浙江杭州二中2025-2026学年高一下学期周末练10-数学试卷

杭州二中2025学年高一下学期数学周末练10 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1、在一个袋子中放2个白球，2个红球，摇匀后随机摸出2个球，与摸出1个白球1个 红球互斥而不对立的事件是 () A.至少摸出1个白球 B.至少摸出1个红球 C.摸出2个白球 D.摸出2个白球或摸出2个红球 2、将复数1+i对应的向量O绕原点按逆时针方向旋转平，得到的向量为O,那么 OM,对应的复数是 A.21 B.√2i c.2+2i D.√2+√2i 3、有一道数学竞赛题，A,B,C三位同学能答对的概率分别为号、号和士则A, B,C三人独立解答此题时，恰有1人答对且C同学未能答对的概率为 () 高 R号 c品 D.3 4、已知方程ar2-x+b=0(a,b>0)在(0,2)上有实根，则】+1的最小值为() a b A.2 B.3 C.4 D.5 5、己知f(x)是定义在R上的函数，f(2x+1)是奇函数，且f(4x+2)是偶函数，则下列 选项一定正确的是 () A.函数f(x)的周期为2 B.函数f(x)的周期为3 C.f(2022)=0 D.f(2023)=0 6、已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC,AB=2,BC=CD=1,P是腰AD上的动点， 则2P-PC的取值范围为 () A[3] B[] c. n.[] 7、若某同学连续三次考试的名次（第一名为1，第二名为2，以此类推，且可以有名次并 列的情况)均不超过3，则称该同学为班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续 三次考试的名次数据，推断一定不是尖子生的是 () A.甲同学：平均数为2，中位数为2 B.乙同学：平均数为2，方差小于1 C.丙同学：中位数为2，众数为2 D.丁同学：众数为2，方差大于1 ·1 8、如图，二面角《-m-B的平面角的大小为120°，A,B为半平面α内的两个点，C 为半平面B内一点，且AC=BC=√3，若直线BC与平面α所成角为30°，D为BC的中 点，则线段AD长度的最大值是 () A.V19 B.②I D.30 2 2 9 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给的选项中，有多项符合要求。 9、已知U,m是两条不同的直线，，B是两个不同的平面，且l∥&，m⊥B,下列命 题中正确的是 () A.若a∥B,则m⊥a B.若a⊥B,则l⊥m C.若l⊥m,则l∥B D.若m∥，则&⊥B 10、如图，点M是正方体ABCD一ABCD1中的侧面ADD1A1上的一个动点，则下列结 论正确的是 () A.点M存在无数个位置满足CM⊥AD D C B.若正方体的棱长为1，三棱锥B-CMD的体积最大值为】 B C.在线段AD1上存在点M,使异面直线BM与CD所成的角是 30° M D.点M存在无数个位置满足到直线AD和直线CD,的距离相等 B 11、记男生样本1，x2,…,xm的平均数为c,方差为s;女生样本1，y2,,yn的平均数为 ,方差为s:男女总样本西，x2,,xm,,y2,,n的平均数记为z,方差为s,则下列说法 正确的是 () 4若z=号（匹+列，则正=可 B.若无>，则z<元 C.若元=，号=s,则s=好十时 2 s-m开n[对-红-]+m十n+-] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12、数据12,14,15,24,27,30,17,19的第70百分位数是 ·2 13、如图，一个密闭容器水平放置，圆柱底面直径为2，高为10，圆锥母线长为2，里面 有一个半径为1的小球来回滚动，则小球无法碰触到的空间部分的体积为 14、己知正n边形A1A2…An（n≤15)内接于单位圆O,任取两个不同顶点A:,A,满足 OA+OA≥的概率为号，则n的值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15、2020年11月4日晚中国国际进口博览会开幕式在国家会展中心（上海）举行.为了解关 注本届进博会市民的年龄分布情况，某机构在开幕式现场随机抽取了100人进行调查，已知这 100人的年龄都在20~80岁之间，按年龄绘制成频率分布直方图，如图所示，其分组区间为[20， 30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]. (1)求这100位市民年龄的平均值及中位数（同一组数据用该 个频率/组距 区间的中点值作代表)： 0.030- (2)按年龄分组，用分层抽样的方法从年龄在「20,50)的市民 0.025 0.020 中共抽取7人，分别求抽取年龄在[20,30)，[30,40)，[40,50) 的市民人数 0.010 0.005 A 20304050607080年龄/岁 16、已知函数f(x)=2 sinxcosx-2W3sinx+√3，g(x)=sinc. (①若x∈[0，]求函数f)的值域： (Ⅱ)将函数f(x)图象向右平移灭个单位，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来 的2倍得到函数h()的图象，并设F()=h()+t(gc)+g如+)，若F()>0在[0，] 上有解，求实数t的取值范围 17、函数f(x)=l1n(9+3m-a) (1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围： (2)当a=0时，g(x)为定义域为R的奇函数，且x>0时，g(x)=e)-9, ①求g(x)的解析式 ②若关于x的方程9(x-2+3) =g(x川恒有两个不同的实数根，求t的取值范围. g(x) ·3 杭州二中2025学年高一下学期数学周末练10 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1、在一个袋子中放2个白球，2个红球，摇匀后随机摸出2个球，与摸出1个白球1个 红球互斥而不对立的事件是 () A.至少摸出1个白球 B.至少摸出1个红球 C.摸出2个白球 D.摸出2个白球或摸出2个红球 【答案】C 【解析】对于A,至少摸出1个白球与摸出1个白球1个红球不是互斥事件； 对于B,至少摸出1个红球与摸出1个白球1个红球不是互斥事件： 对于C,摸出2个白球与摸出1个白球1个红球是互斥而不对立事件： 对于D,摸出2个白球或摸出2个红球与摸出个白球1个红球是互斥也是对立事件 故选：C. 2、将复数1+1对应的向量O绕原点按逆时针方向旋转工，得到的向量为O,那么 O☑，对应的复数是 A.21 B.√2i C. 2+】 D.√2+√2i 2 【答案】B 【解析】根据复数的三角形式运算求解即可 复数1+i的三角形式是V2(cos至+isin平)，向量O,对应的复数 V2(cos平+sin)×(cos+isin平)=2(cs号+isin5）=V2i 故选：B 本题主要考查了复数的三角形式运算，属于基础题 3、有一道数学竞赛恩，A,B,C三位同学能答对的概率分别为号、号和子，则4， B,C三人独立解答此题时，恰有1人答对且C同学未能答对的概率为 () A音 B. 5 C. 5 8 D.3 24 8 【答案】D 【解析】 设事件A为A同学答对”，事件B为B同学答对”，事件C为℃同学答对”，已知P(A) =P团=合，PC=},且A,B,C湘互独立， 恰有1人答对且C同学未能答对等价于“A答对且B、C答错与B答对且A、C答错” 这两个互斥事件的和， ·1 ∴.所求概率P=P(ABC+P(ABC, ,A,B,C相互独立， PAnC-PA-PD-PC-专×号x是-主 PAsC=RA-PB-rG=x3×是-S, 4、已知方程ax2-”+b=0(a,b>0)在(0,2)上有实根，则1+二的最小值为() a b A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】设方程ax2-x+b=0(a,b>0)在(0,2)上的实根为t(t>0),则at2-t+b=0, 所以at2+b=t, 所以日+号-公+5-61-倍+号++1 ≥2V格等++1-日2++1=t+名+2 ≥2Vb+2=4, 当且仅当名=跨且t=}且a+6=,即a=b=分，t=1时等号成立， b 所以是+方的最小值为4 故选：C 5、已知f(c)是定义在R上的函数，f(2x+1)是奇函数，且f(4x+2)是偶函数，则下列 选项一定正确的是 () A.函数f(x)的周期为2 B.函数f(x)的周期为3 C.f(2022)=0 D.f(2023)=0 【答案】D 【解析】因为f2x+1)为奇函数，所以-f2c+1)=f(-2x+1),所以f(x+1)=一f(-x +1),所以f(x+2)=-f-x), 因为f(4c+2)为偶函数，所以f4x+2)=f(-4x+2),所以f(x+2)=f(-x+2), 所以f(-x)=f(x+4),所以f(x+2)=-f(x+4), 所以f(x)=一f(x+2)=-(-f(x+4)=f(x+4),即函数f(x)的周期为4，故AB不正 确； 又f(-0+1)=-f0+1),f1+2)=f(-1+2),即f1)=f3)=0,所以f2023)= f(505×4+3)=f3)=0,故D正确； f(2022)=f(505×4+2)=f(2)的值不确定，故C不正确. 故选：D ·2 6、已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC,AB=2,BC=CD=1,P是腰AD上的动点， 则2PB-PC的取值范围为 () A.[ B.c. n[] 【答案】C 【解折】建立如所示的直角坐标系，则A0.0,B2,0,D分，9).C(号，】 则A-mAd-《合mm.0≤m≤1，所以P分m,9m 故n时r心=0吉mm）,5-m)=(2”,58m》 2 2 放2庞d-V2+28m-Vm+子. 由T0≤m≤1，故≤m-号}+≤7，故2P历-P风∈[2w 故选：C 7、若某同学连续三次考试的名次（第一名为1，第二名为2，以此类推，且可以有名次并 列的情况)均不超过3，则称该同学为班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续 三次考试的名次数据，推断一定不是尖子生的是 () A.甲同学：平均数为2，中位数为2 B.乙同学：平均数为2，方差小于1 C.丙同学：中位数为2，众数为2 D.丁同学：众数为2，方差大于1 【答案】D 【解析】甲同学名次数据的平均数为2，说明名次之和为6，由中位数为2， 得出三次考试名次均不超过3，断定甲是尖子生： 乙同学名次数据的平均数为2，设乙同学3次考试的名次分别为x1、x2、x, 由题意可得西++西=6则方差-号[(-2+(c-2+(西-2门<1， 所以，(-22+(-2)2+(c3-2)2=x++x3-4(c1+D+c3)+12 =x+x号+x-12<3,则x+x号+x号<15，所以，x1、x2、c3均不超过3， 由此可断定乙是尖子生： 丙同学名次数据的中位数为2，众数为2，说明三次考试中至少有两次名次为2，故丙可 能是尖子生： 丁同学名次数据的众数为2，说明某两次名次为2，设另一次名次为x, 平均数为1售是，方差为2-专4八x2+对4门-2,2>1， ·3 即(c-2>号，所以，=1或2或3均不满足(-2驴>号，放x≥4，断定丁一定不 是尖子生故选：D 8、如图，二面角a-m-B的平面角的大小为120°，A,B为半平面α内的两个点，C 为半平面B内一点，且AC=BC=√3，若直线BC与平面α所成角为30°，D为BC的中 点，则线段AD长度的最大值是 () D A.19 B.②I 2 2 C. D.30 2 4 【答案】A 【解析】如图，自C点引平面α的垂线，垂足为O,因为AC=BC=√5， 则A,B两点在以CO为高以CA,CB为母线的圆锥的底面圆周上，所以当A,B 两点运动到公共棱m上时AD最大， 自O点引公共棱m的垂线OH,则∠CHE=120°，∠CEO=30°，不 雌解出CO=3,CH=1,AH=BH=V2,在△ABC中，由余弦定理 得：cos∠ACB=3+3-8 、1 2X5×√33 又在△4CD中由余接定理得：AD=√3+皇-2x受x×(司)=四 故选：A D B H B E A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给的选项中，有多项符合要求. 9、已知l,m是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，且l∥&，m⊥B,下列命 题中正确的是 () A.若a∥B,则m⊥a B.若a⊥B,则l⊥m C.若l⊥m,则1∥B D.若m∥a,则a⊥B …4 【答案】AD 【解析】选项A:.'m⊥B,∥B, ∴.m⊥《（如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平 面)，.选项A正确 选项B:.a⊥B,m⊥B,.m∥或mc,又.l∥a, ∴.1与m的位置关系可能为平行、相交或异面，不一定垂直，∴.选项B错误 选项C:.l⊥m,m⊥B,∴.l∥B或lCB,∴.不能得出l∥B,∴.选项C错误 选项D:.·m∥，∴.存在直线ncα，使得m∥n(线面平行的性质定理)， 又.m⊥B, ∴.⊥B(如果一条直线垂直于一个平面，那么与它平行的直线也垂直于该平面)， 又.nc&, '.《⊥B(如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直)， ∴.选项D正确 10、如图，点M是正方体ABCD一ABC,D1中的侧面ADDA上的一个动点，则下列结 论正确的是 () A.点M存在无数个位置满足CM⊥AD D C B.若正方体的棱长为1，三棱锥B-CMD的体积最大值为1 B C.在线段AD,上存在点M,使异面直线BM与CD所成的角是 30° M ·D1 D.点M存在无数个位置满足到直线AD和直线CD,的距离相等 【答案】ABD 【解析】如图所示，在正方体ABCD-ABC1D中，CD⊥平面ADDA1,则CDL AD 又由AD1⊥AD,AD∩DC=D,所以AD1⊥平面ADC, 当点M在线段AD上时，可得CM⊥AD,所以A正确； 由正方体的性质，可知AC⊥平面BC,D,若正方体的棱长为1， 则M与A1重合时，三棱锥B-CMD的体积取得最大值， D C 最人佰为行×分××5×汽x2-日，所以B正确： 3 异面直线BM与CD所成的角，即为∠ABM, 当M在线段AD1上运动时，取AD1的中点M时，∠ABM最小， 可得tan/AB,M= AM=2>5 AB 2 3，故C错误 平面ADD1A1上的点M到直线C1D的距离等于点M到D1的距离， 则满足到直线AD和直线CD,的距离相等，即满足到直线AD和点D1的距离相等， 可知M的轨迹为平面ADDA1上抛物线的部分，故D正确， 故选：ABD ·5 11、记男生样本如，2，，xm的平均数为，方差为s:女生样本1,2，，yn的平均数为 ,方差为s:男女总样本西，D2,…,xm,1,2,…,的平均数记为乙，方差为s,则下列说法 正确的是 () A.若z=号（远+列，则五=可 B.若元>，则z<元 C.若元=，s号=，则s=i十s 2 D=mn[+红-列]+mn+包-列 【答案】BCD 【解折扪]对A,豆=n什n+n”元可=号+宁永可得2m风云-列=0，则五=可 m+n 2(m+n) 或m=n,A不正确. 对B豆n什n+m什n所以豆-=n十n何-，若>则三<五B正 m+n m+n 确。 对C,因为五=所以z=mn+m十元-五， m+n 则s-n公4+公%引-m+n含m+新小 又-品2-宝，时片空所-可 所以-m十n(mstm-m+n+n-naFm+nmtn=i-C正 m+n 确. 对D.s=m十n空a-+之w-列 mn+i-+w+-时 1 m+n [公列+雪-红-习+正-列+u-u-列+g列] 所以-mni+-列+m+n[--汀D正确. m+n 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12、数据12,14,15,24,27,30,17,19的第70百分位数是 【答案】27 6 【解析】，要计算这组数据的第70百分位数，首先将数据从小到大排序：12,14,15， 17,19,24,27,30, ,数据个数n=8,计算i=n×70%=8×0.7=5.6, ,i=56不是整数，根据百分位数的定义，取大于i的最小整数对应的数，即第6个数 据，∴.这组数据的第70百分位数是27， 13、如图，一个密闭容器水平放置，圆柱底面直径为2，高为10，圆锥母线长为2，里面 有一个半径为1的小球来回滚动，则小球无法碰触到的空间部分的体积为 【答案】5-23 元 3 【解析】小球滚动形成的几何体为圆柱和两个半球. 小球运动到左侧与圆锥相切时的轴截面的图形如图所示： 由题意知：∠OAB=30°，OB=1,则OA=2,AC=OA-OC=1, AD=2,AE=ADcos30°=√5，CE=AE-AC=√5-1， 小球滚动形成的圆柱的高为h=10-2+√一1=7+√ 则小球滚动形成的几何体的体积为：V=xX1×?+月；+青x×1P=25+5, 3 容器的体积为rx1P×10+名x×1P×V5=10r+, 3 则小球法碰触到的空间部分的体积为10元+3元-25十3π=5一2√8 3 3元. 枚答案为：5-2W5元 14、已知正n边形A1A2·A（n≤15)内接于单位圆O,任取两个不同顶点A:,A,满足 OA+OA≥的概率为号，则n的值为 【答案】8或15 【解析】不妨设取出的顶点为A1,Ak,其中k=2,3,…n,设OA1与OA的夹角为0， 由OA+OA≥√5，平方可得：OA+|OA+2OA·OA:cos0≥3， 解得：cos0≥2，即8e(0,5]}, 法一：先考虑k≤十1的情况，易知此时日=（飞-1）·2匹，根据日的范围，解得：k≤ . 7 合+1， 设n=6m+t(m,t∈N,t≤5)，由于k是整数，则k≤m+1, 因此满足条件的k的值为2，…，m+1,共m个：结合对称性，在整个单位圆上，满足条 件的k有2m个 因此满足O+O风≥5的概率P有：P=,%m=号 2m 化简得：m=t -1, 则n=7m+1,显然n≥3，又要求n≤15，解得：m=1或2， 故n的值为8或15 法二：要存在0∈(0，看]的情况，江≤子，即n≥6，以下分类讨论： n 3 当只有A,A两个顶点能满足条件时，2：元>否，即n<2, m 此时P-元21=名，解得n=S, 当只有A,A,A,A-1四个顶点能满足条件时，2.2红≤且3.2红>工，即12≤ 3 <18 此时P-n号解得n=15, 当有超过四个顶点能满足条件时，3.2匹≤否，即n≥18，不合题意， 3 综上：n的值为8或15 法三：共有m-1个顶点可取，假设满足条件的有m个，则P=”=号，即n-1= m-1 子m,即2m-1)=m, 则必有n-1被7整除，结合n≤15，只需考虑n=8和15的情况， .2 n=8时，只有A,A,两个顶点能满足条件，P二二，成立， 5时，只有A,A,A,A四个顶点能满足条件，P三4=号，成立 故n的值为8或15 故答案为：8或15 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说 明，证明过程或演算步骤， 个频率/组距 15、2020年11月4日晚中国国际进口博览会开幕式在国 0.030- 家会展中心（上海）举行.为了解关注本届进博会市民的年龄分 0.025 0.020 布情况，某机构在开幕式现场随机抽取了100人进行调查，已 知这100人的年龄都在20-80岁之间，按年龄绘制成频率分布 0.010 直方图，如图所示，其分组区间为[20,30)，[30,40)，[40,50)，0.005 [50,60),[60,70),[70,80] 20304050607080年龄/岁 ·8… (1)求这100位市民年龄的平均值及中位数（同一组数据用该区间的中点值作代表）， (2)按年龄分组，用分层抽样的方法从年龄在[20,50)的市民中共抽取7人，分别求抽取年龄在 [20,30),[30,40),[40,50)的市民人数 【答案】(1)平均值为54，中位数为55： (2)抽取年龄在[20,30)的市民1人，[30,40)的市民2人，[40,50)的市民4人 【解析】详解(1)计算平均值及中位数 .'各组区间的中点值依次为25,35,45,55,65,75，对应的频率/组距分别为0.005， 0.010,0.020,0.030,0.025,0.010,组距为10， ∴.各组频率依次为0.005×10=0.05,0.010×10=0.10,0.020×10=0.20,0.030×10 =0.30,0.025×10=0.25,0.010×10=0.10, ∴.年龄平均值元=25×0.05+35×0.10+45×0.20+55×0.30+65×0.25+75×0.10， .计算得25×0.05=1.25,35×0.10=3.5,45×0.20=9,55×0.30=16.5,65× 0.25=16.25,75×0.10=7.5, ∴.x=1.25+3.5+9+16.5+16.25+7.5=54. .前两组频率和为0.05+0.10=0.15，前三组频率和为0.15+0.20=0.35，前四组频率 和为0.35+0.30=0.65， ∴.中位数位于[50,60)区间内，设中位数为m, .中位数左侧频率和为0.5， ∴.0.35+0.030×(m-50)=0.5, .移项得0.030×(m-50)=0.5-0.35=0.15, .m-50=0.15=5, 0.030 .m=50+5=55 (2)分层抽样计算抽取人数 .[20,30),[30,40),[40,50)的频率分别为0.05,0.10,0.20， ∴.这三组的市民人数分别为100×0.05=5人，100×0.10=10人，100×0.20=20人， .三组人数比例为5：10：20=1：2：4， ,共抽取7人，总份数为1+2+4=7， ·抽取年龄在[20,30)的市民人数为7×号=1人， 抽取年龄在30,40)的市民人数为7×号=2人 抽取年龄在[40,50)的市民人数为7×专=4人 16、己知函数f(x)=2 sinxcosx-2W3sinx+√3，g(c)=sinc. (I)若x∈[0，]，求函数()的值域： (Ⅱ)将函数f(x)图象向右平移工个单位，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来 6 ·9… 的2倍得到函数h(m)的图象，并设F(m)=h()+t(g+9如+)》，若F(四)>0在[0，交】 上有解，求实数t的取值范围 【答案】(1)[0,2]：(2)(-2W2,+∞) 【解t析门(1f)=sin2z+V5cos2x=2sin(2x+5》 e[0,吾]2x+5∈[答 sin2m+5]e[0,1,2sin(2x+5]e[0,2], 函数值域为[0,2]； (2)由题意可得h(x)=4sin2c, F(x)=4sin2x+t(sinx cosx)>0, :x∈[0，]sinz+cosx>0, 可得t> -4sin2z 4cos(2r+号)_ 2w2[1-2sin(x+至] sina+cosx √2sin(r+平） sin(+) =22 1 sin(c+圣)】 2 sin(+】 令m=sin(+)e[2, pm)=22(-2m)在[号，1刂上单调递减， 所以p(m)mn=p(1)=-22, F()≥0在[0，受]上有解，需t>pmm .t>-2W2,t的取值为(-2W2,十o∞) 17、函数f(x)=ln(9+3w-a): (1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围； (2)当a=0时，g(x)为定义域为R的奇函数，且x>0时，g(x)=e)-9, ①求g(x)的解析式 ②若关于工的方程9x一2如+3》】=ge恒有两个不同的实数根，求飞的取值范围 g(x) 【答案】(1)a∈(-o0,0] 3, x>0 (2)①g(c)= 02 x=0;②t∈(-0，-1-√5)U(√5-1，+0) -3-,x<0 【解析】(1)因f(c)的定义域为R,故9+3“-a>0恒成立，即a<9+3恒成立， 设t=3,则t>0,f利=g+3=+t=(+号-是在0，+四)上单调送增， ·10 则f(t)>f0)=0,即9”+3>0，故a≤0，即a∈(-o0,0]. (2)①因a=0,则当x>0时，g(x)=ef)-9=3; 若x<0,则-x>0,9(-x)=3-, 又因为g(x)为定义域为R的奇函数，所以当x<0时，g(x)=-3, 3, x>0 故g(x)=0, x=0; -3-,D<0 @方程91x-2+8】=lx引等价于gx-2r+3）=gxg(川z≠0)， g(x) 根据g(c)解析式可知，当x>0时，9(x)g(x)川=3.3=32=g(2x), 当x=0时，9(xlg(c)川=0=g(2x),当x<0时，g(x)川g(x)川=-3·34=-3-24= g(2c), 即Hx∈R,g(x)lg(c)川=g(2x),故方程即为g(x2-2tc+3)=g(2c)(x≠0)， 由于g(x)在(-o0,0)U(0,+0)上是单调递增函数， 故方程g(x2-2tc+3)=g(2x)(x≠0)等价于c2-2tc+3=2x(x≠0)，即：2t+2=x+ 3 当x>0时，函数h(x)=c+3在(0，√)单调递减，在（√5，十o)上单调递增， m 而h(√5)=2W5,故要使得2t+2=x+3有两个不同的实数解，须使2t+2>2√3， 即t>√5-1； 当x<0时，同理可得t<-1-√3 综上可得，t∈（-00，-1-√5)U(√3-1，+o) 18、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥PD,且AD=4AB =4,PA=2,PC=√13，点E为AD中点. D D G D (1)求证：平面PAD⊥平面ABCD: (2)求二面角P-CE-B的正切值： (3)点F为对角线AC上的点，且FG⊥PB,垂足为G,求FG与平面ABCD所成的最大角 的正弦值 【答案】(1)证明见解析 (2)W15 (3)10 5 【解析】(1)PA⊥PD,∴.PD=2W3, ·11 则PC2=PD2+CD2=13, ∴.CD⊥PD: 又.CD⊥AD,PD∩AD=D,PD、ADC平面PAD, .CD⊥平面PAD,CDC平面ABCD, ∴.平面PAD⊥平面ABCD: (2)侧棱PA⊥PD,点E为AD中点， .AE=PE=2, 又：PA=2, .△PAE为正三角形，取AE中点H,则PH⊥AD,AH=1, 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, PHC平面PAD,所以PH⊥平面ABCD, 过点H作HQ⊥CE交CE延长线于点Q,连接HQ,PQ CQC平面ABCD,所以PH⊥CQ, 又HQ⊥CQ,PH∩HQ=H,PH、HQc平面PHQ, 所以CQ⊥平面PHQ,又PQC平面PHQ,.PQ⊥CQ, H O 根据定义，∠PQH即为二面角P-CE-B的平面角 HQI=HEsinZHEQ=HEsin/CED=5 5 atan∠PQH=PH=v5. QH (3)(法一)作GI⊥平面ABCD, 则GI∥PH,BH为PB在平面ABCD内的射影，所以点B,I,H共线， 再在平面PAB作GJ⊥PB交AB于点J, 又.FG⊥PB,FG∩GJ=G,FG、GJC平面GJ, ∴.PB⊥平面GFJ, 设线J交线BH于点L,则BG⊥J, 又.GI⊥FJ,GI∩BG=G,GI、BGC平面BGL, .FJ⊥平面BGL,BLC平面BGL,得J⊥BL, .IL≤IF,.∠GFI≤∠GLI=90°-∠GBL, 又因为cosLGBL=B肚=V2=VI0 BP √55 所以FG与平面ABCD所成的最大角的正弦值为V 5 当点F为线BH与AC的交点时取到最大角： (法二)过点G作GI⊥BH交BH于点I,连接BF,IF 设BF=t,∠GBF=Q,∠GBI=B, 则BG=t·cosa,GF=t·sina,GI=t·cosa·sinB 从而sinLGFI=t-cosa~sing_sinB t·sina tana ·12 .cosa=cosB·cos∠IBF, .B≤u,tanβ≤tana, 于是sin∠G=siny≤sin -√10 tana tang CosB BH PB 5 当且仅当B=&,即点F为AC与BH交点时，等号成立 19、为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展送书券”活动该活动由三个游戏 组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可 以获得两张书券.游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 颜色和数量 (红球编号为1,2,3，白球编号为4,5) 有放回地依次取出两 不放回地依次取出两 取球规则 取出一个球 个球 个球 取到白球获 获胜规则 取到两个白球获胜 编号之和为m获胜 胜 (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率： (2)当m=3时，求游戏三的获胜概率； (3)一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的 概率更大 【答案】1)游戏获胜的概率为号，箭戏二获胜的概率为 25 2品 (3)m的所有可能取值为5,6,7 【解析】(1)设事件A=游戏一获胜”，B=“游戏二获胜”，C=游戏三获胜”，游戏一中 取出一个球的样本空间为21={1,2,3,4,5}，则n(21)=5, 因为A-4,5,所以A一2，PA=A-子所以盖戏获胜的瓶率为号 n(2) 游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间2={(c,y)x,y∈{1,2,3,4,5}， 则n(2)=25,因为B={(4,4),(4,5),(5,4),(5,5)}, 所以nB)h以PB二侵=。所以游戏二获性的短来为↓ 25 (2)游戏三中不放回地依次取出两个球的样本的个数为5×4=20， m-3时，样本的个数为2，所以所求概车为易-0 (3)设M=“先玩游戏二，获得书券”，N=“先玩游戏三，获得书券”， 则M=ABC U ABCU ABC,且ABC,ABC,ABC互斥，A,B,C相互独立， P(M)=P(ABCU ABCUABC=P(ABC+P(ABC+P(ABC) ·13 =P(A)P(B)[1-P(C)]+[1-P(A)]P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C) -号×贵1-PCI+号×考PC+号×Po-8品PC 又N=ACBU ACBU ACB,且ACB,ACB,ACB互斥， P(N)=P(ACBU ACBU ACB)=P(ACB)+P(ACB)+P(ACB) =P(A)P(C)[1-P(B)]+[1-P(A)]P(C)P(B)+P(A)P(C)P(B) =号xPC)×+号xPC×秀+号×PC×责=器PC 若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则P(N)>P(M), 所以%PC>3。房PC,即PC> 进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表： 第二次第 3 一次 2 1 × (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) × (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) × (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) X (4,5) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) × 当m=3,489时，PC)=品< 4 舍去 当m-56,7刑，P一贵>责满址樾 因此m的所有可能取值为5,6,7. ·14 18、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥PD,且AD=4AB =4,PA=2,PC=√13，点E为AD中点. B B (1)求证：平面PAD⊥平面ABCD: (2)求二面角P-CE-B的正切值； (3)点F为对角线AC上的点，且FG⊥PB,垂足为G,求FG与平面ABCD所成的最大角 的正弦值。 19、为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展送书券”活动该活动由三个游戏 组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响.连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可 以获得两张书券，游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 颜色和数量 (红球编号为1,2,3”，白球编号为4,5) 有放回地依次取出两 不放回地依次取出两 取球规则 取出一个球 个球 个球 取到白球获 获胜规则 取到两个白球获胜 编号之和为m获胜 胜 (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率： (2)当m=3时，求游戏三的获胜概率： (3)一名同学先玩了游戏一，试问m为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的 概率更大 ·4