四川省广安市加德学校2025-2026学年高一下学期3月月考数学试题2

**基本信息** 聚焦复数、向量与解三角形核心知识，通过渔船航行、山顶测量等真实情境设计问题，体现数学眼光的抽象能力与数学语言的应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数实虚部、向量坐标运算|基础巩固，强调概念辨析| |多选题|3/18|单位向量性质、三角形解的判断|能力提升，考查逻辑推理| |填空题|3/15|向量模长、流速计算、面积最值|情境应用，体现数学思维| |解答题|5/77|三角测量（18题）、动态几何（19题）|综合创新，发展探究能力|

-2026学年度下期高2025级3月月考 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．若，则复数的实部、虚部分别是（       ） A．， B．， C．， D．， 2．，，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（ ） A． B． C． D． 4．已知向量，若，则等于（   ） A． B．1 C．4 D． 5．在四边形ABCD中，若，且|，则四边形ABCD是（    ） A．正方形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 6．在中，，则这个三角形有（   ） A．一解 B．两解 C．无解 D．无法确定 7．已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 8．对于两个不共线向量，，已知，，若与共线，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题日要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9．已知复数，则（    ） A．是纯虚数 B．对应的点位于第二象限 C． D． 10．已知，为两个单位向量，下列四个命题中正确的是（   ） A．与的模相等 B．如果与平行，那么与相等 C．与共线 D．如果与平行，那么或 11．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(    ). A．若，则 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.） 12．已知向量与的夹角为，，，则___________． 13．一条渔船距对岸3km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为6km，则河水的流速为________km/h． 14．已知中，，则面积的最大值为_________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（12分）计算（1）；（2）；（3） 16．（15分）已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值． 17．（16分）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 18．（17分）如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅锤平面内，已知在点A处测得山顶M，N的俯角分别为．当飞机经过时，到达B点．此时在点B处测得山顶M，N的俯角为． （1）求BN的长度； （2）求两山顶点M，N之间的距离． 19．（17分）如图，中，，为的中点，设与相交于点． (1)若，求的值； (2)求； (3)设动点在线段上（包含端点），求的取值范围． 参考答案 1.【答案】B 【详解】因为，所以复数的实部、虚部分别是、. 故选：B 2.【答案】C 【详解】因，，则. 故选：C. 3.【答案】A 【详解】由向量的线性运算法则，可得. 故选：A. 4.【答案】B 【详解】由，可得， 所以由，解得． 故选：B. 5.【答案】C 6.【答案】A 【详解】解：因为， 所以，， 所以有，即， 所以， 所以三角形为钝角三角形，只有一个解. 故选：A. 7.【答案】A 【详解】因，则，则， 又三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态， 则，即， 则. 故选：A 8.【答案】C 【详解】由题意知. 若与共线，则存在实数使得， 因为向量，不共线， 所以解得，故的值为. 故选：C 9. 【答案】AD 【详解】对于A，，实部为0，是纯虚数，正确； 对于B，，在复平面上对应点，在第四象限，错误； 对C，，错误； 对于D，，正确； 故选：AD. 10.【答案】AD 【详解】由，为两个单位向量， ，故A正确； 如果与平行，则当与同向时，； 则当与反向时，； 即如果与平行，那么或，故B错误，D正确； ，为两个单位向量，仅模长相等，但不一定共线，故C错误． 故选：AD． 11.【答案】AD 【详解】对于A，因为，由正弦定理可得，所以，故A正确； 对于B，由余弦定理，可知为锐角， 但是无法判断角A和角B是否为锐角，所以无法判断是否为锐角三角形，故B错误； 对于C，因为，所以，即， 又，所以，所以或， 即或，即为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，因为三角形有两解，所以，即，即的取值范围为，故D正确. 故选：AD. 12.【答案】7 【详解】因为向量、的夹角为，，，则， 则， 所以． 故答案为：7. 13.【答案】 【详解】如图，用表示河水的流速，表示船的速度， 则为船的实际航行速度． 由图知，，，则． 又， 所以． 即河水的流速是 km/h． 故答案为： 14.【答案】 【详解】因为在中，， 所以， 得，则， 当且仅当时，等号成立， 所以， 则面积最大值为. 故答案为：. 15.【答案】（1）13；（2）（3） 【详解】（1）； （2）； （3）. 16.【答案】(1) (2) 【详解】（1）若，则，即， 则，. （2），则，则， ，得. 17.【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； （2）由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； （3）由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 18.【答案】（1）；（2）. 【详解】 （1）依题意可知, ， ，所以 . （2） ， 中，由正弦定理可得： , ， 中，由正弦定理可得： , ， ， 中，由余弦定理得： ， , 所以两山顶点M，N之间的距离为 19.【答案】(1)； (2)； (3) 【详解】（1）， 因为三点共线，设，即， ，故，， 所以，解得； （2）设，，N为的中点， 故，， 故 又，，，故， ， ， ， 则. （3）以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴建立直角坐标系， 设，在线段上，方程即为的方程， 设方程为，而直线过点，， 代入直线方程即可解出，故的方程为， 由（1）知，结合可知，而位于线段上，故， ，，故 ， 而，故，所以 ​ ，而是开口向上的二次函数，对称轴 最小值在对称轴处取到，为， 最大值在端点处取到，为， 故的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $