专题03 平行四边形（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材华东师大版

**基本信息** 聚焦平行四边形性质与判定的系统应用，融合三角形中位线，构建从基础求解到综合证明的递进训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质求解|6小题|考查边长、角度、周长等计算|以平行四边形边、角、对角线性质为起点，奠定应用基础| |判定判断|6小题|多选项辨析构成条件|衔接性质，强化对判定定理的理解与区分| |平行四边形证明|6小题|利用对角线、对边关系等证明|性质与判定结合，培养逻辑推理能力| |判定与性质综合求解|6小题|含动态、面积等复杂情境|深化性质与判定的综合应用，提升空间观念| |性质与判定综合证明|6小题|涉及中点、平移等变换|进一步整合知识，强化证明思路构建| |中位线求解|6小题|计算长度、周长等|关联三角形中位线与平行四边形性质，拓展应用维度| |中位线证明|6小题|证明中点连线构成平行四边形|中位线与平行四边形判定融合，完善知识网络|

专题03 平行四边形 题型1 利用平行四边形的性质求解 题型5 利用平行四边形的性质与判定证明 题型2 判断能否构成平行四边形 题型6 与三角形中位线有关的求解问题 题型3 平行四边形的证明 题型7 与三角形中位线有关的证明 题型4利用平行四边形的判定与性质求解 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 利用平行四边形的性质求解（共6小题） 1．如图，平行四边形的对角线相交于点，若，则的周长为（    ） A．24 B．15 C．14 D．12 【答案】B 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分求解即可； 【详解】解：平行四边形的对角线相交于点，且， 则， 故的周长为：． 2．在中，若，则_______． 【答案】45 【分析】利用平行四边形对角相等、邻角互补及内角和为的性质，通过等量代换建立关系求解的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，，且， （平行四边形邻角互补）， ， 又，， ，即， 将代入， 得：， ， ． 3．已知在平行四边形中，，E是上一点，的周长是平行四边形周长的一半，且，连接，则的长为__________． 【答案】6 【分析】根据的周长是平行四边形周长的一半，可得，结合可得是线段的中垂线，推出，最后利用勾股定理即可求解． 本题考查平行四边形的性质，线段的垂直平分线的判定，勾股定理等，解题的关键是证明是线段的中垂线． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴、互相平分， ∴O是的中点． ∴， ∵的周长是平行四边形周长的一半， ∴的周长， ∴， ∵， ∴， ∴是线段的中垂线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 4．如图，四边形是平行四边形，平分，交边于，若，，则的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，熟练掌握相关的性质，是解题的关键．根据平行线的性质得出，，，证明，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．如图，平行四边形的一个外角为，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等，邻角互补． 利用已知可先求出，根据平行四边形的性质知，平行四边形的对角相等来求的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平行四边形的一个外角为， ∴， ∴． 故答案为：． 6．如图，在中，连接，将绕点顺时针旋转一定角度，得到，点分别旋转到了点．已知点在边上，，，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质、旋转的性质、勾股定理的应用：作于点，根据平行四边形性质可得，再根据边之间的关系可得，由旋转可得，则由旋转可得，求出，再根据边之间的关系可得，再根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：作于点，则， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， 由旋转可得， ， ， ， ， 故答案为：． 题型二 判断能否构成平行四边形（共6小题） 7．如图，下列条件中不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】结合已知与平行四边形判定定理依次判断即可． 【详解】解：A、两组对边分别平行，能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； B、两组对边分别相等，能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； C、一组对边平行，另一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，故该选项符合题意； D、一组对边平行且相等，能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意． 8．如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、由，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； B、由，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； C、由，不可以判定四边形是平行四边形，例如等腰梯形也可以满足一组对边平行，另一组对边相等，故此选项符合题意； D、由，可以根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； 9．下列命题中是真命题的是（    ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且有一个角为直角的四边形是矩形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】A 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，利用平行四边形及矩形的判定方法分别判断后，即可确定正确的选项． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意； B、对角线相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、一组对边平行且有一个角为直角的四边形不一定是矩形，例如直角梯形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 10．如图，在四边形中，，添加一个条件，能使四边形成为平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据已知条件以及各个选项中所给的条件，逐项分析即可得出答案． 【详解】A.已知，添加条件，则四边形有可能是等腰梯形，不符合题意； B. 已知可得，故添加条件，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意； C. 已知，添加条件，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意； D. 已知可得,添加条件，则可得，由此可证得，因此可判定四边形为平行四边形，符合题意． 故选D． 11．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，、是对角线上的两点，给出下列四个条件：①；②；③；④．其中能判定四边形是平行四边形的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：①∵平行四边形， ∴，，，，， 若，则， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故①，能判定四边形是平行四边形； ③∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由①知四边形是平行四边形， 故③能判定四边形是平行四边形； ④∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ 由①知四边形是平行四边形， 故④能判定四边形是平行四边形； ②若，在与或在与中，“”不能判定两三角形全等，也就不能得出，故 ②不能证明对角线互相平分，就不能判定四边形是平行四边形． ∴能判定四边形是平行四边形的有①③④，共3个． 故选：D． 12．依据所标数据，一定是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理解答即可． 【详解】解：A选项：∵，∴一组对边平行，而另一组对边相等，不能判定是平行四边形，故A选项不符合题意； B选项：∵，∴一组对边平行且相等，能判定是平行四边形，故B选项符合题意； C选项：∵，，∴一组对边平行，而另一组对边不平行，不能判定是平行四边形，故C选项不符合题意； D选项：一组对边相等，另一组无法判定是否相等，不能判定是平行四边形，故D选项不符合题意； 故选：B． 题型三 平行四边形的证明（共6小题） 13．如图，在平行四边形中，点、分别在对角线上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形是平行四边形 又 即 四边形为平行四边形． 14．如图，在中，延长对角线至点E，延长至点F，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】连接，交于点，证明两条对角线互相平分即可． 【详解】解：连接，交于点， ， ， ， ， ， 故四边形是平行四边形． 15．如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 【答案】(1)见解析； (2)36． 【分析】（）由平行四边形的性质和中点的性质可得，即可得结论； （）由角平分线的定义和平行线的性质可证，即可求解； 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 16．如图，已知四边形中，、、、分别是四条边、、、的中点，、是对角线，连接、、、． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若______，则四边形是菱形请从；这两个选项中选择一个作为条件，使结论成立．（填序号） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，，，，得到，，根据平行四边形的判定定理证明； （2）根据三角形中位线定理得到，再根据菱形的判定解答． 【详解】（1）证明：、、、分别是四条边、、、的中点， 、分别为、的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形； （2）解：、分别是四条边、的中点， 为的中位线， ， 当时，，则平行四边形是菱形． 17．如图，矩形中，，，点是对角线的中点，过点的直线分别交边于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）利用矩形的性质证明，得到，进而即可求证； （）由得四边形是菱形，即得，，，再利用矩形的性质和勾股定理求出和即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，点是对角线的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴，，， ∵四边形是矩形，点是对角线的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．如图，在四边形中，连接，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明过程见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定、三角形全等的判定和性质．掌握三角形全等的判定和性质及平行四边形的判定方法是解题关键． 首先，根据条件运用“”判定，然后，得出，，最后，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形即可． 【详解】证明：在和中， ∵， ． ，． 四边形是平行四边形． 题型四 利用平行四边形的判定与性质求解（共6小题） 19．我们规定：在四边形中，是边上一点，如果与全等（对应关系不确定），那么点叫做该四边形的“等形点”．在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么四边形的周长是__________． 【答案】 8或 【分析】根据平行线的性质可得，结合“等形点”对应关系不确定的条件，分两种全等对应情况讨论，利用全等三角形的性质、勾股定理求出四边形各边长，进而计算周长． 【详解】解：，， ， 四边形的“等形点”在边上， 如图1，当时，可得，， ，，， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长为； 如图2，当时，可得，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得， 四边形的周长为， 综上所述，四边形的周长为或． 20．如图，E是的边上的点，连接是的中点，连接并延长交于点F，连接与相交于点P，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定与性质：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角线把四边形分成面积相等的四部分． 连接，如图，先根据平行四边形的性质得到，再证明得到，则可判定四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，接着证明四边形为平行四边形，所以，然后计算得到阴影部分的面积． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为平行四边形， ， ， ∵是中点， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 即， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴阴影部分的面积． 故选：A． 21．如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（　　）个平行四边形． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定； 首先根据已知条件找出图中的平行线段，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴ ∴平行四边形有：、、、、、、、；；共个． 故选：C． 22．如图，的对角线、相交于点，，，若，．求四边形的周长． 【答案】8 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，先证明四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵，， 四边形是平行四边形， ∴， 四边形是平行四边形， ，， 四边形的周长为． 23．如图，在四边形中，的平分线交于点E，已知， (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，四边形周长为32，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明可得结论； （2）证明，可得结论． 本题考查平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，     四边形是平行四边形； （2）解：平行四边形的周长为32， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 24．如图，在中，，，将此三角形沿方向平移得到，点A、B、C的对应点分别为点、、，此时边与边AC相交于点D，连接． (1)若，试求和的度数； (2)若点落在BC的中点处，且，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平移的性质，平行四边形的判定及性质等；掌握平移的性质，平行四边形的判定及性质是解题的关键． （1）由平移的性质得，，结合平行线的性质，即可求解； （2）由平移的性质得，，，结合平行四边形的判定及性质，即可求解． 【详解】（1）解：由平移得： ，， ， ， ； （2）解：由平移得： ， ，， 四边形是平行四边形， 点落在的中点处， ， 四边形的面积为： ． 题型五 利用平行四边形的性质与判定证明（共6小题） 25．如图，中，E、F分别是，的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ，， ，F分别是，的中点， ，， ， 又， ∴四边形是平行四边形． 26．如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据四边形是平行四边形，可得到，再由E，F分别是，的中点，可得，从而得到四边形是平行四边形，进而证得． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ， ∵E，F分别是，的中点， ，， ， ∴四边形是平行四边形， ． 27．已知：如图，的对角线，相交于O，点E，F分别在，上，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】证明：∵的对角线，相交于O， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 28．如图，在中，点E，F分别在AB、CD上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质． 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形为平行四边形，再由平行四边形的对角相等即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形， ． 29．如图，在中，E，F分别是，边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，角平分线的定义、等角对等边，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）通过证明“，”即可证得四边形是平行四边形； （2）证明，得出，从而得出，再求出，最后结合平行四边形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． ∴， ∴平行四边形的周长是16． 30．已知，如图，在中，过中点O的直线分别交的延长线于点E、F，连接．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明是解答关键．先利用四边形是平行四边形，易证，进而得到，即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 题型六 与三角形中位线有关的求解问题（共6小题） 31．如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为_______． 【答案】 5 【分析】先证明是的中位线，再结合已知条件则的长可求出，所以利用勾股定理可求出的长，由矩形的性质即可求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ， 是矩形的对角线的中点，是边的中点， 是的中位线，， ∴， ， ， ， ， ． 32．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点是的中点，如果，那么的周长是________． 【答案】10 【分析】由平行四边形性质可得，，，即是中点，从而可得是中位线，所以，求得，然后求周长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴是中点， ∵点是的中点， ∴是中位线， ∴， ∴， ∴的周长是． 33．如图，在中，D，E分别是边，的中点，，则的长为_____． 【答案】 6 【详解】解：∵D，E分别是边，的中点，， ∴. 34．已知和是等边三角形，连接、，并以其为两边作，取的中点为N，中点为M，连接，当时，若，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题易证，得到，，再根据中点构造中位线，取中点G，易证为等边三角形，进而求出，由的面积求出的长度，即可得解． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 如图，取中点G，连接、， ∵的中点为N，中点为M， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 故选：B． 35．如图，已知中，点D、E分别在边、上，点F在上． (1)若，，求证：； (2)若D、E、F分别是、、的中点，连接，若四边形的面积为9，试求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）根据可证，根据平行线的性质可证，等量代换可得，根据平行线的判定定理即可证明； （2）根据三角形中位线的性质得出，进而得出，根据三角形中线的性质可设，，进而得出，结合已知可求出x ，则可求，然后根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵D、F分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴， ∵点 F 是的中点， ∴设， ∵点 D 是的中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点 E 是的中点， ∴． 36．如图，的对角线，交于点，点是的中点，若，则的长是______. 【答案】3 【分析】证明是的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可． 【详解】解：∵的对角线，交于点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∵， ∴． 题型七 与三角形中位线有关的证明（共6小题） 37．如图，点是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，，，分别是，，，的中点，根据三角形中位线定理得，且，，且，则，且，即可证明四边形是平行四边形； （2）作于点，因为，，，所以，，则，，求得，则． 【详解】（1）证明：∵，，，分别是，，，的中点， ∴，，，． ∴，． ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图，作于点，则， ∵，，， ，． ，． ． ． 38．如图，在矩形中，连接，交于点，为线段上一点，连接，，取的中点，平分． (1)求证：； (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了三角形中位线定理，矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由矩形性质可得，，，，再证明是的中位线，所以，，通过角平分线定义可得，所以，最后通过等角对等边即可求证； （）由中位线定理可得，从而有，然后通过勾股定理求出，最后由面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴为斜边的中点， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵在中，为斜边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积=． 39．如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据三角形中位线的性质可得，且，，且，进而可知，且，即可证明结论； （2）首先证明，，再在中由勾股定理解得的长度，然后由，即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵点D、E分别为的中点， ∴，且， ∵点G、F分别为的中点， ∴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∵点G为的中点， ∴． 40．如图，在中，点，分别是，的中点，延长至点，使，连接，． (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2) 【分析】（）由三角形中位线的性质可得，进而根据平行四边形的判定定理即可求证； （）根据中点定义可得，再根据平行四边形的性质解答即可求解； 本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵点是的中点，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴． 41．在等腰三角形中，，，点P为平面内一点． (1)如图1，，P在上，，若，且，则 ； ； (2)如图2，P为中点，连接，过B点的直线分别交，于E，F两点，若，求证：． (3)如图3，，P为外一点，且满足，求证：． 【答案】(1)2；4 (2)详见解析 (3)详见解析 【分析】（1）过点B作交的延长线于点H，根据等腰三角形的性质直接得出，证明，得出，根据三角形面积公式求出结果即可； （2）取的中点N，连接，根据中位线性质得出，根据平行线的性质得出，，根据等腰三角形性质得出，证明，得出，根据线段间的数量关系，即可得出答案； （3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，证明是等边三角形，得出，，证明，得出，，证明，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点B作交的延长线于点H，如图1所示： ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2；4； （2）证明：取的中点N，连接，如图2所示： ∵点P为中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）证明：将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，如图3所示： 则，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，中位线的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 42．如图，菱形的对角线，相交于点O，点E在上，连接，且，点F为的中点，连接． (1)求证：是的中位线； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线． （1）根据菱形的性质可知点O为的中点，进而可证是的中位线； （2）根据菱形的性质可知，，由勾股定理得，，根据中位线定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵菱形的对角线，相交于点O， ∴点O为的中点， ∵点F为的中点， ∴是的中位线； （2）解：∵菱形， ，， 在中，，， 由勾股定理得， ， ， 在中，， 由（1）知是的中位线， ． $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03平行四边形 题型归纳·内容导航 题型1利用平行四边形的性质求解 题型5利用平行四边形的性质与判定证明 题型2判断能香构成平行四边形 题型6与三角形中位线有关的求解问题 题型3平行四边形的证明 题型7与三角形中位线有关的证明 题型4利用平行四边形的判定与性质求解 题型通关·靶向提分 题型一利用平行四边形的性质求解（共6小题） 1.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,若AC=8、BD=10、CD=6,则△COD 的周长为() A.24 B.15 C.14 D.12 2.在口ABCD中，若∠B+∠D=3∠A+∠C,则∠A=°. 3.已知在平行四边形ABCD中，AC=16,E是AD上一点，△DCE的周长是平行四边形ABCD周长的 一半，且EC=10,连接E0,则E0的长为 D 4.如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC,交AD边于E,若BC=7,CD=5,则DE的长 度为() 1/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D A.2 B.3 C.4 D.5 5.如图，平行四边形ABCD的一个外角为38°，则∠A的度数为 A D 38 E 6.如图，在口ABCD中，连接AC,将△ACD绕点A顺时针旋转一定角度，得到△AEF,点C,D分别 旋转到了点E,F.已知点E在边BC上，AD=5,EF=2V13,BE=3,则AE的长为 D F B 题型二判断能否构成平行四边形（共6小题） 7.如图，下列条件中不能判断四边形ABCD是平行四边形的是() A B A.AB‖CD,AD‖BC B.AB=CD,AD=BC C.AB‖CD,AD=BC D.AB‖CD,AB=CD 8.如图，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是() A D B 2/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.AB‖CD,AD‖BC B.AB=CD,AD=BC C.AB‖CD,AD=BC D.AO=CO,BO=DO 9.下列命题中是真命题的是() A.对角线互相平分的四边形是平行四边形 B.对角线相等的四边形是平行四边形 C.一组对边平行且有一个角为直角的四边形是矩形 D.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 I0.如图，在四边形ABCD中，AB‖CD,添加一个条件，能使四边形ABCD成为平行四边形的是( D A.AD=BCB.∠BAC=∠ACD C.AB=ADD.∠B=∠D I1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,E、F是对角线AC上的两点，给出下列 四个条件：①AE=CF;②DE=BF;③∠ADE=∠CBF;④∠ABE=∠CDF.其中能判定四边形 DEBF是平行四边形的有() D A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 12.依据所标数据，一定是平行四边形的是() 5 110° 100° 人70° 110° 70° c.人80° 110o D 3/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 题型三平行四边形的证明（共6小题） 13.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在对角线BD上，且BE=DF.求证：四边形AECF是平 行四边形， A D 14.如图，在口ABCD中，延长对角线DB至点E,延长BD至点F,且BE=DF.求证：四边形AECF是 平行四边形 F 15.如图，在口ABCD中，点E,F分别是AD,BC的中点，连接BE,DF E (1)求证：四边形BEDF是平行四边形： (2)若BE平分∠ABC,AB=6,求口ABCD的周长. l6.如图，已知四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四条边AB、BC、CD、DA的中点，AC、BD是 对角线，连接EF、FG、GH、HE」 4/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)证明：四边形EFGH为平行四边形： (2)若 ,则四边形EFGH是菱形.请从①AC⊥BD;②AC=BD这两个选项中选择一个作为条件， 使结论成立.（填序号） 17.如图，矩形ABCD中，AB=8,AD=6,点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边 于点E、F D (1)求证：四边形DEBF是平行四边形； (2)当DE=DF时，求EF的长， l8.如图，在四边形ABCD中，连接BD,∠A=∠C,∠1=.求证：四边形ABCD是平行四边形. D 题型四利用平行四边形的判定与性质求解（共6小题） 19.我们规定：在四边形ABCD中，O是边BC上一点，如果△OAB与△OCD全等（对应关系不确定）， 那么点O叫做该四边形的“等形点”，在四边形EFGH中，∠EFG=90°，EF‖GH,EF=1,FG=3, 如果该四边形的“等形点”在边FG上，那么四边形EFGH的周长是 20.如图，E是口ABCD的边AB上的点，连接DE、CE,Q是CE的中点，连接BQ并延长交CD于点F, 连接Ap与DE相交于点P,若S6An=5am,5ABc=9am2,则阴影部分的面积为（） 5/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.23cm2 B.20cm2 C.17cm2 D.13cm2 21.如图，在平行四边形ABCD中，EF‖BC,GH‖AB,EF,GH相交于点O,图中共有() 个平行四边形， 7D A.7 B.8 C.9 D.10 22.如图，口ABCD的对角线AC、BD相交于点O,DE‖AC,CE‖BD,若AC=3,BD=5.求四边 形OCED的周长. B 23.如图，在四边形ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD于点E,已知ABCD ∠BAD=∠BCD. A E D B (1)求证：四边形ABCD是平行四边形： (②)若AB=6,四边形ABCD周长为32，求DE的长度. 24.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=8,将此三角形沿BC方向平移得到△A1B,C1,点A、B、 C的对应点分别为点A1、B1、C1,此时边A,B与边AC相交于点D,连接AA1. 6/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 4 D B C C (I)若∠BAC=56°，试求∠B1DC和∠A1AB的度数； (2)若点B1落在BC的中点处，且A1C1=6,求四边形ABB1A1的面积. 题型五利用平行四边形的性质与判定证明（共6小题） 25.如图，口ABCD中，E、F分别是AD,BC的中点，求证：四边形BFDE是平行四边形 E 26.如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别是AB,CD的中点，求证：AF=CE. E 27.已知：如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于O,点E,F分别在AO,CO上，且AE=CF,求证： 四边形BEDF是平行四边形. E 28.如图，在口ABCD中，点E,F分别在AB、CD上，且AE=CF.求证：∠FAE=∠FCE F 29.如图，在口ABCD中，E,F分别是AD,BC边上的点，且AE=CF. 7/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E C B F ()求证：四边形BEDF是平行四边形： (2)连接CE,若CE平分∠DCB,CF=2,DE=3,求口ABCD的周长. 30.已知，如图，在口ABCD中，过AC中点O的直线分别交CB、AD的延长线于点E、F,连接 CF、AE.求证：四边形AECF为平行四边形. 题型六与三角形中位线有关的求解问题（共6小题） 31.如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点.若AB=8,OM=3,则线段OB的 长为 B D 32.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,点E是AD的中点，如果 OE=1,AD=3,那么口ABCD的周长是 A D B 33.如图，在△ABC中，D,E分别是边AB,AC的中点，DE=3,则BC的长为， 8/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E 34.已知△ABC和△ADE是等边三角形，连接BE、BD,并以其为两边作口BDFE,取BE的中点为 心CD中点为M连核MN,当BD⊥ED时，若MN=2:S。DE=45:则△ADE的面积为（） D 4.3 33 B. 2 2 c.2/3 D.63 35.如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，点F在BE上. D E R (I)若∠ADE=∠ABC,∠EDF=∠ACB,求证：DF‖AC: (2)若D、E、F分别是AB、AC、BE的中点，连接CF,若四边形CEDF的面积为9，试求△ABC的面积. 36.如图，口ABCD的对角线AC,BD交于点O,点E是CD的中点，若AD=6,则OE的长是 9/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B 题型七与三角形中位线有关的证明（共6小题） 37.如图，点O是△ABC内一点，连接OA,OB,并将OA,OB,BC,AC的中点D,E,F,H依次连 接，得到四边形DEFH. E B (1)求证：四边形DEFH是平行四边形. (2)如果∠OAB=45°，∠AB0=30°，OB=8,求DE的长. 38.如图，在矩形ACBM中，连接AB,CM交于点D,E为线段CD上一点，连接AE,BE,取BE的中 点F,DC平分∠ADF M D F B (1)求证：AE=AD: ②者DF=2。AC4,求矩形ACBM的面积 39.如图所示，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，点H在线段CE上，连接BH,点G、F 分别为BH、CH的中点. 10/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 E G H F B (1)求证：四边形DEFG为平行四边形： (2)若DG⊥BH,AD=4,EF=3,求线段HG的长度. 40.如图，在△ABC中，点D,E分别是AC,AB的中点，延长BC至点F,使CF=DE,连接CE,DF A B (1)请判断四边形DECF的形状，并说明理由； (2)若∠ACB=90°，AC=12,DE=4,求四边形DECF的面积. 41.在等腰三角形ABC中，AB=AC,∠BAC=a,点P为平面内一点. B B 图1 图2 图3 (I)如图1，a=90°，P在BC上，CD⊥AP,若CP=AC,且AP=4,则AD=;S△ABp=: (②)如图2，P为BC中点，连接AP,过B点的直线分别交AP,AC于E,F两点，若AE=AF,求证： CF=2PE. (3)如图3，c=60°，P为△ABC外一点，且满足∠APB=150°，求证：CP=AB 42.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E在OB上，连接AE,且AE=BE,点F为CD 的中点，连接OF 11/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E B C (1)求证：OF是△BCD的中位线： (2)若0E=3,OA=4,求线段0F的长. 12/12