精品解析：北京市第二中学2023-2024学年高一下学期第四学段考试数学试题

北京二中2023—2024学年度第四学段高一年级学段数学试卷 一、选择题 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示即可求解． 【详解】由，则，得. 故选：B． 2. 在中，，则是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，结合模的定义及等边三角形的定义即可判断. 【详解】，，则， 是等边三角形. 故选：A 3. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象 A. 向右平移个单位 B. 向右平移单位 C. 向左平移单位 D. 向左平移个单位 【答案】C 【解析】 【分析】 将函数转化为，然后根据三角函数图象变换的知识判断出正确选项. 【详解】函数， 所以将函数的图象向左平移单位，即可得到的图象， 即得到函数的图象. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，考查辅助角公式，属于基础题. 4. 在中，三边长分为5，7，8，则最大角和最小角之和是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设为的最小角，为的最大角，利用余弦定理求得的大小，即可求解. 【详解】设为的最小角，为的最大角， 由余弦定理，可得， 因为，所以， 所以，即最大角和最小角之和是. 故选：B. 5. 已知向量，，向量在方向上投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出向量在方向上的投影数量以及与方向相同的单位向量，即可求出向量在方向上的投影向量. 【详解】向量在方向上的投影数量为， 与方向相同的单位向量为， 所以向量在方向上的投影向量为． 故选：D． 6. 已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断. 【详解】若，则存在唯一的实数，使得， 故， 而， 存使得成立， 所以“”是“存在，使得’的充分条件， 若且，则与方向相同， 故此时，所以“”是“存在存在，使得”的必要条件， 故“”是“存在，使得”的充分必要条件. 故选：C. 7. 如图，正方形的边长为2，为正方形四条边上的一个动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，分点P在CD上，点P在BC上，点P在AB上，点P在AD上，利用数量积坐标运算求解. 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系： 则， 当点P在CD上时，设， 则， 所以； 当点P在BC上时，设， 则， 所以； 当点P在AB上时，设， 则， 所以； 当点P在AD上时，设， 则， 所以； 综上：的取值范围是. 故选：D 8. 如图，在中，，，和相交于点，则向量等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点分别作交于点，作交于点，由平行线得出三角形相似，得出线段成比例，结合，，证出和，最后由平面向量基本定理和向量的加法法则，即可得和表示. 【详解】解：过点分别作交于点，作交于点， 已知，， ，则和， 则：且， 即：且，所以， 则：，所以， 解得：， 同理，和， 则：且， 即：且，所以， 则：，即， 所以，即， 得：， 解得：， 四边形是平行四边形， 由向量加法法则，得， 所以. 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的加法法则和平面向量的基本定理，考查运算能力. 9. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用正弦定理和余弦定理的应用求出的值，再由正弦定理可得，，结合三角函数关系式的恒等变换把变形成正弦型函数，进一步利用性质和角的范围即可求出结果. 【详解】锐角中，内角，，的对边分别为，，， 由正弦定理可得，所以，整理得， 所以，由于，所以， 又，利用正弦定理：得：，， 又为锐角三角形，故， 所以 ， 由于，故， 所以. 故选：D 10. 对任意两个非零的平面向量，定义，若平面向量满足，的夹角，且和都在集合中，则=（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可可设，，，，得，对，进行赋值即可得出，的值，进而得出结论． 【详解】解：，故． 又由，可设，， 令，，且 又夹角，所以， 对，进行赋值即可得出 所以． 故选：C． 二、填空题 11. 已知向量与的夹角为60°，||=2，||=1，则| +2 |= ______ . 【答案】 【解析】 【详解】∵平面向量与的夹角为， ∴. ∴ 故答案为. 点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式． (2) 常用来求向量的模． 12. 若向量与的夹角为钝角，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量夹角为钝角，得到不等式，得到答案. 【详解】向量与的夹角为钝角， 所以，且， 解得， 故答案为：． 13. 若△ABC中，，则△ABC的周长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】利用正弦定理求得，进而求得，从而求得三角形的周长. 【详解】由正弦定理得， 是三角形内角，则或， 当时，，则， 三角形的周长为. 当时，，则, 三角形的周长为. 因此周长为或. 故答案为：或 14. 折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面能折叠的扇子，如图其展开几何图是如图的扇形，其中，，4，点在上包含端点，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用转化法，结合向量数量积运算、三角函数值域等知识求得正确答案． 【详解】设是的中点，连接， 由于，所以三角形和三角形是等边三角形， 则四边形是菱形，则， ， 由于，所以， 所以， 所以的取值范围是, 故答案为： 15. 在三角形中，点是三角形所在平面内一点，的三个内角的对边分别是，则下列给出的命题： ①若，则点是三角形的垂心； ②若向量，则点的轨迹通过的重心； ③若，则点是三角形的内心； ④若，则点是三角形的内心． 其中正确的命题是：___________填写正确结论的编号 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据向量运算，以及三角形垂心、重心、内心、外心等知识对个命题进行分析，从而确定正确答案. 【详解】①由得，，即， 同理可得，，则点是的垂心，①正确； ②在中，以、为邻边作平行四边形，则， 从而，进而一定在的边的中线上， 由此得到点的轨迹一定过的重心，②正确； ③时， 向量分别表示在边和上取单位向量和， 它们的差是向量，当，即， 而三角形是等腰三角形， 所以点在的平分线上，同理可得点在的平分线上， 故为的内心，③正确； ④时， 是以、为平行四边形的一条对角线， 而是该平行四边形的另一条对角线，时， 表示这个平行四边形是菱形，即，同理得， 故为的外心，④错误． 故答案为：①②③ 16. 已知单位向量，与非零向量满足，，则的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设，，，由得出的范围，由得出关系，则，根据得出的关系以及取等的条件可得出答案. 【详解】设，， 所以 由，可得，即 由，可得 所以 又，所以 则 当时，等号成立. 此时，或 即，或（这与矛盾，故舍去）， 由，则，即 所以，解得 此时 所以 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题考查根据模的范围求夹角的范围和求向量数量积的最大值，解答本题的关键是由条件得出的范围，由得出关系，再将关系代入中，根据取等条件得出答案，属于中档题. 三、解答题 17. 已知平面向量 （1）若，求x的值： （2）若，求 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）直接利用向量垂直的坐标表示列方程求解； （2）先通过向量平行的坐标公式求出，再通过向量的坐标运算求模. 【小问1详解】 ， ， 解得或； 【小问2详解】 ， ，即解得或， 当时，，，； 当时，，，， 或. 18. 在中， （1）求的值； （2）若，，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可求得的值； （2）利用二倍角的正弦公式求出的值，然后利用正弦定理可求得的值. 【详解】（1）因为在中，，所以，； （2）由（1）知，，所以 因为，所以 又因为，由正弦定理，可得 19. 已知函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在. 条件①：； 条件②：函数在区间上是增函数； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最大值和最小值并求相应的x的值； （3）将的图像向右平移个单位长度，再保持纵坐标不变，将横坐标缩短为原来的倍，得到的图像，求函数的解析式，并确定当时，的单调区间． 【答案】（1）选①③；选②解析式不存在 （2）当时，有最大值；当时，有最小值 （3），和单调增，单调减 【解析】 【分析】（1）根据题意先把函数进行化简，然后根据所选的条件，去利用三角函数辅助角公式，三角函数单调递增区间而分别计算并判断是否使函数存在，从而求解； （2）根据得到函数的解析式，然后求出在区间上的最大值和最小值及相应的x值； （3）根据平移变换得到g的解析式，然后求出单调区间，再确定在区间上的单调性即可． 【小问1详解】 由题意得： . 当选条件： ， 又因为，所以，所以， 所以时，即得：，即，所以. 当选条件： 从而得：当时，单调递增， 化简得：当时，单调递增， 又因为函数在区间上是增函数，所以得， 解之得：， 且，故若选条件，不存在，解析式不存在. 当选条件：由，， 得当时，， 又因为，所以得，得，所以. 【小问2详解】 由知：，则得：， 又因为，所以， 所以当时，有最大值； 所以当时，有最小值； 即在区间上的最大值是，最小值是． 【小问3详解】 根据（1）的解析式和平移变换法则得， 令得， 令得， ∴时单调递增，时单调递减． 又，和单调增，单调减. 20. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数. （1）设函数，试求的伴随向量； （2）记向量的伴随函数为，求当且时，的值； （3）当向量时，伴随函数为，函数，求在区间上最大值与最小值之差的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简的解析式，从而求得伴随向量. （2）先求得，由求得，进而求得，从而求得. （3）先求得，然后根据三角函数的最值求得正确答案. 【小问1详解】 ， 所以. 【小问2详解】 依题意， 由得， ，所以， 所以. 【小问3详解】 的函数解析式， 所以 区间长度为，函数的周期为， 若的对称轴在区间内， 不妨设对称轴在内，最大值为1， 当即时，函数在区间上的最大值与最小值之差取得最小值为； 其它的对称轴在内时最大值与最小值之均大于， 若的对称轴不在区间内，则在区间内单调，在两端点处取得最大值与最小值，则最大值与最小值之差为： ， 故函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为 【点睛】方法点睛：求解新定义函数有关的问题，关键点在于理解新的定义，解题过程中，要将“新”问题，转化为所学的知识来进行求解，体现了化归与转化的数学思想方法. 21. 已知数表中的项互不相同，且满足下列条件： ①； ②. 则称这样的数表具有性质. （1）若数表具有性质，且，写出所有满足条件的数表，并求出的值； （2）对于具有性质的数表，当取最大值时，求证：存在正整数，使得； （3）对于具有性质的数表，当n为偶数时，求的最大值. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意写出满足性质的所有数表，再分别计算即可； （2）根据题意，可知当取最大值时，存在，使得，由数表具有性质可得为奇数，不妨设此时数表为，再利用反证法证明即可； （3）结合性质可得，，两式相加可得得，结合，可得，构造数表，结合性质进而可以求解. 【小问1详解】 满足条件的数表为， 所以的值分别为5，5，6. 【小问2详解】 若当取最大值时，存在，使得. 由数表具有性质可得为奇数， 不妨设此时数表为. ①若存在（为偶数，），使得，交换和的位置，所得到的新数表也具有性质， 调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，所以存在，使得. ②若对任意的（为偶数，），都有，交换和的位置，所得到的新数表也具有性质，此时转化为①的情况. 综上可知，存在正整数，使得. 【小问3详解】 当n为偶数时，令，，对任意具有性质数表， 一方面，， 因此．① 另一方面，， 因此.② 记． 由①+②得. 又，可得. 构造数表 可知数表具有性质，且. 综上可知，当n为偶数时，的最大值为. 【点睛】方法点睛：在证明抽象问题时，常常使用反证法：先设题设不成立，结合条件推出矛盾，即可说明题目成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京二中2023—2024学年度第四学段高一年级学段数学试卷 一、选择题 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 1 2. 在中，，则是（ ） A 等边三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 3. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象 A. 向右平移个单位 B. 向右平移单位 C. 向左平移单位 D. 向左平移个单位 4. 在中，三边长分为5，7，8，则最大角和最小角之和是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 如图，正方形的边长为2，为正方形四条边上的一个动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，和相交于点，则向量等于（ ） A. B. C. D. 9. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 对任意两个非零的平面向量，定义，若平面向量满足，的夹角，且和都在集合中，则=（ ） A. B. 1 C. D. 二、填空题 11. 已知向量与的夹角为60°，||=2，||=1，则| +2 |= ______ . 12. 若向量与的夹角为钝角，则的取值范围为___________． 13. 若△ABC中，，则△ABC的周长为___________． 14. 折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图其展开几何图是如图的扇形，其中，，4，点在上包含端点，则的取值范围是___________． 15. 在三角形中，点是三角形所在平面内一点，的三个内角的对边分别是，则下列给出的命题： ①若，则点是三角形的垂心； ②若向量，则点的轨迹通过的重心； ③若，则点是三角形的内心； ④若，则点是三角形的内心． 其中正确的命题是：___________填写正确结论的编号 16. 已知单位向量，与非零向量满足，，则的最大值是______. 三、解答题 17. 已知平面向量 （1）若，求x的值： （2）若，求 18. 在中， （1）求的值； （2）若，，求的值. 19. 已知函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在. 条件①：； 条件②：函数在区间上增函数； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． （1）求函数解析式； （2）当时，求函数的最大值和最小值并求相应的x的值； （3）将的图像向右平移个单位长度，再保持纵坐标不变，将横坐标缩短为原来的倍，得到的图像，求函数的解析式，并确定当时，的单调区间． 20. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数. （1）设函数，试求的伴随向量； （2）记向量的伴随函数为，求当且时，的值； （3）当向量时，伴随函数为，函数，求在区间上最大值与最小值之差的取值范围. 21. 已知数表中的项互不相同，且满足下列条件： ①； ②. 则称这样数表具有性质. （1）若数表具有性质，且，写出所有满足条件的数表，并求出的值； （2）对于具有性质的数表，当取最大值时，求证：存在正整数，使得； （3）对于具有性质的数表，当n为偶数时，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$