江苏省常州高级中学2025-2026学年高一下学期数学周练习（15）

**基本信息** 该周练习通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，覆盖统计、立体几何、向量等核心知识点，梯度合理，注重数学思维与应用能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|百分位数、线面关系、向量投影|单选1-4、填空12，聚焦单一概念与基本运算，夯实基础| |提升层|空间几何体体积、三角恒等变换、数据统计综合|单选5-8、多选9-11、填空13，融合多个知识点，培养推理能力| |综合层|统计应用、解三角形、立体几何证明与体积|解答题14-16，综合运用知识解决复杂问题，发展数学建模与创新意识|

江苏省常州高级中学高一下学期数学周练习(15) 班级： 姓名： 学号： 一、单选题 1. 数据2,3,3,5,6,7,8,10的第70百分位数为( ) A.3 B.5 C.6 D.7 2. 设m,n 是两条不同的直线，α,β,γ是三个不同的平面，下面正确的是( ) A.若α⊥β,β⊥γ,则α//γ B.若α⊥β,ma,nβ,则m⊥n C.若a//β,γ∩α=m,γ∩β=n,则m//n D.若m//α,nα,则m//n 3. 若向量a=(1,-2),b=(-3,1),则a 在b上的投影向量为( ) A.(-1,2) B. C. D. 4. 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若, 则 △ABC 是( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 5. 木楔在传统木工中运用广泛.如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形ABCD 是边 长为2的正方形，且△ADE,△BCF 均为等边三角形，EF//CD,EF=4,则该木楔的体积 为( ) A. B. C. D.- 6. 用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得5个数据a₁ =4.8, a₂=5,a₃=5.3,a₄=5.3,a₅=5.6,用x表示这个物体的长度，当函数f(x)= 取最小值时，x= ( ) A.4.8 B.5.2 C.5.3 D.5.6 7. 已知正三棱柱 ABC-A₁ B₁C₁,AC=AA₁,E,F分别是棱BC,A₁C₁上的点.记EF与 AA₁所成的角为a,EF与平面ABC所成的角为β,二面角F-BC-A的平面角为γ,则 ( ) A.α≤β≤γ B.β≤α≤γ C.β≤γ≤a D.a≤γ≤β 8. 已知角α,β满足 , 则cos²a+sin²β 的值为( ) A. B. C. D. 二、多选题 9. 若数据, ,…,的平均数为3,方差为4,则下列说法正确的有( ) A. 数据4+1,4+1,…,4+1 的平均数为13 B. 数据3,3,…,3 的方差为12 C. D. 10. 如图，在△ABC中，BC=3,D为BC边上的中点，∠BAD=α,∠CAD=β,且α + , 则( ) A. △ABC 外接圆的半径为2 B. C.AB·AC 的最大值为3 D. AD的最大值为 11. 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，O₁,O₂ 为圆柱上下底 面的圆心，O 为球心，EF 为底面圆O₁ 的一条直径，若球的半径r=2, 则下列各选项正确 的有( ) A. 球与圆柱的体积之比为2:3 B. 四面体CDEF 的体积的取值范围为 C. 平面DEF 截得球的截面面积最小值为 D. 若P 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE+PF 的取值范围为[2+2,4] 三、填空题 12. 在对某中学高三年级学生体重(单位：kg) 的调查中，按男、女生人数比例用分层随机 抽样的方法抽取部分学生进行测量，已知抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别 为54,20,抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45,11,则估计该校高三 年级学生体重的方差为 13. 一个底面半径为4cm, 高为9cm 的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半 径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 cm. 四、解答题 14. 某学校组织高一数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取100人，将其成绩(百 分制)分成[40,50), [50,60), … ,[90,100]六组， 得到频率分布直方图(如下图),请完 成下列问题： (1)求频率分布直方图中a 的值，用样本估计总体，估计参加挑战赛的学生成绩的平均分 (每个区间内的值以该组区间的中点值为代表); (2)求参加挑战赛的学生成绩的90%分位数； (3)已知落在区间[60,70)的样本平均分是63,方差是5;落在区间[70,80)的样本平均分 是78,方差是4,求两组样本成绩合并后的平均分元和方差s² . 15. 已知△ABC内角A,B,C的对边为a,b,c,点M是△ABC的内心，若a=2,bcosA=asinB. (1)求角A; (2)延长AM 交BC 于点D, 若 (3)求AM 的取值范围. 求△ABC 的周长； 16. 如图所示，已知六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD是边长为2的正方形，且AA₁//BB₁//CC₁//DD₁,BC//平面A₁B₁C₁D₁,BC⊥AA₁,直线AA₁与平面A₁B₁C₁D₁所成角为60°. (1)求证：平面A₁B₁C₁D₁⊥平面ABB₁A₁; (2)已知AA₁=3,BB₁=2,求平面ABCD和平面A₁B₁C₁D₁夹角的余弦值； (3)平面ABGD和平面A₁B₁C₁D₁ 的夹角为θ,且 求六面体ABCD- A₁B₁C₁D₁体积最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $