专题06 立体几何小题综合（9大题型50题，期末真题汇编，江西专用）高一数学下学期北师大版

**基本信息** 立体几何小题综合汇编，覆盖9个高频考点，精选江西多地期末试题，聚焦易错重点与空间想象能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|约30题|空间几何体结构、直观图、表面积体积等|如正三棱锥定义辨析（考点01），结合轴截面求圆锥表面积（考点03）| |多选|约10题|线面位置关系、空间角、综合应用|如斜二测画法直观图与原图形关系（考点02），正方体中动点轨迹（考点09）| |填空|约10题|内切外接问题、体积计算|如圆柱挖圆锥的侧面展开图面积（考点03），正四棱台体积（考点04）|

专题06 立体几何小题综合 高频考点概览 考点01空间几何体的结构（易错） 考点02 空间几何体的直观图（重点） 考点03 空间几何体的表面积与体积（易错） 考点04 多面体与球体内切外接问题（重难） 考点05 空间点、直线、平面之间的位置关系（重点） 考点06 直线、平面平行的判定与性质（重难） 考点07 直线、平面垂直的判定与性质（重难） 考点08 空间角及应用(重难) 考点09 直线、平面综合题(重难) 考点01 空间几何体的结构 1．（24-25高一下·江西景德镇·期末）给出下列四个命题：①正三棱锥所有的棱长相等；②底面是正多边形的棱柱是正棱柱；③底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥；④以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台，其中真命题的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点02 空间几何体的直观图 2．（24-25高一下·江西·期末）如图，是水平放置的直观图，，，则的周长为（    ） A． B．15 C．12 D．10 3．（24-25高一下·江西抚州·期末）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．四边形的周长为5 D．四边形的面积为3 4．（24-25高一下·江西·期末）如图，在等腰梯形ABCD中，，E是边AB上的一点，且．以A为坐标原点，AB为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系.用斜二测画法画出梯形ABCD的直观图，且E在直观图对应的点为，则下列说法中错误的是（ ） A． B．轴 C． D． 5．（24-25高一下·江西宜春·期末）如图，是由斜二测画法得到的水平放置的的直观图，其中，那么原平面图形中，OA边上的高为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江西吉安·期末）（多选）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 7．（24-25高一下·江西南昌·期末）如图是斜二测画法下水平放置的平面图形的直观图，若是边长为2的正方形，则平面图形的周长为______． 考点03 空间几何体的表面积与体积 8．（24-25高一下·江西吉安·期末）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，S是圆锥顶点，，是底面圆周上两点，且，若的面积为，则该圆锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·江西抚州·期末）已知圆锥的顶点为S，母线，所成角的余弦值为，且该圆锥的母线是底面半径的倍，若的面积为，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（   ） A．56 B． C． D． 11．（24-25高一下·江西·期末）如图，在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心.若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为_____.    12．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和3，高为，则该正四棱台的体积为______． 13．（24-25高一下·江西九江·期末）已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥的体积是______. 14．（24-25高一下·江西吉安·期末）“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．某些阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到．如图，正四面体的棱长为6，取各条棱的三等分点，从各棱的三等分点处截去四个角后可得到一个阿基米德多面体，则该多面体的表面积为_________．      15．（24-25高一下·江西南昌·期末）一个圆柱形容器内放一个实心圆锥（同底等高），得到如图所示的容器，其体积为．现从上往下向容器内注水，当水位恰好在圆柱母线中点处时，记所注水的体积为，则________． 考点04 多面体与球体内切外接问题 16．（24-25高一下·江西九江·期末）如图，在正三棱锥中，分别为棱的中点，且.若，则正三棱锥的外接球的体积为（   ）    A． B． C． D． 17．（24-25高一下·江西萍乡·期末）在三棱锥中，平面，且，，，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 18．（24-25高一下·江西抚州·期末）如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为________． 19（2025·江西新余·模拟预测）已知圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线与高的夹角为，则此圆台的高为______，圆台的外接球的体积为______. 考点05 空间点、直线、平面之间的位置关系 20．（24-25高一下·江西新余·期末）已知是三条不重合的直线，是两个不重合的平面，直线，则（    ） A．， B．， C．， D． 21．（24-25高一下·江西吉安·期末）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 22．（24-25高一下·江西·期末）设，为两条直线，，为两个平面，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 23．（24-25高一下·江西萍乡·期末）（多选）已知空间中不同的平面、，不同的直线、、，下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，且、为异面直线，，，则 24．（24-25高一下·江西九江·期末）空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 25．（24-25高一下·江西·期末）（多选）直线与平面相交于点，点在直线上，，是平面内的任意两点，，，，不重合，且，，三点不共线，下列说法正确的是（   ） A．直线与是异面直线 B．平面内一定存在直线平行于平面 C．平面内一定存在直线垂直于平面 D．若平面垂直于平面和平面，则 考点06 直线、平面平行的判定与性质 26．（24-25高一下·江西·期末）（多选）下列命题为真命题的有（   ） A．球体是旋转体的一种，且球面上的点到球心的距离都相等 B．现有两条平行直线，其中一条直线与一个平面相交，那么另一条直线可能与这个平面不相交 C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线相交 D．若直线m上的三个点在平面内，则 27．（2019高一上·全国·专题练习）已知P为△所在平面外一点，平面平面，且交线段于点，若，则:（ ） A． B． C． D． 28．（24-25高一下·江西南昌·期末）（多选）如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足直线平面的是（   ） A．   B．   C．   D．   29．（24-25高一下·江西上饶·期末）已知棱长为4的正方体，点是棱的中点，点是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，且平面，则的长度最小值为（   ） A． B． C． D． 30．（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 考点07 直线、平面垂直的判定与性质 31．（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，已知是正三角形，和都垂直于平面，且，分别是和的中点，则下列结论错误的是（   ） A．平面 B．平面 C． D．平面平面 32．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知直三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，是侧棱的中点，则下列直线中与垂直的是（ ） A． B． C． D． 33．（24-25高一下·江西南昌·期末）（多选）已知P是棱长为6的正方体表面上一个动点，Q为棱的中点，则下列说法中正确的是（    ）    A．过点A，B，Q的截面是一个直角梯形 B．若P在上，则 C．若P在上，则存在某个P点，使得 D．若三棱锥的体积为18，则P点轨迹的长度为 34．（24-25高一下·江西·期末）已知正方形的边长为2，将沿对角线折起，使平面平面得到如图所示的三棱锥，若为的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且，则当三棱锥体积的最大值时，_____. 35．（24-25高一下·江西·期末）在直角三角形中，，为斜边上的动点，沿向上翻折得到三棱锥，使得平面平面，则该三棱锥体积的最大值为__________． 考点08 空间角及应用 36．（24-25高一下·江西南昌·期末）（多选）如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 37．（24-25高一下·江西宜春·期末）在直四棱柱中，底面是矩形，，E，F，G分别是棱，，的中点，则直线与所成的角的大小为（   ） A． B． C． D． 38．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知平面与平面间的距离为3，A是平面内的定点，B，C是平面内的动点，且满足，，则的取值范围是__________. 39．（24-25高一下·江西上饶·期末）如图，和是异面直线，，，分别为线段，上的点，且，，则与所成角的余弦值为______. 考点09 直线、平面综合题 40．（24-25高一下·江西·期末）如图，正方体的棱长为1，过点作平面的垂线，垂足为点，下列结论错误的是（    ） A．平面平面 B．平面 C．点是的垂心 D．三棱锥的体积为 41．（24-25高一下·江西·月考）已知三棱锥的棱长均为2，点P在内，且，则点P的轨迹的长度（    ） A． B． C． D．π 42．（24-25高一下·江西·月考）（多选）如图，AB是圆锥SO的底面圆O的直径，点C是底面圆O上异于A，B的动点，已知圆锥的底面积为π，侧面积为3π，则下列说法正确的是（    ） A．圆锥SO的体积为 B．三棱锥的体积的最大值为 C．一只蚂蚁沿圆锥SO的侧面从A点爬到B点处的最短路径的长度为3 D．若二面角的大小为，二面角的大小为，则 43．（2025·江西·三模）（多选）如图所示，在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，为的中点，、分别是线段、上的动点（含端点），则下列说法正确的是（   ） A．存在、使平面 B．存在、使平面 C．的最小值为 D．的最小值为 44．（24-25高一下·江西宜春·期末）（多选）如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，是线段上的一动点，则下列说法正确的是（   ）    A． B．过点、、的平面截该正方体所得的截面面积为 C．点到平面的距离为定值 D．当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时， 45．（24-25高一下·江西九江·期末）（多选）如图，已知正方体中，为线段上的动点，为线段的中点，则下列四个结论正确的是（   ） A．对任意点，平面 B．三棱锥的体积为定值 C．直线与所成的角不可能等于 D．存在点，使平面 46．（24-25高一下·江西抚州·期末）（多选）如图，在正三棱柱中，、分别是棱，的中点，连接，，，是线段的中点，是线段上靠近点的四等分点，则下列说法正确的是（   ） A．平面平面 B．直线与平面所成的角为 C．三棱锥的体积与正三棱柱的体积之比为 D．若，则过，，三点作平面，截正三棱柱所得截面图形的面积为 47．（24-25高一下·江西·期末）（多选）如图，在正四棱锥（底面为正方形，在底面的投影是正方形的中心）中，下列说法正确的是（    ） A． B．与所成角等于与所成角 C．若平面平面，则 D．点在平面的射影一定在内部 48．（24-25高一下·江西赣州·期末）（多选）已知正方体的棱长为定值，E，F分别为棱，的中点，H是线段上的动点，则下列结论正确的有（    ） A．平面 B．四面体的体积为定值 C．平面 D．直线，，三线共点 49．（24-25高一下·江西·期末）（多选）如图，在正方体中，，，为棱的中点，以下结论正确的是（   ） A．当时，面积的最小值为 B．当时，直线与平面所成的角为 C．二面角的平面角的正弦值为 D．三棱锥外接球的表面积为 50．（24-25高一下·江西·期末）（多选）如图，在正方体中，，，为棱的中点，以下结论正确的是（   ） A．当时，面积的最小值为 B．当时，直线与平面所成的角为 C．二面角的平面角的正弦值为 D．三棱锥外接球的表面积为 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 立体几何小题综合 高频考点概览 考点01空间几何体的结构（易错） 考点02 空间几何体的直观图（重点） 考点03 空间几何体的表面积与体积（易错） 考点04 多面体与球体内切外接问题（重难） 考点05 空间点、直线、平面之间的位置关系（重点） 考点06 直线、平面平行的判定与性质（重难） 考点07 直线、平面垂直的判定与性质（重难） 考点08 空间角及应用(重难) 考点09 直线、平面综合题(重难) 考点01 空间几何体的结构 1．（24-25高一下·江西景德镇·期末）给出下列四个命题：①正三棱锥所有的棱长相等；②底面是正多边形的棱柱是正棱柱；③底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥；④以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台，其中真命题的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】根据正三棱锥的性质，底面为等边三角形，侧棱长相等， 且顶点在底面的投影为底面正三角形的中心， 侧棱长和底面棱长不一定相等，故①错误、③错误； 底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故②错误； 根据旋转体的定义可知，以直角梯形中垂直两底的腰为轴旋转所得的旋转体为圆台， 另一个腰为轴旋转所得旋转体不是圆台，故④错误. 故真命题的个数为. 故选：A. 考点02 空间几何体的直观图 2．（24-25高一下·江西·期末）如图，是水平放置的直观图，，，则的周长为（    ） A． B．15 C．12 D．10 【答案】C 【详解】根据题意，轴，轴， 故在平面图直角坐标系中，有， 于是，，，， 所以的周长为. 故选：C. 3．（24-25高一下·江西抚州·期末）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．四边形的周长为5 D．四边形的面积为3 【答案】D 【详解】 由斜二测画法可知，原图形中在轴上，在直观图中在轴上， 并且在直观图中的长度为原来的一半，所以在原图中在轴上 且，故A错误； 由斜二测画法可知，原图形中在轴上或者平行于轴的， 在直观图中在轴上或者平行于轴，并且在直观图中的长度不变， 所以在轴上，轴，且，， 所以四边形为直角梯形. 在四边形中，过作，垂足为， 则由勾股定理可知，故B错误； 四边形的周长为， 故C错误； 因为四边形为直角梯形， 所以四边形的面积为，故D正确. 故选：D 4．（24-25高一下·江西·期末）如图，在等腰梯形ABCD中，，E是边AB上的一点，且．以A为坐标原点，AB为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系.用斜二测画法画出梯形ABCD的直观图，且E在直观图对应的点为，则下列说法中错误的是（ ） A． B．轴 C． D． 【答案】D 【详解】对于A，在斜二测画法中，与轴重合或平行的线段长度不变，则，A正确； 对于BC，与轴平行的线段依然与轴平行，长度为原来的，BC正确； 对于D，在等腰梯形中，，又轴，则位于右上方， 又，因此，D错误． 故选：D 5．（24-25高一下·江西宜春·期末）如图，是由斜二测画法得到的水平放置的的直观图，其中，那么原平面图形中，OA边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，易知， 过作轴的平行线交轴于点，则， 由正弦定理可知，则， 由斜二测画法知原平面图形中，边上的高为. 故选：C. 6．（24-25高一下·江西吉安·期末）（多选）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 【答案】BCD 【详解】对于AB：还原平面图如下图，    则，，，故A错误，B正确； 对于C：过作交于点，则， 由勾股定理得，， 故四边形的周长为：，即C正确； 对于D：四边形的面积为：，即D正确. 故选：BCD． 7．（24-25高一下·江西南昌·期末）如图是斜二测画法下水平放置的平面图形的直观图，若是边长为2的正方形，则平面图形的周长为______． 【答案】 【详解】将直观图还原为原来的图形，则四边形如下图： 所以，，则， 所以平面图形的周长为， 故答案为： 考点03 空间几何体的表面积与体积 8．（24-25高一下·江西吉安·期末）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，S是圆锥顶点，，是底面圆周上两点，且，若的面积为，则该圆锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图： 设圆锥底面为，母线长为，由，得． 因为的面积为，所以．解得， 又轴截面是等腰直角三角形，故． 所以圆锥的表面积为. 故选：D 9．（24-25高一下·江西抚州·期末）已知圆锥的顶点为S，母线，所成角的余弦值为，且该圆锥的母线是底面半径的倍，若的面积为，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】母线，所成角的正弦值为， 设圆锥的母线长为，则，解得， 故底面半径为， 故该圆锥的侧面积为. 故选：C 10．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（   ） A．56 B． C． D． 【答案】B 【详解】设正四棱台的上、下底面中心分别为，则即为正四棱台的高，如图所示： 取过正四棱台的轴和侧棱的截面，易知， 所以可得截面是上底为4，下底为8，腰长为的等腰梯形， 则， 所以正四棱台的体积为. 故选：B 11．（24-25高一下·江西·期末）如图，在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心.若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为_____.    【答案】 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 则由题意可得， 所以该圆锥的侧面展开图面积为. 故答案为： 12．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和3，高为，则该正四棱台的体积为______． 【答案】/ 【详解】由题意可得该正四棱台的体积为． 故答案为：． 13．（24-25高一下·江西九江·期末）已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥的体积是______. 【答案】/ 【详解】解：设圆锥底面圆半径为，母线长为，高为， 由题意，根据侧面积公式和圆心角公式得，解得，， ， 因此该圆锥的体积是. 故答案为：. 14．（24-25高一下·江西吉安·期末）“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．某些阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到．如图，正四面体的棱长为6，取各条棱的三等分点，从各棱的三等分点处截去四个角后可得到一个阿基米德多面体，则该多面体的表面积为_________．      【答案】 【详解】正四面体的棱长为6，从各棱的三等分点处截得多面体， 则该多面体的棱长为2，且表面由四个正三角形和四个正六边形组成， 故该多面体的表面积为， 故答案为：． 15．（24-25高一下·江西南昌·期末）一个圆柱形容器内放一个实心圆锥（同底等高），得到如图所示的容器，其体积为．现从上往下向容器内注水，当水位恰好在圆柱母线中点处时，记所注水的体积为，则________． 【答案】 【详解】设圆柱底面半径为，当水位恰好在圆柱母线中点处时水面截圆锥的半径为， 记所注水的体积为是圆柱体积的一半减去圆台体积，则 所示的容器体积为是圆柱体积减去圆锥体积，则 则． 故答案为：. 考点04 多面体与球体内切外接问题 16．（24-25高一下·江西九江·期末）如图，在正三棱锥中，分别为棱的中点，且.若，则正三棱锥的外接球的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分别为棱的中点，则，所以. ，， 而正三棱锥中，对棱互相垂直，即， 又，平面，平面， ，. 设，则，所以， 在三角形中，，解得， 所以，即有， 过的三条侧棱两两互相垂直， 因此可将正三棱锥补成正方体，正三棱锥的外接球即是正方体的外接球， 由，正三棱锥的外接球， 故选：C. 17．（24-25高一下·江西萍乡·期末）在三棱锥中，平面，且，，，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如下图所示，圆柱的底面圆直径为，圆柱的母线长为， 则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等， 所以，圆柱的外接球直径为. 本题中，作出的外接圆，由于平面，可将三棱锥放在圆柱中， 在中，，，， 由余弦定理可得， 由正弦定理可知，的外接圆直径为， 则三棱锥的外接球直径为，则， 因此，三棱锥的外接球的体积为. 故选：B. 18．（24-25高一下·江西抚州·期末）如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为________． 【答案】 【详解】已知，，则上底面积，下底面积，体积， 由棱台体积公式得， 设外接球球心到下底面中心的距离为，则到上底面中心的距离为， 由正四棱台的上下底面都是正方形可得，， 设外接球半径为，则. 展开并化简：（负值舍去）， 则， 最终外接球表面积：， 故答案为： 19.（2025·江西新余·模拟预测）已知圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线与高的夹角为，则此圆台的高为______，圆台的外接球的体积为______. 【答案】 1 / 【详解】设此圆台上底面圆心为，下底面圆心为，其外接球的球心为，半径为，作圆台轴截面如图所示： 则，设圆台的高为， 根据轴截面及母线与高的夹角为，可知， 所以，所以. 设（若球心在圆台内，则求得）， 则，解得， 所以圆台的外接球的体积为. 故答案为：1； 考点05 空间点、直线、平面之间的位置关系 20．（24-25高一下·江西新余·期末）已知是三条不重合的直线，是两个不重合的平面，直线，则（    ） A．， B．， C．， D． 【答案】A 【详解】由，，是三条不重合的直线，，是两个不重合的平面，直线，知： A：，，由平行公理得A正确； B:，与相交、平行或异面，故B错误； C:，或，故C错误； D:或，故D错误． 故选：A. 21．（24-25高一下·江西吉安·期末）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】对于A，若，，则，可以平行、相交或异面，故A错误； 对于B，如图，满足，，，但是，故B错误； 对于C，若，，则与相交，或，或，故C错误； 对于D，若，，则，故D正确． 故选：D． 22．（24-25高一下·江西·期末）设，为两条直线，，为两个平面，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 【答案】D 【详解】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，若，，则或或直线a与面相交，故B错误； 对于C，若，，则或，故C错误； 对于D，若，，，，则由面面垂直性质定理可得，故D正确. 故选:D 23．（24-25高一下·江西萍乡·期末）（多选）已知空间中不同的平面、，不同的直线、、，下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，且、为异面直线，，，则 【答案】AD 【详解】对于A选项，过直线作平面，使得，如下图所示： 因为，，，由线面平行的性质可得， 因为，，，所以，故，A对； 对于B选项，若，，，则或，故、平行、相交或异面，B错； 对于C选项，因为，，则或，C错； 对于D选项，过直线作平面，使得，如下图所示： 因为，，，由线面平行的性质可得， 若，则，这与、异面矛盾，则、不平行， 由于、共面，则、为平面内两条相交直线， 因为，则，又因为，故，D对. 故选：AD. 24．（24-25高一下·江西九江·期末）空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A：若，则可能有，A错误； 对于B：若，则也可能异面或相交，B错误； 对于C：若，则与不一定垂直，且，则与不一定垂直，C错误； 对于D：若，则，又，则，D正确. 故选：D. 25．（24-25高一下·江西·期末）（多选）直线与平面相交于点，点在直线上，，是平面内的任意两点，，，，不重合，且，，三点不共线，下列说法正确的是（   ） A．直线与是异面直线 B．平面内一定存在直线平行于平面 C．平面内一定存在直线垂直于平面 D．若平面垂直于平面和平面，则 【答案】ABD 【详解】因为，，三点不共线，所以和是异面直线，所以A选项正确． 因为平面上存在直线平行于，所以B选项正确． 一条直线若要垂直于，则必须垂直其在平面上的射影， 因为的射影和不一定重合，所以平面上的直线不一定同时垂直于的射影和，所以C选项错误． 因为垂直于同一平面的两平面的交线一定垂直于该平面，所以D选项正确． 故选：ABD. 考点06 直线、平面平行的判定与性质 26．（24-25高一下·江西·期末）（多选）下列命题为真命题的有（   ） A．球体是旋转体的一种，且球面上的点到球心的距离都相等 B．现有两条平行直线，其中一条直线与一个平面相交，那么另一条直线可能与这个平面不相交 C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线相交 D．若直线m上的三个点在平面内，则 【答案】AD 【详解】A选项，球体是旋转体的一种，由球的定义可知球而上的点到球心的距离都相等，故A正确； B选项，如图，，，则直线可确定平面，且， 则，由于，所以也与直线相交，设交点为，则， 所以，故B错误； C选项，若一条直线平行于两个相交平面，由线面平行的性质定理可知这条直线与这两个平面的交线平行，故C错误； D选项，根据平面的性质可知，如果一条直线上有两个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内，即，故D正确． 故选：AD． 27．（2019高一上·全国·专题练习）已知P为△所在平面外一点，平面平面，且交线段于点，若，则:（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵平面平面，平面平面，平面平面， ，同理可得， ， ∴，又， ∴，则. 28．（24-25高一下·江西南昌·期末）（多选）如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足直线平面的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】AD 【详解】选项A，如题所示连接交与，则为中点，    又因为是中点，所以， 因为平面，平面，所以平面，A满足题意； 选项B，将直线平移使得点与点重合，则显然可知与平面不平行，B不满足题意； 选项C， 连接，由条件和正方体的性质可知，，    所以五点共面，即在平面内，所以与平面不平行，C不满足题意； 选项D，取的中点为，连接，    因为是棱上中点，所以，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面，所以平面，D满足题意； 故选：AD 29．（24-25高一下·江西上饶·期末）已知棱长为4的正方体，点是棱的中点，点是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，且平面，则的长度最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取上靠近点的四等分点，连接、， 由是棱的中点，点是棱的中点，易得，则平面， 取、中点、，取上靠近点的四等分点，连接、、、， 由正方体的性质易得，，则， 又平面，平面，所以平面， 同理，平面， 又，，平面，故平面平面， 又平面，平面，故，即点的轨迹为线段， 设点到的距离为，有， 故，故的长度最小值为. 故选：D. 30．（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为在棱长为的正方体中，由、分别为、的中点， 得，且，由且，得四边形为平行四边形， 即，设平面交棱于点，由平面平面， 且平面平面，平面平面，得， 由为的中点，得为的中点，设直线分别交、的延长线于点P、Q，如图： 连接交棱于点，连接交棱于点，连接、，则截面为六边形. 由，E为的中点，得，又，则为的中点， 同理为的中点，六边形是边长为1的正六边形， 所以截面面积为 故选：A 考点07 直线、平面垂直的判定与性质 31．（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，已知是正三角形，和都垂直于平面，且，分别是和的中点，则下列结论错误的是（   ） A．平面 B．平面 C． D．平面平面 【答案】D 【详解】连接，， 因为分别是和的中点，所以且， 又因为垂直于平面，所以平面，B正确； 因为平面，所以， 又因为是正三角形，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以，C正确； 因为，垂直于平面，所以且， 所以四边形是平行四边形，， 又因为平面，平面，所以平面，A正确； 由和为中点可知， 假设平面平面， 又平面，平面平面，则平面， 因为平面，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，与是正三角形矛盾， 所以平面与平面不垂直，D错误； 故选：D. 32．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知直三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，是侧棱的中点，则下列直线中与垂直的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为三棱柱是直三棱柱，且底面是以为斜边的等腰直角三角形， 所以两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示坐标系，    由题意可得，，，，， 所以，，，，， 所以，， ，， 所以， 故选：B 33．（24-25高一下·江西南昌·期末）（多选）已知P是棱长为6的正方体表面上一个动点，Q为棱的中点，则下列说法中正确的是（    ）    A．过点A，B，Q的截面是一个直角梯形 B．若P在上，则 C．若P在上，则存在某个P点，使得 D．若三棱锥的体积为18，则P点轨迹的长度为 【答案】BCD 【详解】    对于A，取中点，连接， 因为Q为棱的中点，由正方体的性质可得且， 所以四边形为平行四边形，即过点A，B，Q的截面是一个平行四边形，故A错误；    对于B，连接，由正方形对角线的性质可得， 又侧面，面，所以， 即平面，所以平面， 因为平面，所以 ， 连接，同理可证明， 所以平面，所以平面， 即P在上，则，故B正确； 对于C，当点与点重合时，由正方体的性质可得侧面， 又面，所以，故C正确； 对于D，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，， 设到面的距离为，由棱锥的体积公式可得， 即到面的距离为， 设到平面的距离为， 则由等体积法可得，即， 所以P点轨迹为与平面平行的两个正三角形，其中一个为过中点的正三角形， 又正方体的体对角线长为，由空间对称性可知另一个为中点的正六边形，， 所以轨迹长度为，故D正确. 故选：BCD. 34．（24-25高一下·江西·期末）已知正方形的边长为2，将沿对角线折起，使平面平面得到如图所示的三棱锥，若为的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且，则当三棱锥体积的最大值时，_____. 【答案】 【详解】由题意可得，平面，平面平面，且平面平面， 所以平面，且由题，， 所以三棱锥体积为， 因为，所以当时，三棱锥体积取得最大值为. 故答案为： 35．（24-25高一下·江西·期末）在直角三角形中，，为斜边上的动点，沿向上翻折得到三棱锥，使得平面平面，则该三棱锥体积的最大值为__________． 【答案】/ 【详解】设，，则，过作交于， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，且， 即为三棱锥的高， 在中，由正弦定理得，所以， 所以， 则该三棱锥的体积． 令，因为，， 所以，， 因为，所以， 即， 则该三棱锥的体积， 因为函数单调递增，所以当时，该三棱锥的体积最大，最大值为. 故答案为：. 考点08 空间角及应用 36．（24-25高一下·江西南昌·期末）（多选）如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】取的中点为，连接，，如图：    在中，，且，在中，，且， 因为异面直线与所成角的大小为，所以直线PM，PN的夹角为，则或， 当时，由余弦定理得，，得. 当时，由余弦定理得，，得. 综上所述，或. 故选：CD 37．（24-25高一下·江西宜春·期末）在直四棱柱中，底面是矩形，，E，F，G分别是棱，，的中点，则直线与所成的角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如下图：连接，，， 分别是，的中点， 所以， 又， 四边形为平行四边形， ，所以为直线与所成的角或其补角， 不妨设，则， ， ， 所以，所以， 所以直线与所成的角的大小为． 故选：D． 38．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知平面与平面间的距离为3，A是平面内的定点，B，C是平面内的动点，且满足，，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】 设A在平面内的射影为O，则平面，， 因为，，所以，，，， ， ， 显然， 所以. 故答案为：. 39．（24-25高一下·江西上饶·期末）如图，和是异面直线，，，分别为线段，上的点，且，，则与所成角的余弦值为______. 【答案】/0.625 【详解】在平面中，过作，交于点，连接，如图， ，，又，，则， （或其补角）即为与所成角， 在中，，，， ，与所成角的余弦值为. 故答案为： 考点09 直线、平面综合题 40．（24-25高一下·江西·期末）如图，正方体的棱长为1，过点作平面的垂线，垂足为点，下列结论错误的是（    ） A．平面平面 B．平面 C．点是的垂心 D．三棱锥的体积为 【答案】D 【详解】对于A，由正方体性质可知，且，且， 所以四边形和均为平行四边形，所以，， 因为平面，在平面外， 所以平面，平面， 又平面，，所以平面平面，故A正确； 对于B，由题意平面，又平面平面， 所以平面，故B正确； 对于C，由正方体性质可知， 所以三棱锥是正三棱锥，则由题可知为在面内的投影， 该投影落在面中心，所以点是的垂心，故C正确； 对于D，因为点是的垂心，且为的重心，取中点，连接， 则在上，且，所以点到底面的距离为， 所以三棱锥的体积为，故D错误. 故选：D 41．（24-25高一下·江西·月考）已知三棱锥的棱长均为2，点P在内，且，则点P的轨迹的长度（    ） A． B． C． D．π 【答案】C 【详解】如图1，取CD的中点E，连接BE，过点A作，垂足为H，由， 知，所以，又， 所以，所以点P在以H为圆心，为半径的圆上. 如图2，由，得， 解得（结合图形舍去），所以四边形BGHF是菱形，， 所以点P的轨迹的长度为. 故选：C. 42．（24-25高一下·江西·月考）（多选）如图，AB是圆锥SO的底面圆O的直径，点C是底面圆O上异于A，B的动点，已知圆锥的底面积为π，侧面积为3π，则下列说法正确的是（    ） A．圆锥SO的体积为 B．三棱锥的体积的最大值为 C．一只蚂蚁沿圆锥SO的侧面从A点爬到B点处的最短路径的长度为3 D．若二面角的大小为，二面角的大小为，则 【答案】BC 【详解】设圆锥SO的底面半径为r，母线长为l，高为h，则，解得， 所以，所以圆锥SO的体积为，A错误； 当时，三棱锥的体积最大，为，B正确； 将圆锥的侧面展开，所得扇形的圆心角为， 所以的夹角为，故，由两点间线段距离最短知爬行的最短路径长度为3，C正确； 如图，过点O作垂足分别为E，D， 则.由底面ABC，平面ABC得. 又平面SOE，所以平面SOE. 因为平面SOE，所以，所以即为二面角的平面角，即，同理，则， 所以，D错误. 故选：BC. 43．（2025·江西·三模）（多选）如图所示，在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，为的中点，、分别是线段、上的动点（含端点），则下列说法正确的是（   ） A．存在、使平面 B．存在、使平面 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于选项A，当点与点重合时，平面， 又平面平面，显然有面，故A正确； 对于选项B，如下图所示： 因为四边形为正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，故平面， 当点与点重合且为的中点时，、平面， 又因为，此时平面，故B正确． 对于选项C，当为的中点时，最小， 如图所示，过点作关于的对称点，过点作于点， 不妨设，则当、、三点共线时，最小， 因为，，， 此时， 因为，则， 所以， 故， 则，故， 所以， 故，故C错误； 对于选项D，连接，取的中点，如图所示： 因为，，，故， 所以， 因为、分别为、的中点，所以， 又因为，所以，故， 连接交于点，因为、分别为、的中点，则， 因为四边形为正方形，所以，故， 因为，故为的中点， 因为四边形为正方形，故， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，故平面， 因为平面，故，同理可证， 在矩形中，过点在平面内作，垂足为点， 易知四边形为矩形，且，， 故，所以， 因为、平面，当点为、的交点时，取最小值，故D正确. 故选：ABD. 44．（24-25高一下·江西宜春·期末）（多选）如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，是线段上的一动点，则下列说法正确的是（   ）    A． B．过点、、的平面截该正方体所得的截面面积为 C．点到平面的距离为定值 D．当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时， 【答案】AC 【详解】对于A选项，连接、、，    因为平面，平面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，、平面，所以平面， 又平面，所以，A正确； 取的中点，连接、、、，    因为、分别为、的中点，所以，且， 因为，，故四边形为平行四边形，所以， 所以，所以过点、、的平面截该正方体所得的截面为梯形， 又，，，同理得， 过点、在平面内分别作，，垂足分别为点、， 由等腰梯形的几何性质可知， 又因为，，故，故， 在等腰梯形内，因为，，， 故四边形为矩形，故，所以， 故， 故，故B错误； 对于C选项，连接、、、，    因为、分别为、的中点，所以， 因为，，故四边形为平行四边形，所以， 所以，因为平面，平面，故平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离，为定值，C对； 对于D选项，设点到平面的距离为定值，设直线与平面所成角为， 则，故当取最小值时，即当时，的长取最小值，此时取最大值，    连接、，则，同理可得，， 故当为的中点时，，此时，D错. 故选：AC. 45．（24-25高一下·江西九江·期末）（多选）如图，已知正方体中，为线段上的动点，为线段的中点，则下列四个结论正确的是（   ） A．对任意点，平面 B．三棱锥的体积为定值 C．直线与所成的角不可能等于 D．存在点，使平面 【答案】ABD 【详解】对于A选项，连接、、、，如下图所示： 在正方体中，，， 故四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 因为，、平面，故平面平面， 因为平面，因此平面，A对； 对于B选项，因为平面平面，平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离为定值， 而为定值，故为定值，B对； 对于C选项，因为，，故四边形为平行四边形， 所以，所以与所成的角为或其补角，如下图所示： 易知为正三角形，显然当时，，C错； 对于D选项，连接、、，如下图所示： 因为四边形为正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 当为的中点时，因为为的中点，此时，故平面，D对. 故选：ABD. 46．（24-25高一下·江西抚州·期末）（多选）如图，在正三棱柱中，、分别是棱，的中点，连接，，，是线段的中点，是线段上靠近点的四等分点，则下列说法正确的是（   ） A．平面平面 B．直线与平面所成的角为 C．三棱锥的体积与正三棱柱的体积之比为 D．若，则过，，三点作平面，截正三棱柱所得截面图形的面积为 【答案】ACD 【详解】对于选项A： 取中点，连接. 则在中，，所以. 在中，，所以. 又平面，不在平面内， 所以平面，平面， 又，所以平面平面.所以A正确； 对于选项B： 由A知平面与平面平行，所以直线与平面所成的角也是直线与平面所成的角.因为正三棱柱，所以， 又，所以平面. 所以直线与平面所成的角为，所以B错误； 对于选项C： 因为平面，，所以平面. 因为是的四等分点，是的中点， 所以. 所以三棱锥的体积与正三棱柱的体积之比为： ，所以C正确； 对于选项D： 连接并延长交于点，连接即是平面截正三棱柱的截面图形. 因为正三棱柱，所以. 因为平面，平面，所以. 又平面，所以平面. 又平面，所以. 在中，， 在中，，所以. 所以根据勾股定理. 所以，所以D正确. 故选：ACD. 47．（24-25高一下·江西·期末）（多选）如图，在正四棱锥（底面为正方形，在底面的投影是正方形的中心）中，下列说法正确的是（    ） A． B．与所成角等于与所成角 C．若平面平面，则 D．点在平面的射影一定在内部 【答案】ABC 【详解】:连结，与交于点，则，又知平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，故正确； ：与所成角为，与所成角为， 因为与全等，所以，故正确； ：由于，所以平面，平面，平面平面，所以 ，故正确； ：将将正四棱锥放在一个长方体内，如下图， 过点作直线，且交于点，交于点，连接，； 则平面与平面为同一平面， 作，且交于点，又因为平面，平面， 所以，又因为，平面， 所以平面，所以点就是点在平面上的射影， 又因为点在的外部，故D项错误. 故选：ABC. 48．（24-25高一下·江西赣州·期末）（多选）已知正方体的棱长为定值，E，F分别为棱，的中点，H是线段上的动点，则下列结论正确的有（    ） A．平面 B．四面体的体积为定值 C．平面 D．直线，，三线共点 【答案】BD 【详解】A选项：H是线段上的动点，当点H与重合时， 因为平面，所以与平面不平行，A错误； B选项：因为则 平面，平面，所以平面， H是线段上的动点，所以H到平面的距离为定值， 又，所以四面体的体积为定值，B正确； C选项：当点H与重合时，由平面，平面， 所以，又，平面，平面， 所以平面，平面，则， 若，则平面，而显然与平面不垂直， 所以与不垂直，所以与平面不垂直，C错误； D选项：延长交延长线与点，延长交延长线与点， 因为，且， 所以，同理， 所以重合，所以直线，，三线共点，D正确. 49．（24-25高一下·江西·期末）（多选）如图，在正方体中，，，为棱的中点，以下结论正确的是（   ） A．当时，面积的最小值为 B．当时，直线与平面所成的角为 C．二面角的平面角的正弦值为 D．三棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【难度】0.4 【详解】当时，点在上，∴. 又，，∴， ∴，即，∴， ∴是底边为的等腰三角形，当腰最小时，该三角形的面积最小. ∵，∴当， 即点为线段的中点时，的面积取得最小值，故选项A正确； ∵，， ∴，∴. ∵平面，∴为与平面所成的角. 又平面平面，∴即为与平面所成的角. ∴与平面所成角的正切值， 即直线与平面所成的角为，故选项B错误； 如图所示，过点作，垂足为，连接. ∵平面，平面，∴. 又，∴平面.∵平面，∴， ∴即为二面角的平面角. 易知，∴， ∴，， ∴，故选项C正确； 设为线段的中点，线段，的中点分别为，，连接， 如图所示.∵，∴平面. ∵为直角三角形，∴点为外接圆的圆心. 设三棱锥外接球的球心为，则球心在上，且. 设，，三棱锥外接球的半径为. ∵，∴，解得，∴， ∴三棱锥外接球的表面积为，故选项D正确. 故选：ACD. 50．（24-25高一下·江西·期末）（多选）如图，在正方体中，，，为棱的中点，以下结论正确的是（   ） A．当时，面积的最小值为 B．当时，直线与平面所成的角为 C．二面角的平面角的正弦值为 D．三棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【详解】当时，点在上，∴. 又，，∴， ∴，即，∴， ∴是底边为的等腰三角形，当腰最小时，该三角形的面积最小. ∵，∴当， 即点为线段的中点时，的面积取得最小值，故选项A正确； ∵，， ∴，∴. ∵平面，∴为与平面所成的角. 又平面平面，∴即为与平面所成的角. ∴与平面所成角的正切值， 即直线与平面所成的角为，故选项B错误； 如图所示，过点作，垂足为，连接. ∵平面，平面，∴. 又，∴平面.∵平面，∴， ∴即为二面角的平面角. 易知，∴， ∴，， ∴，故选项C正确； 设为线段的中点，线段，的中点分别为，，连接， 如图所示.∵，∴平面. ∵为直角三角形，∴点为外接圆的圆心. 设三棱锥外接球的球心为，则球心在上，且. 设，，三棱锥外接球的半径为. ∵，∴，解得，∴， ∴三棱锥外接球的表面积为，故选项D正确. 故选：ACD. 学科网（北京）股份有限公司 $