浙江省杭州第二中学2025-2026学年高一下学期数学周末练7

杭州二中2025级高一下数学周末练7 一、单选题 1、复数z二2：+近表示虚数单位)在复平面内对应的点为 A.（-1,2) B.(1,-2) C.(1,2) D.(2,1) 2、已知点A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则AB.BC= A.-1 B.0 C.2 D.-2 3、已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数， 若方程f(x)=m(m<0)在区间[-8,8]上有四个不同的根1，x2,x3,x4,则x1+2+x3十x4 () A.-10 B.-8 C.8 D.10 4、四棱锥S-ABCD所有棱长都为3v2,底面ABCD是正方形，以点S为球心的球S与 底面只有一个公共点，球S被该四棱锥所有面截得的弧长之和为 () A.3π B.4π C.2w2π D.32π 5、如图，在长方体ABCD-ABC1D中，AB=BC=4,AA1 D =2,点P,Q分别为BC,CD的中点，点M为长方形ADDA1内 一动点（含边界)，若直线QM∥平面APC,则点M的轨迹长度为 A D B A.2 B.√5 C.2W2 D.√10 6、如图所示，在平面四边形ABCD中，AB=1,BC=2,△ACD为 正三角形，则△BCD面积的最大值为 () A.2W5+2 B.3+1 2 09+2 D.w3+1 7、己知三棱锥P-ABC中PA=PB=2PC=2,△ABC是边长为√5的正三角形，则三 棱锥P-ABC的外接球半径为 () A.6 B.√5 C.v7 D.7 2 2 &、设函数f(四)=cos(r+否)在区间(0，)上恰好有两个零点，则w的取值范围是 A(,] B(名g) c(] n.(号，) ·1 9、对于函数f(x)和g(x),设m∈{xf(x)=0},n∈{xg(x)=0},若存在m,n使得 m2-n2≤3，则称f(x)和g(c)互为友邻函数，若函数fx)=es2x-1+2x-3与g(c)=x2- tc-2t+5互为“友邻函数”，则实数t的取值范围是 () A.（-00,2] B.[是+ c.2,] D.[2,+o0) 4-1,x≤号 10、已知函数f(x)= o84+号，>号' 若方程f(f(x)-a=0有5个不同的实数解， 则a的取值范围是 () A.(0,1) B(0,2) c.0,号) 二、多选题 11、已知f(x)是定义域为R的奇函数，x>0时，f(x)=x(1-x),若关于x的方程 f[f(x)]=a有5个不相等的实数根，则实数a的可能取值是 () B后 c 12、如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为2，点M是其侧面ADDA1上的一个动点 (含边界)，点P是线段CC上的动点，则下列结论正确的是 A.存在点P,M,使得二面角M-DC-P大小为哥 D B.存在点P,M,使得平面BDM与平面PBD平行 A B C.当P为棱CC的中点且PM=22时，则点M的轨迹长度为 2元 3 MD: D.当M为AD中点时，四棱锥M-ABCD外接球的体积为 2√2元 3 13、若a>0,b>0,且2a+b=2,测下列说法正确的是 A.ab的最大值为号 B.4a2+b2的最大值为2 C.√2a+√万的最大值为2 D. 2+的最小值为4 b 14、已知函数f(x)定义域为R,则下列选项中的等式不可能在x∈R时恒成立的有 A.f(2x-x2)=x+1 B.f(100862+10086-)=1og2(4+1)-x C.f(e+2.e-)=e*+e2-x D.f(f(x)=x2-2 三、填空题 ·2 15、如图，棱长为1的正方体ABCD-AB'C"D'中，E,F分别为AD,AB的中点，点 G在上底面A'B'C'D'(含边界)上运动，若满足BC'∥平面EFG,则点G的轨迹长度为 D G B 16、某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体 得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是6dm,则石凳的体积为 dm'. 17、如图，矩形A'BCD'是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画 法画出的直观图，其中AB=3,B'C'=5,则原四边形ABCD中最长边 的长度为 18、已知≥0，y≥0且3江+2划=2，则2十y-x-y的最小值为 2x+y 19、关于实数x的不等式x2一4x>1+3在[0,5]上有解，则实数a的取值范围为 a 20、已知正三棱锥S-ABC的底面边长为3√2，P,Q,R分别是棱SA,AB,AC的 中点，若△PQR是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为， 21、设x∈R,m∈么，若-号<公-m≤号，则称m为离实数x最近的整数，记作 {x},即{x}=m,如{-2.4}=-2.另外，定义[x]表示不超过x的最大整数，如[-2.6]= -3.令f(x)=[]-,g(x)=c-{x},当x∈[-2024,2024]时，如果存在x,1=1,2, m满足=ga那么2习-— 22、定义集合P={xa≤a≤b}的“长度”是b-a,其中a,b∈R.已知集合M= {g≤≤0}N={t-是≤z≤ ,且M,N都是集合{x1≤x≤2}的子集，若集合 MUN的长度大于号，则：的取值范围是 四、解答题 23、己知函数f(x)=x+a+a2-2(a∈R). m (1)若f()是奇函数，且在区间(0，+oo)上是增函数，求a的值； (2)若关于x的方程|1og2(x+1)川-a2+f(1)=0在区间(-1,1)内有两个不同的解m,n,求a 的取值范围，并求1十工的值 ·3 24、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c. (1)若a=1,b=-12,c=20,求不等式f(x)<0的解集： 2)若a>0,且f)=号证明：函数f)在(0,2)内至少有一个零点： (3)若对任意x∈，不等式f代)≥2a+b恒成立，求，2的最大值. 3a2+c2 25、如图，已知△ABC中，∠C=5.设∠CBA=,BC=a,它的内接正方形DBFG 的一边EF在斜边AB上，D、G分别在AC、BC上.假设△ABC的面积为S,正方形 DEFG的面积为T. B (I)用a,0表示△ABC的面积S和正方形DEFG的面积T: (四设)=了，试求f)的最大值A,并判断此时△ABC的形状 26、记锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c. (1)若f(x)=cos,求证：f(sinA)<f(cosB): (2)当a=2, 1 anB+云+nBtanc1时，求A△ABC面积的最大值： 1 (3)若A<B<C,且tanA+tanB+tanC≤[tanA]+[tanB]+[tanC],其中符号[x]表示 不大于x的最大整数，求sinA的值， 27、己知函数f(x),g(x)的定义域分别为D,D2,若对任意的∈D,总存在c2∈D2, 使得f()+g(2)=0成立，则称g(x)为f(c)的“可归零函数”.己知函数h(c)= 2sin()m (I)若函数k(x)=lnc,判断h(x)能否为k(x)的可归零函数”？并说明理由： (2)若函数p(x)=3x2-6x+2,x∈[1，n],且h(x)是p(c)的可归零函数”，证明：n-m ≤1； 3)当m=号时，若函数g(j=1og 4a2+1-2,x∈[0,1og号]且hMm)是g6的 a 可归零函数”，求实数a的取值范围 杭州二中2025级高一下数学周末练7 一、单选题 2 1、复数z=产：+〔近表示虚数单位)在复平面内对应的点为 A.(-1,2) B.(1,-2) C.(1,2) D.（2,1 【答案】C 【解折门因为2=名+1 2(1+1)+i=1+2i, 2 所以在复平面内对应的点为(1,2)，故选：C 2、己知点A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则AB.BC= A.-1 B.0 C.2 D.-2 【答案】D 【解析】因为A(1,2),B(2,3),C(-2,5), 所以AB=(1,1),BC=(-4,2), 所以AB·BC=-4+2=-2.故选：D 3、已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)=一f(c),且在区间[0,2]上是增函数， 若方程f(x)=m(m<0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,3,c4,则1十2十十c4 () A.-10 B.-8 C.8 D.10 【答案】C 【解析】由题意，此函数f(x-4)=-f(x),又是奇函数 .f(x-4)=-f(x)=f(-x),f(x)=f(-x-4)=-f(x+4) ∴.f(x-4)=f(x+4)即f(x)=f(x+8), .函数是周期为8的周期函数， 在[0,2]上为增函数， .函数在[-2,0]上也为增函数，即函数在[-2,2]上为增函数 .函数在[2,6]上为减函数 综合条件，得出该函数的部分示意图，由图看出， 四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（一2） 另两个交点的横坐标之和为2×6， 46 所以D1+x2+x3+x4=8 故选：C 4、四棱锥S-ABCD所有棱长都为3√2，底面ABCD是正方形，以点S为球心的球S与 底面只有一个公共点，球S被该四棱锥所有面截得的弧长之和为 () A.3元 B.4π C.2√2元 D.3√2π ·1 【答案】B 【解析】 设正方形ABCD的中心为O, 由于四棱锥S一ABCD所有棱长都相等， 所以SO⊥底面ABCD AB=3√2，.AO=3,.SA=3W2,.SO=3. .球S与底面只有一个公共点， .SO就是球S的半径，长为3. 四个侧面均为等边三角形， 且四个侧面所在平面都经过球心S,故截面圆半径为3，且所截的弧所对圆心角为 31 故球S被每个侧面截得的弧长为号×3=， 所以球S被该四棱锥所有面截得的弧长之和为4玩. 故选：B 5、如图，在长方体ABCD-A1BCD1中，AB=BC=4,AA1=2,点P,Q分别为 BC,CD1的中点，点M为长方形ADDA内一动点（含边界），若直线QM∥平面APC, 则点M的轨迹长度为 () D Q C M D C P B A.2 B.√5 C.2√2 D.√10 【答案】C 【解析】在长方体ABCD-ABCD中，取AD,BC的中点G,H,连接AG,GH, BH, 由点P为BC的中点，得CH∥BP,CH=BP,则四边形BPCH是平行四边形， BH∥CP,又GH∥AB∥AB,GH=AB1=AB,则四边形ABHG是平行四边形， 于是AG∥BH∥CP,取GD中点E,在AD上取点F,使得AF=GE,连接EF,QE QF, 而AF∥GE,则四边形AGEP为平行四边形，EF∥AG,而AGC平面APC,EFd 平面APC, ·2 于是EF∥平面APC,由Q为C1D的中点，得QE∥CG,而CGC平面APC,QE 寸平面APC, 则QE∥平面APC,又EF∩QE=E,EF,QEC平面QEF,因此平面QEF∥平面 APC, 由直线QM∥平面APC,点M∈平面ADDA1,则点M在平面QEF与平面ADDA的 交线上， 从而点M的轨迹是线段EF,而EF=AG=√A1GP+A1A=2W2, 所以点M的轨迹长度为2√2. 故选：C 6、如图所示，在平面四边形ABCD中，AB=1,BC=2,△ACD为正三角形，则 △BCD面积的最大值为 () D A.2W5+2 B.3+1 C.5+2 D.√3+1 2 2 【答案】D 【解析】在△ABC中，设∠ABC=&,∠ACB=B, 由余弦定理得：AC2=12+22-2×1×2cosa, .△ACD为正三角形， .'CD2=AC2=5-4cosa, Saco=)2.CDsin(号+)=CD.sin餐+8）， CD.coC. 2 在△ABC中，由正弦定理： AC sinB sina .∴.AC.sinB=sina, .CD·sinB=cosa, :(CD-cosB)2=CD2(1-sin2B)=CD2-sin2a, =5-4cosa-sin2a=(2-cosa)2 :B<∠BAC,∴B为锐角，CD·cosB=2-cosa, Sm-cn-eosA+Cn-sin8, -9(2-sa+7ma-万+sina-5为 ·3 当a=5匹时，(SARCD)mx=√3+1. 6 7、已知三棱锥P-ABC中PA=PB=2PC=2,△ABC是边长为√5的正三角形，则三 棱锥P-ABC的外接球半径为 () A.5 B.√5 C. D.√7 2 2 【答案】A 【解析】由题意，PC2+AC2=PA,PC2+BC2=PB2,即PC⊥AC,PC⊥BC, 由AC∩BC=C,AC,BCC面ABC,故PC⊥平面ABC, 以PC为一条侧棱，△ABC为底面把三棱锥P一ABC补成一个直棱柱， P 该直棱柱的外接球就是三棱锥P一ABC的外接球，该直棱柱上下底面的外接圆圆心的中 点就是球心， 因为底面外接圆的半径？=。圆 =1, 2sin60° 所以三棱锥PABC的外接球半径为R=V1P+(号=气 故选：A 8、设函数f()=cos(or+)在区间0，)上恰好有两个零点，则o的取值范围是 A(号] B名g) 【答案】C 【解析】当xe(0,)时，t=a+号∈（受，r+号）》 结合余弦函数)-c0s的图象，可得受<十音≤钙，解符名<u≤ 6 9、对于函数f(c)和g(x),设m∈{xf(c)=0},n∈{xlg(x)=0},若存在m,n使得 m2-n1≤3，则称f(ax)和g(x)互为“友邻函数，若函数fc)=e2-1+2ac-3与g(x)=x2 tc-2t+5互为“友邻函数”，则实数t的取值范围是 () A.(-0,2] B.[,+o c2,] D.[2,+0) …4 【答案】D 【解析】解：因为f)=e2+2x-3,所以定义域为（号，+0），且在定义域上为单调 递增函数 令f(x)=e2-)+2x-3=0,解得c=1, 又因为f(x),g(c)互为友邻函数”， 所以1-n2≤3，即有-2≤n≤2， 即g(x)=x2-tc-2t+5在区间[-2,2]上有零点. 因为g(x)=x2-tc-2t+5恒过点（-2,9)： g(2)>0 所以g(2)≤0， 或 -2<5<2, g(5)≤0 解得≥星或2<t<星 综上可得：t≥2. 故选：D 10、已知函数f(x)= 4-1,x≤号 logx+分，≥'若方程ff2》-a=0有5个不同的实数解， 2 则a的取值范围是 () A.(0,1) B.(0,2) c.o,) n.(分 【答案】B 【解析】由解析式得函数大致图象如下，由f扣)=1o841+分=子，令性-1=分，可 得=号或x=2og3-1, y不 3 y=f(x) 2 1og3-12 2 令t=f,当t<0或1<t<号时有1个解：当t=0或t=1时有2个解： 当0<t<1时有3个解；当t≥号时无解： 要使f(t)=a有5个不同的实数解， ·5 若a<0,则t>√2，此时方程有1解： 若a=0,则t=0有2个解，t=√2有1解，此时方程共有3个解： 若0<a<分，则-号<<0有1个解，0<<2og3-1)有3解，1<<5有 1解， 此时方程共有5个解： 若a=分则右=-之有1个解，=号1og3-)有3解，=1有2解， 5 此时方程共有6个解： 若专<a<1.则击<-号有1个解，专0g3-<<号有3解，号<<1有时 解， 此时方程共有7个解； 若Q=1,则右=号有3个解，6=2有3个解，此时方程共有6个解： 若1<a<号则号<t<号有3个解，此时方程共有3个解： 若≥多，没有对应t,此时方程无解； 综上，0<a<号 故选：B 关键点点晴：根据函数图象研究t=f(c)对应根的个数，再数形结合讨论f(t)=a范围研究根 的个数 二、多选题 11、已知f(x)是定义域为R的奇函数，x>0时，f(x)=x(1-x),若关于x的方程 f[f(x)]=a有5个不相等的实数根，则实数a的可能取值是 () A. 、1 2 B品 c吉 n.子 【答案】ABC 【解析】因为f(x)是定义域为R的奇函数，x>0时，f(c)=x(1-)=-(x-号/+子 画出函数f(x)的图像如下： -I 令f到=，又f)=。, …6… 当a>1时，由图像可得y=a与y=f(t)有一个交点，且t<-l,由图像可得f(x)=t 4 只有一个根，不满足题意： 当a=时，由图像可得，y=a与y=f(t)有两个不同交点，交点横坐标记作t,, 不妨令右<，则无<-1，=，则f()=击与f()=共有两个根：不满足题意： 当8≤a<子时，出图像可得y=a与y=寸有三个不同的交点，记作，：。 不妨令<<，由图像可得，<-1<士≤<号<<1， 则f(x)=t与f(x)=t各有一个根，f(x)=t有一个或两个根，共三个或四个根，不满 足题意： 当0≤a<品时，出图像可符)=a与y-有三个不同的交点，记作：女，不 妨令<<由图像可得，右≤-1<0≤<子<号<≤1，则f)=专与f(回)=专以 及f(x)=t2共有五个根：满足题意： 根据函数图像的对称性，当a<0时，为使关于x的方程f[f(x)]=a有5个不相等的实 数根，只衢一是<a<0, 综上，满足条件的a的施国是一品<a<器， 16 因此ABC都有可能取到，D不能取到. 故选：ABC. 方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围： (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决： (3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函 数的图象，利用数形结合的方法求解 12、如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为2，点M是其侧面ADDA1上的一个动点 (含边界)，点P是线段CC上的动点，则下列结论正确的是 () D A存在点P,M,使得二面角M-DC-P大小为号 B.存在点P,M,使得平面BDM与平面PBD平行 7 C.当P为棱CC的中点且PM=2万时，则点M的锐迹长度为 D.当M为AD中点时，四棱锥M-ABCD外接球的体积为2Y2元 3 【答案】BC 【解析】在正方体ABCD-ABCD中，可得CD⊥平面ADDA1, 因为MDC平面ADDA1,DDC平面ADDA1,所以CD⊥MD,CD⊥DD, 所以二面角AM-DC-P的平面角为∠MDD,其中∠AMDD,∈[0，交]，所以A错误： D A B M C 如图所示，当M为AA中点，P为CC中点时， 在正方体ABCD-ABCD1中，可得BD1∥BD, 因为BD1寸平面BDP,且BDC平面BDP,所以BD1∥平面BDP, 又因为MB1∥DP,且MB寸平面BDP,且DPC平面BDP,所以MB∥平面BDP, 因为BD1∩MB=B,且B1D,MB1C平面MBD,所以平面BDP∥平面MBD, 所以B正确： D A1 B 如图所示，取DD中点E,连接PE,ME,PM, 在正方体ABCD-ABCD1中，CD⊥平面ADDA1,且CD∥PE, 所以PE⊥平面ADDA1,因为MEC平面ADDA,可得PE⊥ME, 则ME=√PMP-PE=√2W22-22=2, 则点M在侧面ADDA内运动轨迹是以E为圆心、半径为2的劣弧， 分别交AD,AD于M,M,如图所示，则∠MBD=∠BD=号， 则∠MEM=吾，劣弧MM的长为号×2=否，所以C正确 3 ·8… D C M D E M D M, B 当M为A,D中点时，可得△AMD为等腰直角三角形，且平面ABCD⊥平面ADDA1, 连接AC与BD交于点O,可得OM=OA=OB=OC=OD=√2， 所以四棱锥M-ABCD外接球的球心即为AC与BD的交点O, 所以四棱锥M-A5CD外接球的半径为v反，其外接球的体积为告x(VP-S, 3 所以D错误， 故选：BC D B 、t B 13、若a>0,b>0,且2a+b=2,则下列说法正确的是 Aab的最大值为号 B.4a2+b2的最大值为2 C.√2a+√b的最大值为2 D. 2+。的最小值为4 b 【答案】ACD 【解析】对于A,2a+b=2, ∴2=2a+b≥2V2a5,即ab≤号，当且仅当2a=b=1时，等号成立， 此时ab取得最大值弓，故A正确： 对于B,由A选项可得： 4a2+b=(2a+b2-4b=4-4b≥4-4×号=2 2 当且仅当2a=b=1时取得最小值2，即4a2+b2有最小值2，故B错误， 对于C,√2a+√b=√/(W2a+√b)2=W2a+b+2W2ab=√2+2√2ab≤√2+2a+b= √2+2=2， 当且仅当√2a=√b时，等号成立，故√2a+√仍取最大值2，故C正确； 9 对于D,由2a十b=2,得 2+号=2。+号=2+8+号≥2+22号 =4, a 当且仅当名=号，即0=b=号时等号成立， 即2+取得最小值4，故D正确。 6 故选：ACD. 14、已知函数f(x)定义域为R,则下列选项中的等式不可能在x∈R时恒成立的有 A.f(2x-x2)=x+1 B.f(10086r+10086-)=1og2(4+1)-x C.f(e+2.e-)=e*+e2-x D.f(f(x)=c2-2 【答案】ACD 【解析】对于A,当x=0时，f(0)=1,当x=2时，f(0)=3,与函数的定义矛盾， 则f(2x-x2)=x+1不可能在x∈R时恒成立，故A正确： 对FB令9-1og4+1）-1og(生-1og22, 则g(-x)=1og(2+2)=g(c),则g(x)为R上的偶函数， 令h(x)=10086x+10086,则h(-x)=10086x+10086x=h(x), 则h(x)为R上的偶函数， 任取0<x1<x2,则h(x)-h(x2)=100865+10086--10086-10086- =10086-10086+10086-100865=(10086-10086)(10086+-1)） 10086+x2 10086+ 因0<c1<x2,则10086<10086,10086+>1，则h(c)-h(x2)<0, 则h(x)在(0，+o∞)上单调递增， 不妨设h()=h(c),则有西=x1或c3=一x,则gc)=g(x),则f(x)符合函数定义， 则f(10086+10086-)=1og2(4+1)-x可能在c∈R时恒成立，故B错误： 对于C,令x=0,则f3)=1+e2, 令x=1n2,则f3)=2+号，与函数的定义矛盾， 则f(e+2ex)=e+e2-”不可能在x∈R时恒成立，故C正确： 对于D,假设存在函数f(c)使得f(f(c)=x2-2成立， 令g)=-2,则gg(知》-e的根为=1号5,5-1,5，西-1,0=2， 2 令A={x,,,G0},则ff(x)=x2-2可变形为g(c)=f(f(x), 则g(g(x)=,9(g(x3)=xg,9(g(rs)）=x8,9(9(rg)）=, 则f2》=g2)9-2=(15-2= ·10 ffa》-0a-8--125-2-m 则f(x,)≠f(s)(否则会有x3=ff(c,)=f(f()=), g(f(a))=f(f(f(a)))=f(as),g(f(as))=f(f(f(as)))=f(a), 则g(g(f(x,)=g(f(xs)=f(x),则f(x7)∈A,同理f(xs)∈A, 若f(c)=-1,则f(x)=-1=(-1)2-2=P(x)-2=g(f(x)=f(x),矛盾； 若f()=2,则f(x7)=2=22-2=fP(c)-2=g(f()=f(s),矛盾； 若f(x)=匹，则f()=x,=f(f()=,矛盾： 若f()=xs,则xs=f(f(x)=f(cs),与f(x)=f(),推出矛盾； 综上可知，f(c)走A,推出矛盾，故满足f(f(x)=x2-2的函数不存在，故D正确 故选：ACD 三、填空题 15、如图，棱长为1的正方体ABCD-AB'C"D'中，E,F分别为AD,AB的中点，点 G在上底面A'B'C'D'(含边界)上运动，若满足BC'∥平面EFG,则点G的轨迹长度为 D C G B 【答案】Y2 2 【解析】取BB',BC",CD,DD的中点分别为Q,M,N,P, 连接BD,B'D',FQ,QM,MN,NP,PE, 因为E,F分别为AD,AB的中点，所以EF∥BD, 同理可得MN∥B'D', 因为BB'∥DD',BB=DD',所以四边形BBD'D是平行四边形，可得BD'∥BD, 所以EF∥MN,同理可证明PE∥QM,PN∥FQ, 所以E,F,Q,M,N,P共面， 因为BC'∥QM,BC'4面EFQMNP,QMC面EFQMNP, 所以BC'∥平面EFQMNP, 若BC'∥平面EFG,则点G在平面EFQMNP内， 又因为点G在上底面ABCD(含边界)， 所以点G在面EFQMNP与面A'B'C'D'的交线上， 所以点G在线段MN上，则点G轨迹长度为2 ·11 故答案为： ② 2 D Eδ F 16、某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体 得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是6dm,则石凳的体积为 【答案】180 【解析】正方体体积=63=216(dm3), 石凳体积为正方体体积减去8个被截去的正三棱锥体积，每个被截去的正三棱锥三条侧 棱长为3dm, 则一个正三棱锥体积为=号×号×3×3×3= 9 (dm3), 所以石凳的体积为V=K-8%=216-8×g =180(dm3), 17、如图，矩形A'BCD'是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图， 其中A'B=3,BC'=5,则原四边形ABCD中最长边的长度为 D /O B 【答案】9 【解析】将直观图还原为原图，如图： D OB C ·12 在直观图中，OB=AB'=3,则O'A'=√O'B2+AB2=√32+32=3√2， 故在原图中，OA=2O'A'=6√2，OB=O'B'=3, 所以AB=√OA2+OB2=V(6W2Y+32=9, 而AD=BC=BC=5,所以原四边形ABCD中最长边的长度为9. 13、已知0≥0，y≥0且3x+2列=2，则2十y-x-y的最小值为 2x+y 【答案】0 【解析】，已知x≥0，y≥0且3x+2y=2 ∴.设u=2x+y,联立3c+2y=2可得x=2u-2,y=-3u+4 .x≥0，y≥0 .2u-2≥0，-3u+4≥0，解得1≤u≤4 .x+y=(2u-2)+（-3u+4)=-u+2 ÷原式2十”-v可转化为是-(-u+2)=+u-2 1 :由均值不等式，对u>0,有u+1≥2，当且仅当u=1时取等号 又：函数f)=u+-2在区间[1，专]上单调递增 0 .当u=1时，f(u)取得最小值，最小值为1+1-2=0 此时x=2×1-2=0,y=-3×1+4=1,满足x≥0，y≥0且3x+2y=2的条件 “2 -x-y的最小值为0. 19、关于实数x的不等式x2-4x>1+3在[0,5]上有解，则实数a的取值范围为 a 【答案】(-0,0)U(号，+∞ 【解析】由2-4x>1+3得x2-4x-3> 0 则问题等价于1小于x2-4x-3在[0,5]上的最大值， 又因为x2-4x-3=(x-2)2-7,所以当x=5时，x2-4x-3取得最大值2， 所以是<2，解得a<0或a>号，所以a的取值范围为(-o,0U(号+∞ 故答案为：(-0,0)U(号，+∞ 20、已知正三棱锥S-ABC的底面边长为3√2，P,Q,R分别是棱SA,AB,AC的 中点，若△PQR是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为 【答案】27π 【解析】在正三棱锥S-ABC中，P,Q,R分别是棱SA,AB,AC的中点， ·13 则PQ∥SB,PR∥SC,PQ=)SB=2sC=PR,而△PQR是等腰直角三角形，即 ∠QPR=90°， 因此，∠BSC=90°，SB⊥SC,即有正三棱锥S-ABC的侧棱SA,SB,SC两两垂直， 以SA,SB,SC为棱的平行六面体是正方体，这个正方体与正三棱锥S一ABC有相同的 外接球， 因正三棱锥S一ABC的底面边长为3√2，则侧棱SA=3, 于是得正三枝锥，S-ABC外接球半径r=号V5+SB+5C=3 21 所以三棱锥的外接球的表面积为4r2=27π. 故答案为：27元 结论点睛：球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径， 21、设xe几，mc么，若-号<0-m≤号，则称m为离实数x最近的整数，记作 {x},即{x}=m,如{-2.4}=-2.另外，定义[x]表示不超过x的最大整数，如[-2.6]= -3.令f(x)=[lx]-lx,g(x)=lx-{|x},当x∈[-2024,2024]时，如果存在x(1=1,2, “网满足儿=9a小那么高会- 【答案】2024 【解析】由题意f(x)与g(x)为偶函数，只需考虑x∈[0,2024的情形， 设m∈N, x=m时，由定义知{m}=[m]=m,f(x)=g(x)=0, m<x≤m+是时，=m=[,f=m-,9)=-m≠fe, mtI 2 <x<m+1时，{x}=m+1,[c]=m,f(x)=m-x,g(x)=x-(m+1)≠ f(c), 所以c=i1=0,1,2,…,2024), Lc=。0+1+2+…+2024)=、1 2024(1+2024) 20251 2025 2 =1012 由偶函数对称性可知，52x=2×1012=2024. 2025 故答案为：2024 方法点睛：本题考查函数新定义，关键是正确理解新定义并进行转化应用，解题方法是根据 ·14 新定义对x的值进行分类讨论，从而确定函数值并判断是否有f(x)=g(x). 22、定义集合P={xa≤o≤b的“长度”是b-a,其中a,b∈R.已知集合M= 且M,N都是集合{x1≤x≤2}的子集，若集合 MUN的长度”大于号，则：的取值范国是 【路*贵)u(号习 【解析】因为V={t-号≤≤都是集合1≤x≤2以的子集， 所以任号1，解得是≤t≤2， t≤2 5 又1={停<≤}，可知集合M的长度为音-g-分，N 10 105 {t-号≤≤ 要使集合MUN的长度大于号， 若Uv-{啡-兽≤≤0}则品-t-号>号所以t<0 10 5 10 又号≤t≤2，所以g≤t< 10 若UN-={停≤，则t-号>号所以t>号 又号≤t≤2，所以号 <t≤2： 则t的取值范国是号·)U得2 故答案为： [)u号2 四、解答题 23、已知函数f(x)=x+a+a2-2(a∈R) (1)若f(x)是奇函数，且在区间(0，十o)上是增函数，求a的值； (2)若关于x的方程log2(x+1)川-a2+f(1)=0在区间(-1,1)内有两个不同的解m,n,求a 的取值范围，并求1+1的值 m 【答案】(1)a=-√2；(2)(0,1)，-1 【解折】0fa)=c+2+a-2,f-r)=-t-会+a-2=-f,故a2-2=0,a =土√2， 当a=V2时，fx)=x+Y巨在(0，+o)上先减后增，排除： m 当a=一2时，f)=0-在(0，+∞)上单调递增，满足，故a=-V2 ·15 (2)1og2(x+1)川-a2+f(1)=0,即log2(x+1)川=1-a,画出函数图像，如图所示： 0<1-a<1,故a∈(0,1) 1og(m+1)=-log(n+1),故(m+1)(n+1=1,即1+1=-1. 24、已知二次函数f(x)=ac2+bx+c. (1)若a=1,b=-12,c=20,求不等式f(x)<0的解集： 〔2)若a>0,且f1)=-号，证明：函数f)在(0,2)内至少有一个零点； (3)若对任意x∈R,不等式f()≥2ax+b恒成立，求。2 的最大值. 3a2+c2 【答案】(1)(2,10) (2)证明见解析 号 【解析】(1)当a=1,b=-12,c=20时，f(x)=x2-12c+20, 不等式f(x)<0,即x2-12x+20<0即(x-10)(x-2)<0,解得2<x<10, 所以不等式f(x)<0的解集为(2,10)： (2)因为f()=a2+bx+c,a>0且f0)=受， 所以a+b+c=一受，则b= 2 -c, 所以f0=c,f2=4a+2b+c=4a+2号a-d+e=a-c, 当c>0时，f0)=c>0,f1)=-号<0， 因为函数f(x)的图象是连续不断的且f(0)·f(1)<0, 所以根据函数零点的存在性定理可知，函数f(x)在(0,1)内至少有一个零点， 而(0,1)三(0,2)，所以函数f(x)在(0,2)内至少有一个零点： 当e≤0时，f2)=a-e>0,f1)=号<0， 因为函数f(x)的图象是连续不断的且f(1)·f(2)<0, 所以根据函数零点的存在性定理可知，函数f(x)在(1,2)内至少有一个零点， 而(1,2)三(0,2)，所以函数f(x)在(0,2)内至少有一个零点： ·16 综上，函数f(x)在(0,2)内至少有一个零点 (3)若对任意c∈R,不等式f(x)≥2ac+b恒成立， 整理得ax2+(b-2a)x十c-b≥0恒成立，显然a≠0， 所以A-6-2o2-4ac-b)<0'则0≤≤4o(c-a 所以尔≤c=拉2=4ae-a2=4:8-1 3a2+c23a2+c2 3a2+c2 8+( 令t=e-1,因为0≤b2≤4a(c-a),所以c≥a>0→t≥0， 若t=0时，此时4.8一-1 t =4 3+(侣 3+(t+12 0. 若>0时，4会-1 t t 3+( 3+(+1y=4: =4· =4.1 +2+4t++2 当且仅当t=2时，即。=3时，上式取得等号， 0 综上： 分的最大值为号 3a2+c2 25、如图，己知△ABC中，∠C=.设∠CBA=8,BC=a,它的内接正方形DBFG 的一边EF在斜边AB上，D、G分别在AC、BC上.假设△ABC的面积为S,正方形 DEFG的面积为T. (I)用a,0表示△ABC的面积S和正方形DEFG的面积T: (四设fO)-否，试求f0)的最大值P,并判断此时△ABC的形状 【答]IS-a-atan0-号an8,0e0,受：T-m2- a'sin20 (1+sing-cos (0,5)四最大值为告：△ABC为等腰直角三角形 【解析】解：(I)在△ABC中，∠CBA=0,BC=a.AC=atan0 s=a-aan9-号tam0.ge0,号y 设正方形DEFG边长为m,则CG=mcos6,BG=m sin ∴BC=mcos0+m=a sin ·17 asind .m= 1+sine.cos0 .T=m2= a2sin20 (1+sing.cos)2 0∈(0，) (Ⅱ)解：由(I)可得 a'sin20 2 2sing.cose f()(1+singcos6)2 atg (1+sindcos)2 sin20 1 sin220+sin20+1 2+w+1 0e(0,5】 令sin20∈(0,1]，sin20∈(0,1] ”)=2+是在区间0,1上是减函数 ∴.当sin20=1时，u取得最小值，即f(0)取得最大值. 9)=号的最大值为青 此时sinm29=1→9=至 ∴.△ABC为等腰直角三角形 26、记锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c. (1)若f(x)=cosx,求证：f(sinA)<f(cosB): +1 1 《2)当a=2,tanB+tand =1时，求△ABC面积的最大值： tanBtanC (3)若A<B<C,且tanA+tanB+tanC≤[tanA]+[tanB]+[tanC],其中符号[x]表示 不大于x的最大整数，求sinA的值， 【答案】(1)证明见解析 (2)1+√2 (3)2 2 【解折)()由△ABC是锐角三角形，得A,B∈(0，号)A+B>受， 则0<受-B<A<号， 因为y=sinx在(0，号）上单调递增，所以1>sinA>sin(5-B)-cosB>0, 又f(x)=cosx在(0,1)上单调递减，所以f(sinA)<f(cosB) (2)tangtanC tanBtanC=tanB+tonC tanBanC, 1 tanA=tan(r-(B+C))=-tan(B+C)=tanB+tanc=1, tanBtanC-1 又A∈(0,5)所以A=平 41 由余弦定理得，a2=b2+c2-2 becosA≥2bc-√2bc=（2-√2)bc, 所以≤2 :=2(2+V2),当且仅当b=c时取等号， ·18 所以5Aao=号esin≤号x22+2)x号-1+V2, 即△ABC面积的最大值为1+√2 (3)因为[x]≤x,所以[tanA]+[tanB]+[tanC]≤tanA+tanB+tanC, 又因为tanA+tanB+tanC≤[tanA]+[tanB]+[tanC], 所以[tanA]+[tanB]+[tanC]=tanA+tanB+tanC, 所以tanA,tanB,tanC均为整数. 因为0<A<B<C<受，A+B+C=元，所以0<A<吾， 所以0<anA<5,所以anA=1,A=至，所以sinA=号 2 27、已知函数f(x),g(x)的定义域分别为D,D2,若对任意的x1∈D,总存在x2∈D2, 使得f()+g(c2)=0成立，则称g(x)为f(c)的“可归零函数”.已知函数h(x)= 2gin()m] (1)若函数k(c)=lnc,判断h(x)能否为k(c)的可归零函数”？并说明理由： (2)若函数p(x)=3x2-6x+2,x∈[1，n],且h(x)是p(x)的可归零函数，证明：n-m ≤1： 当m=令时，若函数q)=1og24-之 6 a 1-2,x∈[0,1og号]且()是g(的 可归零函数，求实数a的取值范围 【答案】(1)不能 (2)证明如下 31器] 【解析】(1)不能，理由如下， 因为x∈[0，m], 所以7匹≤c+7匹≤πm+ 6 6 6 当x∈[0，m时，-1≤sin(rx+石）≤1,2≤2sin(x+E)≤2.故h()∈ [-2,2]: 因为k(c)=lnx,定义域为(0，+oo),值域为R, 对于任意的c∈(0，十oo),k(x)=lnx1∈R, 要使k(c)+h(2)=0,即h(x)=-k(c)成立，则h(2)∈R, 这与己知h(x)∈[-2,2]矛盾， 所以不存在c2∈[0，m],使得k(c)+h(c2)=0成立， 故h(x)不能称为k(x)的可归零函数”， (2)p(x)=3x2-6x+2=3(x-12-1,x∈[1，n], 因为二次项系数3>0，所以二次函数p(x)开口向上， 对称轴为x=1,所以p(x)在[1，n]上单调递增， p(x)∈[-1,3n2-6m+2],-p(c)∈[-3m2+6m-2,1],: ·19· 因为h(x)是p(c)的可归零函数， 所以对任意的∈[1，n],总存在2∈[0，m],使得p(c)+h(2)=0,即h(2)= -p(x)成立， 所以[-3m2+6m-2,1]二[-2,2]， 所以-3n2+6m-2≥-2，解得0≤n≤2， 因为n>1,所以1<n≤2： 因为红e0,m小，所以看≤+否≤m+后 要使h(c)值域包含[-2,1]，则m+7匹≥13x, 解得m≥1： 6 6 因为1<n≤2，m≥1，所以n-m≤2-1=1； 因此n-m≤1得证. (3)当m=吾时，到=2sim(+石)ze[0,君】 则a+看c[,2snz+g)c[-1,0 6 所以h(x)的值域为[-2,0]，则-h(x)的值域为[0,2]， q=10g4-a2+1-2z=1g （4-a)2+1 4-a)22+1 e 0 -1og24=1og2 a×4 因为h(x)是q(x)=log2 4-a)2x+1 a -2,0,10g号]可归零函数， 所以对任意xe[0,1og号]，都有0≤g)≤2， 即0≤1og2 4-0)2+1-2m≤2恒成立， a 所以1og222x≤1og2 4-2+1≤1og,2+2在xe[0,1ogg]上恒成立， a 即2购≤任-a2+≤2在xe[0,log多]上恒成立， a 当a<0时，显然不成立， 当a>0时，令=2则te1,号]此时2≤4-a2+≤22恒成立， 等价于at2-(4-a)t-1≤0恒成立①， 且4at-(4-a)t-1≥0恒成立②， 号4-火号1n样得a≤答所以0ca≤器 a-（4-a)-1≤0 由①得 由②得(4t+1)(at-1)≥0恒成立， 因为4t+1>0,所以at-1≥0恒成立，所以a≥1， 综上，实数a的取值范围为[1，器 ·20