浙江省杭州学军中学2025-2026学年第二学期高一下学期数学周末练(5)

杭州学军中学2025学年第二学期高一下数学周末练(5) 命题：郑日锋 审题：胡昊翔 一、单选题 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知是角终边上的一点，则（   ） A． B． C． D． 3．已知非零向量与的夹角为，且，则（   ） A． B． C．4 D．12 4．已知的面积为，角为锐角，，，则角的大小为（   ） A． B． C． D． 5．已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式最有可能是（    ） A． B． C． D． 7．如图，以边长为2的正六边形的六条边为直径向外作六个半圆，是这六个半圆弧上的一动点，则的最大值是（    ） A．6 B． C．7 D． 8．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知复数，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则为纯虚数 D． 10．如图，在长方体中，，点为线段上一动点（含端点），则下列说法正确的是（    ） A．直线平面 B．三棱锥的体积为定值 C．若为线段中点，则与垂直 D．平面截长方体的外接球所得截面面积是 11．已知函数不是常函数，且满足：对任意实数、都有.下列说法正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．存在函数使得 D．具有周期性 三、填空题 12．已知幂函数的图像经过点，则______. 13．已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________． 14．把一个皮球放入由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点（皮球不变形），则皮球的半径为__________． 四、解答题 15．在中，设内角的对边分别为，满足的面积为. (1)求； (2)若，求的外接圆的面积. 16．已知函数，其中且． (1)设． ①若，求的值； ②若，求的最小值． (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 17．如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，底面，．过点作于，作于，连． (1)证明：； (2)求平面与底面所成角的余弦值． 18．已知函数，其中． (1)若的最小正周期为， ①求的单调递增区间； ②求时的值域． (2)若函数在区间上没有最值，求的取值范围． 19．“牟合方盖”是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法．它是由两个相同的圆柱分别从纵横两个方向相交时两圆柱公共部分形成的几何体（如图1），点被称为“牟合方盖”的上顶点，点为“牟合方盖”的中心．过点作平面使得． (1)求平面截“牟合方盖”所得截面的面积； (2)B，E为平面与两圆柱交线的交点，为BE的中点，过OD作平面ODSC，S，C为“牟合方盖”表面上的点且位于平面AOD同一侧，，过S作平面ABC，交边界BD于点，设． （i）当时（如图2），是否存在使得？若存在，求出；若不存在，请说明理由； （ii）若，点S到平面ABR的距离为，求与． 学科网（北京）股份有限公司 $ 《杭州学军中学2025学年第二学期高一下数学周末练（5）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B D C C C B ACD ACD 题号 11 答案 AB 1．B 【分析】利用函数定义域的求法和指数函数的值域求解集合、，然后利用交集定义求解即可. 【详解】由可得，即，即， 由可得，故. 2．D 【分析】根据任意角三角函数的定义及诱导公式求解即可. 【详解】点到原点的距离为，所以. 则. 3．B 【分析】利用向量数量积以及求模公式计算即可. 【详解】因为非零向量与的夹角为， 所以， 所以. 4．D 【分析】由三角形面积公式可得，因为角为锐角，所以，，结合余弦定理可解得，再使用一次余弦定理即可解得的值，进而得到角的大小. 【详解】在中，， 即，解得， 因为角为锐角，所以，， 在中，， 即，解得， 则， 则有． 故选：D. 5．C 【分析】利用两者之间的推出关系可得正确的选项. 【详解】若，因为，故，而，故. 若，则或相交， 故是的必要不充分条件， 故选：C. 6．C 【分析】根据定义域可排除AD，根据函数奇偶性排除B，即可得出答案． 【详解】由题图可得在定义域内，AD选项的解析式的定义域为 ，故AD错误； B选项，的定义域为R， 且，故为偶函数，故B错误； C选项，定义域为R， ， 故为奇函数，满足要求. 故选：C． 7．C 【分析】根据的几何意义及已知图形分析得最大对应落在或上，若分别为的中点，讨论的位置，结合向量数量积的运算律、几何意义求的最大值. 【详解】如下图，要使最大，则与的夹角小于，而， 又半圆弧、上的，均有，半圆弧、上的，均有， 所以最大对应落在或上， 若分别为的中点， 当在上，如图，则，且在上的投影长为，若， 此时， 当且仅当时，最大； 当在上，如图对应，则，且在上的投影长为，若， 此时， 当且仅当时，最大； 综上，最大. 故选：C 8．B 【分析】根据题意，结合条件由余弦定理可得，再由，结合正切函数的和差角公式以及基本不等式代入计算可得，即可得到结果. 【详解】因为，且，则， 由余弦定理可得，所以， 即，由正弦定理可得， 其中，则，所以， 又， 化简可得， 且为锐角三角形，则， 所以， 即， 解得或（舍）， 所以，当且仅当时，等号成立， 则的最大值为. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题主要考查了余弦定理，正切函数的和差角公式以及基本不等式求最值问题，难度较大，解答本题的关键在于由余弦定理得到，然后结合基本不等式代入计算，即可求解. 9．ACD 【分析】根据共轭复数及复数的乘法可判断；根据复数的分类可判断；根据纯虚数的定义可判断；表示点到的距离，数形结合即可判断. 【详解】，所以， 对于：，故正确； 对于：， 所以，或，或， 当时，不是实数，故错误； 对于：若，则，所以为纯虚数，故正确； 对于：对应的点表示圆上的点，对应的点， 表示点到的距离， 由图可知，故正确. 故选：ACD. 10．ACD 【分析】A选项：根据线线平行可证线面平行，即可判断A选项；B选项：根据线面平行可得体积为定值，并求值；C选项：根据线面垂直可得线线垂直；D选项：易知外接球球心到平面的距离为点到平面距离的一半，再利用等体积转化法可得解. 【详解】A选项：连接，， 由已知为长方体，则，，即， 又，且，平面，，平面， 平面平面， 又平面， 平面，A选项正确； B选项： 由，且平面，平面， 平面， 点在上， ， 又， ，B选项错误； C选项： 当为中点时，， ，即， ，即， 则， 由长方体可知平面，且平面， 所以， 又，，平面， 平面， 平面，，C选项正确； D选项：由长方体性质可知长方体的外接球球心为其体对角线中点， 则， 设点到平面的距离为， 则点到平面的距离为， 在三棱锥中，，， 即， 又，即， 解得， 则平面被长方体外接球所截小圆半径， 其面积为，D选项正确. 11．AB 【分析】通过对给定的函数等式进行赋值，可以求出特定的函数值，判断函数的奇偶性验证AB，利用赋值法化简得到，验证C，举特例验证D即可 【详解】令得，不恒为0，，A正确； 令得，，是偶函数，B正确； 令得，即， 代入得到， 化简得到，不等式无解，故C错误； D错误，反例：， . 所以满足 假设函数周期为，（）  ，则对任意实数 满足，， 将 代入得到， 所以，即， 解得，与矛盾，故不具有周期性，选项D矛盾. 故选：AB. 12． 【分析】根据幂函数的一般式，由待定系数法求得解析式，再令，求得函数值. 【详解】设，代入点， 可得， 解得，所以， 所以. 13． 【分析】根据投影向量的定义即可得； 【详解】在方向上的投影向量的公式为：， 所以，， 将结果代入公式: . 14．10 cm 【分析】判断出球心的位置，由此计算出球的半径. 【详解】依题意可知该四棱锥是正四棱锥，且平面，则. ， ， 所以， 到的距离都是， 在等腰直角三角形中，到的距离为， 同理可得到的距离也是. 所以是皮球的球心，且皮球的半径为. 15．(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理和面积公式求得的值，即可求得答案； （2）由面积公式求得的值，再由余弦定理求得的值，根据正弦定理可求外接圆的半径，则外接圆的面积可求. 【详解】（1）由余弦定理得， 由面积公式得， 两式作比，得， 即，由得. （2）代入，有， 而，得到， 记的外接圆半径为， 由正弦定理得， 故的外接圆的面积为. 16．(1)①；② (2) 【分析】(1) ①由得，代入表达式即可；②写出的表达式，利配方法求其最小值即可； (2) 当分别讨论分析即可. 【详解】（1）时，， ①由得， ． ② ， 时，，即时，； （2）当时，的值域为，不符合条件， ，且解得， ，即实数的取值范围. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直，进而利用线面垂直得线线垂直，即可求证平面，即可得证； （2）根据三角形的边角关系求解长度，进而分别求解,即可根据面积之比求解. 【详解】（1）已知底面，底面，所以， 又，平面， 故平面. 又平面，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，平面, 平面， 又平面，， （2）如图，设点在底面的投影分别是， 由题意知分别在上， 由（1）知平面，平面，则， 由于，故是的中点，则是的中点， 在中，，， ， ， 故， 由于，， 则，故， 在中，，， ， 记平面与底面所成角为，. 18．(1)①；② (2) 【分析】（1）结合二倍角公式及辅助角公式对原函数进行化简，根据余弦型三角函数的性质求解即可. （2）由函数在区间上没有最值得到在区间上单调，结合余弦型三角函数的性质及列不等式求解即可. 【详解】（1） . 因为的最小正周期为，所以，解得． 所以. ①令，解得． 所以的单调递增区间为. ②当时，，所以， 则. 故所求函数的值域为. （2）因为，可得 令，则函数在区间上没有最值， 即函数在区间上无最值， 因为函数的单调区间为， 则满足，解得， 因为，所以应满足，解得， 所以或. 当时，；当时，， 综上，实数的取值范围是. 19．(1)； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据对称性可得截面图形为正方形且边长为4，从而求出截面面积； （2）（i）合理作出辅助线，计算得，则，，解出即可； （ii）作出辅助线，设，表示出相关线段长，再根据等体积法得到，解出值，从而得到三角函数值. 【详解】（1）根据圆柱对称性可知，该截面图形为正方形，正方形边长， 截面面积； （2）（i）作图，连接，过S作于点， ，所以为圆柱的母线的一部分，， 过作于点，连接，， 平面，平面，， ，平面， 几何图形为圆面的一部分， ，， ， ， ， 解得或（舍），. （ii）作图，过S作于点，过作于点， 过作，交弧于点，过作于点， 作于点，连接并延长交于点，交于点， 连接，连接并延长交于点， 因为，所以． 设，故， 所以， ， 且平面，平面， ， 又，平面， 平面，平面，， 在三棱锥中，， ， ， ， ， ， ，，故， 所以 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $