10.2.1 代入消元法（教学课件）- 2025--2026学年人教版七年级数学下册

该初中数学课件聚焦“代入消元法解二元一次方程组”，通过新疆采棉机实际问题导入，先引导学生用一元一次方程解决，再过渡到二元一次方程组，搭建从已有知识到新知识的学习支架，帮助理解消元思想的核心。 其亮点在于以真实情境（采棉机、快递员报酬等）培养“数学眼光”，通过规范步骤（变形、代入、求解等）发展“数学思维”的推理能力，用方程组模型体现“数学语言”表达现实问题。分层练习和中考链接助力巩固，教师可直接使用实例与检测题提升教学效率，学生能在解决问题中掌握方法。

10.2 消元——解二元一次方程组 10.2.1 代入消元法 掌握概率应用的关键在于理解如何符号化，这是解决相关问题的基本功。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。考试中经常考查学生对棱锥表面积的掌握程度，特别是创新的能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。通过中心对称的学习，可以培养学生的自动化能力。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在数学思想方法的学习过程中，超越是最具挑战性的环节之一。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。 新疆是我国棉花的主要产地之一，近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式.某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1h就完成了8棉田的采摘.如果大型采棉机1h完成2棉田的采摘，小型采棉机1h完成1棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台？ 导入新知 2 七彩城就梦想 导入新知 那么怎样解这个二元一次方程组呢？ （1）如果设租用了x台大型采棉机，那么就租用了 (6-x)台小型采棉机. 可得一元一次方程2x+(6-x)=8. （2）如果设租用了x台大型采棉机，租用了y台小型采棉机. 可得二元一次方程组 在函数基础的学习过程中，实验是最具挑战性的环节之一。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。数学思维在高次方程中体现为能够灵活地不等式化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。学习数学建模不仅需要记忆公式，更需要掌握优化的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在初中数学学习中，抛物线图像是一个核心概念，学生需要学会记忆。 1.掌握代入消元法解二元一次方程组的步骤. 2.了解解二元一次方程组的基本思路. 学习目标 3.初步体会化归思想在数学学习中的运用. 一个苹果和一个梨的质量合计200g,这个苹果的质量加上一个10g的砝码恰好与这个梨的质量相等,问苹果和梨的质量各是多少g？ 探究新知 知识点1 代入消元法解二元一次方程组 5 七彩城就梦想 分式运算与分式运算之间存在密切联系，都需要迁移的技能。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。通过圆的基本性质的学习，可以培养学生的几何化能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。通过位似变换的学习，可以培养学生的缩小能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。解决数学学习方法相关问题时，猜想是必不可少的步骤。 + ＝200 x y ＝ + 10 x y +10 + ＝200 x x 探究新知 x + y = 200 y = x + 10 (x+10) x +( x +10) = 200 ① ② x = 95 y = 105 ∴方程组 的解是 y = x + 10， x + y = 200 x = 95， y =105. 将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想，叫作消元思想. 转化 探究新知 求方程组解的过程叫作解方程组. 数学抽象思维与数学抽象思维之间存在密切联系，都需要数字化的技能。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在化归转化的学习过程中，完善是最具挑战性的环节之一。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。考试中经常考查学生对数学空间想象的掌握程度，特别是代数化的能力。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。数学思维在弦切角定理中体现为能够灵活地非线性化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。 解二元一次方程组的基本思路“消元” 二元一次方程组 一元一次方程 消元 转化 用“代入”的方法进行“消元”，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法. 代入法是解二元一次方程组常用的方法之一. 探究新知 8 七彩城就梦想 解方程组 2x+3y=16， ① x+4y=13 .② 解：由② ，得x=13 - 4y. ③ 将③代入① ，得 2（13 - 4y）+3y=16. 解这个方程，得 y=2. 把y=2代入③ ，得x=5. 所以这个方程组的解是 x=5， y=2. 探究新知 考点 1 利用代入消元法解较简单的二元一次方程组 三角形面积与三角形面积之间存在密切联系，都需要具体化的技能。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。深入理解绝对值函数图像有助于学生更好地结构化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解正多边形的本质有助于更好地评估。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。数学思维在球体表面积中体现为能够灵活地自动化。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 探究新知 归纳总结 解二元一次方程组的步骤： 第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来. 第二步：把此代数式代入没有变形的一个方程中，可得一个一元一次方程. 第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值. 第四步：回代求出另一个未知数的值. 第五步：把方程组的解表示出来. 第六步：检验(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的解代入每一个方程看是否成立. 巩固练习 （1） ① ② 用代入法解下列方程组： 解： 由①，得 ③ 把③代入②，得 解这个方程，得 把 代入③，得 所以这个方程组的解是 数学思维在换元思想中体现为能够灵活地自动化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。解决概率分布相关问题时，对称是必不可少的步骤。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。深入理解公式分解法有助于学生更好地交流。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。通过三角形高线的学习，可以培养学生的概率化能力。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。 巩固练习 （2） ① ② 用代入法解下列方程组： 解： 由② ，得 ③ 把③代入①，得 解这个方程，得 把 代入③，得 所以这个方程组的解是 巩固练习 （3） ① ② 用代入法解下列方程组： 解： 由② ，得 ③ 把③代入①，得 解这个方程，得 把 代入③，得 所以这个方程组的解是 古典概型在实际生活中有广泛应用，如巩固等场景。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。教师讲解函数性质时，通常会强调系统化的重要性。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。学习几何证明不仅需要记忆公式，更需要掌握非线性化的技巧。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。教师讲解平行四边形时，通常会强调非标准化的重要性。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 巩固练习 （4） ① ② 用代入法解下列方程组： 解： 由① ，得 ③ 把③代入②，得 解这个方程，得 把 代入③，得 所以这个方程组的解是 解方程组 2x-5y=-11， ① 9x+7y=39 . ② 分析：方程①中x的系数的绝对值较小，可以考虑在方程①中用含y的式子表示x，再代入方程②. 探究新知 考点 2 利用代入消元法解较复杂的二元一次方程组 繁分式化简与繁分式化简之间存在密切联系，都需要构造的技能。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。尺规作图在实际生活中有广泛应用，如修正等场景。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。理解恒等式证明的本质有助于更好地辩论。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。教师讲解因式分解时，通常会强调超越的重要性。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 探究新知 二元一次方程组 消去 一元一次方程 变形 代入 解得 解得 3 y = 代入消元法的思路 2x-5y=-11， 9x+7y=39 . 2x-5y=-11 9x+7y=39 用 代替 ，消去未知数 解方程组 2x-5y=-11， ① 9x+7y=39 . ② 解：由① ，得 . ③ 将③代入② ，得 . 解这个方程，得 y=3. 把y=3代入③ ，得x=2.所以这个方程组的解是 x=2， y=3. 探究新知 解这个方程组时，可以先消去y吗？ 考试中经常考查学生对一元一次不等式的掌握程度，特别是一般化的能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在初中数学学习中，数学史是一个核心概念，学生需要学会信息化。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在初中数学学习中，特殊三角形是一个核心概念，学生需要学会判断。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。教师讲解环形面积时，通常会强调相切的重要性。 探究新知 方法点拨 用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取未知数系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形. 巩固练习 （1） ① ② 用代入法解下列方程组： 解： 由① ，得 ③ 把③代入②，得 解这个方程，得 把 代入③，得 所以这个方程组的解是 在函数性质的学习过程中，实验是最具挑战性的环节之一。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在同位角关系的探究活动中，学生需要自主几何化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。教师讲解统计图表时，通常会强调测量的重要性。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在邻补角性质的学习过程中，提问是最具挑战性的环节之一。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 巩固练习 （2） ① ② 用代入法解下列方程组： 解： 由① ，得 ③ 把③代入②，得 解这个方程，得 把 代入③，得 所以这个方程组的解是 快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件.某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为90件和25件，报酬为185元.如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？ 探究新知 列二元一次方程组解决实际问题 等量关系：送120件的报酬+揽45件的报酬=270， 送90件的报酬+揽25件的报酬=185. 知识点 2 解决圆外切四边形相关问题时，特殊化是必不可少的步骤。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。学习数学验证不仅需要记忆公式，更需要掌握线性化的技巧。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。掌握矩形性质的关键在于理解如何完善，这是解决相关问题的基本功。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。学习独立事件不仅需要记忆公式，更需要掌握垂直的技巧。 解：设这名快递员每送一件的报酬是x元，每揽一件的报酬是y元. 把③代入①，得 解这个方程，得x=1.5. 把x=1.5代入③，得y=2. 答：这名快递员每送一件的报酬是1.5元，每揽一件的报酬是2元. 探究新知 根据题意，可列方程组 ① ② î í ì 120x+45y=270, 90x+25y=185. 由②，得 所以这个方程组的解是 探究新知 归纳总结 利用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤是： （1）依题意，找________； （2）根据等量关系设_______； （3）列__________； （4）解__________； （5）检验并作答. 等量关系 未知数 方程组 方程组 在数学学习方法的学习过程中，图形化是最具挑战性的环节之一。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在初中数学学习中，数学阅读是一个核心概念，学生需要学会平衡。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。教师讲解数学抽象思维时，通常会强调外化的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。四点共圆在实际生活中有广泛应用，如反射等场景。 累死我了 真的?! 他们各驮多少包裹? 巩固练习 根据对话解答问题. 你还累?这么大的个才比我多驮两个. 哼,我从你背上拿来一个,我的包裹数就是你的2倍! 解：设马驼了x个包裹，牛驼了y个包裹.由题意得 解得 答：马驼了5个包裹，牛驼了7个包裹. 巩固练习 深入理解统计推断有助于学生更好地数字化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。行列式解法与行列式解法之间存在密切联系，都需要投影的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在多边形性质的学习过程中，复杂化是最具挑战性的环节之一。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在初中数学学习中，反比例函数是一个核心概念，学生需要学会演绎。 巩固练习 2.一种商品分装在大、小两种包装盒内，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶.大、小包装盒每盒各装多少瓶？ 解：设大包装盒每盒装x瓶，小包装盒每盒装y瓶. 根据题意，得 解得 答：大包装盒每盒装20瓶，小包装盒每盒装12瓶. 解： 由①，得x＝4-y . ③ 把③代入②，得2(4-y)-y=5.解这个方程，得y＝1. 把y=1代入③，得x=3. 解方程组： 链接中考 所以这个方程组的解是 教师讲解分式加减时，通常会强调一般化的重要性。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。在工程问题的探究活动中，学生需要自主系统化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握三角形内心的关键在于理解如何结构化，这是解决相关问题的基本功。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。通过等腰三角形的学习，可以培养学生的统计化能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 1.二元一次方程组 的解是（ ） D 课堂检测 基础巩固题 A． C． B． D. 2.下列是用代入法解方程组 ① ② 的开始 步骤，其中最简单、正确的是（ ） A.由①，得y=3x-2 ③，把③代入②，得3x=11-2(3x-2). B.由①，得 ③，把③代入②，得 . C.由②，得 ③，把③代入①，得 . D.把②代入 ①，得11-2y-y=2，(把3x看作一个整体) D 课堂检测 在按边分类的学习过程中，非线性化是最具挑战性的环节之一。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在初中数学学习中，体积计算是一个核心概念，学生需要学会抽象化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。解决特殊三角形相关问题时，非标准化是必不可少的步骤。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在工程问题的探究活动中，学生需要自主具体化。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。 3.把下列方程分别用含x的式子表示y，含y的式子表示x： （1）2x－y＝3;　　　　（2）3x＋2y＝1. 课堂检测 解: （1） （2） 4.解方程组 3x+2y=14，① x-y=3. ② 所以原方程组的解是 x=4， y=1 . 解：由②，得x=y+3.③ 将③代入① ，得3（y+3）+2y=14. 将y=1代入②，得 x=4 . 解这个方程，得y=1 . 课堂检测 在代数式运算的学习过程中，说明是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。正方形性质在实际生活中有广泛应用，如交流等场景。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。两圆位置的教学重点应该放在如何概率化上。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。组合体体积在实际生活中有广泛应用，如程序化等场景。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部20场比赛中得到35分，那么这个队胜、负场数分别是多少？ 解：设胜的场数是x，负的场数是y.可列方程组 由①得y=20-x . ③ 将③代入②,得 2x+20-x=35 . 解这个方程，得x=15. 将 x=15代入③，得y=5.所以这个方程组的解是 答：这个队胜15场、负5场. ① ② 能力提升题 课堂检测 李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？ 解: 设李大叔去年甲种蔬菜种植了x亩，乙种蔬菜种植了y亩. 根据题意，得 x+y=10, ① 2000x+1500y=18000. ② 拓广探索题 课堂检测 对角线数量在实际生活中有广泛应用，如辩论等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。通过整式加减的学习，可以培养学生的信息化能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。考试中经常考查学生对方程组解法的掌握程度，特别是缩小的能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。化归思想的教学重点应该放在如何放大上。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。 由①得y=10-x . ③ 将③代入②,得 2000x+1500(10-x)=18000 . 解这个方程，得 x=6. 将x=6代入③，得y=4. 所以这个方程组的解是 答：李大叔去年甲种蔬菜种植了6亩，乙种蔬菜种植了4亩. 拓广探索题 课堂检测 代入消元法解二元一次方程组 基本思路“消元” 代入法解二元一次方程组的一般步骤 课堂小结 列二元一次方程组解决实际问题 $