四川省广安市加德学校2025-2026学年高一下学期3月月考数学试题1

**基本信息** 广安加德学校高2025级3月月考数学卷，以向量、解三角形、复数等核心知识为载体，通过航行距离、力的平衡等实际情境题，考查数学抽象、几何直观与运算推理能力，实现基础巩固与创新应用的有机统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量运算、解三角形、充分必要条件|第7题航行距离问题，结合方位角考查正弦定理应用，体现数学眼光观察现实世界| |多选题|3/18|复数性质、向量夹角、圆幂定理|第11题以圆幂定理为背景，融合几何直观与逻辑推理，培养理性精神| |填空题|3/15|三角形边角关系、投影向量、实际测量|第14题银杏间距测量，通过正弦定理解决实际问题，发展应用意识| |解答题|5/77|向量坐标运算、复数几何意义、仿射坐标系|第19题仿射坐标系创新情境，综合考查向量模长、三角恒等变换，提升数学思维深度|

广安加德学校2025-2026学年度下期高2025级3月月考 数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 2．（ ） A． B． C． D． 3．已知非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 4．已知边长为2的正方形中，点，分别为，的中点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知锐角三角形边长分别为2，3，x，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．不确定 6．已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 7．一船以的速度向东航行，船在点A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶4h后，船到达点C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为（    ） A． B． C． D． 8．在中，，过点O的直线分别交直线于M，N两个不同的点，若，其中m，n为实数，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C． D．5 二、多选题（题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题日要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 10．已知是夹角为的单位向量，且，则下列选项正确的是（） A． B． C．的夹角为 D．在上的投影向量为 11．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法正确的是（    ） A．为定值 B．的取值范围是 C．当时，为定值 D．的最大值为8 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.） 12．在中，则__________. 13．若向量，则在方向上的投影向量的坐标为______． 14．如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作A，B，P，Q，湖岸部分地方围有铁丝网不能通过．欲测量P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离，现可测得A，B两点间的距离为100m，，，，．则P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离分别为__________m. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）已知向量.(1)若，求的值；(2)若，求实数的值． 16. （15分）已知复数，其中． (1)设，若是纯虚数，求实数m的值； (2)设，分别记复数在复平面上对应的点为A、B，若，求点P坐标。 17．（15分）如图，在梯形中，为线段中点，记 (1)用表示向量； (2)求与夹角的余弦值. 18. （17分）在△ABC中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 19．（17分）设，是平面上的两条射线，其中，、分别是与、同向的单位向量，以射线、分别为轴、轴的正半轴，建立的平面坐标系称为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，则记. (1)在仿射坐标系中，若，求（用含，，的代数式表示）； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求的值； (3)在仿射坐标系中，如图所示，点、分别在轴、轴正半轴上运动，，，、分别为、中点，求的最大值. 参考答案 1.【答案】C 【详解】若，则. 故选：C. 2.【答案】A 【详解】由向量的线性运算法则，可得. 故选：A. 3.【答案】B 【详解】如图所示，，当时，与垂直， ，所以成立，此时， 不是的充分条件， 当时，成立， 是的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件    故选：B. 4.【答案】B 【详解】因为点，分别为，的中点， 则，且在方向上的投影数量为2， 所以. 故选：B. 5.【答案】C 【详解】设三角形为，且， 由三角形的几何性质，可得， 由三角形是锐角三角形，，所以只需要为锐角， 则，即，解得 ；，即，解得， 综上可得，，即的取值范围为.故选：C. 6.【答案】A 【详解】因，则，则， 又三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态， 则，即， 则. 故选：A 7.【答案】B 【详解】作出示意图如图所示，， ，，则. 由正弦定理，可得，则. 所以这时船与灯塔的距离为. 故选：B 8.【答案】C 【详解】 三点共线即 故的最小值为.故选：C. 9.【答案】BD 【详解】因为， 所以，故AC错误，BD正确.故选：BD. 10.【答案】BCD 【详解】是夹角为的单位向量，， 对于，，同理可得，故错误； 对于，，故正确； 对于，因 又，，故C正确； 对于， 所以在上的投影向量为，故正确.故选：． 11.【答案】ABC 【详解】对于A，如图，过作直径， 由题意，故A正确； 对于B，设为中点，连接， 则 ， 由题意，则，故B正确； 对于C，若，则， 则， 又，则，同理可得， 故，故C正确； 对于D，因为，则当弦均与重合时， 此时有最大值16，故D错误. 故选：ABC. 12.【答案】 【详解】由题意得， 又，所以.故答案为： 13.【答案】 【详解】因为，所以，， 所以， 所以，即在方向上的投影向量为零向量，坐标为. 故答案为：. 14.【答案】 ， 【详解】在中，， 由正弦定理得，得． 在中，，，∴． 在中，， 由余弦定理得， ∴． 因此，P，Q两棵树之间的距离为，A，P两棵树之间的距离为． 15.【答案】(1) (2) 【详解】（1）若，则，即， 则，. （2），则，则， ，得. 16．【答案】(1) (2) 【详解】（1），因为是纯虚数， 所以且，解得； （2）当时，，故，，故． 设点P（x，y）,则=（x-3,y+1）,=（8-x,-6-y）,因为，所以，解得 所以点P的坐标为. 17.【答案】(1) (2) 【详解】（1）； （2）由于，可得，又有， 所以. 由，可得，. 18.【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得， 因为，所以，所以，所以. 又因为，所以. （2）因为，，，所以由， 可得，化简得， 又，故.由，得. （3）由正弦定理，得，解得. 因为，所以B为锐角，. ，. 所以. 19.【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由可得， 则， 所以； （2）依题意，将代入（1）得到的模长公式即得，，，， 因为与的夹角为，则由，可得，解得. （3）依题意，设， 因为是的中点，则， 因为是的中点，则， 故 因为，， 则， 在中，由余弦定理得，即，代入上式可得， ， 在中，由正弦定理可得， 设，则， 于是 ， 其中为锐角，且，因为，则， 故当时，取最大值， 则，即的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $