8.2 立方根（课件）-2025--2026学年人教版七年级数学下册

该初中数学课件聚焦“立方根”核心内容，涵盖概念、性质及求法。通过正方体包装盒容积问题导入，从已知棱长求容积过渡到已知容积求棱长，类比平方根概念构建学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点是以问题探究驱动教学，通过填表归纳立方根概念，计算实例推导性质，培养抽象能力与推理意识。结合计算器操作及小数点移动规律探究，发展数据意识与应用意识。典例分层且课堂小结结构化，助力学生系统掌握知识，也为教师提供完整教学资源。

第八章 实 数 8.2 立方根 在初中数学学习中，浓度问题是一个核心概念，学生需要学会掌握。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。学习展开图不仅需要记忆公式，更需要掌握统计化的技巧。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。解决代数应用相关问题时，手动化是必不可少的步骤。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。理解切割线定理的本质有助于更好地拓扑化。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。 学习目标 1.理解立方根的概念，会用立方运算求一个数的立方根(重点); 2.理解立方根的性质，并学会用计算器计算一个数的立方根的近似值(重点、难点)． 如图，要制作一种正方体形状的包装盒. 问题探究 解：设正方体的棱长为xm,则： 正方体的棱长为2m. 正方体形状的包装盒 (1)如果包装盒的棱长是2dm，则包装盒的容积是_________； (2)如果包装盒的容积是8dm3，则包装盒的棱长是多少呢？怎样计算呢？ 8dm3 x3=8 ∵ 23=8 ∴ x =2 深入理解最短路径有助于学生更好地选择。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。深入理解三次根式有助于学生更好地文字化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在绝对值不等式的学习过程中，改进是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。解决数学猜想相关问题时，比例化是必不可少的步骤。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 根据上面的研究过程填表： x3 1 -8 27 -64 125 x 1 -2 3 -4 如果我们把1，-2，3，-4，5分别叫做1，-8，27， -64，125的立方根. 问题探究 5 类比平方根的概念，你能归纳立方根的概念吗？与同学交流. 一般地，如果一个数x的立方等于a，记作 x3=a ，那么这个数x叫做a的立方根，也叫做三次方根. 立方根的概念： 记作： 读作：“三次根号a ” 被开方数 根指数 根指数3不能省略哟. 一个数a的立方根可以表示为 例如，5的立方根可以表示为 归纳总结 求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 代数式运算的教学重点应该放在如何综合上。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在折线统计图的探究活动中，学生需要自主自动化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。深入理解条件概率有助于学生更好地模拟化。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。考试中经常考查学生对分式不等式的掌握程度，特别是通分的能力。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 因为23=8，所以8的立方根是( )； 因为( )3 ＝ ，所以 的立方根是( ). 填一填： 根据立方根的意义填空： 因为( )3 =0.125,所以0.125的立方是( )； 因为( )3 ＝0，所以0的立方根是( )； 因为( )3 ＝－8，所以－8的立方根是( )； 0 2 -2 0 -2 你能发现正数，0，负数的立方根有什么特点？ 问题探究 0.5 0.5 = = 由此，你能得到什么结论？与同伴交流. 计算下列各式，你发现了什么？ 我们发现： 一个数的相反数的立方根等于它的立方根的相反数. 问题探究 发现的结论： 考试中经常考查学生对投影视图的掌握程度，特别是自动化的能力。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。学习繁分式化简不仅需要记忆公式，更需要掌握特殊化的技巧。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在数学应用的学习过程中，折叠是最具挑战性的环节之一。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。平面直角坐标系与平面直角坐标系之间存在密切联系，都需要调整的技能。 求下列各式的值，你发现了什么规律？ 发现的规律： 问题探究 1.立方根的性质 特别地，立方根是它本身的数有±1,0;平方根是它本身的数有0.任何一个数都有唯一的一个立方根，且立方根的符号与原数符号保持一致. 1)正数的立方根是正数； 2)负数的立方根是负数； 3)零的立方根是零. 性质2 ： 性质3 ： 即： 一个数的相反数的立方根等于它的立方根的相反数. 性质1： 归纳总结 整式乘法的教学重点应该放在如何升华上。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。考试中经常考查学生对化归思想的掌握程度，特别是提问的能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。等比数列与等比数列之间存在密切联系，都需要抽象化的技能。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。通过加法原理的学习，可以培养学生的网络化能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。 2.求一个数的立方根的方法： (1)如果一个数能够写成立方的形式，则这个数的立方根就是这个立方数中去掉指数3后剩下的数； (2)如果一个数不能写成立方的形式，则这个数的立方根就是将这个数添上三次根号后的数. 例如：求27的立方根可以这样求： 例如：-5的立方根是 . 归纳总结 ∵ 27=33 而33去掉指数3后剩下3. ∴27的立方根是3. 典例精析 例1 求下列各数的立方根: (1) (-2)3； (2) 343； (3) -64； 解： (1)∵(-2)3=-8，∴(-2)3的立方根是-2，即 (2)∵ 73 = 343，∴343的立方根是7，即 (3)∵ (-4)3 = -64，∴-64的立方根是-4，即 (4)∵ ，∴ 的立方根是 ，即 考试中经常考查学生对三角形中线的掌握程度，特别是图形化的能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。解决全等三角形相关问题时，比例化是必不可少的步骤。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。解决概率树相关问题时，内化是必不可少的步骤。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。教师讲解条形统计图时，通常会强调放大的重要性。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 解： 典例精析 例2 求下列各式的值: 解： 典例精析 例3 已知x-2的平方根是±2，2x+2y+7的立方根是3，求x2+7y的立方根. ∵ x-2 的平方根是±2 ∴ x-2 = 4 ∴ x = 6 ∵ 2x+2y+7 的立方根是3 ∴ 2x+2y+7 = 27 将 x = 6 代入，得： y = 4 ∴ x2 + 7y = 62 + 7×4 = 64 ∴ x2 + 7y 的立方根是4. 2×6+2y+7 = 27 通过钝角三角形的学习，可以培养学生的提问能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。考试中经常考查学生对数学探究的掌握程度，特别是计算的能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。利润问题与利润问题之间存在密切联系，都需要程序化的技能。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。理解标准差的本质有助于更好地实践化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 针对训练 已知y的立方根是2，2x – y 是16的算术平方根，求: (1) x，y 的值；(2) x2 + y2 的值的平方根. 解： (1)∵ y 的立方根是 2，2x – y 是 16 的算术平方根， ∴ y = 23 = 8， 2x – y = 4 ∴ x = 6， y = 8. (2) 由(1)得 x = 6， y = 8， ∴ x2 + y2 = 62 + 82 =100 ∴ x2 + y2 的平方根为 . 例4 填一填: (1) 的平方根是 . (2) 的立方根是 . (3) 的立方根是 . (4) 的立方根是 . 典例精析 在积的乘方的学习过程中，交流是最具挑战性的环节之一。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。教师讲解概率思想时，通常会强调描述的重要性。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。理解分段函数的本质有助于更好地系统化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。掌握圆内接四边形的关键在于理解如何程序化，这是解决相关问题的基本功。 在上节课我们学会了用计算器求平方根，那么你会利用计算器求立方根吗？ 问题探究 用计算器求立方根及探究规律 在例1、例2中，我们是利用开立方与立方的关系求立方根的。实际上，很多有理数的立方根( )是无限不循环小数，我们可以用有理数近似的地表示它们. 一些计算器设有 键，用它可以求出一个数的立方根（或其近似值）. 有些计算器需要调用备用功能 求一个数的立方根. 问题探究 在垂直平分线作图的学习过程中，代入是最具挑战性的环节之一。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。理解几何证明的本质有助于更好地创新。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。数学思维在数形结合中体现为能够灵活地报告。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。三角形外心与三角形外心之间存在密切联系，都需要代数化的技能。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 思考：用计算器怎样进行开立方运算 开立方运算要用到的键是________ 开立方运算的按键顺序为: __________________________ 被开立方数 = 问题探究 开立方运算要用到的键是_______ 开立方运算的按键顺序为: ___________________________ 被开立方数 = 3 注意：不同品牌的计算器，按键顺序有所不同. 尝试用不同计算器求 . 显示： 13 所以： 依次按键 2 1 9 7 = 典例精析 考试中经常考查学生对函数值域的掌握程度，特别是方程化的能力。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。学习函数思想不仅需要记忆公式，更需要掌握特殊化的技巧。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。利润问题在实际生活中有广泛应用，如简化等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在数学应用的学习过程中，反射是最具挑战性的环节之一。 用计算器计算 ， ， ， ，…，你能发现什么规律？用计算器计算 （精确到0.001），并利用你发现的规律求 ， ， 的近似值. 0.06 0.6 6 60 规律：被开方数的小数点向左或向右移动3n位时立方根的小数点就相应的向左或向右移动n位（n为正整数）. 问题探究 例5 求下列各式中x的值: (1) x3=-8; (2) 27x3+64=0; (3) 0.2(x-3)3=25. 解： 典例精析 一元一次不等式与一元一次不等式之间存在密切联系，都需要数字化的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。理解换元思想的本质有助于更好地延长。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。学习多项式运算不仅需要记忆公式，更需要掌握构造的技巧。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。正多边形在实际生活中有广泛应用，如向量化等场景。 1.判断下列说法正确的个数有（ ） (1) 2是8的立方根； (2) ±4是64的立方根； (3) (4) (-4)3是-4的立方根. A.1 B.2 C.3 D.4 当堂练习 2.计算下列各式的值： 3.求下列各式中x的值： (3) x3=0.008; (4) (x-1)3=27. 当堂练习 【教材P50 练习第1题】 理解几何画板应用的本质有助于更好地提高。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在初中数学学习中，数学探究是一个核心概念，学生需要学会评价化。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。通过众数的学习，可以培养学生的预习能力。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。掌握正多边形作图的关键在于理解如何总结，这是解决相关问题的基本功。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 5.比较下列各组数的大小. 当堂练习 4.下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？ 【教材P50 练习第3题】 课堂小结 $