精品解析：北京市陈经纶中学2025-2026学年高一6月月考数学

陈经纶中学高一下6月月诊断 数学 一、单选题（40分） 1. 甲、乙两人射击，甲的命中率为0.6．乙的命中率为0.5，如果甲、乙两人各射击一次，恰有一人命中的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【答案】C 【解析】 【分析】甲乙相互独立，而甲、乙两人中恰好有一人击中目标即为事件：，由相互独立事件的概率乘法公式可求． 【详解】设“甲命中目标”为事件，“乙命中目标”为事件 由题意可得， 且甲乙相互独立 甲、乙两人中恰好有一人击中目标即为事件：， 故选：C 2. 如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形ABCD中，M是AB的中点，得到，从而利用向量基本定理得到. 【详解】平行四边形ABCD中，M是AB的中点，故， 则，所以， . 故选：A 3. 已知两条直线m，n及平面，下列条件中，一定能得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线面之间的位置关系，判断面面平行，逐个选项判断是否正确. 【详解】 如图所示，此时符合，不能推出面面平行，所以A错误； 如图所示，此时符合，不能推出面面平行，所以B错误； 如图所示，此时符合，不能推出面面平行，所以B错误； 根据线面垂直的性质定理可知，垂直于同一条直线的两个平面平行，所以D正确； 故选：D. 4. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面向上”，事件“第二枚正面向上”，则下列说法正确的是（    ） A. 与互斥 B. C. 与对立 D. 与相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】由事件互斥与对立的定义可判断A、C；由古典概型的概率计算可判断B；由事件相互独立的定义可判断D. 【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币的样本空间(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)， 对于A、C：事件可以同时发生，因此事件与不互斥，不对立，故A、C错误； 对于B：，故B错误； 对于D：，故与相互独立，故D正确. 故选：D. 5. 如图，正方体中，E为的中点，则与平面所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先确定直线与平面所成的角，再求余弦值. 【详解】因为平面，所以是直线与平面所成的角， 设正方体的棱长为，则，,所以， 所以，则与平面所成的角的余弦值为. 6. 在中，内角对应的边分别为，若，，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】在中，由正弦定理得,为三角形外接圆半径. 代入，，得. 因此，. 因为，，所以，且. 则 由，得，所以. 故，即的取值范围是. 7. 已知数据、、、、的平均数为，方差为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，方差为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平均数公式可得出、的大小关系，由方差公式可得出、的大小关系. 【详解】由已知可得， ， 加入新数据后，， ， 所以ABC错误，D正确. 故选：D. 8. 如图，正方形的边长为2，分别为边 上的动点，若，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】法一：如图建系，求得各点坐标和所需向量的坐标，设出P、Q点坐标，根据数量积公式，可得m，n的关系，结合基本不等式，整理计算，即可得答案；法二：设，则∠BCP＝，根据三角函数的定义，可得CQ、CP的长，根据数量积公式，结合余弦函数的图象与性质，分析求解，即可得答案. 【详解】法一： 建立以A为坐标原点，为轴，为轴的平面直角坐标系， 则，设， 所以，则， 又， 则有， 令，，则， 左右同时平方得， 则，整理得， 所以，又，所以， 则，即， 解得，或（舍去）， 又，且， 所以，即， 综上所述. 法二：设，则∠BCP＝， ∵正方形ABCD的边长为2，， ∴. ∴， ∵，则， ∴， ∴. 二、填空题 9. 复数的共轭复数＝______ 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以. 10. 已知点，，．若三点共线，则___________；若，则___________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】表示出、后，利用共线定理计算可得空一；利用向量垂直性质计算可得空二. 【详解】、； 若三点共线，则、共线，即有，解得； 若，则，解得. 11. 某校从参加语言测试的学生中随机抽取了100名，记录了他们的分数，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图.若样本中分数低于60分的有15人，则图中数据_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题干先确定分数低于60分的频率，涉及的区间包括两个部分，通过观察直方图列方程组，即可求解. 【详解】样本中分数低于60分的有15人，属于区间，，由于学生中随机抽取了100名， 因此分数在，的频数为，因此这两个区间内的频率和为， 设区间的频率为，则，解得. 故答案为：. 12. 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，M为PC上一点且=，则平面ABM截四棱锥所得的上、下两部分的体积之比为____.  【答案】## 【解析】 【分析】设四棱锥的总体积为，利用同高不同底的棱锥体积比等于对应底边长（底面积）的比，结合已知比例​，分割几何体计算出平面上方（含顶点）部分的体积，即可求得上下两部分的体积之比. 【详解】设四棱锥P-ABCD的体积为V，在PD上取一点N，使，连接MN，AN，BD，BN， 如图.因为，所以且，又，所以， 则，所以A，B，M，N四点共面，即为截面. 又，其中， ，所以， 即截面截四棱锥所得的上半部分的体积为，则下半部分的体积为， 所以平面ABM截四棱锥所得的上、下两部分的体积之比为. 13. 《中国建筑史》（梁思成著）载：“大雄殿之左侧白塔凌空，高十三级，甚峻拔”.该塔位于莲溪县赤城镇白塔街，坐西向东，为四方形楼格式砖石塔，塔身白色，共十三层，自宋代始建以来至今已余年，充分体现了中国传统建筑技术水平.某数学兴趣小组为了测得塔高，如下图，在点测得塔底位于北偏东方向上的点处，塔顶的仰角为，在的正东方向且距点的点测得塔底位于北偏西方向上（，，在同一水平面），则塔的高度约为____________（结果精确到整数，参考数据：） 【答案】36 【解析】 【分析】在中，应用正弦定理求得，根据且计算即可求解CD. 【详解】由题设，在中， ， 由正弦定理得， ， 则m， 在中，由， 则, 所以m. 14. 如图，正方体棱长为2.点E为AD中点，P为正方体侧面内（包含边界）的动点.记E、C、三点所在的平面为.给出下列四个结论： ①直线与平面所成角的正切值为； ②已知平面，若，则； ③若点P满足，则必有的面积为1； ④若点P满足，则必有. 其中所有正确结论的序号为__________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据正方体的性质，找到直线与平面所成角，求得其正切值，判断①；作出平面与平面的交线，求得，判断②；根据条件求得的面积，判断③；结合线面垂直的判定定理，确定点的轨迹，结合面面平行的判定定理和性质，判断与平面的关系，判断④. 【详解】对于①，如图，取的中点，连接. 则，且. 由正方体的性质知，平面，所以平面. 所以为直线与平面所成的角， 所以，所以①正确； 对于②，记，则. 由平面，得即为直线. 若，则，所以②错误； 对于③，取的中点，连接， 则. 又平面，平面，所以平面. 因为，且，所以四边形为平行四边形. 所以. 又平面，平面，所以 平面. 因为平面， 所以平面平面. 若点P满足，则平面，所以点的轨迹为. 因为，所以点到的距离为定值，等于. 所以有的面积为定值，等于. 所以③正确. 对于④，由①知，平面，所以. 由，，得. 因为平面，所以平面. 若点P满足，则平面， 则点的轨迹为. 由③知，平面平面，平面， 故必有.所以④正确. 三、解答题 15. 在中，角所对的边为，已知． （1）求； （2）若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求最长边上高线的长． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：． 【答案】（1） （2） 选条件①时高线长为，选条件②时高线长为，条件③对应的三角形不存在. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化成角，再利用辅助角公式，结合三角形角的范围求出角A即可。 （2）选出其中一个条件，来利用正余弦定理和面积公式分别求出对应结果． 【小问1详解】 ， 根据辅助角公式可得 【小问2详解】 选择条件①，,，由正弦定理，代入得， 由余弦定理，得解得（负值舍掉）， 边最长,设其高线是,所以，代入得，解得． 选择条件②，由面积公式，得， 由余弦定理，得,即, 联立得或，两种情况最长边均为,面积均为， 故最长边上的高． 选条件③，由正弦定理得, 不符合三角函数值域，故不存在． 16. 某高校承办了2025怒江傈僳“阔时”文化节志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的众数和分位数（分位数精确到0.1）； （3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率. 【答案】（1）， （2）众数为70；分位数为71.7 （3） 【解析】 【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，根据所有频率之和为1可得； （2）根据频率分布直方图中百分位数和中位数的计算求解即可； （3）先由分层抽样得出第四、第五两组志愿者抽取的人数，再利用古典概型的概率公式求解． 【小问1详解】 因为第三、四、五组的频率之和为0.7， 所以，解得， 所以前两组的频率之和为，即，所以. 【小问2详解】 根据频率直方图可知，众数为； 前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75， 所以分位数在第三组，且为． 【小问3详解】 第四、第五两组志愿者分别有20人，5人， 故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，第五组志愿者人数为1，设为， 这5人中选出2人，所有情况有 ，共有10种情况， 其中选出的两人来自不同组的有，共4种情况， 故选出的两人来自不同组的概率为． 17. 如图，四棱锥的底面是矩形，平面，M为棱BC的中点，且，，直线PM与平面所成的角为. （1）证明：. （2）在棱上是否存在一点E，使得直线平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. （3）求直线PB与平面所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）由平面，利用线面垂直的性质定理得，再由线面垂直的判定定理得平面，又由线面垂直的性质定理得证； （2）存在点为中点时，平面，取的中点为，连接，即证，利用线面平行的判定定理即可求解； （3）连接，可得，根据已知条件求出，设点到平面的距离为，利用求出，进而可求出答案. 【小问1详解】 由平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面， 所以； 【小问2详解】 存在点为中点时，平面，即， 证明如下： 取的中点，连接，取的中点为，连接， 所以，又点为中点，所以， 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； 【小问3详解】 连接，由平面，所以为直线PM与平面所成的角， 所以， 在中，， 所以，① 因为，所以，所以②， 由①②得， 所以， 设点到平面的距离为， 在中，， 所以， 因为，所以， 所以， ， 因为，所以，得， 设直线PB与平面PAM所成角为，则， 因为，所以， 所以， 所以直线PB与平面所成角的正切值为. 18. 已知集合，表示有限集的元素个数.对于，，若集合的一组子集，，，满足： ①； ②，； ③，； 则称集合组，，，具有性质. （1）判断下列两个集合组是否具有性质，请直接写出你的结论. 集合组，，，； 集合组，，，. （2）若集合组，，，具有性质. （i）求证：. （ii）求的最小值. 【答案】（1）集合组1具有性质,集合组2不具有性质. （2）（i）证明见解析;（ii） 【解析】 【分析】（1）直接验证两个集合组是否满足条件：计算每个子集的元素个数和是否为12，检查任意两个子集的交集中元素个数是否不超过2，任意三个子集的交集中元素个数是否不超过1； （2）统计每个元素在子集中出现的次数，利用任意两个子集交不超过2以及任意三个子集交不超过1，得到关于次数的两个不等式，结合总次数为24，通过分析可知当子集个数小于或等于6时不等式无法成立，因此至少需要7个子集，再构造一组7个子集的例子验证条件全部满足. 【小问1详解】 因为， ，， 所以集合组1具有性质； 因为，所以集合组2不具有性质. 【小问2详解】 （i）若，，由抽屉原理，至少有一个集合中含有5个元素， 不妨设，由于，，， 故，. 因此，，矛盾. 故. （ii）当时，设，，，中的元素个数分别为，，，， 则，，，的所有三元子集共有个. （若存在则） 由 ， 知，，，无相同的三元子集. 由共有个不同的三元子集，知. 若存在，，则 ，对任意 ， 由  得 ，于是，矛盾，故所有 . 若，，，均小于等于5，且其中至少有两个为5， 则对应的两个集合有四个相同元素，矛盾. 若，，，均小于等于5，且其中恰有一个为5， 则，，，中1个为5，4个为4，1个为3，，矛盾. 若，，，均小于等于4，则，，，均为4，，矛盾. 综上，又，故. 当时，令，，，， ，，即可. 综上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陈经纶中学高一下6月月诊断 数学 一、单选题（40分） 1. 甲、乙两人射击，甲的命中率为0.6．乙的命中率为0.5，如果甲、乙两人各射击一次，恰有一人命中的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 2. 如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知两条直线m，n及平面，下列条件中，一定能得到的是（ ） A. B. C. D. 4. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面向上”，事件“第二枚正面向上”，则下列说法正确的是（    ） A. 与互斥 B. C. 与对立 D. 与相互独立 5. 如图，正方体中，E为的中点，则与平面所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角对应的边分别为，若，，则的取值范围是（） A. B. C. D. 7. 已知数据、、、、的平均数为，方差为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，方差为，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的边长为2，分别为边 上的动点，若，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、填空题 9. 复数的共轭复数＝______ 10. 已知点，，．若三点共线，则___________；若，则___________． 11. 某校从参加语言测试的学生中随机抽取了100名，记录了他们的分数，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图.若样本中分数低于60分的有15人，则图中数据_____. 12. 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，M为PC上一点且=，则平面ABM截四棱锥所得的上、下两部分的体积之比为____.  13. 《中国建筑史》（梁思成著）载：“大雄殿之左侧白塔凌空，高十三级，甚峻拔”.该塔位于莲溪县赤城镇白塔街，坐西向东，为四方形楼格式砖石塔，塔身白色，共十三层，自宋代始建以来至今已余年，充分体现了中国传统建筑技术水平.某数学兴趣小组为了测得塔高，如下图，在点测得塔底位于北偏东方向上的点处，塔顶的仰角为，在的正东方向且距点的点测得塔底位于北偏西方向上（，，在同一水平面），则塔的高度约为____________（结果精确到整数，参考数据：） 14. 如图，正方体棱长为2.点E为AD中点，P为正方体侧面内（包含边界）的动点.记E、C、三点所在的平面为.给出下列四个结论： ①直线与平面所成角的正切值为； ②已知平面，若，则； ③若点P满足，则必有的面积为1； ④若点P满足，则必有. 其中所有正确结论的序号为__________. 三、解答题 15. 在中，角所对的边为，已知． （1）求； （2）若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求最长边上高线的长． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：． 16. 某高校承办了2025怒江傈僳“阔时”文化节志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的众数和分位数（分位数精确到0.1）； （3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率. 17. 如图，四棱锥的底面是矩形，平面，M为棱BC的中点，且，，直线PM与平面所成的角为. （1）证明：. （2）在棱上是否存在一点E，使得直线平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. （3）求直线PB与平面所成角的正切值. 18. 已知集合，表示有限集的元素个数.对于，，若集合的一组子集，，，满足： ①； ②，； ③，； 则称集合组，，，具有性质. （1）判断下列两个集合组是否具有性质，请直接写出你的结论. 集合组，，，； 集合组，，，. （2）若集合组，，，具有性质. （i）求证：. （ii）求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $