命题大赛 江西省上饶市2025-2026学年高一数学下学期阶段测试自编卷（北师大版必修二第一章—第六章平行关系）

**基本信息** 聚焦向量、三角函数、立体几何等核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与空间想象素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量运算、三角函数定义、斜二测画法|基础概念辨析，如斜二测画法面积计算| |多选题|3/18|三角恒等变换、向量夹角与模|多维度辨析，如向量钝角夹角条件判断| |填空题|3/15|三角函数值域、向量模、解三角形范围|知识迁移应用，如正余弦定理结合求范围| |解答题|5/77|复数运算、三角函数图像、立体几何证明、解三角形最值|综合性探究，如立体几何面面交线证明、角平分线与面积结合求最值|

双向细目表 考查范围：必修 第二册 题号 难度 知识点 一、单选题 1 容易0.95 § 2从位移的合成到向量的加减法 2 容易0.85 § 2复数的四则运算,§ 1复数的概念及其几何意义 3 容易0.85 § 2两角和与差的三角函数公式 4 容易0.85 § 2直观图 5 适中0.65 § 4平面向量基本定理及坐标表示 6 适中0.65 §3空间点、直线、平面之间的位置关系 7 困难0.5 § 3二倍角的三角函数公式 8 困难0.4 § 6函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象 二、多选题 9 容易0.82 § 2两角和与差的三角函数公式 10 适中0.65 § 5从力的做功到向量的数量积 11 困难0.42 § 6平面向量的应用 三、填空题 12 容易0.85 § 7正切函数 13 适中0.65 § 5从力的做功到向量的数量积 14 困难0.4 § 8三角函数的简单应用,第二章 平面向量及其应用 四、解答题 15 容易0.86 本章小结,第五章 复数 16 容易0.85 § 6函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象 17 适中0.65 §4平行关系,6.1余弦定理与正弦定理,第五章 复数 18 适中0.65 § 6平面向量的应用 19 困难0.47 § 6函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象,6.1余弦定理与正弦定理 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学下学期阶段测试 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分） 1．平行四边形ABCD中，（    ） A． B． C． D． 2．若，则实数a等于（    ） A． B． C．2 D．3 3．已知点是角终边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 4．用斜二测画法画一个边长为的正方形的直观图，则此直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知向量和向量，若，则实数（    ）． A． B．0 C．1 D．2 6．在正方体中，表面的对角线与成角的有（    ）条 A． B． C． D． 7．已知，，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 8．已知函数，则下列选项正确的是（     ） A．是函数的一个周期 B．函数的最小值为 C．函数的最大值为 D．函数在上递减 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列各式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 10．设向量，则下列说法正确的是（    ） A．若与的夹角为钝角，则 B．的最小值为9 C．与共线的单位向量是 D．若，则 11．中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（    ） A． B．若，则有两解 C．若为锐角三角形，则取值范围是 D．若为边上的中点，则的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知，则的取值范围是______. 13．已知向量，满足，，且，则_____. 14．已知，角的对边分别是，已知，若，则的取值范围是______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 15．（本小题满分13分）已知复数，为虚数单位． (1)若，求实数的值； (2)若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围． 16．（本小题满分15分）已知函数，. (1)在用“五点法”作函数在区间上的图象时，列表如下： 0 将上述表格填写完整，并在坐标系中画出函数的图象； (2)求函数的单调递增区间； (3)求函数在区间上的最值以及对应的的值. 17．（本小题满分15分）如图，四棱锥的底面为梯形，，，点在棱上，且． (1)证明：平面； (2)设平面与棱交于点，证明：． 18．（本小题满分17分）已知的内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若角的平分线交于点，且，求的最小值. 19．（本小题满分17分）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数 （ⅰ）求的单调区间； （ⅱ）若且，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 《高一数学下学期阶段测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C D D C A C ABC AD 题号 11 答案 BC 1．D 【详解】在平行四边形ABCD中， ， 2．D 【详解】， 由可得，解得. 3．C 【分析】应用三角函数定义结合两角差正切公式计算求解. 【详解】点是角终边上的一点，则， 所以. 4．D 【分析】画出直观图，求出底和高，进而求出面积. 【详解】如图，，，过点作轴于点,则, 所以直观图是底为、高为的平行四边形，所以面积为. 5．D 【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，所以，即，所以． 故选：D． 6．C 【分析】首先确定与共面的面对角线中成角的共有条，再通过平行关系确定异面的面对角线中也有条，共条. 【详解】 以为一边的面对角线构成的等边三角形如上图为：和， 所以，与夹角为的面对角线有：、、、， 又因为，，，， 根据平行关系可知、、、也与成角， 可知满足题意的面对角线共有条， 故选：C. 7．A 【分析】利用余弦函数与正弦函数的性质缩小与的取值范围，结合三角函数的基本关系式与倍角公式求得的正余弦值，从而利用正弦函数的和差公式即可得解. 【详解】因为所以则 所以 则， 因为，所以， 又则， 所以 故 因为所以 则. 故选：A. 8．C 【分析】先对原函数化简，得到新函数.对A，取特殊值代入计算即可；对B、C，为开口向下的二次函数，最小值在端点处取得，最大值在对称轴处取得；对D，根据复合函数单调性的性质分析即可. 【详解】设，则，即，且. 于是函数可转化为 选项A，取，； ,故不是周期，A错误. 选项B，函数开口向下，对称轴为. 在区间上，最小值出现在端点： 时， 时， 故最小值为，不是，B错误. 选项C，函数在对称轴处取得最大值： 且，故最大值为，C正确. 选项D，在区间内，，故， ，在时，， 因为在上单调递减，故在上单调递减. 而在上单调递减. 在时，；在时，， 由同增异减可得在上单调递增，D错误 9．ABC 【详解】选项A： ，故A正确； 选项B： ，故B正确； 选项C： 原式整理为，故C正确； 选项D： 原式展开得， 和题干给出的结果不符，故D错误. 10．AD 【分析】利用向量的夹角公式即可判断A；利用向量的模长公式及二次函数的性质即可判断B；利用向量共线的坐标表示即可判断C；利用向量的模长公式求出的值，进而即可判断D． 【详解】对于A，若与的夹角为钝角，则，解得，故A正确； 对于B，，当且仅当时取到等号，即的最小值为，故B错误； 对于C，与共线的单位向量有两个，为，故C错误； 对于D，若，则，解得，故D正确． 11．BC 【分析】选项A：根据数量积的公式和三角形面积公式计算即可；选项B：根据题目条件得到边的大小关系从而求解；选项C：根据题目条件得到角的范围，结合正弦定理进行求解；选项D：根据题目条件用向量的模表示线段长度，结合余弦定理结合基本不等式进行求解. 【详解】选项A：因为， 所以，化简可得， 因为，所以解得，故A错误； 选项B：若，且，则， 因此有两解，故B正确； 选项C：若为锐角三角形，则，且， 所以，即， 根据正弦定理可得，即， 所以取值范围是，故C正确； 选项D：若为边上的中点，则， ， 根据余弦定理可得， 即， 所以， 即，当且仅当时等号成立， 所以， 因此，当且仅当时等号成立，故D错误. 12． 【详解】因为， 即，故的取值范围为. 13． 【分析】先根据题意求，再求. 【详解】由，，得，. 由， 所以， 所以. 故答案为： 14． 【分析】先根据余弦定理将展开，再结合正弦定理将边化为角，进而得出关于的表达式，最后根据的范围求解的取值范围. 【详解】因为，根据余弦定理， 所以. 根据正弦定理的. 因为. 所以化简得. 继续化简为. 因为，所以， 所以. 等式两边同时除以得. 因为，所以. 令，则，所以，在时单调递减， 所以. 故答案为：. 15．(1)4； (2). 【分析】（1）由两复数相等，实部和虚部分别相等求解即可； （2）结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解． 【详解】（1）若， 则， 解得；(5分） （2），(7分） 若在复平面内所对应的点位于第四象限，(9分） 则，解得，(12分） 故的取值范围为．(13分） 16．(1)答案见解析 (2)，． (3)时，取最大值，时，取最小值， 【分析】（1）分别计算五点坐标，利用五点法即可画出图形． （2）利用整体法结合正弦函数的单调性即可得解． （3）利用正弦函数的性质即可得解． 【详解】（1） 0 0 0 2 0 (3分） 描点，连线，可得图象如下： (5分） （2）令，，解得，， 可得函数的单调递增区间为，．(9分） （3）因为，可得， (11分） 故当时，即时，取最大值，(13分） 当时，即时，取最小值.(15分） 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，交于点，连接，通过证明与相似得即可； （2）先证明平面，再通过线面平行的性质得，得即可. 【详解】（1）连接，交于点，连接 因为，且， 则， 又， 则， 所以，(4分） 又平面，平面， 所以平面．(6分） （2）因为，平面，平面， 所以平面，8分） 又平面，平面平面， 所以，(12分） 则有，即．(15分） 18．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角恒等变换整理得， 再根据角的范围分析运算. （2）根据三角形的面积关系整理得，结合基本不等式求范围. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得，(2分） 则， 可得， 整理得(4分） 注意到，且，则，，且， 可得或 解得或（舍去）， 故.(7分） （2）若的平分线交于点，则， 因为，(9分） 则， 即，整理得，(11分） 则，(14分） 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值.(17分） 19．(1) (2)（ⅰ）答案见解析，（ⅰⅰ） 【分析】（1）设的最小正周期为，过点和，这两个点之间的图像大于1个周期且小于2个周期，且，，解得，结合正弦函数的图像可得，计算出的值，从而得到的表达式； （2）（ⅰ）利用图像的变换求出，利用正弦函数的图像和性质求出单调性；（ⅱ）由得到或，由得到取最大值和取最小值，从而得到的最大值. 【详解】（1）设的最小正周期为， 过点和，这两个点之间的图像大于1个周期且小于2个周期， 且，，解得， (2分） 结合图像可得，故， 又,故， 故取，，则, (4分） （2）（ⅰ）将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数， 则， ，解得， 则的单调递增区间为； (6分） ，解得， 则的单调递减区间为； (8分） （ⅱ），， 或， (9分） 当时，，解得， ，，， (11分） 当时，取最大值，且最大值为， 当时，取最小值，且最小值为， (13分） 故的最大值为， 当时，，解得， ，，， 当时，取最大值，且最大值为， 当时，取最小值，且最小值为， (15分） 故的最大值为， 综上可知，的最大值. (17分） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $