辽宁鞍山市2025-2026学年高二下学期期末自编模拟数学试卷

**基本信息** 以AI工具使用统计、函数性质探究等真实情境为载体，融合集合、导数、统计等核心知识，通过分层设问考查抽象能力、推理意识与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5题（约60分）|导数几何意义（15题）、独立性检验（16题）、数列求和（17题）、三角函数方程（18题）、导数综合证明（19题）|分层设计（如19题从切线到恒成立再到证明），情境真实（16题AI工具统计），突出逻辑推理与应用意识|

2025-2026年度高二下期末复习（一） 一、单选题- 1．已知全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 2．已知命题∶，，则命题的否定为（     ） A．， B．， C．， D．， 3．“”是“”的（     ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数满足，且，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数是中心对称图形，则（   ） A． B． C． D． 6．若函数的值域为，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 7．已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．函数有3个零点 D．当时， 8．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、 多选题 9．已知不等式的解集是，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．不等式的解集是 10．已知数列满足，则（    ） A． B．的前n项和为 C．的前100项和为50 D．的前30项和为357 11．已知，，则下列说法正确的有（     ） A．若，则的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最小值为4 D．若，则的最小值为 三、填空题 12．设a，，若集合，则______． 13．曲线与曲线在它们的某个公共点处有公切线，则正数的值为________． 14．设函数，若恒成立，且在上存在零点，写出一个满足题意的的值为___________. 四、解答题 15．已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)当时，求函数在区间上的值域. 16．随着科技的进步，人工智能（AI）工具在职场中的应用日益广泛，像豆包、DeepSeek等常见的AI工具，已被证明能有效提升员工的工作效率和准确率．某公司为了解员工使用这类AI工具的熟练度，进行了一次内部统计，统计结果如下表： 能够熟练使用AI工具 不能够熟练使用AI工具 男员工 30 15 女员工 16 9 (1)根据的独立性检验，能否认为性别与使用AI工具的熟练度具有相关性？ (2)现按熟练度采用分层抽样的方法从该公司的男员工中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记其中不能够熟练使用AI工具的人数为，求的分布列以及数学期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．已知是首项为0的等差数列，记为的前项和，是等比数列. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项积； (3)记，求数列的前20项和． 18．已知函数． (1)求在上的值域； (2)解不等式； (3)若方程在上的根从小到大依次为，，…，，求的值 19．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求实数的取值范围； (3)若，且存在，，使得，证明： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B C C D B B B B ACD 题号 10 11 答案 ACD ACD 1．B 【分析】根据补集的定义，由集合在全集下的补集直接求解集合. 【详解】已知，，则不属于的实数满足，即. 2．C 【分析】根据全称量词命题的否定形式判断即可. 【详解】命题的否定形式为：，. 3．C 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解，再根据充分性和必要性的定义判断即可． 【详解】或， 因为是或的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件． 4．D 【分析】由构造函数，求导可得在上单调递增。利用，通过比较在不同自变量处的函数值，即可判断各选项不等式的正误. 【详解】已知，构造辅助函数，对求导得， 因为恒成立，且，因此，即是上的单调递增函数. 由，得. 选项A： 因为单调递增，故，即，整理得，A错误； 选项B： 因为单调递增，故，即，得，B错误； 选项C： 因为单调递增，故，即，整理得，C错误； 选项D： 因为单调递增，得，即. 因为，所以成立，故 D 正确. 5．B 【分析】根据对称性，结合定义域可知对称中心为，再根据定义式求出即可判断A；代入计算即可判断B；利用函数单调性判断CD即可． 【详解】因为函数的定义域是，所以， 所以，所以A错误； 因为，所以，所以B正确； ， 又在上单调递增，在上也单调递增， 所以是增函数，又，所以，所以C错误； 因为，所以， 又因为，所以，所以D错误． 6．B 【分析】分，，，四种情况讨论，结合一次函数与对数函数的单调性以及值域即可求解. 【详解】若，则在上单调递减，在上单调递减， 且当时，，当时，， 此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得； 若，则当时，，当时，，的值域不为，不合题意； 若，则在上单调递增，在上单调递减， 且当时，，当时，， 的值域不可能为，不合题意； 若，则在上单调递增，在上单调递增， 且当时，，当时，， 此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得， 综上所述，实数的取值范围为. 7．B 【分析】根据函数对称性和奇偶性，可得的周期可判断A；根据解析式及周期，代入数据可判断B；分别作出和的图象可判断C；根据函数周期及奇偶性，化简整理，可判断D. 【详解】对于A，因为，且为偶函数， 所以 ， 即4是的一个周期，故A正确； 对于B，由4是的一个周期，知，， 所以，故B错误； 对于C，令，可得， 作函数和的图象如下图所示， 由图可知，两个函数图象有3个交点，故C正确； 对于D，当时，， 则，故D正确． 故选：B.. 8．D 【分析】由题意可得，，根据函数的周期性，结合正弦函数的零点，列出相关的不等式，求解可得的取值范围. 【详解】由题意可得，，则的最小正周期是. 若函数在上没有零点，则，所以. 当时，. 所以. 所以或. 若，则； 若，则. 所以的取值范围是. 9．ACD 【详解】因为不等式的解集是， 所以有，，， 所以，，因此选项A正确，选项B错误； ，因此选项C正确； 若，则，即， 解得，选项D正确. 10．ACD 【分析】利用与关系求出，结合等差数列前项和公式依次判断选项即可. 【详解】当时，， 当时，， 两式相减可得：， 所以，显然当时，满足，故，故A正确； 由等差数列求和公式知的前项和为，故B错误； 令，的前100项和为： ，故C正确； 令，所以的前30项和为：，故D正确. 11．ACD 【分析】利用基本不等式即可判断A；利用拼凑法和基本不等式即可判断B；利用和基本不等式即可判断C；将拆分成，再利用基本不等式即可判断D， 【详解】对于A，已知，，由基本不等式有， 两边平方得，当且仅当 ，即，时等号成立，故A正确； 对于B，因为，所以， 由基本不等式有， 当且仅当 ，即时等号成立， 因为，所以，故B错误； 对于C，已知，，由可得， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，已知，，，则，， ， 由基本不等式有， 当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， 所以， 当且仅当，，即，时等号成立，故D正确. 12．0 【分析】根据集合相等的定义，结合集合元素的互异性，推导出、的值后代入所求式子计算. 【详解】因为右侧集合中有，分母不能为0，故， 两个集合相等，左侧集合必须含元素0，结合，得：，即 ，因此， 此时左侧集合为，右侧集合为，集合元素对应相等，可得，， 此时，符合条件. 所以. 13． 【详解】，. 设曲线与曲线在点处有公切线， 所以，即，解得，. 所以，正数的值为5. 14．4(答案不唯一) 【分析】先由周期推出为正偶数，再由区间零点条件得到，即只要取大于等于的偶数就可以. 【详解】由恒成立可知，是函数的一个周期， 因为，函数的最小正周期为，因此是的整数倍， 即，可得，即为正偶数； 因为当时，， 又因为在上存在零点，所以，得， 综上，是大于等于的偶数. 15．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出切点坐标，利用导数求出切线斜率，再用点斜式写出切线方程，从而得解； （2）求导，对分类讨论，判断在区间上的单调性，进而计算可求得值域. 【详解】（1）当时，由，可得， 由，可得，所以， 所以切线方程为，即； （2）由，可得， 令，可得或， 当时，由二次函数性质可知，， 所以在上单调递减，又， ，所以值域为， 当时，由二次函数性质可知，，时，， 所以函数在区间上的最大值为， 又，， 若时，， 所以函数在区间上的最小值为，所以值域为， 若时，， 所以函数在区间上的最小值为，所以值域为， 综上所述：当时，函数在区间上的值域为， 当时，函数在区间上的值域为， 当时，函数在区间上的值域为. 16．(1)性别与使用AI工具的熟练度无关； (2) 0 1 2 3 数学期望为1. 【分析】（1）根据给定条件，求出的观测值，再与临界值比对即可得解. （2）求出12名男员工中能够熟练与不能够熟练使用AI的人数，进而求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望. 【详解】（1）设零假设：性别与使用AI工具的熟练度无关， 由统计表得， 则， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 所以可以认为成立，即认为性别与使用AI工具的熟练度无关. （2）男员工中能够熟练与不能够熟练使用AI的人数比为， 按分层抽样抽12人，抽取的能够熟练使用的人数为，抽取的不能够熟练使用的人数为4， 因此的可能取值为， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 17．(1) (2) (3)3120 【详解】（1）是首项为0的等差数列，，，， 又是等比数列，， ，即 ，，即 ，解得， 是等差数列， 当时，, ，即为定值， 数列为首项，公比的等比数列 的通项公式为. （2）， （3）， ， ，时， 即是首项为1，公差为4的等差数列， 令， 则 记的前n项和为， ， 数列的前20项和为3120． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简，再根据的取值范围求出函数的值域； （2）先通过换元法，将关于 的一元二次不等式转化为关于 的不等式，解出的范围；再结合 的值域，舍去无意义的解；最后解三角不等式，得到的解集； （3）先求解方程，得到的表达式，再根据的取值范围确定根的个数，最后计算的值. 【详解】（1）， 令，因为，所以， 由正弦函数的性质可知，，， 故在上的值域为． （2）令 ，则：， 因式分解：，解得：或， 因为，且，所以无解，则， 所以：，即：， 所以 ， 解得： ， 所以原不等式的解集为：. （3）作出的图象和直线，如图所示， 因为，所以，即， 所以，或， 解得：或， 由图可知，的图象与直线在内有5个交点， 则所有根从小到大依次为：， 由正弦函数图象的对称性，可知的图象关于或对称， 因此：，，，， 所以 . 19.【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）由题意在上恒成立，参变分离后，构造函数求导后计算最小值即可得； （3）利用导数求出单调性后，设，结合正负性可得、范围，再利用比值换元法，可得，，即可将证明转化为证明在上恒成立，构造相应函数并借助导数研究其单调性即可得. 【详解】（1）若，则，， ，又， 故曲线在点处的切线方程为； （2）由时，，即，整理得， 令，，则， 故在上单调递减，则，即； （3）若，则，， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又时，，时，， 则，不妨设，则， 由，则， 两边同取对数，可得， 故，令，则， 即，，故， 要证，只需证，即只需证， 令， 则， 故在上单调递增，则， 即有恒成立，即得证. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $