专题03 复数（期末真题汇编，云南专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 汇编云南多地近年期末统测及阶段检测试题，系统覆盖复数7大核心考点，注重基础概念与综合应用能力梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|占比约60%|复数概念、几何意义、四则运算|结合高考基础题导向，如复数虚部判断、复平面象限定位| |多选|占比约30%|三角表示、模的范围|融入数学文化（棣莫弗定理、欧拉公式），考查多维度理解| |解答题|少量|综合应用|关联一元二次方程复数根，体现知识迁移能力|

专题03 复数 复数的计算和应用，在高考中常以基础题进行考察，在云南高一期末统测中，主要考察复数的概念，复数的几何意义，四则运算及复数的综合应用等. 高频考点概览 考点01数系的扩充和复数的概念 考点02复数的几何意义 考点03复数的四则运算 考点04 一元二次方程的复数根 考点05 复数的三角表示 考点06 复数的模及范围表示 考点07 复数的综合应用 考点01 数系的扩充和复数的概念 1．（20-21高一下·云南曲靖·期末）若复数()是正实数，则实数的值为（ ） A． B．3 C． D． 2．（24-25高一下·云南保山·期末）在复平面内，若复数对应的点为，则复数的虚部为（ ） A． B． C．1 D． 3．（25-26高三上·云南普洱·期末）已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·云南曲靖·期末）复数的虚部为（ ） A． B． C．13 D． 5．（25-26高二上·云南昆明·期末）已知复数满足，则的虚部为（ ） A．1 B． C． D． 6．（25-26高二上·云南保山·期末）（多选）若复数，则的值可以是（ ） A．1 B． C． D． 考点02 复数的几何意义 1．（24-25高二下·云南·期末）记为虚数单位，则复数在复平面内的对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25高二下·云南·期末）记为虚数单位，复数，则（ ） A．5 B． C． D．2 3．（24-25高二下·云南昭通·期末）已知复数z的模为5，实部为4，则复数z为（ ） A． B．或 C． D．或 4．（24-25高二下·云南·期末）若为虚数单位，则“”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高二下·云南保山·期末）已知复数对应的向量为，向量，则向量在上的投影向量的坐标为（ ） A． B． C． D． 6．（22-23高二下·云南大理·期末）已知是虚数单位，在复平面内，复数和对应的点间的距离是（ ） A．0 B．1 C． D． 7．（25-26高三下·云南昆明·期中）在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（ ） A． B． C． D． 8．（20-21高二下·云南玉溪·期末）若在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 考点03 复数的四则运算 1．（25-26高二上·云南文山·期末）复数，i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（21-22高二下·云南文山·期末）已知，则（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·云南昭通·期末）若复数，则（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·云南大理·期末）设，则的虚部是（ ） A．1 B．-1 C． D． 5．（22-23高一下·云南大理·期末）若复数满足，则关于复数的说法正确的是（ ） A．复数的实部为 B．复数的虚部为 C．复数的模长为 D．复数对应的复平面上的点在第一象限 6．（24-25高二下·云南曲靖·期末）（多选）已知复数，则（ ） A．z的共轭复数为 B． C．为纯虚数 D．z在复平面内对应的点位于第二象限 7．（24-25高一下·云南楚雄·期末）（多选）若复数，则（ ） A． B．z的实部为 C．z的共轭复数为 D．z在复平面内对应的点位于第二象限 8．（23-24高一下·云南昭通·期末）（多选）下列命题正确的是（ ） A．复数的共轭复数是 B．复数是纯虚数，则 C．复数所对应的点在第二象限，则 D．已知，则 考点04 一元二次方程的复数根 1．（2024·云南楚雄·一模）已知复数，是方程的两个虚数根，则（ ） A．0 B． C．2 D．4 2．（25-26高三下·云南昆明·阶段检测）已知是关于x的方程的一个根，则（ ） A．2 B．0 C． D． 3．（25-26高二上·云南保山·期末）若是方程的复数根，则复数在复平面上对应的点应位于（ ） A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第四象限 C．第二象限或第三象限 D．第三象限或第四象限 4．（23-24高一下·云南昆明·期末）在复数范围内，方程的两个根分别为，则（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·云南临沧·期末）已知复数是关于的方程的根，则_________________. 6．（25-26高一下·云南曲靖·阶段检测）已知i是虚数单位，是关于x的方程（其中a，b）的一个根，则______． 7．（25-26高一下·云南曲靖·阶段检测）已知复数是关于的方程的一个根，其中． (1)求的值； (2)若复数满足，求的最小值． 考点05 复数的三角表示 1．（24-25高二上·云南昭通·期中）棣莫佛定理：若复数，则，计算（ ） A． B． C． D． 2．（2026·云南保山·二模）棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·云南玉溪·期末）（多选）任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且若，，则（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·云南曲靖·期末）（多选）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D． 5．（24-25高一下·云南玉溪·阶段检测）（多选）欧拉公式：是虚数单位，，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令可得.它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等下列关于欧拉公式的叙述正确的有（ ） A． B．复数对应的点位于第二象限 C． D． 6．（24-25高三上·云南·阶段检测）（多选）设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角（也被称为的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现，我们称这个结论为棣莫佛定理，根据以上信息，若复数满足，则可能的取值为（ ） A． B． C． D． 考点06 复数的模及范围表示 1．（24-25高三上·云南昆明·期中）设复数在复平面内对应的点为，若，则（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·云南红河·期末）已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 3．（20-21高一下·云南昆明·期末）（多选）已知复数满足，则下列选项正确的是（ ） A． B． C．在复平面内对应的点在第二象限 D．若复数满足，在复平面内对应的点为，点的集合是圆 4．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）（多选）下列结论正确的是（ ） A．若复数满足，则 B．若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为 C．若复数在复平面内对应的点为，则复数在复平面内对应的点在第一象限 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 5．（24-25高一下·云南昆明·期中）（多选）已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，，则（ ） A．，两点在以原点为圆心的同一个圆上 B．，两点之间的距离为 C．满足的复数z对应的点Z形成的图形的周长是25π D．满足的复数z对应的点Z形成的图形的面积是4π 6．（25-26高三上·云南昆明·期中）（多选）设复数在复平面内对应的点为为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则或 C．若点的坐标为，则对应的点在第三象限 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 7．（24-25高二上·云南丽江·期末）若复数满足，则的最小值是__________. 8．（22-23高一下·云南曲靖·期中）设是实数，复数，（是虚数单位）． (1)若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围； (2)求的最小值． 考点07 复数的综合应用 1．（25-26高一下·云南昭通·期中）（多选）已知复数，，，且，下列说法正确的是（ ） A．是实数 B．是虚数 C．是实数 D．若，则是实数 2．（22-23高一下·云南曲靖·期末）（多选）关于复数、，下列说法正确的是（ ） A．若， B． C．若，则的最大值为 D．若，则 3．（23-24高三上·云南德宏·期末）（多选）已知是复数的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A． B．若，则 C． D．若，则的最小值为1 4．（25-26高一下·云南曲靖·阶段检测）（多选）已知为虚数单位，下列说法正确的是（ ） A．若复数满足，则复数在复平面内对应的点在以为圆心，为半径的圆上 B．若复数满足，则复数 C．复数的模实质上是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 D．对复数，若，则 5．（24-25高一下·云南昭通·期末）（多选）已知复数在复平面内对应的点分别为和，则下列结论正确的是（ ） A．点的坐标为 B． C．若，则 D． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 复数 复数的计算和应用，在高考中常以基础题进行考察，在云南高一期末统测中，主要考察复数的概念，复数的几何意义，四则运算及复数的综合应用等. 高频考点概览 考点01数系的扩充和复数的概念 考点02复数的几何意义 考点03复数的四则运算 考点04 一元二次方程的复数根 考点05 复数的三角表示 考点06 复数的模及范围表示 考点07 复数的综合应用 考点01 数系的扩充和复数的概念 1．（20-21高一下·云南曲靖·期末）若复数()是正实数，则实数的值为（ ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的分类标准列式求解即可. 【详解】因为复数()是正实数， 所以，解得. 故选：B 2．（24-25高一下·云南保山·期末）在复平面内，若复数对应的点为，则复数的虚部为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用复数的几何意义写出复数，即得其虚部. 【详解】由题意得，故复数z的虚部为. 故选：A． 3．（25-26高三上·云南普洱·期末）已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的乘法运算，结合复数的意义求解. 【详解】依题意，， 由复数为纯虚数，得，解得， 所以实数的值为. 故选：A 4．（25-26高二上·云南曲靖·期末）复数的虚部为（ ） A． B． C．13 D． 【答案】A 【分析】利用复数的除法，结合复数的定义求解. 【详解】依题意，，所以复数的虚部为． 故选：A 5．（25-26高二上·云南昆明·期末）已知复数满足，则的虚部为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，根据复数的运算结合复数相等的条件，列式即可求解. 【详解】设，则， 由，得， 则，解得，即， 所以的虚部为1. 故选：A． 6．（25-26高二上·云南保山·期末）（多选）若复数，则的值可以是（ ） A．1 B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据复数的乘法运算计算即可. 【详解】因为，所以， 所以，解得或， 则或． 考点02 复数的几何意义 1．（24-25高二下·云南·期末）记为虚数单位，则复数在复平面内的对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】直接写出复数对应的点的坐标，判断其所在象限即可. 【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为， 位于第二象限. 故选：B 2．（24-25高二下·云南·期末）记为虚数单位，复数，则（ ） A．5 B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用复数模的计算公式求解. 【详解】复数，则. 故选：A 3．（24-25高二下·云南昭通·期末）已知复数z的模为5，实部为4，则复数z为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】求出复数的虚部即可得解. 【详解】已知复数z的模为5，实部为4，则复数z的虚部为，即复数z为或. 故选：B. 4．（24-25高二下·云南·期末）若为虚数单位，则“”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据模长公式计算求解，再结合必要不充分条件判断即可. 【详解】由，得，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 5．（23-24高二下·云南保山·期末）已知复数对应的向量为，向量，则向量在上的投影向量的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的定义判断． 【详解】由题意知，由投影向量的定义知，向量在上的投影向量是，所以坐标为， 故选：A． 6．（22-23高二下·云南大理·期末）已知是虚数单位，在复平面内，复数和对应的点间的距离是（ ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义，分别得到两复数对应点的坐标，再由两点间距离公式，即可得出结果. 【详解】由于复数和对应的点分别为，， 因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为. 故选：D. 7．（25-26高三下·云南昆明·期中）在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合向量的线性运算，利用复数的线性运算求解即可. 【详解】因为向量对应的复数为，向量对应的复数为， 所以， 又， 所以向量对应的复数为． 8．（20-21高二下·云南玉溪·期末）若在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先写出复数对应的点的坐标，再根据位置列不等式组，即解得结果. 【详解】在复平面内对应的点为在第二象限， 所以，解得. 故选：A. 考点03 复数的四则运算 1．（25-26高二上·云南文山·期末）复数，i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数的加减法和复数的几何意义即可得到答案. 【详解】， 则其在复平面内对应的点的坐标为，则其位于第二象限. 故选：B. 2．（21-22高二下·云南文山·期末）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数模长运算可直接化简等式求得结果. 【详解】，，. 故选：C. 3．（24-25高一下·云南昭通·期末）若复数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的乘法计算求解. 【详解】因为复数， 则， 故选：C. 4．（23-24高二下·云南大理·期末）设，则的虚部是（ ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】A 【分析】化简求出，根据虚部概念得解. 【详解】，则的虚部为1． 故选：A. 5．（22-23高一下·云南大理·期末）若复数满足，则关于复数的说法正确的是（ ） A．复数的实部为 B．复数的虚部为 C．复数的模长为 D．复数对应的复平面上的点在第一象限 【答案】A 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的概念、几何意义及模的计算公式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以复数的实部为，虚部为，故A正确，B错误； ，故C错误； 复数对应的复平面上的点为，位于第四象限，故D错误； 故选：A 6．（24-25高二下·云南曲靖·期末）（多选）已知复数，则（ ） A．z的共轭复数为 B． C．为纯虚数 D．z在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】ACD 【分析】利用复数的除法法则将复数化简，结合复数共轭复数的定义，模的计算，纯虚数的定义，复数的几何意义依次判断选项即可. 【详解】，则，z的共轭复数为， z在复平面内对应的点位于第二象限，为纯虚数，所以选项ACD正确； 故选:ACD 7．（24-25高一下·云南楚雄·期末）（多选）若复数，则（ ） A． B．z的实部为 C．z的共轭复数为 D．z在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】BC 【分析】利用复数的除法运算法则求得复数，可求得复数的模，实部，虚部，在复平面内的对应点所在的象限. 【详解】由题意得，则， 的实部为的共轭复数为在复平面内对应的点位于第三象限． 故选：BC. 8．（23-24高一下·云南昭通·期末）（多选）下列命题正确的是（ ） A．复数的共轭复数是 B．复数是纯虚数，则 C．复数所对应的点在第二象限，则 D．已知，则 【答案】BCD 【分析】根据共轭复数的概念判断A；由纯虚数概念列式计算求出a，判断B；根据复数的几何意义判断C；根据复数的乘法运算判断D. 【详解】对于A，复数的共轭复数是，故A错误； 对于B，复数是纯虚数， 则，解得，故B正确； 对于C，复数所对应的点在第二象限， 则，解得，故C正确； 对于D，，则，故D正确， 故选：BCD. 考点04 一元二次方程的复数根 1．（2024·云南楚雄·一模）已知复数，是方程的两个虚数根，则（ ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】直接由求根公式求出两个虚根，再由复数减法运算、模的运算即可求解. 【详解】∵复数，是方程的两个虚数根，∴，为，∴． 故选：C. 2．（25-26高三下·云南昆明·阶段检测）已知是关于x的方程的一个根，则（ ） A．2 B．0 C． D． 【答案】B 【详解】因为是方程的根， 所以，化简得：， 整理得：， 所以，解得， 因此. 3．（25-26高二上·云南保山·期末）若是方程的复数根，则复数在复平面上对应的点应位于（ ） A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第四象限 C．第二象限或第三象限 D．第三象限或第四象限 【答案】C 【分析】设，利用复数乘法及复数为0的我相信求出a，b的值，再利用复数的几何意义即得答案. 【详解】设，则， 整理得，即， 所以，则或， 又时，判别式， 所以此方程无实数根，故舍去， 所以或， 则，在复平面上对应的点为，位于第二象限或第三象限. 4．（23-24高一下·云南昆明·期末）在复数范围内，方程的两个根分别为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】在复数范围内，方程的两个根分别为，根据韦达定理和求根公式计算判断各个选项； 【详解】对于A,B，在复数范围内，方程的两个根分别为， 根据韦达定理可得，故A错误B正确; 对于C,D，在复数范围内，方程的两个根分别为， 根据求根公式可得， 从而， 故C错误D正确; 故选：BD. 5．（24-25高一下·云南临沧·期末）已知复数是关于的方程的根，则_________________. 【答案】26 【分析】依据题意可知也是方程的根，然后利用韦达定理可知. 【详解】由题可知：复数是关于的方程的根， 则也是方程的根， 所以. 故答案为：26 6．（25-26高一下·云南曲靖·阶段检测）已知i是虚数单位，是关于x的方程（其中a，b）的一个根，则______． 【答案】1 【分析】根据题意，方程的另一个根为，再结合韦达定理求解即可． 【详解】由是关于x的方程的一个根，则另一个根为， ，解得， 所以． 7．（25-26高一下·云南曲靖·阶段检测）已知复数是关于的方程的一个根，其中． (1)求的值； (2)若复数满足，求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由实系数方程的虚根成对的特点与韦达定理计算即得； （2）根据复数的几何意义利用（1）的结论数形结合计算即可. 【详解】（1）由实系数方程的虚根成对的特点，可知方程的另一根为， 由韦达定理，. （2）因复数满足，则复数对应的点表示以为圆心、为半径的圆， 而，在复平面内表示点，而表示点与点的距离， 因点与圆心的距离为， 故 考点05 复数的三角表示 1．（24-25高二上·云南昭通·期中）棣莫佛定理：若复数，则，计算（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】变形得出，再由棣莫佛定理可求得的值. 【详解】因为， 所以，. 故选：A. 2．（2026·云南保山·二模）棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由棣莫弗公式，. 3．（24-25高一下·云南玉溪·期末）（多选）任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据所给公式逐一验算各个选项即可得解. 【详解】由题可得，，，， 故选：ABD． 4．（23-24高一下·云南曲靖·期末）（多选）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，B，由代入运算即可判断，对于C，代入，得其对应的点坐标，进行判断即可；对于D，将代入化简，再求即可判断. 【详解】对于A：由题意得：，故A正确； 对于B：由题意得：，故B正确； 对于C：由题意得：，则其对应的点为， ∵，则， ∴对应的点位于第三象限，故C错误； 对于D：由题意可得： ，故正确. 故选：ABD. 5．（24-25高一下·云南玉溪·阶段检测）（多选）欧拉公式：是虚数单位，，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令可得.它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等下列关于欧拉公式的叙述正确的有（ ） A． B．复数对应的点位于第二象限 C． D． 【答案】BCD 【分析】求出，即可判断A；根据的范围求出的符号，再根据复数的几何意义即可判断B；根据复数的模的计算公式即可判断C；根据共轭复数的定义即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，，故A错误； 对于B，，而，则、， 故位于第二象限，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，所以， 又因为，所以，故D正确． 故选：BCD． 6．（24-25高三上·云南·阶段检测）（多选）设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角（也被称为的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现，我们称这个结论为棣莫佛定理，根据以上信息，若复数满足，则可能的取值为（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据棣莫佛定理可得的一般形式，故可得正确的选项. 【详解】设，其中，则， 故，， ∵，∴，故，则 故，则， 故，故BD正确，AC错误； 故选：BD. 考点06 复数的模及范围表示 1．（24-25高三上·云南昆明·期中）设复数在复平面内对应的点为，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的几何意义可得出，再利用复数的减法以及复数的模长公式化简可得结果. 【详解】由复数的几何意义可得， 所以，，化简可得. 故选：A. 2．（24-25高二上·云南红河·期末）已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设且，应用复数模长的求法及已知列方程求虚部. 【详解】设且，则， 由，则，解得. 故选：B 3．（20-21高一下·云南昆明·期末）（多选）已知复数满足，则下列选项正确的是（ ） A． B． C．在复平面内对应的点在第二象限 D．若复数满足，在复平面内对应的点为，点的集合是圆 【答案】AD 【分析】由条件得，进而可判断A,B,C，设（），由得，由此可判断D. 【详解】依题意得，则，故A正确；，故B错误；复数对应的点为，故C错误；设（），由得，所以，故D正确. 故选：AD. 4．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）（多选）下列结论正确的是（ ） A．若复数满足，则 B．若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为 C．若复数在复平面内对应的点为，则复数在复平面内对应的点在第一象限 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 【答案】BCD 【详解】对于A，也满足，A错误． 对于B，因为，，所以，B正确． 对于C，复数对应的点为，则复数对应的点为，该点在第一象限，C正确． 对于D，复数对应的点构成的图形为圆环，它的面积为，D正确． 5．（24-25高一下·云南昆明·期中）（多选）已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，，则（ ） A．，两点在以原点为圆心的同一个圆上 B．，两点之间的距离为 C．满足的复数z对应的点Z形成的图形的周长是25π D．满足的复数z对应的点Z形成的图形的面积是4π 【答案】BD 【分析】求出复数和的模比较即可判断选项A，利用复数的几何意义即可求解出俩个复数的距离即可判断选项B，满足的复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心，以5为半径的圆，利用圆的周长公式即可求解选项C,满足的复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心，分别以，为半径的两个圆所夹的圆环，利用圆的面积公式即可求解. 【详解】对A：由题意得，， 所以，，所以， 所以，两点不在以原点为圆心的同一个圆上，故A错误； 对B：，两点之间的距离为，故B正确； 对C：满足的复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心，以5为半径的圆，所以其周长为，故C错误； 对D：满足的复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心， 分别以，为半径的两个圆所夹的圆环， 所以其面积为，故D正确． 故选：BD. 6．（25-26高三上·云南昆明·期中）（多选）设复数在复平面内对应的点为为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则或 C．若点的坐标为，则对应的点在第三象限 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】ACD 【分析】利用复数模的运算即可判断AB，利用复数的几何意义即可判断CD. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因为当时，满足，故B错误； 对于C，因点的坐标为，则，，则对应的点在第三象限，故C正确； 对于D，由，可知点的集合所构成的图形为圆环,其面积为，故D正确. 故选：ACD. 7．（24-25高二上·云南丽江·期末）若复数满足，则的最小值是__________. 【答案】1 【分析】根据复数的几何意义，结合图形关系即可求解. 【详解】设复数对应的点为， 由可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图. 表示点到原点的距离， 则圆上与原点距离最小的点到原点的距离为圆心到原点的距离减去半径. 由于圆心到原点的距离为，则的最小值为. 故答案为：1 8．（22-23高一下·云南曲靖·期中）设是实数，复数，（是虚数单位）． (1)若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的几何意义，列出不等式组，求解即可得出答案； （2）由已知可得，根据复数的模的公式化简，结合二次函数的性质，即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，. 因为在复平面内对应的点在第二象限，所以有， 解得. （2）由已知可得，， 所以， 所以，， 所以，当时，有最小值为. 考点07 复数的综合应用 1．（25-26高一下·云南昭通·期中）（多选）已知复数，，，且，下列说法正确的是（ ） A．是实数 B．是虚数 C．是实数 D．若，则是实数 【答案】AD 【分析】结合复数定义，逐项计算并判断即可得. 【详解】A．为实数，故A正确； B．为实数，故B错； C．，当时，不为实数，故C错误； D．由，则为实数，故D正确. 2．（22-23高一下·云南曲靖·期末）（多选）关于复数、，下列说法正确的是（ ） A．若， B． C．若，则的最大值为 D．若，则 【答案】BC 【分析】可用特值法排除选项A、D，利用复数模的运算性质判断选项B,利用复数的几何意义来判别选项C. 【详解】令、则，而、，故选项A错误； 令、，则可得，故选项B正确； 令、所对点分别为，当时由可得在以为圆心， 为半径的圆上，=的最大值为即， 当时，与重合=，故选项C正确； 令、则=，而，故选项D错误. 故选：BC. 3．（23-24高三上·云南德宏·期末）（多选）已知是复数的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A． B．若，则 C． D．若，则的最小值为1 【答案】CD 【分析】结合复数的四则运算，共轭复数的定义及复数模长的公式可判断A；结合特殊值法可判断B；结合复数模长的性质可判断C；结合复数的几何意义可判断D. 【详解】对于A，设，则，但，故A错误； 对于B，令，满足，故B错误； 对于C，设，则所以，则，所以，故C正确； 对于D，设，则， 即，表示以为圆心，半径为1的圆， 表示圆上的点到的距离，故的最小值为，故D正确. 故选：CD 4．（25-26高一下·云南曲靖·阶段检测）（多选）已知为虚数单位，下列说法正确的是（ ） A．若复数满足，则复数在复平面内对应的点在以为圆心，为半径的圆上 B．若复数满足，则复数 C．复数的模实质上是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 D．对复数，若，则 【答案】BC 【详解】对于A项，设，则， 由可得，，所以满足的复数在复平面内对应的点在以为圆心，为半径的圆上，故A错误； 对于B项，设，则， 由可得，， 根据复数相等的条件可得，解得， 所以，故B项正确； 对于C项，由复数的模的定义知C正确； 对于D项，令，则，，所以，但是，故D错误. 5．（24-25高一下·云南昭通·期末）（多选）已知复数在复平面内对应的点分别为和，则下列结论正确的是（ ） A．点的坐标为 B． C．若，则 D． 【答案】ACD 【分析】根据几何意义即可求解A，根据复数的除法，乘法运算，以及模长公式，即可求解BCD. 【详解】由题意可得，故A正确， ，故B错误， ，则， 又，故，C正确， ，可得， ，故，D正确， 故选：ACD 1 / 8 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