中学准备从七年级演唱非常好的甲、乙两位同学中选出一位参加区教体局举办的“庆六一”晚会．为此邀请五位评委进行现场打分，将甲、乙两位选手的得分数据整理成下列统计图与统计表． 平均数 中位数 方差 甲 8.8 0.56 乙 9 0.96 根据以上信息，解决下列问题： （1）表格中的______，______； （2）你认为选谁更合适？请说明理由； （3）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后，选谁更合适，请说明理由． 【答案】（1）， （2）选择甲更合适，理由见解析 （3）去掉一个最高分和一个最低分之后，选乙更合适，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、方差，熟练掌握相关定义是解此题的关键． （1）根据平均数和中位数的定义求解即可； （2）根据平均数、中位数和方差判断即可得解； （3）根据平均数、中位数和方差判断即可得解． 【小问1详解】 解：甲得分按从小到大排列为：、、、、， 故甲得分的中位数为，即； 由统计图可得：； 【小问2详解】 解：选择甲更合适，理由如下： ∵甲、乙两人平均成绩相等，中位数相同，甲的方差较小， ∴甲的成绩稳定； 【小问3详解】 解：去掉一个最高分和一个最低分之后，选乙更合适，理由如下： 去掉一个最高分和一个最低分之后，甲的平均数为，中位数为，方差为；乙的平均数为，中位数为，方差为； 故去掉一个最高分和一个最低分之后，选择乙更合适． 18. 某商场计划购进甲、乙两种不同型号背包，已知购进甲型号背包2个和乙型号背包3个共需270元；购进甲型号背包3个和乙型号背包2个共需230元． （1）甲、乙两种型号背包每个的进价分别是多少元？ （2）商场决定甲型号背包以每个40元价格出售，乙型号背包以每个90元价格出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种背包共100个，当购进的背包全部售出后，该商场要想获得利润超过1200元，则最多购进甲种背包多少个？ 【答案】（1）甲种型号背包每个进价为30元，乙种型号背包每个进价为70元 （2）最多购进甲种型号背包79个 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出不等关系是解题关键． （1）设甲、乙两种型号背包每个的进价分别是x、y元，根据题意列方程组求解可得； （2）设购进甲型号背包m个，乙型号背包个，根据“获利超过元”列不等式求解可得． 【小问1详解】 解：设甲种型号背包每个进价为元，乙种型号背包每个进价为元． 根据题意得：，解得 答：甲种型号背包每个进价为30元，乙种型号背包每个进价为70元． 【小问2详解】 设购进甲种背包个，乙型号背包个，根据题意可得 ，取最大整数解为79． 答：最多购进甲种型号背包79个． 19. 图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框 上，通过推动左侧活页门开关；图2是其俯视图简化示意图，已知轨道 ,两扇活页门的宽 ,点固定，当点在上左右运动时，与的长度不变(所有结果保留小数点后一位). (1)若,求的长； (2)当点从点向右运动60时，求点在此过程中运动的路径长. （参考数据：sin50°≈0.77, cos50°≈0.64, tan50°≈1.19, π取3.14） 图1 图2 【答案】（1）43.2cm. （2）62.8cm. 【解析】 【详解】【分析】（1）如图，作OH⊥AB于H，在Rt△OBH中， 由cos∠OBC= ，求得BH长，再根据AC=AB－2BH即可求得AC的长； （2）由题意可知△OBC是等边三角形，由此即可求出弧OC的长，即点O在此过程中运动的路径长. 【详解】（1）如图，作OH⊥AB于H， ∵OC=OB=60，∴CH=BH， 在Rt△OBH中， ∵ cos∠OBC= ， ∴BH= OB·cos50°≈60×0.64=38.4， ∴AC=AB－2BH≈120－2×38.4=43.2， ∴AC的长约为43.2cm； （2）∵AC=60，∴BC=60 ， ∵OC=OB=60， ∴OC=OB=BC=60 ， ∴△OBC是等边三角形， ∴的长==2 =62.8， ∴点O在此过程中运动的路径长约为62.8cm. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、弧长公式等，结合题意正确画出图形是解题的关键. 20. 某摄影团队利用两架无人机进行高空拍摄．1号、2号无人机从海拔高的A处同时出发，分别以、的速度匀速上升．上升了时，1号无人机不再继续上升，悬停在空中，等2号无人机达到同一高度时，1号无人机开始匀速降落，经过了降落到出发点．1号无人机降落过程中，2号无人机继续上升．设1号、2号无人机在飞行过程中的海拔高度分别为，，他们飞行的时间为x，y与x关系的图象如图所示． （1）点C的坐标为______； （2）求段的关于x的函数解析式； （3）在飞行的过程中，当两架无人机竖直方向上的高度差不超过时，远程遥控信号可能会相互干扰，则两架无人机信号受到干扰的时长是多少？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用． （1）先由得点C的海拔高度，再由得2号无人机上升时间，即可得点C的坐标； （2）先求出点D坐标，设段的关于x的函数解析式为，用待定系数法求出函数解析式即可； （3）由题意可得，段的关于x的函数解析式为，段的关于x的函数解析式为，分三种情况讨论：在，当时；在，当时；在，当时，分别列出方程求出x的值，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意，， 点D的坐标为， 设段的关于x的函数解析式为， 将，的坐标代入， 得， 解得， 段的关于x的函数解析式为； 【小问3详解】 解：由题意，段的关于x的函数解析式为， 段的关于x的函数解析式为， 分以下三种情况讨论： 在，当时，即， 解得， 在，当时，即， 解得， 在，当时，即， 解得， ， 两架无人机信号受到干扰的时长是． 21. 如图，为的直径，C为外一点，交于点D，E为的中点，且． （1）求证：为的切线； （2）若，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是圆的切线的判定，相似三角形判定与性质，垂径定理推论及圆周角定理的应用等知识， （1）连接交于点M，得出，证出，，进而得出，即可证出结论； （2）连接，证明，得出，根据，可求出结论． 【小问1详解】 证明：连接交于点M， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的切线； 【小问2详解】 解：连接， 为的直径， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ． 22. 在数学课上，同学们探索正多边形中隐藏的变化规律．已知正边形每个内角的度数为，点在上，连接，将绕点顺时针旋转，旋转角为，点的对应点为点，连接，探究的度数和的关系． 【问题初探】 小明同学就等边三角形．给出了方法：如图1，在上截取，连接，易证，．在小明的启发下，同学们顺利地求出了正方形和正五边形等正多边形中的度数． （1）图2和图3分别是正方形和正五边形，分别写出的度数；图2中______，图3中______，正边形中______； 【类比探究】 （2）如图4，是等边三角形，点在的延长线上，过点作的垂线，点在上，且，连接，将射线绕点顺时针旋转，交直线于点，求证：； 【学以致用】 （3）如图5，在矩形中，交于点．点在上，连接，将线段绕点顺时针旋转，旋转角为，点的对应点为点，连接并延长，交于点，连接．若，求的面积． 【答案】（1）；；；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）当探究的图形为正方形时，在上截取，连接，先证明，可得，再由，可得，再求解即可得出结论，再用类似方法对正五边形及正n边型中求解； （2）过点P作于点E，先证明，再利用全等三角形的性质证明即可； （3）在上截取，连接，先在中，由勾股定理得，再证明，可得，再证明，再利用相似三角形性质可得，再求解即可． 【详解】解：（1）当探究的图形为正方形时，如图，在上截取，连接， 根据题意得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当探究的图形为正五边形时，如图，在上截取，连接， 根据题意得，， 易证， ， ， ， ； 综上所述，在正n边形中，， 故答案为：；；． （2）如图，过点P作于点E， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）如图，在上截取，连接， 四边形是矩形， ， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， ， ， 由旋转可得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形及多边形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形或相似三角形，利用全等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例进行推算． 23. 定义：点是轴上一点，函数的图象与函数的图象关于点中心对称，将这一变换称为“变换”．将函数的图象在直线的左侧部分与函数的图象在直线上及右侧部分组成的新图象记为对应的函数为． （1）若，函数图象上的点经过变换后的坐标为______； （2）若函数为直线为直线，则点的坐标为______； （3）已知，且 ①若图象上的三个点，且的面积为2，求的值； ②当时，图象上的点的纵坐标的最大值与最小值之差为，求关于的函数关系式． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）设变换后的坐标为，根据定义可知与关于对称，即可求出答案； （2）设上点为，上点为，且关于点T对称，再根据定义即可得答案； （3）①设上点的坐标为，可得上点的坐标为，进而可得解析式，再求出和的顶点坐标，即可得出其对称点坐标．根据题意可得，由，列方程求解即可； ②先求出当x分别取、t时，图形F对应的函数的函数值，若这两个函数值相等，则求得t的满足题意的一个值，再根据t的范围及函数的顶点坐标，对t进行分类讨论，同时结合图象，便可求得h关于t的函数关系式． 【小问1详解】 解：设变换后的坐标为， ∵与关于对称， ∴， 解得：， ∴变换后的坐标为； 【小问2详解】 解：根据题意可设上点为，上点为，且关于点T对称， ∴， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：①设上点的坐标为， ∴上点的坐标为， 将点代入中，得：， ∴：， ∴的顶点为； ∵ ， ∴的顶点为． 设和关于点D对称， ∴的顶点和的顶点关于点D对称， ∴D点坐标为， ∵，， ∴令中，则， 令中，则， 令中，则， ∴． 如图1，过点B作轴， 由上式知A与C关于点D对称， ∴， 当时，即， 解得：（舍）， 故t的值为． ②当时，图形F对应的函数的函数值为：；当时，图形F对应的函数的函数值为：； 若， 即， 解得：，（舍）， 当时，如下图所示， ； 当时，如下图所示， ； ． 【点睛】本题为二次函数综合题，为压轴题．理解题意，掌握“T变换”的定义，并利用数形结合的思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$