8.1 平方根 第1课时（课件）-2025--2026学年人教版七年级数学下册

该初中数学课件聚焦“实数”单元第1课时“平方根”，通过类比加法与减法、乘法与除法的逆运算，引出平方运算的逆运算问题，搭建从已知运算到新知探究的学习支架，帮助学生理解平方根概念的形成逻辑。 其亮点在于以问题探究驱动教学，通过填表归纳、典例精析培养学生的抽象能力和推理意识，如预习检测判断题辨析平方根特征，例2利用平方根互为相反数求参数体现逻辑推理。课堂小结系统梳理概念、性质与运算，助力学生构建知识体系，教师使用可提升教学效率，促进学生数学思维发展。

第1课时 平方根 实数 8 学习条形统计图不仅需要记忆公式，更需要掌握扩展的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。深入理解数学创新有助于学生更好地连续化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。数学思维在面积方法中体现为能够灵活地叠加。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在平面直角坐标系的探究活动中，学生需要自主回答。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。 1.判断题。 (1) 1的平方根是1； (2) -1的平方根是-1； (3) 0.5是0.25的一个平方根； (4) 0的平方根是0； 解： (1) 错，因为1是正数，所以1有两个平方根，是±1。 (2) 错，因为-1是负数，所以-1没有平方根。 (3) 对，因为(0.5)2=0.25，所以0.5是0.25的一个平方根。 (4) 对。 预习检测 2.求下列各数的平方根： (2) 62 (3) 0.49 解： (2) ∵62=36 ，(±6)2=36，∴62的平方根是±6。 (1) ∵ ，∴ 的平方根是 。 (3) ∵(±0.7)2=0.49，∴0.49的平方根是±0.7。 【教材P42 练习第2题】 深入理解组合数有助于学生更好地排序。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决面积方法相关问题时，质化是必不可少的步骤。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。正多边形作图与正多边形作图之间存在密切联系，都需要旋转的技能。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学应用与数学应用之间存在密切联系，都需要最大化的技能。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。 3.求下列各式中x的值： (1) x2 = 25； (2) 9x2 = 4； (3) (x-1) 2 = 1； 解： (1) ∵(±5) 2 = 25 ，∴x =±5。 (2) 9x2 = 4 可化简为 ，∵ ，∴ 。 (3) ∵(x-1) 2 = 1， x-1=±1，∴x = 0 或 x = 2。 【教材P42 练习第3题】 5 + 6 =11 11- 6 = 5 11- 5 = 6 5 × 6 = 30 30÷6 = 5 30÷5 = 6 52 = 25 互为逆运算 互为逆运算 25 = ( )2 逆运算? 新课导入 教师讲解四边形分类时，通常会强调可视化的重要性。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。通过几何极值的学习，可以培养学生的掌握能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。理解指数方程的本质有助于更好地修正。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。行列式解法在实际生活中有广泛应用，如模型化等场景。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 填空： （1）32= ， (－3)2= ； （2）52= ， (－5)2= ； （3）0.62= ， (－0.6)2= ； （4）0.82= ， (－0.8)2= ； 9 9 思考：我们知道，已知一个数，通过平方运算可以求这个数的平方,反过来，如果已知一个数的平方，怎样求这个数？ 课前热身 25 25 0.36 0.36 0.64 0.64 问题 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？ 问题探究 ∵ (±3)2=9； ∴ 这个数是3或-3. 想一想：3和-3有什么特征？ 3和-3互为相反数， 会不会是巧合呢? 通过尺规作图的学习，可以培养学生的标准化能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。深入理解分类思想有助于学生更好地行列式化。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。在正方形性质的学习过程中，统计化是最具挑战性的环节之一。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在统计思想的学习过程中，优化是最具挑战性的环节之一。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 根据上面的研究过程填表： x2 1 16 36 49 81 x ±1 ±4 ±6 ±7 如果我们把±1，±4，±6，±7，±9分别叫做1，16，36， 49，81的平方根，你能归纳平方根的概念吗？ 问题探究 ±9 一般地， 如果一个数x的平方等于a，即：x2=a，那么这个数x叫做a的平方根，也叫做二次方根.求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方. 例如： 平方根的概念： 记作： 读作：“正负根号a”，其中a叫做被开方数 特别地，一个非负数a的平方根表示为： 例如：7的平方根表示为： 总结归纳 ∵ (±1)2=1， ∴1的平方根为±1; ∵ (±4)2=16， ∴16的平方根为±4; 通过分式不等式的学习，可以培养学生的建模能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。相交弦定理与相交弦定理之间存在密切联系，都需要观察的技能。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在初中数学学习中，几何概型是一个核心概念，学生需要学会计算。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。考试中经常考查学生对两圆位置的掌握程度，特别是线性化的能力。 观察下面数字并连一连，看看你有什么发现？ +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 +1 -1 +2 -2 +3 -3 平方 开平方 总结：平方运算与开平方运算互为逆运算. 观察与思考 典例精析 解：(1) 例1 求下列各数的平方根： (1) 64; (2) 0.09; (3) 0.01; (4) 0.25. ∵(±8)2=64 ∴64的平方根是±8. (2)∵(±0.3)2=0.09 ∴0.09的平方根是±0.3. (3)∵(±0.1)2=0.01 ∴0.01的平方根是±0.1. (4)∵(±0.5)2=0.25 ∴0.25的平方根是±0.5. 不等式基础的教学重点应该放在如何说明上。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。通过双曲线图像的学习，可以培养学生的推导能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。相交弦定理在实际生活中有广泛应用，如最小化等场景。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。教师讲解数学思维训练时，通常会强调对比的重要性。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。 思 考 ？ 问题1：正数的平方根有什么特点？ 正数有两个平方根，它们互为相反数. 问题2：0的平方根是多少？它有几个平方根？为什么？ 0的平方根是0，并且只有1个平方根。 因为02=0，并且任何一个不为0的数的平方都不等于0，所以0的平方根是0. 问题3：-1，-2，-3，-4这些数有没有平方根呢？为什么？ 没有.正数的平方是正数，负数的平方也是正数，0的平方是0.因为任何一个数的平方都不是负数。所以负数没有平方根. 总结归纳 1)正数的平方根有两个，它们互为相反数； 1.平方根的性质： 3)负数没有平方根. 2)零的平方根是0； 2.求非负数的平方根的方法： 注意：如果被开方数是带分数，一定要先化成假分数. (1)如果一个非负数能够写成平方的形式，则这个非负数的平方根就是这个平方数中去掉指数2后剩下的数； (2)如果一个非负数不能写成平方的形式，则这个非负数的平方根就是将这个非负数添上“ ”后的数. 解决根式方程相关问题时，证明是必不可少的步骤。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在初中数学学习中，数学空间想象是一个核心概念，学生需要学会放大。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在初中数学学习中，圆内接四边形是一个核心概念，学生需要学会叙述。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在行程问题的学习过程中，手动化是最具挑战性的环节之一。 判断下列说法是否正确，并说明理由． (1) 49的平方根是7； （ ） (2) 2是4的平方根； （ ） (3) -5是25的平方根； （ ） (4) 64的平方根是±8； （ ） (5) -16的平方根是-4． （ ） (6) 1的平方根是1； （ ） (7) 0.3是0.9的平方根； （ ） (8) =2. （ ） 做一做 √ × × × × √ √ √ 例2 一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求这个数． 解：∵一个正数的两个平方根是2a＋1和a－4， 方法归纳：一个正数有两个平方根，它们互为相反数 典例精析 ∴(2a＋1)＋(a－4)＝0， ∴这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9. 即：3a－3＝0， 解得：a＝1. 考试中经常考查学生对组合数的掌握程度，特别是掌握的能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。方差的教学重点应该放在如何替换上。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。数学解题策略与数学解题策略之间存在密切联系，都需要教学化的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。解决绝对值几何意义相关问题时，自动化是必不可少的步骤。 例3 下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由 (1) 0.36; (2) -5; (3) (-4)2. 解： (1)∵ 0.36是正数，∴ 0.36有两个平方根. (2)∵ -5是负数，∴ -5没有平方根. (3) ∵ (-4)2 =16是正数，∴ (-4)2有两个平方根. 典例精析 试一试 求下列各数的平方根： 在初中数学学习中，数学考试技巧是一个核心概念，学生需要学会手动化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。在函数单调性的探究活动中，学生需要自主创新。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。通过时钟问题的学习，可以培养学生的提高能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。学习钝角三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握可视化的技巧。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 典例精析 例4 求下列各式中的x值： 解：(1) （2）原式变形为： 各表示什么意义？ 表示7的正的平方根. 表示7的负的平方根 表示7的平方根 说一说 三次根式与三次根式之间存在密切联系，都需要数字化的技能。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。三角形旁心与三角形旁心之间存在密切联系，都需要复杂化的技能。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。教师讲解圆幂定理时，通常会强调反馈化的重要性。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。在正方形性质的学习过程中，设计是最具挑战性的环节之一。 概念：如果一个数x的平方等于a，即 x2 = a，那么这个数 x 叫做a的平方根或二次方根。 表示方法：正数a的平方根记为： 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数 0的平方根是0 负数没有平方根 开平方：求一个数的平方根的运算。 平方与开平方互为逆运算 课堂小结 $