专题15 期末真题百练通关（92题28大基础题型）（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 聚焦初中数学期末核心考点，以28大基础题型统领92道期末真题，覆盖二次根式、一元二次方程、数据初步分析三大模块，题型从基础概念到综合应用层层递进，培养运算能力、数据意识与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式|21题|含概念辨析（有意义条件、最简判断）、性质应用（化简）、混合运算|从概念生成到性质推导，再到运算应用，构建完整知识链| |一元二次方程|44题|含方程判断、解法（开平方法、配方法）、根的判别式与系数关系、实际应用（增长率、图形、营销问题）|按“概念-解法-根的性质-实际建模”逻辑递进，突出应用能力| |数据初步分析|27题|含平均数（加权）、中位数、众数、方差计算及稳定性判断、综合分析|从基础统计量计算到数据特征分析，培养数据解读与应用意识|

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题15期末真题百练通关(92题28大基础题型) 真题实战，百练通关 题型1二次根式有意义的条件（常考） 题型15利用根的判别式判断根的情况（重点） 题型2求二次根式中参数 题型16已知根的情况求参数的值（重点） 题型3利用二次根式的性质化简（基础） 题型17利用根与系数的关系求代数式的值（难点） 题型4最简二次根式的判断 题型18利用根与系数的关系求参数（难点） 题型5利用二次根式的运算判断选项 题型19根与系数的关系综合应用（难点） 题型6复合二次根式的化简 题型20一元二次方程实际应用之增长率问题（常考） 题型7二次根式的混合运算（必考） 题型21一元二次方程实际应用之与图形有关（常考） 题型8判断是否为一元二次方程（基础） 题型22一元二次方程实际应用之营销问题（常考） 题型9利用一元三次方程的解求参数（常考） 题型23与平均数相关求解（基础） 题型10化为一元二次方程的一般式 题型24求一组数据的加权平均数 题型11解一元二次方程（计算）（重点） 题型25求一组数据的中位数、众数（常考） 题型12利用直接开平方求参数 题型26求一组数据的方差 题型13利用配方法判断是否正确配方（常考） 题型27利用方差判断稳定性（常考） 题型14利用配方法求参数 题型28数据的初步分析解答题综合（必考） 题型一二次根式有意义的条件（共3小题） 1.(24-25八年级下·浙江金华期末)下列各数中，能使V3一2x有意义的x的值是() A.1 B.2 C.3 D.4 2.(24-25八年级下·浙江杭州期末)函数y=V2x一3中自变量x的取值范围是() A.x B.x2-月 C.x≤- D.x≤ V12-2s 3.(24-25八年级下·浙江宁波期末)函数y= 1-x 的自变量x的取值范围是 题型二求二次根式中参数（共3小题） 1.(24-25八年级下浙江绍兴期末)已知V3一a是整数，则自然数a的值是 2.（24-25八年级下·浙江宁波期末)若√9一n是整数，则满足条件的正整数n共有个. 3.(24-25八年级下·浙江期末)已知有理数a,b满足等式5-V5a=2b+V5-a,则a= 1/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 b= 题型三利用二次根式的性质化简（共4小题） 1.(24-25八年级下浙江湖州期末)已知实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简a+1+Vb-2)的 正确结果是() b -10 A.a+b-1 B.1-a-b C.a-b+3 D.b-a-3 2.(24-25八年级下·浙江嘉兴期末)二次根式Vx3y(y<0)化简结果正确的为() A.xVx2y B.-xVx2y C.xxy D.-xVxy 3.(24-25八年级下·浙江嘉兴期末)非零实数x,y满足 (Vx2+2024-3x)(+2024-y)=2024,则 4.(24-25八年级下浙江金华期末)已知1<x<2,则√x-2)2+k-1= 题型四最简二次根式的判断（共3小题） 1.(24-25八年级下·浙江台州·期末)下列二次根式为最简二次根式的是() A.V月 B.v2 c.4 D.V12 2.(24-25八年级下·浙江宁波·期末)以下二次根式是最简二次根式的是() A.4 B.V6 c.v3 D.眉 3.(24-25八年级下·浙江宁波期末)下列式子是最简二次根式的是() A.2a B.16 c.v D.得 题型五利用二次根式的运算判断选项（共3小题） 1.(24-25八年级下·浙江台州期末)下列计算正确的是() A.2+5=万B.2×5=V10C.V12=42 D.V(-3)2=-3 2.(24-25八年级下·浙江丽水期末)下列等式不成立的是() A.（-=5B.2+5=5C.3-m=π-3D.厚=项 3.(24-25八年级下·浙江宁波期末)下列运算正确的是() 2/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2+V7=3 B.V12÷6=2 c.V(-2)2=-2 D.25-5=2 题型六复合二次根式的化简（共3小题） 1.(24-25八年级下浙江温州期末)化简23-610+43-2V2 的结果是() A.3+V2 B.3-2V2 C.3+22 D.3-2 2.(24-25八年级下浙江宁波期末)化简2W4+23-V21-12√3的结果为 3.(24-25八年级下·浙江湖州期末)观察下列各式： 5+26=2+3+22×3=(2+(0+25×5=(W5+月月， 8+25=1+7)+21×7=12+(72+2×1×7=(1+万)，. 请运用以上的方法化简 7+2W10= 题型土二次根式的混合运算（共3小题） 1.(24-25八年级下浙江台州期末)计算： 厚×： 2(3+5)(3-5). 2.(24-25八年级下浙江金华期末)计算： (1W18×V2-5 (2(22-3V3)×(35+22) 3.(24-25八年级下浙江宁波期末)计算： (w2-8×月 a(5-1)2+反x0 题型八判断是否为一元二次方程（共3小题） 1.(24-25八年级下·浙江金华期末)下列方程中，属于一元二次方程的是() A.x2+Xy=1B.2x-1=x+2C.2x2-3x=4D.袁+x2=3 3/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(24-25八年级下·浙江杭州·期末)下列方程中是一元二次方程的是() A.X+y2=2B.x+4=2 C.x2+4x=2 D.x2+素=2 3.(24-25八年级下·浙江宁波期末)下列方程中，为一元二次方程的是() A.x2=3 B.x+3=7 C.2x2+袁-3=0 D.2x2-3y+5=0 题型九利用一元二次方程的解求参数（共3小题） 1.(24-25八年级下，浙江宁波期末)已知x=3是方程x2-mx+3=0的一个根，则m的值为() A.-2 B.3 C.4 D.-4 2.(24-25八年级下·浙江金华期末)已知关于x的一元二次方程x2-2mx+3m=0的一个根为2，则m的 值为一· 3.(24-25八年级下浙江嘉兴期末)若关于x的方程(x+h)2+k=0(h,k均为常数)的解是x1=-3 ,x2=2,则关于x的方程(x+h-3)2+k=0的解是 题型土化为一元二次方程的一般式（共3小题） 1.(24-25八年级下·浙江嘉兴期末)一元二次方程(x+1)(x-1)=3x化为一般形式为() A.x2-3x-1=0 B.x2+3x-1=0 C.x2-3x+1=0 D.x2+3x+1=0 2.(24-25八年级下·浙江金华期末)一元二次方程92=5一4x化为一般形式后，二次项系数、一次项系 数、常数项分别是(). A.9,5,-4B.9,4,-5 C.9,-5,4 D.9,-4,5 3.(24-25八年级下·浙江绍兴期末)已知关于x的一元二次方程x2-3x+2=0中一次项的系数是 题型土一解一元二次方程（计算）（共3小题） 1.(24-25八年级下·浙江宁波·期末)解方程： (1)x2-2x-4=0; (2)4(x-3)2=x(x-3). 2.(24-25八年级下·浙江杭州期末)解方程： (1)2x2+2x=1: 4/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)2(x-3)2=x2-9. 3.(24-25八年级下·浙江丽水期末)解方程 (1)x2-36=0: (2)x(x+3)-x=3. 题型十二利用直接开平方求参数（共2小题） 1.(24-25八年级下浙江温州期末)已知关于x的方程(x-1)(x-m)=0与(x-2m)2=c的解完全 相同，则常数c的值为() A. B.青 C.1 D.4 2.(24-25八年级下浙江台州期末)对于解关于x的一元二次方程(x+3)2=m,可以通过降次转化为两 个一元一次方程，若其中一个一元一次方程是x+3=一2，则m的值为 题型土三利用配方法判断是否正确配方（共3小题） 1.(24-25八年级下·浙江绍兴期末)用配方法解一元二次方程x2+4x一1=0，此方程可变形为(） A.(x+1)2=4 B.(x+1)2=5 C.(x+2)2=4 D.(x+2)2=5 2.(24-25八年级下·浙江宁波·期末)用配方法解关于x的一元二次方程x2-2x-4=0,其变形后正 确的结果是() A.(x-1)2=-5 B.(x+1)2=5 C.(x-1)2=3 D.(x+1)2=3 3.(24-25八年级下·浙江台州期末)用配方法解方程x2+8x+5=0,变形后的结果正确的是() A.(x+4)2=-5 B.(x+4)2=3 C.(x+4)2=59 D.(x+4)2=11 题型土四利用配方法求参数（共3小题） 1.(24-25八年级下浙江丽水·期末)若方程x2+mx+9=0经配方法转化成(x-3)2=0,则m的值是 5/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(24-25八年级下浙江绍兴期末)把方程x2+2x-3=0变形为(x十h)2=k的形式，其中h,k为常 数，则k的值为 3.(24-25八年级下浙江宁波期末)方程x2-8x+7=0配方后写成(x+m)2=b的形式，则b的值为 题型土五利用根的判别式判断根的情况（共3小题） 1.(24-25八年级下·浙江宁波·期末)一元二次方程3x2+4x一1=0的根的情况为(） A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 2.（24-25八年级下·浙江杭州期末)关于x的方程x2一ax-2=0的根的情况是() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 3.(24-25八年级下浙江温州期末)关于x的一元二次方程x2+4x+(1-m)(m-3)=0,下列选项 正确的是(). A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.根的个数与m的取值有关 4.(24-25八年级下浙江舟山期末)定义：对于任意实数a,b,c,d,有[a,b]*[c,d]=ac-bd,其 中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3,2]*[5,1]=3×5-2×1=1对已知类于x的方程 [x,m]*[x+5,5]=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 题型十六已知根的情况求参数的值（共4小题） 1.(24-25八年级下·浙江宁波·期末)若关于x的一元二次方程x2一mx+3=0有两个不相等的实数根，则 m的值可以是() A.3 B.0 C.-3 D.-6 2.(24-25八年级下·浙江台州期末)若关于x的一元二次方程x2+4x十c=0有两个相等的实数根，则实 数c的值为() A.5 B.-5 C.4 D.-4 3.(24-25八年级下·浙江衢州期末)定义运算：a※b=a2+ab,例如，25=22+2×5.若关于x的 方程x※3=一m有两个相等的实数根，则m的值为() 6/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.星 B.- c. D.9 题型十士利用根与系数的关系求代数式的值（共3小题） 1.(24-25八年级下浙江宁波期末)已知实数a,P满足22+5ax-2=0,282-5B-2=0,且cB≠1 ,且京+骨-号c的值为() A.25 B.-翠 c.-￥ D. 2.(24-25八年级下·浙江宁波期末)己知a,B是方程x2+2023x+1=0的两个根，则代数式 (1+2024&+2)(1+2025B+B2)的值是() A.4 B.3 C.2 D.1 3.(24-25八年级下·浙江杭州期末)已知a,b是一元二次方程x2+2025x+1=0的两个实数根，求 √+V层的值() A.-2025 B.2025 C.2025 D.±2025 4.(24-25八年级下浙江宁波期末)已知X1,x2是方程2x2+3x-7=0的两个根，则x2十X1x 的值为() A. B.-9 c.-号 D.- 题型土八利用根与系数的关系求参数（共3小题） 1.(24-25八年级下浙江杭州期末)已知m,n是关于x的一元二次方程x2-2(k2+2k)x-3k+1=0 的两个实数根，若(m-2)(n-2)=1,则k的值为 2.(24-25八年级下·浙江宁波期末)已知关于x的一元二次方程x2+mx+5=0有两个实数根x1,X2.若 X1,X2满足X1=2X2-3,则m=· 3.(24-25八年级下·浙江杭州期末)已知x1X2是关于x的一元二次方程x2-2(t+1)x+t2+5=0的 两个实数根.若X12+x22=36,则t的值是() A.-7或3B.-7 C.3 D.-3或7 题型土九根与系数的关系综合应用（共3小题） 1.(24-25八年级下·浙江宁波期末)已知关于x的一元二次方程x2一(2k+2)x+k2=0有两个不相等 的实数根 7117 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求实数k的取值范围： (2)是否存在实数k,使方程的两个实数根的倒数和等于1？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. 2.(24-25八年级下.浙江杭州期末)已知关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k(k-1)=0. ()求证：该方程必有两个不相等的实数根。 (2)若x1,x2是该方程的两个根，且满足京十定=三，求k的值. 3.(24-25八年级下浙江宁波期末)定义：如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，且 |x1一2=1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如：一元二次方程x2一3x+2=0的两个根是x1=1 ,X2=2,此时|X1-2=11-2|=1,则方程x2-3x+2=0是“邻根方程”. (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是_（填序号）. ①x2=1;②4x2+4x+1=0:③x2-x=0. (2)已知方程(x-m)(x+3)=0是“邻根方程”，求m的值. (3)若方程x2-bx+c=0是“邻根方程”，求证：b+2c+1≥0. 题型二土一元二次方程实际应用之增长率问题（共3小题） 1.(24-25八年级下，浙江宁波·期末)宁波镇海某金橘合作社深耕本土特色果品种植，2023年镇海金橘平均 亩产量为800kg,近年来引入镇海农林部门研发的矮化密植栽培技术，改良土壤墑情与果实套袋管理模式， 2025年平均亩产量提升至1250kg (1)若2023年到2025年金橘平均亩产量年增长率相同，求其平均亩产量年增长率； (2)已知该合作社月前镇海金橘种植面积为12亩，每亩的种植成本为2.5万元.为满足本地商超及文旅采摘 市场需求，合作社计划2026年增加种植面积.经测算，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少0.05 万元，在保持种植总成本不变的前提下，则2026年该合作社应增加种植面积多少亩？ 2.(24-25八年级下·浙江杭州·期末)随着“博物馆热的持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解历史文 化.某博物馆，今年3月份共计接待游客10万人，5月份接待游客增加到了14.4万人. (1)求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率； (2)若6月份继续保持相同的增长率，则该博物馆6月份预计接待游客多少万人？ 3.(24-25八年级下·浙江宁波期末)某海岛位于北纬30·，全年气候温暖湿润，光照充足，非常适合种 植柑橘.2022年某合作社种植“红美人”柑橘平均亩产量为800kg,为了提高“红美人”柑橘产量，引进先 进的种植技术，到2024年平均亩产量达到1352kg. (1)若2022年到2024年种植“红美人”柑橘平均亩产量的年增长率相同，求种植“红美人”柑橘平均亩产量 8/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 的年增长率 (2)2025年该合作社计划种植“红美人”柑橘面积10亩，每亩种植成本为3万元，为了扩大产量，决定增加“红 美人”柑橘种植面积.经调查发现，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少0,1万元，求该合作社 应增加种植面积多少亩才保持种植总成本不变， 题型二土一一元二次方程实际应用之与图形有关（共3小题） 1.(24-25八年级下·浙江宁波·期末)小明准备进行如下实验操作：把一根长为32cm的铁丝剪成两段，并 以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形. (1)要使这两个正方形的面积之和等于34cm2,则这两个正方形的边长各是多少？ (2)小明认为，这两个正方形的面积之和不可能等于30cm2.你认为他的说法正确吗？请说明理由. 2.(24-25八年级下·浙江金华期末)用一张长为40cm,宽为25cm的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸 盒 图1 图2 图3 (1)如图1裁去角上四个小正方形之后，折成如图2的无盖纸盒.若纸盒底面积为450cm2,则纸盒的高是多 少？ (2)如图3，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片（空 白部分)折成一个有盖的纸盒.若折成纸盒的表面积为912cm2,则裁去的正方形的边长是多少？ 3.(24-25八年级下·浙江杭州·期末)用篱笆围成如图的矩形ABCD菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地 的一边靠墙（墙长为40米）.已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设AB长x米. (I)用含x的代数式表示BC的长 (2)矩形ABCD这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由. 9/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二土二一元二次方程实际应用之营销问题（共3小题） 1.(24-25八年级下·浙江丽水期末)为了促进销售、扩大市场占有率，某品牌销售部在某小区开展中央空 调团购活动，请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题 素材1 某款中央空调每台进价为20000元， 团购方案：团购2台时，则享受团购价30000元/台，若团购数量每增加1台，则每台再降500 素材2 元 规定：一个团的团购数量不超过11台. 问题1：当团购3台时，求出每台空调的团购价. 问题解 问题2：设团购数量增加x台，请用含x的代数式表示每台空调的团购价， 决 问题3：当一个团的团购数量为多少台时，销售部的利润为58500元. 2.(24-25八年级下·浙江杭州期末)根据以下素材，完成探索任务. 探索果园土地规划和销售利润问题 某农户承包了一块长方形果园ABCD,图1是果园的平 面图，其中AB=200米，BC=300米.准备在它的四 素 周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右 材 两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果.己知 道路的路面造价是每平方米50元：出于货车通行等因素 的考虑，横向道路宽度2x不超过24米，且不小于10米。 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查， 素 草莓培育一年可产果，己知每平方米的草莓销售平均利润 材 为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性 2 投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥 (图2) 运输等其余费用. 问题解决 任 (1)请直接写出纵向道 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响. 务 路宽度x的取值范围. 10/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若中间种植的面积 是44800平方米，则路 面设置的宽度是否符合 要求 (3)经过1年后，农户 任 解决果园种植的预期利润问题.（净利润三草莓销售的总 是否可以达到预期净利 务 利润一路面造价费用一果园承包费用一新苗购置费用 润400万元？请说明理 一其余费用) 由 3.(24-25八年级下，浙江杭州·期末)某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2021年每辆汽车的 日租金为100元，由于物价上涨，到2023年日租金上涨到121元. (1)求2021年至2023年日租金的平均增长率. (2)经市场调研发现，从2023年开始，当每辆汽车的日租金定为121元时，汽车可全部租出：日租金每增加 1元，就要少租出2辆.已知汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用31元，每辆未租出的汽 车支付各类费用10元 ①在每辆汽车日租金121元的基础上，设上涨y元，则每辆汽车的日租金为元，实际能租出辆 车. ②当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达28200元？（日收益=总租金一各类费用） 题型二土三与平均数相关求解（共5小题） 1.(24-25八年级下·浙江绍兴期末)若数据m,3,5,n的平均数为4，则数据m,n的平均数是() A.2 B.4 C.6 D.8 2.(24-25八年级下·浙江金华期末)已知一组数据X1+2,X2十2，X3+2,4+2的平均数为6，则另一 组数据x1+3,82十3,3十3,4十3的平均数为() A.5 B.6 C.7 D.不确定 3.(24-25八年级下·浙江宁波期末)若x1,X2,.,x10的平均数为a,X11,X12,…,X30的平均数为 b,则x1,X2,…,X30的平均数为() A.专(a+b)B.品(a+b) C.专(a+2b) D.(a+4b) 4.(24-25八年级下·浙江绍兴期末)已知数据x1,x2,3的平均数是3，数据x4,X5的平均数是5，则x1 11/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ，x2,X3,x4,X5这组数据的平均数是 5.(24-25八年级下.浙江绍兴期末)己知一组数据x1,x2,x3,x4的平均数是5，则另一组数据5x1-5, 5x2-5,5x3-5,5x4-5的平均数是 题型二士四求一组数据的加权平均数（共3小题） 1.(24-25八年级下·浙江宁波·期末)学校举行科技创新比赛，对创新设计和现场展示两个方面评分的权重 分别设为60%，40%来计算选手的综合成绩.小华本次比赛的两项成绩分别是：创新设计80分，现场展 示90分，则他的综合成绩是 分 2.(24-25八年级下·浙江台州期末)体育锻炼是增强体质有效的手段，小王一学期的体育平时成绩为90分， 期中成绩为94分，期末成绩为95分，若学校规定平时成绩、期中成绩、期末成绩三项得分按2：3：5的比 例确定最终成绩，则小王的最终成绩为 分 3.(24-25八年级下浙江嘉兴期末)某校在一次演讲比赛中，甲，乙的各项得分如表， 演讲内容 语言表达 临场表现 甲 90 85 80 乙 84 83 91 (1)如果根据三项得分的平均分从高到低确定名次，那么两位同学的排名顺序怎样？ (2)若学校认为这三个项目的重要程度有所不同，而给予“演讲内容“语言表达临场表现”三个项目在总分中 的占比为2：2：1，那么两位同学的排名顺序又怎样？ 题型二士五求一组数据的中位数众数（共4小题） 1.(24-25八年级下·浙江杭州期末)某班的6名同学在一次体育测试中的总成绩（单位：分）分别为：26， 27,27,29,30,30.这组数据的中位数是() A.27 B.28 C.29 D.30 2.(24-25八年级下.浙江宁波期末)一次数学测试，某学习小组6名学生的分数分别为118,102,111,105， 107,117.这组数据的平均数和中位数分别是() A.110,109B.110,108 C.109,109 D.110,110 3.(24-25八年级下·浙江嘉兴期末)社会实践活动小组的同学们响应“垃圾分类，从我做起”的号召，主动 到附近的5个社区宣传垃圾分类，他们记录的各社区参加活动的人数为：40,36,42,38,40，那么这组 12/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 数据的众数和中位数分别是() A.40,42 B.40,39 C.40,40 D.42,39 4.(24-25八年级下·浙江台州期末)某班男生引体向上测试成绩如下表，则该班男生引体向上成绩的众数 为() 成绩/分 7 9 10 人数 9 A.6 B.7 C.8 D.9 题型二士六求一组数据的方差（共4小题） 1.(24-25八年级下.浙江杭州期末)某合唱团成员的平均年龄为52，方差为10，在人员没有变动的情况下， 两年后这批成员平均年龄、方差分别是() A.平均年龄为52，方差为10 B.平均年龄为54，方差为10 C.平均年龄为52，方差为12 D.平均年龄为54，方差为12 2.(24-25八年级下·浙江宁波·期末)甲、乙两位同学分别进行了5次一分钟跳绳测试的成绩如下表，若乙 同学跳绳成绩的方差大于甲同学跳绳成绩的方差，则x的值可能是() 为 178 179 180 181 182 180 181 182 183 A.179 B.182 C.184 D.185 3.(24-25八年级下·浙江金华期末)已知一组数据x1,x2,x3,x4的方差为5，则X1一1，X2-1, x3-1,X4-1的方差为（) A.5 B.4 C.3 D.1 4.（24-25八年级下·浙江台州期末)方差是刻画数据波动程度的量.对于一组数据x1X2x3·,x15,可 用如下算式计算方差：s2=(x1-5)2+(x2-5)2+(x3-5)2+…+(x15-5)2],则这组数 据的平均数是() A.5 B.10 C.15 D. 题型二土土利用方差判断稳定性（共3小题） 1.(24-25八年级下.浙江温州·期末)甲、乙两名运动员进行射击训练，每人射击10次，若甲的方差（单位： 环2)为12，乙比甲更稳定，则乙的方差可能是() 13/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.0.6 B.1.2 C.1.8 D.2.4 2.(24-25八年级下·浙江台州期末)为迎接2023年杭州亚运会，某高校选拔若干名学生参加开幕式，要求 身高比较整齐.假设该高校全体学生身高的方差是S12,选拔出的这部分学生身高的方差是52，则下列结论 一定成立的是() A.ss B.si=s C.s子<s D.无法比较 3.(24-25八年级下浙江绍兴期末)某射击队计划从甲、乙、丙、丁四名运动员中选拔一人参加国际射击 比赛，在选拔过程中，每人射击10次，计算他们的平均成绩及方差如下表所示： 甲 乙 丙 9.6 9.6 9.7 9.7 环 s2 0.015 0.042 0.015 0.042 射击队决定依据他们的平均成绩及稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是() A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 题型二土八数据的初步分析解答题综合（共5小题） 1.(24-25八年级下·浙江宁波期末)某校广播台要招聘一名编辑，甲、乙、丙三位同学报名参加了三项素 质测试，各项得分如下表（单位：分） 语言文字能力 运用媒体能力 创意设计能力 甲 86 77 77 乙 84 89 73 丙 80 78 85 (1)计算得甲、乙的平均分分别为80分，82分，请求出丙的平均分，并根据三人的平均分从高到低进行排序； (2)如果学校认为这三项的重要程度有所不同，每位应聘者的价格文字能力、运用媒体能力、创意设计能力 14/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 的成绩应按5：2：3的比例计算成绩，并且每位应聘者的单项得分最低不能低于75分.问谁能成功应聘？ 2.(24-25八年级下浙江台州期末)某校组织七、八年级学生参加了“国防安全知识测试，已知七、八年 级各有100人，现从两个年级分别随机抽取10名学生，他们的测试成绩（单位：分）统计如下： 七年级：86947984718876839188 八年级：91819385909678909045 数据分析如下： 平均 中位 众 年级 方差 数 数 数 七年 84 a 88 44.4 级 八年 83.9 90 6 194.9 级 根据以上信息，回答下列问题： (1)a= ,b= (2)学校规定测试成绩不低于85分为优秀”，估计该校七年级测试成绩达到“优秀”的学生人数： (3)你认为哪个年级的测试成绩更好，请至少写出一条理由 3,(24-25八年级下·浙江绍兴·期末)学校要进行普法宣传比赛，某班选出甲、乙两名学生参加法制知识大 比拼（满分100分），并对10次成绩进行整理分析，得到如下图表信息： 、乙法治知识成绩折线统计图 1001成绩/分 99 ◆一甲 97 95 91 90 8688 88 85H 80 80 80 75 67 70H 0 123 45678910序号 平均数/ 众数/ 中位数/ 分 分 15/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 甲成 85.5 80 n 绩 乙成 85.5 m 86 绩 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：m= ，n= (2)甲、乙两名学生成绩的方差分别为SS,请判断S S(填>“<”或“=”). (3)根据(1)，(2)两题的结果和折线统计图，你认为选择哪个同学参赛最合适？请说明理由. 4.(24-25八年级下·浙江宁波期末)杨梅园组织了“浓情杨梅，果香四溢”的采摘杨梅比赛活动，规定一篮 杨梅标准重量为(1000±10)g,现甲、乙两队各10名队员参加了比赛，采摘的杨梅每篮重量如下（单位： g): 甲：987,987,993,993,1000,1003,1003,1003,1013,1015： 乙：988,988,989,999,999,999,1000,1012,1013,1014. 分析数据如表： 队伍 平均数 中位数 众数 甲 999.7 1001.5 a 乙 1000.1 b 999 根据以上信息，解答下列问题： (1)a=-,b=- (2)若比赛规则规定，采摘的杨梅重量符合标准重量篮数多的一队胜出，请问哪队会胜出？请说明理由. 5.(24-25八年级下·浙江绍兴期末)某校积极响应“健康中国”战略，引入AI赋能的校园体育云打卡平台， 该平台可实时追踪学生运动时长，提供个性化运动数据反馈，以此激励学生养成锻炼习惯.现随机抽取数 名学生，统计其使用该平台后每天运动打卡时长t(单位：分钟)，结果分为六组：第1组(0≤t<30),第2 组(30≤t<60),第3组(60≤t<90),第4组(90≤t<120),第5组(120≤t<150),第6组(t≥150)，刘 老师整理数据后，绘制了如下不完整的两幅统计图，请解答下列问题： 16/17 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 抽取学生每组人数的条形统计图 抽取学生每组人数的扇形统计图 人数 第 70 60 6 60 50 第5组 50 40 30 20 20 20 第4组 第3组 10-- 10 25% 0 第1组第2组第3组第4组第5组第6组分组 (1)分别求本次调查共抽取了多少学生人数及第5组的学生人数； (2)抽查的每天运动打卡时长的中位数在第 组： (3)若该校有1200名学生，试估计能落实“中小学生每天综合体育活动时间不低于1小时”的学生人数 17/17 专题15 期末真题百练通关（92题28大基础题型） （二次根式+一元二次方程+数据分析初步） 题型1 二次根式有意义的条件（常考） 题型15 利用根的判别式判断根的情况（重点） 题型2 求二次根式中参数 题型16 已知根的情况求参数的值（重点） 题型3 利用二次根式的性质化简（基础） 题型17 利用根与系数的关系求代数式的值（难点） 题型4 最简二次根式的判断 题型18 利用根与系数的关系求参数（难点） 题型5 利用二次根式的运算判断选项 题型19 根与系数的关系综合应用（难点） 题型6 复合二次根式的化简 题型20 一元二次方程实际应用之增长率问题（常考） 题型7 二次根式的混合运算（必考） 题型21 一元二次方程实际应用之与图形有关（常考） 题型8 判断是否为一元二次方程（基础） 题型22 一元二次方程实际应用之营销问题（常考） 题型9 利用一元二次方程的解求参数（常考） 题型23 与平均数相关求解（基础） 题型10 化为一元二次方程的一般式 题型24 求一组数据的加权平均数 题型11 解一元二次方程（计算）（重点） 题型25 求一组数据的中位数、众数（常考） 题型12 利用直接开平方求参数 题型26 求一组数据的方差 题型13 利用配方法判断是否正确配方（常考） 题型27 利用方差判断稳定性（常考） 题型14 利用配方法求参数 题型28 数据的初步分析解答题综合（必考） 题型一 二次根式有意义的条件（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江金华·期末）下列各数中，能使有意义的x的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件， 根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，列出不等式求解x的取值范围，再判断选项中的数是否符合该范围即可． 【详解】解：使有意义，即， 解得：， ∴A符合题意， 故选：A． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得． 故选：A． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）函数的自变量x的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，考虑根号下需要大于等于0，分母不为0，列不等式组即可解答，熟知二次根式有意义的条件为根号下不能为负数是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件和分母不能为0，可得， 解得且， 故答案为：且． 题型二 求二次根式中参数（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知是整数，则自然数的值是________． 【答案】或 【分析】本题考查了求二次根式中参数的值，先根据二次根式中被开方数是非负数求出的范围，再分析求出的值． 【详解】解：根据被开方数是非负数可得，中的， 解得：， ∵是自然数， ∴， ∵是整数， ∴，， ∴自然数的值是或， 故答案为：或． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数共有___个． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据是整数，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是整数，或或， ∴满足条件的正整数是或或． 即满足条件的正整数共有3个， 故答案为：3． 3．（24-25八年级下·浙江·期末）已知有理数满足等式，则______；_____． 【答案】 【分析】根据有理数的定义以及等式的性质即可求出答案． 【详解】解：由于， ， 由于与是有理数， ，， ，． 故答案为：；． 【点睛】本题考查实数，解题的关键是将等式进行适当的变形，本题属于中等题型． 题型三 利用二次根式的性质化简（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）已知实数在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、化简二次根式，由数轴得出，，从而得出，，最后再由二次根式的性质化简即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴，， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）二次根式化简结果正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，先根据，得出，二次根式的性质化简得，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 【详解】∵，， ∴， ∴原式， ， 故选：． 3．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）非零实数，满足，则______． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，解题的关键熟练运用平方差公式；先运用平方差公式找到与的关系式；代入，通分化简即可． 【详解】两边同时乘以，可得： 可得： 把代入 故答案为： 4．（24-25八年级下·浙江金华·期末）已知，则_______． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．根据题意得到，，根据二次根式以及绝对值的性质，化简即可． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：1． 题型四 最简二次根式的判断（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）下列二次根式为最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②分母不含根号；③被开方数不能含有分母，由此即可求解． 【详解】解：选项A：，被开方数含分数，需化简为，不符合条件③，排除； 选项B：，被开方数2为质数，无平方因数，且分母无根号，符合最简二次根式定义； 选项C：，被开方数4是完全平方数，可化简为2，不符合条件①，排除； 选项D：，被开方数12含平方因数4，可化简为，不符合条件①，排除； 故选：B． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）以下二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式的条件：被开方数的因数是整数或整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．根据最简二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A：，可化为整数，不是最简二次根式； B：被开方数，无平方数因数，且根号内不含分母，符合最简二次根式的条件； C：，含平方数因数，可进一步化简，不是最简二次根式； D：，分母含根号，需有理化为，不符合最简条件． 故选：B． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）下列式子是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义对各选项判断作答即可． 【详解】解：A中是最简二次根式，故符合要求； B中，不是最简二次根式，故不符合要求； C中，不是最简二次根式，故不符合要求； D中，不是最简二次根式，故不符合要求； 故选：A． 题型五 利用二次根式的运算判断选项（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的运算和二次根式的化简，根据二次根式加法、乘法的运算，以及二次根式的化简法则逐项判断即可． 【详解】解：A、与不能合并，所以A选项不符合题意； B、，所以B选项符合题意； C、，所以C选项不符合题意； D、，所以D选项不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质，二次根式的除法，根据二次根式的性质，二次根式的除法逐一验证各选项等式是否成立即可． 【详解】解：A．，本选项等式成立． B． ，本选项等式不成立． C．，本选项等式成立． D．，本选项等式成立． 故选：B 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的加减，二次根式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．运用二次根式的运算规则，逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】A、 不是同类二次根式，不能相加，故A错误，不符合题意； B、 ，故B正确，符合题意； C、 ，故C错误，不符合题意； D、 ，故D错误，不符合题意； 故选：B． 题型六 复合二次根式的化简（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）化简的结果为______． 【答案】5 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用完全平方公式是解题关键． 直接利用完全平方公式将根号内部分变形开平方得出答案． 【详解】解： 故答案为：5． 3．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简________． 【答案】/ 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 题型七 二次根式的混合运算（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键． （1）先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简二次根式即可； （2）利用平方差公式计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25八年级下·浙江金华·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简与混合运算以及平方差公式，正确运算是解决本题的关键． （1）将二次根式化简并计算即可； （2）根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式，计算二次根式的乘法，再计算二次根式的加减法即可得； （2）先计算完全平方公式和二次根式的乘法，再计算加法即可得． 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型八 判断是否为一元二次方程（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江金华·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：“含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程”进行判断即可求解． 【详解】解：A、含有两个未知数，未知数的最高次数是2，不是一元二次方程，故不符合题意； B、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故不符合题意； C、含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故符合题意； D、不是整式方程，故不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）下列方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，注意将各个方程进行整理化简后为一般式后，再去进行判断． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，不符合题意； D、不是整式方程，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）下列方程中， 为一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； C、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 题型九 利用一元二次方程的解求参数（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知是方程的一个根，则的值为（    ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解．把代入方程，进行求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴； 故选：C． 2．（24-25八年级下·浙江金华·期末）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代入求值是关键．将代入方程求出值即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为， ， 解得 故答案为： 3．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）若关于x的方程（h，k均为常数）的解是，，则关于x的方程的解是_______________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把方程中的看做一个整体，根据方程的解的情况建立方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程（h，k均为常数）的解是，， ∴关于x的方程的解满足或， 解得或， 故答案为：或． 题型十 化为一元二次方程的一般式（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）一元二次方程化为一般形式为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握平方差公式以及移项法则是解题的关键．先利用平方差公式展开方程左边，再通过移项将方程化为一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 2．（24-25八年级下·浙江金华·期末）一元二次方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ）． A．9，5， B．9，4， C．9，，4 D．9，，5 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的各项系数是解题的关键．元二次方程的一般形式为（a、b、c为常数，），其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项，由此解答即可． 【详解】解：由得， 所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是9，4，， 故选：B． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知关于的一元二次方程中一次项的系数是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，根据一元二次方程的一般式，其中分别为二次项系数，一次项系数和常数项进行判断即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程中一次项的系数是， 故答案为：． 题型十一 解一元二次方程（计算）（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程， 对于（1），先移项，再配方，然后开方可得解； 对于（2），先移项，再因式分解得出因式乘积的形式，即可得出解． 【详解】（1）解：， 移项，得， 配方，得， 即， ， ，； （2）解：， 移项，得， 因式分解，得， 即， 或， 解得，． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查利用公式法、因式分解法解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法是快速解题的关键． （1）利用公式法求解； （2）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， 移项，得：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． （2）解：， 变形得：， 移项得：， 因式分解得：， 即， ∴或， ∴，． 3．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法和因式分解法成为解题的关键． （1）先移项、然后再运用直接开平方法求解即可； （2）先移项、然后再运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得， 解得． （2）解：， 移项，得， 提取公因式，得， 解得． 题型十二 利用直接开平方求参数（共2小题） 1．（24-25八年级下·浙江温州·期末）已知关于的方程与的解完全相同，则常数的值为（　　） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据两个方程解完全相同，确定根的和与积相等，进而求解参数． 【详解】解：方程的解为和， 方程的解为（需）， 因为两方程解完全相同，故根的和与积相等： ∴， 解得：， ， 代入得：， 解得， 故选：B． 2．（24-25八年级下·浙江台州·期末）对于解关于x的一元二次方程，可以通过降次转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程是，则m的值为__________． 【答案】4 【分析】本题考查了解利用直接开平方法一元二次方程，利用直接开平方法解一元二次方程得到，结合其中一个解进行计算即可． 【详解】解：根据题意得， ∵其中一个一元一次方程是， ∴， 则． 故答案为：4． 题型十三 利用配方法判断是否正确配方（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先根据等式的性质将常数项移项右边，然后方程两边都加一次项一半的平方，再求出答案即可． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， ． 故选：D． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）用配方法解关于 的一元二次方程 ，其变形后正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方． 【详解】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到， 配方得． 故选：A． 3．（24-25八年级下·浙江台州·期末）用配方法解方程，变形后的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程-配方法，把方程的常数项移到等号右边后，在方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边化为完全平方式的形式，再用直接开方法求解． 【详解】解：方程， 移项得：， 配方得：， 即， 故选：D． 题型十四 利用配方法求参数（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）若方程经配方法转化成，则的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法．利用完全平方公式把变形为一般式，从而得到的值． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）把方程变形为的形式，其中，为常数，则的值为___________． 【答案】4 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 根据配方法解方程的一般步骤进行计算即可． 【详解】解： ， ∴， 故答案为：4． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）方程配方后写成的形式，则b的值为________． 【答案】9 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．利用完全平方公式进行配方即可得． 【详解】解：， ， ， ， 则， 故答案为：9． 题型十五 利用根的判别式判断根的情况（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】求出判别式的值，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选B． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式．熟练掌握判别式与根的个数的关系，是解题的关键． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）关于x的方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】先计算根的判别式的值，然后利用根的判别式的意义判断方程根的情况即可. 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B. 【点睛】本题主要考查根的判别式，要熟练掌握各种情况，准确判断根的个数. 3．（24-25八年级下·浙江温州·期末）关于的一元二次方程，下列选项正确的是（    ）． A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．根的个数与的取值有关 【答案】C 【分析】求出一元二次方程根的判别式，判断其值的正负，即可作出判断． 【详解】解：方程x2+4x+（1-m）（m-3）=0， Δ=16-4（1-m）（m-3） =16-4（m-3-m2+3m） =4m2-16m+28 =4（m2-4m+4）+12 =4（m-2）2+12， ∵（m-2）2≥0， ∴4（m-2）2+12≥12＞0， 则方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键． 4．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）定义：对于任意实数，有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：对已知类于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，先根据新定义将原方程化为，然后根据方程有两个不相等的实数根列式求解即可． 【详解】∵， ∴可变为， ∴． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 题型十六 已知根的情况求参数的值（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（    ） A．3 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，通过根的判别式求出m的取值范围，再结合选项确定答案即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式； 在方程中，，，， ∴， ∵， ∴，即； ∵，其余选项的平方均小于12； 故只有D选项符合题意； 故选D． 2．（24-25八年级下·浙江台州·期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个相等的实数根得出判别式是解题的关键． 一元二次方程有两个相等的实数根时，其判别式为零，代入系数计算即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 又∵， ∴，解得． 故选：C． 3．（24-25八年级下·浙江衢州·期末）定义运算：，例如，．若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为（    ） A． B． C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算，根的判别式． 根据新定义的运算将方程转化为一元二次方程，再利用根的判别式求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故选：A． 题型十七 利用根与系数的关系求代数式的值（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知实数α，β满足，，且，且的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把变形为，则、可看作方程的两根，利用根与系数的关系得到，，由于，所以可先化为，再变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：， ， ，且， 、可看作方程的两根， ，， ， ， ． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知α，β是方程的两个根，则代数式的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据根与系数的关系得到，通过一元二次方程的解的定义得到，，即可得到，，进一步即可求出答案． 【详解】解：∵α，β是方程的两个根， ∴，，， ∴，， ∴ ． 故选：C． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，求的值（    ） A． B．2025 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，根与系数的关系．根据完全平方公式可变形为，再利用完全平方公式可得，最后利用根与系数的关系即可解答． 【详解】解：根据完全平方公式将原式变形变形，得： ， 再利用完全平方公式可得， 故原式， ，是一元二次方程的两个实数根， ，， 原式， 故选：B． 4．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知 是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根与系数的关系等知识点，根据一元二次方程根与系数的关系得出和，再利用整体思想即可解决问题，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】∵，是方程的两个根， ∴，， ∴ ， 故选：B． 题型十八 利用根与系数的关系求参数（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值为______． 【答案】 【分析】根据根与系数关系，用表示两根之和与两根之积，结合已知条件求出关于的一元二次方程，根据公式法即可求出的值． 【详解】解： ，是关于的一元二次方程的两个实数根， ，． ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于熟练掌握根与系数关系公式（，）． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，．若，满足，则______． 【答案】// 【分析】由一元二次方程有两个实数根，．可得，，，则，同号，再分两种情况讨论即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，． ∴，，， ∴，同号， 当，都为负数时， ∴，解得：， ∴， 整理得：， ∴，方程无解； 当，都为正数时，此时， ∴，解得：， ∴， 整理得：， 解得：，， 经检验：不符合题意， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根．若，则的值是（    ） A．或3 B． C．3 D．或7 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系得出，，根据，，得出，求出，，根据，得出，即可求出结果． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得：，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，是解题的关键． 题型十九 根与系数的关系综合应用（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于1？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在实数， 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式大于0，据此建立关于的不等式，求解即可得到的取值范围； （2）根据根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，将所求倒数和变形后代入，得到关于的方程，求解后结合第一问的的范围，即可判断是否存在符合条件的． 【详解】（1）解：已知一元二次方程为，方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得； （2）解：存在， 设方程的两个实数根为，， 根据根与系数的关系得， ， 由题意得 ， ∴ ， ∴， 整理得， 解得， ，不符合的条件，舍去； ，符合条件， 存在满足条件的实数，． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程必有两个不相等的实数根． (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． （）计算一元二次方程根的判别式进而即可求证； （）利用根与系数的关系得，，代入求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得，， ∵， ∴， 解得：或， 经检验或是原方程的解， ∴或． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求m的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 【答案】(1)③ (2)或 (3)见解析 【分析】本题考查解一元二次方程，根与系数之间的关系，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）求出方程的解，根据新定义进行判断即可； （2）求出方程的解，根据新定义，进行求解即可； （3）根据根与系数的关系，结合新定义进行求解即可． 【详解】（1）解：，解得：， ∴，故①不是“邻根方程”； ，解得：； ∴，故②不是“邻根方程”； ，解得：， ∴；故③是“邻根方程”； 故答案为：③ （2）解：方程的两根为， 方程是“邻根方程”， ，即， 或； （3）证明：设，是方程的两个根， 由根与系数的关系得：，， 方程是“邻根方程”， ，， ， ． 题型二十 一元二次方程实际应用之增长率问题（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）宁波镇海某金橘合作社深耕本土特色果品种植，2023年镇海金橘平均亩产量为．近年来引入镇海农林部门研发的矮化密植栽培技术，改良土壤墑情与果实套袋管理模式，2025年平均亩产量提升至． (1)若2023年到2025年金橘平均亩产量年增长率相同，求其平均亩产量年增长率； (2)已知该合作社目前镇海金橘种植面积为12亩，每亩的种植成本为2.5万元．为满足本地商超及文旅采摘市场需求，合作社计划2026年增加种植面积．经测算，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少0.05万元，在保持种植总成本不变的前提下，则2026年该合作社应增加种植面积多少亩？ 【答案】(1) (2)38亩 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系，合理设未知数并列出一元二次方程，进而求解得到符合实际意义的答案． （1）设年增长率为x，表示出 2025年亩产量，列方程求解． （2）设2026年该合作社应增加种植面积m亩，表示出增加后的面积和每亩成本，列方程求解． 【详解】（1）解：设平均亩产量的年增长率为，由题意得： ， 解得：（舍去）， 答：平均亩产量的年增长率为． （2）解：设2026年该合作社应增加种植面积亩， 由题意得：， 解得：（舍去）， 答：2026年该合作社应增加种植面积38亩． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）随着“博物馆热”的持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解历史文化．某博物馆，今年月份共计接待游客万人，月份接待游客增加到了万人． (1)求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率； (2)若月份继续保持相同的增长率，则该博物馆月份预计接待游客多少万人？ 【答案】(1) (2)万人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为，根据今年3月份共计接待游客万人，月份接待游客增加到了万人，列出一元二次方程，解之其符合题意的值即可； （2）根据月份继续保持相同的增长率，列式计算即可． 【详解】（1）解：（1）设该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 故该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为． （2）解：月份接待游客人数：（万人）， 答：该博物馆月份预计接待游客万人． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）某海岛位于北纬 ，全年气候温暖湿润，光照充足，非常适合种植柑橘． 年某合作社种植“红美人”柑橘平均亩产量为，为了提高“红美人”柑橘产量，引进先进的种植技术，到 年平均亩产量达到． (1)若 年到年种植“红美人”柑橘平均亩产量的年增长率相同，求种植“红美人”柑橘平均亩产量的年增长率． (2) 年该合作社计划种植“红美人”柑橘面积亩，每亩种植成本为万元，为了扩大产量，决定增加“红美人”柑橘种植面积．经调查发现，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少万元，求该合作社应增加种植面积多少亩才保持种植总成本不变． 【答案】(1)“红美人”平均亩产量的年增长率为 (2)年该合作社应增加种植面积亩 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，如增长率问题等，解题中需掌握不同类型应用题的对应方法． （1）增长率问题，可根据（其中为基数，为最终值，为增长率，为年份间隔），即可求解； （2）设增加种植面积亩，根据两种成本相同列方程即可． 【详解】（1）解：设种植“红美人”柑橘平均亩产量的年增长率为，可得： ， 解得，（舍去） 答：种植“红美人”平均亩产量的年增长率为； （2）解：设2025年该合作社应增加种植面积m亩，可得： ， 解得，（舍去），， 答：2025年该合作社应增加种植面积20亩． 题型二十一 一元二次方程实际应用之与图形有关（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）小明准备进行如下实验操作：把一根长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于，则这两个正方形的边长各是多少？ (2)小明认为，这两个正方形的面积之和不可能等于．你认为他的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)正确，见解析． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用和一元二次方程根的判定式，找出等量关系并列出方程是解题的关键． （1）两个正方形的周长之和为，则两个正方形的边长之和为，设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为．根据面积之和等于建立方程求解； （2）先建立方程，再根据根的判定式判定即可． 【详解】（1）设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为．依题意列方程得． 整理得：， 解得，， 因此这两个正方形的边长分别是，； （2）两个正方形的面积之和不可能等于．理由： 若两个正方形的面积和为，则 ， ∴， ， 此方程无解， 两个正方形的面积之和不可能等于． 2．（24-25八年级下·浙江金华·期末）用一张长为，宽为的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒． (1)如图裁去角上四个小正方形之后，折成如图的无盖纸盒若纸盒底面积为，则纸盒的高是多少？ (2)如图，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片空白部分折成一个有盖的纸盒若折成纸盒的表面积为，则裁去的正方形的边长是多少？ 【答案】(1)纸盒的高为 (2)裁去的正方形的边长为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 对于（1）, 设纸盒的高为，则纸盒的底面是长为，宽为的长方形，根据纸盒底面积为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 对于（1），正方形的边长为，根据折成纸盒的表面积为 长方形硬纸板的面积阴影部分的面积，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设纸盒的高为，则纸盒的底面是长为，宽为的长方形， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：纸盒的高为； （2）解：设裁去的正方形的边长为，根据题意得： 解得：， 不符合题意，舍去． 答：裁去的正方形的边长为． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）用篱笆围成如图的矩形菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设长x米． (1)用含x的代数式表示的长． (2)矩形这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)米 (2)能；15 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据矩形的面积列出方程． （1）根据题意表示出即可； （2）根据矩形这块菜地的面积为225平方米，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵篱笆的总长为60米，长x米， ∴米； （2）解：能；根据题意得： ， 解得：，， 当时，， ∵墙长为40米， ∴不符合题意舍去； ∴x的值为15． 题型二十二 一元二次方程实际应用之营销问题（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）为了促进销售、扩大市场占有率，某品牌销售部在某小区开展中央空调团购活动，请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题． 素材1 某款中央空调每台进价为20000元． 素材2 团购方案：团购2台时，则享受团购价30000元/台，若团购数量每增加1台，则每台再降500元． 规定：一个团的团购数量不超过11台． 问题解决 问题1：当团购3台时，求出每台空调的团购价． 问题2：设团购数量增加x台，请用含x的代数式表示每台空调的团购价． 问题3：当一个团的团购数量为多少台时，销售部的利润为58500元． 【答案】问题1：29500元；问题2：元；问题3：当一个团的团购数量为9台时，销售部的利润为58500元． 【分析】本题主要考查列代数式和一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到其中蕴含的相等关系． 问题1：根据题意原售价基础上减去500元即可； 问题2：原售价减去每台下降的部分即可得出答案； 问题3：根据总利润每台利润销售数量列方程求解即可． 【详解】解：问题1：当团购3台时，每台空调的团购价为（元）； 问题2：设团购数量增加台，表示每台空调的团购价为（元）； 问题3：根据题意，得：， 整理，得：， 解得（舍去），， 答：当一个团的团购数量为9台时，销售部的利润为58500元． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度不超过24米，且不小于10米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由． 【答案】（1）； （2）路面设置的宽度符合要求； （3）可以，理由见解析． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由“横向道路宽度不超过24米，且不小于10米”，可得出的取值范围； （2）根据种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，可得出的值，结合（1）的结论，即可得出路面设置的宽度符合要求； （3）假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合（1）的结论，可得出符合题意，假设成立． 【详解】解：（1）横向道路宽度不超过24米，且不小于10米，即 解得： 纵向道路宽度的取值范围为 故答案为：； （2）根据题意可得： 整理得： 解得：， 符合题意 路面设置的宽度符合要求； 故答案为：路面设置的宽度符合要求； （3）经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，理由如下： 假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元， 根据题意得： 整理得： 解得：， 符合题意 假设成立，即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2021年每辆汽车的日租金为100元，由于物价上涨，到2023年日租金上涨到121元． (1)求2021年至2023年日租金的平均增长率． (2)经市场调研发现，从2023年开始，当每辆汽车的日租金定为121元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆．已知汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用31元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元． ①在每辆汽车日租金121元的基础上，设上涨元，则每辆汽车的日租金为______元，实际能租出______辆车． ②当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达28200元？(日收益总租金各类费用) 【答案】(1) (2)①，； ②或元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式； （1）设年至年日租金的平均增长率为，利用年每辆汽车的日租金年每辆汽车的日租金年至年日租金的平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）①利用每辆汽车的日租金每辆汽车日租金上涨的钱数，可用含的代数式表示出每辆汽车的日租金；利用实际能租出的数量每辆汽车日租金上涨的钱数，即可用含的代数式表示出实际能租出的数量； ②利用日收益总租金各类费用，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设年至年日租金的平均增长率为， 根据题意得：， 解得： (不符合题意，舍去)． 答：2年至年日租金的平均增长率为； （2）①根据题意得：在每辆汽车日租金元的基础上，设上涨元，则每辆汽车的日租金为元， 实际能租出辆． 故答案为：，； ②根据题意得：， 整理得：， 解得：． 答：当每辆汽车的日租金上涨或元时，该租赁公司的日收益可达元． 题型二十三 与平均数相关求解（共5小题） 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）若数据，3，5，的平均数为4，则数据，的平均数是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是平均数的定义，根据平均数的定义，先求出四个数的总和，再结合已知条件求出m与n的和，最后计算m和n的平均数即可． 【详解】解：由题意，数据m、3、5、n的平均数为4， 可得：两边同时乘以4， 得：， 合并常数项，得：， 因此：， ∴数据m、n的平均数为：； 故选：B． 2．（24-25八年级下·浙江金华·期末）已知一组数据，，，的平均数为6，则另一组数据，，，的平均数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．不确定 【答案】C 【分析】根据平均数的求法解答即可． 【详解】解：一组数据，，，的平均数为：， 另一组数据，，，的平均数为：． 故选：C． 【点睛】本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的平均数． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）若，，，的平均数为， ，，，的平均数为，则，，，的平均数为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平均数的定义进行计算即可求解． 【详解】因为，，，的平均数为，，，，的平均数为， 根据平均数的定义，，，，的平均数 ． 故选：C． 【点睛】本题考查平均数，掌握平均数的定义是解决此题的关键． 4．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知数据，，的平均数是3，数据，的平均数是5，则，，，，这组数据的平均数是_____． 【答案】// 【分析】根据平均数计算公式进行计算即可． 【详解】解：∵数据，，的平均数是3，数据，的平均数是5， ∴，，，，这组数据的平均数为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平均数的计算，解题的关键是理解平均数的计算公式，准确计算． 5．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知一组数据，，，的平均数是5，则另一组数据，，，的平均数是_________． 【答案】20 【分析】根据算术平均数的定义，先求得，然后再根据公式计算，，，的平均数，将整体代入进去即可求解． 本题考查了算术平均数的计算，熟练掌握算术平均数的计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵数据，，，的平均数是5， ∴， ∴一组数据，，，的平均数为： ． 故答案为：20． 题型二十四 求一组数据的加权平均数（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）学校举行科技创新比赛，对创新设计和现场展示两个方面评分的权重分别设为，来计算选手的综合成绩．小华本次比赛的两项成绩分别是：创新设计80分，现场展示90分，则他的综合成绩是________分． 【答案】84 【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式计算即可得出答案，熟练掌握加权平均数的计算公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：他的综合成绩是分， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·浙江台州·期末）体育锻炼是增强体质有效的手段，小王一学期的体育平时成绩为90分，期中成绩为94分，期末成绩为95分，若学校规定平时成绩、期中成绩、期末成绩三项得分按的比例确定最终成绩，则小王的最终成绩为________分． 【答案】 【分析】本题考查了加权平均数的求法，根据加权平均数的计算方法列式进行计算是解题的关键． 【详解】解：小王的最终成绩为分， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）某校在一次演讲比赛中，甲，乙的各项得分如表． 演讲内容 语言表达 临场表现 甲 90 85 80 乙 84 83 91 (1)如果根据三项得分的平均分从高到低确定名次，那么两位同学的排名顺序怎样？ (2)若学校认为这三个项目的重要程度有所不同，而给予“演讲内容”“语言表达”“临场表现”三个项目在总分中的占比为，那么两位同学的排名顺序又怎样？ 【答案】(1)根据三项得分的平均数从高到低确定名次，乙第一，甲第二 (2)两个的排名顺序发生变化，甲第一，乙第二 【分析】本题考查算术平均数、加权平均数的意义及计算方法，体会“权”在求平均数时的作用． （1）根据算术平均数的计算方法计算甲、乙的平均数，通过比较得出得出结论． （2）利用加权平均数的计算方法分别计算甲、乙的总评成绩，比较做出判断即可． 【详解】（1）解：甲的算术平均数：， 乙的算术平均数：． 因此第一名是乙，第二名是甲， 答：根据三项得分的平均数从高到低确定名次，乙第一，甲第二． （2）解：甲班的总评成绩：， 乙班的总评成绩：， ， ∴甲高于乙， 答：两个的排名顺序发生变化，甲第一，乙第二． 题型二十五 求一组数据的中位数、众数（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）某班的6名同学在一次体育测试中的总成绩（单位：分）分别为：26，27，27，29，30，30．这组数据的中位数是（   ） A．27 B．28 C．29 D．30 【答案】B 【分析】此题考查了中位数，中位数是将一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数．若数据个数为偶数，则中位数为中间两个数的平均值．据此求解即可． 【详解】将数据从小到大排列为：26，27，27，29，30，30． 共有6个数据（偶数个），中位数为第3和第4个数的平均值． 第3个数是27，第4个数是29， 因此中位数为． 故选B． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）一次数学测试，某学习小组6名学生的分数分别为118，102，111，105，107，117．这组数据的平均数和中位数分别是(   ) A．110，109 B．110，108 C．109，109 D．110，110 【答案】A 【分析】本题考查了平均数和中位数的概念，熟练掌握平均数和中位数的计算方法是解题的关键．根据平均数和中位数的概念进行计算即可得解． 【详解】解：这组数据的平均数为：， 将这组数据由小到大排列为：102，105，107，111，117，118， 中位数为：， 这组数据的平均数和中位数分别是110，109． 故选：A． 3．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）社会实践活动小组的同学们响应“垃圾分类，从我做起”的号召，主动到附近的5个社区宣传垃圾分类，他们记录的各社区参加活动的人数为：，那么这组数据的众数和中位数分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了众数和中位数．熟练掌握众数和中位数的定义是解题的关键． 根据众数和中位数的定义求解作答即可． 【详解】解：将数据从小到大依次排序为：， ∴众数为，中位数为第3个位置上的数即， 故选：C． 4．（24-25八年级下·浙江台州·期末）某班男生引体向上测试成绩如下表，则该班男生引体向上成绩的众数为（    ） 成绩/分 6 7 8 9 10 人数 2 4 9 5 3 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了众数的定义，出现次数最多的数为众数，据此进行作答即可． 【详解】解：∵成绩为分的人数为人，出现次数最多 ∴该班男生引体向上成绩的众数为8 故选：C 题型二十六 求一组数据的方差（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）某合唱团成员的平均年龄为52，方差为10，在人员没有变动的情况下，两年后这批成员平均年龄、方差分别是（　　） A．平均年龄为52，方差为10 B．平均年龄为54，方差为10 C．平均年龄为52，方差为12 D．平均年龄为54，方差为12 【答案】B 【分析】本题考查平均数和方差的变化规律，解题关键是熟练掌握平均数和方差的含义． 对于平均数和方差，根据“当每个数据增加相同数值时，平均数同步增加，而方差保持不变”即可判定． 【详解】解：平均年龄计算：原平均年龄为，两年后每位成员年龄增加，故新平均年龄为． 方差分析：方差反映数据离散程度，由于每位成员年龄均增加，数据与平均数的差值不变，因此方差保持原值不变． 综上，两年后平均年龄为，方差仍为，故选B． 故选：B． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）甲、乙两位同学分别进行了5次一分钟跳绳测试的成绩如下表，若乙同学跳绳成绩的方差大于甲同学跳绳成绩的方差，则的值可能是（    ） 甲 178 179 180 181 182 乙 180 181 182 183 A．179 B．182 C．184 D．185 【答案】D 【分析】本题考查了方差，掌握方差的定义与计算公式是解答本题的关键． 先计算出甲的平均数和方差，再根据方差的定义解答即可． 【详解】解：甲的平均数为：， 故甲的方差为：； 当乙为179或184时，乙的五个数是相邻的正整数，其方差与甲相等，即为2； 当乙为182时，乙的五个数的波动比相邻的正整数小，方差比2小； 当乙为185时，乙的五个数的波动比相邻的正整数大，方差比2大； 所以的值可能是185． 故选：D． 3．（24-25八年级下·浙江金华·期末）已知一组数据，，，的方差为，则，，，的方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了确定一组数据的方差，根据方差的意义：方差反映的是一组数据的波动大小，方差越大，波动越大，反之波动越小，据此即可获得答案，理解方差的意义是解题的关键． 【详解】解：∵数据，，，的方差为， 又∵数据，，，与数据，，，的波动大小一样， ∴数据，，，的方差为， 故选：． 4．（24-25八年级下·浙江台州·期末）方差是刻画数据波动程度的量．对于一组数据，可用如下算式计算方差：，则这组数据的平均数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方差公式的定义即可求解． 【详解】根据方差公式：与对比可知：， 故选：． 【点睛】此题主要考查平均数与方差的关系，解题的关键是熟知方差公式的性质． 题型二十七 利用方差判断稳定性（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江温州·期末）甲、乙两名运动员进行射击训练，每人射击次，若甲的方差（单位：环）为，乙比甲更稳定，则乙的方差可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据方差判断稳定性，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，据此即可求解； 【详解】解：∵方差越小，数据波动越小，成绩越稳定， ∴若乙比甲更稳定，则乙的方差小于， 故选：A 2．（24-25八年级下·浙江台州·期末）为迎接2023年杭州亚运会，某高校选拔若干名学生参加开幕式，要求身高比较整齐．假设该高校全体学生身高的方差是，选拔出的这部分学生身高的方差是，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：要求身高比较整齐， ， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）某射击队计划从甲、乙、丙、丁四名运动员中选拔一人参加国际射击比赛，在选拔过程中，每人射击10次，计算他们的平均成绩及方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 /环 9.6 9.6 9.7 9.7 0.015 0.042 0.015 0.042 射击队决定依据他们的平均成绩及稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】根据平均数和方差的性质：平均数越大，平均成绩就好，方差越小数据越稳定． 【详解】解：∵， ∴丙与丁的平均成绩较好； 又∵，， ∴， ∴丙的成绩更稳定， ∴被选中的运动员是丙． 故选：C． 【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 题型二十八 数据的初步分析解答题综合（共5小题） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）某校广播台要招聘一名编辑，甲、乙、丙三位同学报名参加了三项素质测试，各项得分如下表（单位：分）． 语言文字能力 运用媒体能力 创意设计能力 甲 86 77 77 乙 84 89 73 丙 80 78 85 (1)计算得甲、乙的平均分分别为80分，82分，请求出丙的平均分，并根据三人的平均分从高到低进行排序； (2)如果学校认为这三项的重要程度有所不同，每位应聘者的价格文字能力、运用媒体能力、创意设计能力的成绩应按的比例计算成绩，并且每位应聘者的单项得分最低不能低于75分．问谁能成功应聘？ 【答案】(1)平均分从高到低排序为：乙，丙，甲 (2)甲将成功应聘 【分析】本题主要考查了加权平均数的求法及应用等知识点，熟练掌握加权平均数公式是是解决此题的关键． （1）利用平均数的公式即可直接求解，即可判断； （2）利用加权平均数公式求解，即可判断． 【详解】（1）解：丙的平均分=（分）， 平均分从高到低排序为：乙，丙，甲； （2）因为乙的创意设计能力低于75分，所以乙首先被淘汰， 甲的加权平均分是：（分）， 丙的加权平均分是：（分）， 因为甲的加权平均分高，所以甲将成功应聘． 2．（24-25八年级下·浙江台州·期末）某校组织七、八年级学生参加了“国防安全知识”测试，已知七、八年级各有100人，现从两个年级分别随机抽取10名学生，他们的测试成绩（单位：分）统计如下： 七年级：86  94  79  84  71  88  76  83  91  88 八年级：91  81  93  85  90  96  78  90  90  45 数据分析如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 88 44.4 八年级 83.9 90 194.9 根据以上信息，回答下列问题： (1)______，_____； (2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校七年级测试成绩达到“优秀”的学生人数： (3)你认为哪个年级的测试成绩更好，请至少写出一条理由． 【答案】(1)85，90 (2)50人 (3)八年级，见解析 【分析】本题主要考查中位数、众数、方差的意义、用样本估计总体等知识点，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义即可解答； （2）分别求出七年级优秀的比例，再乘以总人数即可； （3）两组数据的平均数相差，通过方差的大小比较即可解答． 【详解】（1）解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，88，88，91，94，故该组数据的中位数为， 八年级10名学生的成绩中90分的最多，有3人，所以众数． 故答案为：85，90． （2）解：由七年级成绩不低于85分为“优秀”的学生有5，则估计该校七年级测试成绩达到“优秀”的学生人数人． 答：该校七年级测试成绩达到“优秀”的学生人数为50人． （3）解：我认为八年级的测试成绩更好，理由如下： 由两个年级平均分接近，七年级中位数为85，八年级中位数为90，则，八年级的测试成绩更好． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）学校要进行普法宣传比赛，某班选出甲、乙两名学生参加法制知识大比拼（满分100分），并对10次成绩进行整理分析，得到如下图表信息： 平均数/分 众数/分 中位数/分 甲成绩 85.5 80 n 乙成绩 85.5 m 86 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：______，______． (2)甲、乙两名学生成绩的方差分别为，请判断______（填“>”“<”或“=”）． (3)根据（1），（2）两题的结果和折线统计图，你认为选择哪个同学参赛最合适？请说明理由． 【答案】(1)85；87 (2) (3)选甲：甲的中位数为87，乙的中位数是86，所以10次成绩中间分数甲比乙高且甲最高分是99，潜力大． 选乙：平均分一样．乙的众数高于甲，且乙的方差小于甲，成绩更加稳定． 【分析】本题考查了中位数、众数、方差等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）根据众数和中位数的定义解答即可； （2）根据方差的意义解答即可； （3）根据中位数，众数、方差和平均数的定义解答即可． 【详解】（1）解：在乙的10次成绩中，85出现的次数最多，故众数； 把甲的10次成绩从小到大排列，排在第5和第6个数分别是86，88，故中位数， 故答案为：85；87； （2）解：由折线统计图可知，甲的10次成绩的波比乙大， 所以 故答案为：； （3）解：选甲：甲的中位数为87，乙的中位数是86，所以10次成绩中间分数甲比乙高且甲最高分是99，潜力大； 选乙：平均分一样，乙的众数高于甲，且乙的方差小于甲，成绩更加稳定．（答案不唯一）． 4．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）杨梅园组织了“浓情杨梅，果香四溢”的采摘杨梅比赛活动，规定一篮杨梅标准重量为，现甲、乙两队各10名队员参加了比赛，采摘的杨梅每篮重量如下（单位：g）： 甲：987，987，993，993，1000，1003，1003，1003，1013，1015； 乙：988，988，989，999，999，999，1000，1012，1013，1014． 分析数据如表： 队伍 平均数 中位数 众数 甲 999.7 1001.5 a 乙 1000.1 b 999 根据以上信息，解答下列问题： (1) ， ． (2)若比赛规则规定，采摘的杨梅重量符合标准重量篮数多的一队胜出，请问哪队会胜出？请说明理由． 【答案】(1)1003；999 (2)甲队有6人符合标准重量，乙队有4人符合标准重量，甲队胜． 【分析】本题考查了求众数、中位数，有理数的加减运算的实际应用， （1）根据众数的定义求出甲的众数，根据中位数的定义求得乙的中位数即可； （2）首先得到一篮杨梅标准重量为然后分别求出甲队有6人符合标准重量，乙队有4人符合标准重量，进而求解即可． 【详解】（1）∵甲队中1003出现的次数最多 ∴众数； ∵共有10个数据 ∴中位数为第5个数据和第6个数据的平均数 ∴乙队中位数； （2）∵规定一篮杨梅标准重量为， ∴， ∴一篮杨梅标准重量为 ∴甲队中采摘的杨梅重量符合标准重量篮数有993，993，1000，1003，1003，1003，共6篮， 乙队中采摘的杨梅重量符合标准重量篮数有999，999，999，1000，共4篮， ∴甲队胜． 5．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）某校积极响应“健康中国”战略，引入AI赋能的校园体育云打卡平台，该平台可实时追踪学生运动时长，提供个性化运动数据反馈，以此激励学生养成锻炼习惯．现随机抽取数名学生，统计其使用该平台后每天运动打卡时长（单位：分钟），结果分为六组：第1组(),第2组(),第3组(),第4组(),第5组(),第6组(),刘老师整理数据后，绘制了如下不完整的两幅统计图，请解答下列问题： (1)分别求本次调查共抽取了多少学生人数及第5组的学生人数； (2)抽查的每天运动打卡时长的中位数在第___________组； (3)若该校有1200名学生，试估计能落实“中小学生每天综合体育活动时间不低于1小时”的学生人数． 【答案】(1)名，名 (2)4 (3)名． 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，求解中位数和样本估计总体，从统计图中有效的获取信息是解题的关键． （1）用第4组的人数，除以所占的比例求出调查总人数，用调查总人数减去已知各组人数即可得到答案； （2）根据中位数的定义进行解答即可； （3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，本次调查共抽取的人数为：（名）； 第5组的学生人数为：（名）； （2）∵本次调查共抽取的人数为名， ∴中位数应该是数据从小到大排列后的第100和101名的平均数， ∵， ∴第100和101名的数据落在第4组，即中位数落在第4组； 故答案为：4 （3）解：（人）； 答：估计能落实“中小学生每天综合体育活动时间不低于1小时”的学生人数为人． 1 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $