专题08 统计与概率（期末专练）-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

**基本信息** 高中数学期末统计与概率专项训练，覆盖6大核心题型，以数据收集-整理-分析-推断为逻辑主线，强化统计直观与数据意识、概率推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |随机抽样|5题|分层抽样计算、随机数表应用|数据收集基础，体现抽样公平性与比例分配思想| |频率分布直方图|8题|图表分析、数字特征估计、分层抽样结合|数据整理核心工具，连接样本分布与总体估计| |样本数字特征|6题|百分位数、平均数、方差计算与应用|样本推断总体的桥梁，培养数据分析素养| |总体估计|5题|均值与方差的分层估计|从样本到总体的归纳推理，强化统计推断能力| |古典概型|8题|等可能事件、互斥与对立事件概率|概率计算基础，培养随机观念与逻辑推理| |事件关系|13题|独立事件、条件概率、复杂事件概率|概率理论深化，提升复杂情境下的数学表达能力|

专题08 统计与概率 目录 题型1：随机抽样 2 题型2：频率分布直方图的应用 4 题型3：样本的数字特征和百分位数的估计 13 题型4：总体集中趋势与离散程度的估计 17 题型5：古典概型的计算 21 题型6：事件的关系和运算 28 题型1：随机抽样 【例1.1.】 （24-25高一上·贵州遵义·期末）某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66  67  40  37  14  64  15  71  11  05  65  09  95  86  68  76  83  20  37  90 57  16  03  11  63  14  90  84  45  21  75  73  88  05  90  52  23  59  43  10 若从表中第1行第5列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是_____. 【答案】15 【难度】0.85 【知识点】随机数表法 【分析】按照题意结合随机数表依次读出前4个数即可. 【详解】从随机数表第1行的第5列数字开始由左向右每次连续读取2个数字， 删除超出范围及重复的编号，符合条件的编号有40，37，14，15， 所以选出来的第4个个体的编号为15. 故答案为：15. 【例1.2.】 （24-25高一下·山东青岛·期末）某学校有男生2000名和女生1000名，为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从男生中抽取100名学生，则为（   ） A．150 B．200 C．250 D．300 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据比值关系直接计算可得. 【详解】由题知，，解得. 故选：A 【例1.3.】 （24-25高一下·四川眉山·期末）某汽车4店欲通过分层随机抽样了解、、三个小区居民对新能源汽车的购买意愿．已知这三个小区的人口分别为1200人、800人、500人，若总样本量为100人，则应从小区抽取_________人． 【答案】20 【难度】0.85 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据分层抽样计算求解. 【详解】4店欲通过分层随机抽样了解、、三个小区居民对新能源汽车的购买意愿． 这三个小区的人口分别为1200人、800人、500人， 若总样本量为100人，则应从小区抽取人． 故答案为：. 【例1.4.】 （24-25高一下·福建福州·期末）一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如表（单位：辆）： 类别 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆，则表格中的值为（    ） A．400 B．500 C．600 D．1000 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据A类轿车抽取的数量可求得抽样比，从而构造出关于的方程，解方程求得结果. 【详解】由题意知抽样比为： 则：，解得： 故选：A. 【例1.5.】 （24-25高一下·湖北恩施·期末）学校运动会志愿者服务协会共有“检录组”“计分组”“宣传组”三个组别，其中“检录组”比“宣传组”多8人，现采用比例分配的分层随机抽样方法从中选出部分志愿者参加田径比赛的志愿服务，如果选出的人中有3人来自“检录组”，4人来自“计分组”，1人来自“宣传组”，那么学校运动会志愿者服务协会“计分组”的人数为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据分层抽样的抽样比和已知条件列出等式求得总人数，进而可求得计分组人数. 【详解】不妨设总人数为，则， 所以，所以计分组人数为， 故选：A． 题型2：频率分布直方图的应用 【例2.1.】 （24-25高一下·福建南平·期末）如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态．图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态．根据所给图示作出判断，则下列结论正确的是（   ）    A．图（1）中平均数中位数众数 B．图（2）中平均数众数中位数 C．图（2）中众数平均数中位数 D．图（3）中平均数中位数众数 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、根据频率分布直方图计算众数 【分析】由频率分步直方图概念，结合中位数，平均数，众数定义结合图形可得答案. 【详解】对于图1，平均数中位数众数，故A错误； 对于图2，众数中位数平均数，故BC错误； 对于图3，平均数中位数众数，故D正确. 故选：D 【例2.2.】 （多选）（24-25高一下·湖南岳阳·期末）某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图，其中支出在元的学生有45人，则下列说法正确的是（    ） A．样本中支出在元的频率为 B．的值为150 C．采用分层抽样从这45人中抽出10人，则在中共需抽出5人 D．该校学生一周生活方面支出的第75百分位数大约是52元（精确到个位数） 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、总体百分位数的估计 【分析】对于A，利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，可判断；对于B，利用频率、频数以及样本总容量的关系可判断；对C，计算出样本中支出在的频率，结合分层抽样可判断；对D，根据百分位数的定义计算. 【详解】对于A，样本中支出在元的频率为，故A错误； 对于B，由A知，故B正确； 对于C，样本支出在的频率为，则在中共需抽出人，故C错误； 对于D因为样本中支出在的频率为，所以第75百分位数位于区间内，记为， 则，解得，所以第75百分位数大约是52元，故D正确. 故选：BD. 【例2.3.】 （多选）（24-25高一下·湖南衡阳·期末）衡阳市某中学为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了100名学生，根据这100名学生对食堂用餐质量给出的评分数据，分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（    ） A． B．为了解评分较低的原因，该校从评分低于80分的学生中用比例分配的分层抽样方法随机抽取18人座谈，则应选取评分在的学生8人； C．该样本数据的中位数和众数均为85； D．若样本数据的平均数低于85分，则认为食堂需要整改，根据此样本认为该校食堂不需要整改 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、根据频率分布直方图计算众数 【分析】对于A，利用各小组数据的频率之和等于1即可求得的值；对于B，根据分层抽样计算抽样比即可求得；对于C，利用频率分布直方图中求百分位数的方法计算中位数和众数即可判断；对于D，利用频率分布直方图中求平均数的公式计算即可判断. 【详解】对于A，由图可得，解得，故A正确； 对于B，由图知，评分低于80分的学生有人， 随机抽取人，抽样比为，故应选取评分在的学生人，故B正确； 对于C，因前三组的频率之和为，前四组的频率之和为：， 故中位数在第四组，中位数为，众数为，故C错误； 对于D，该样本数据的平均数为：， 根据此样本认为该校食堂需要整改，故D错误. 故选：AB. 【例2.4.】 （多选）（24-25高一下·云南昆明·期末）一组数据的平均数为，方差为，频率分布直方图如图所示，若，则（   ） A．数据的平均数为 B．数据的方差为 C．估计数据的众数约为7.5 D．估计数据的中位数约为 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】由频率分布直方图估计中位数、计算几个数的平均数、各数据同时加减同一数对方差的影响、根据频率分布直方图计算众数 【分析】根据已知条件，结合平均数和方差的线性公式即可判断A，B，应用频率分布直方图计算众数及中位数计算结合线性关系判断C，D. 【详解】由数据的平均数为，方差为，则数据的平均数为，数据的方差为，A选项正确；B选项错误； 因为数据的众数为，则数据的众数约为，C选项错误； 设数据的中位数为，则，所以， 所以估计数据的中位数约为. 故选：AD. 【例2.5.】 （25-26高一上·陕西渭南·期末）某中学初一男生共有400人，为了解初一男生的体重情况，该中学统计了所有初一男生的体重（单位：千克），并将数据按照，，，，分成5组，画成如图所示的频率分布直方图. (1)估计这400名男生的平均体重（同组数据用该组区间中点值作代表）； (2)根据体重区间，按比例分层抽样，从体重不足48千克的男生中抽取38人了解营养状况，试计算分别应当抽取体重在区间，，上的人数依次为多少？ 【答案】(1)45.04千克 (2)6，14，18 【难度】0.85 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图估计平均数 【分析】（1）利用频率分布直方图计算平均数即可求解； （2）根据频率分布直方图先计算各组的频数，再利用分层抽样即可求解. 【详解】（1）， 故可估计这400名男生的平均体重为45.04千克； （2）由题意得： 应当抽取体重在区间上的男生人数为：人； 应当抽取体重在区间上的男生人数为：人； 应当抽取体重在区间上的男生人数为：人. 故分别应当抽取体重在区间，，上的人数依次为6，14，18. 【例2.6.】 （24-25高一下·云南曲靖·期末）在领航2班的一次数学周考中，满分120分，根据班级成绩统计得到了成绩的频率分布直方图，如图所示.由于制作图表的人工作不仔细，将的人数与的人数，的人数与的人数登记反了. (1)求m的值; (2)设领航2班这次考试的更正前的平均分求更正后的平均分，并比较与的大小.（不需要计算，说明理由即可；每个区间的平均分以中点值代替）； (3)从更正后得分，的人中按分层抽样的方式从中选出一个容量为6的样本，再从这6人中选出2人参加竞赛考试，则这2人的成绩在同一区间内的概率为多少? 【答案】(1)； (2)； (3). 【难度】0.85 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据频率和为1列方程求参数； （2）由频率直方图及题设，求平均值，比较大小即可； （3）应用分层抽样确定不同区间抽取的人数，应用列举法求古典概型的概率. 【详解】（1）由图知，可得； （2）由图，， ， 所以； （3）由题意，，的人数比为，故6人中4人来自，2人来自， 令中4人为，中2人为， 所以，6人任意抽取2人有，共15种， 其中2人来自同一区间有，共7种， 所以这2人的成绩在同一区间内的概率为. 【例2.7.】 （24-25高一下·湖北武汉·期末）某高校体检随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间[160，165]，[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示． (1)求和频率分布直方图中身高在175cm及以下的学生人数； (2)估计该校100名学生身高的下四分位数（结果保留到个位数）． (3)已知落在区间[170，175）的样本平均数是173，方差是8，落在区间[175，180）的样本平均数是178，方差是6，求两组样本成绩合并后的平均数和方差． 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：记总的样本平均数为，样本方差为，则． 【答案】(1)；人 (2) (3)； 【难度】0.65 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计 【分析】（1）利用频率分布直方图中长方形面积之和为1，易求出，进而利用频率分布直方图可求身高在175cm及以下的学生人数； （2）根据下四分位数概念结合频率分布直方图计算即可； （3）根据平均数公式计算可得，根据题中给的参考公式代入数据计算可得. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得， 身高在175cm及以下的学生人数（人）. （2）的人数占比为，的人数占比为， 所以该校100名学生身高的下四分位数即分位数落在， 设该校100名学生身高的分位数为， 则，解得， 故该校100名生学身高的下四分位数约为168. （3）由频率分布直方图知， 这100名学生的身高在的有， 身高在的有人， 所以， ， 所以两组样本成绩合并后的平均数为，方差为． 【例2.8.】 某校高一年级对一个教学单元进行阶段测试，满分为100分．现通过简单随机抽样，从中抽取100名学生的成绩作为样本进行质量分析，进行适当分组后，画出如下图所示的频率分布直方图． (1)请根据频率分布直方图，求出图中t的值．在本次测试中，拟将排在前20%的学生成绩，定为优胜成绩，试估计优胜成绩的分数线 (2)在按比例分配分层随机抽样中，从成绩在[70,90)内的学生中抽取5人，再从这5人中随机挑出两人进行卷面问题分析，求两人中至少有一人成绩来自[70,80)的概率； (3)已知在[70,80)内的学生成绩的平均数为75，方差为6，在[80,90)内的学生成绩的平均数为85，方差为1，求在[70,90)内的学生成绩的平均数和方差（请先推导必要的公式，再代值计算）． 【答案】(1)，分； (2)； (3)平均数为81，方差为27. 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用对立事件的概率公式求概率、估计总体的方差、标准差、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】（1）根据频率和为1列方程求参数，再由分位数的求法估计优胜成绩的分数线； （2）5人中来自分别为2人、3人，应用组合数及对立事件的概率求法求概率； （3）应用分层抽样中各层均值与总体均值关系求[70,90)内的学生成绩的平均数，再应用方差公式并结合各层对应方差得到相关等式，再由方差公式求[70,90)内的学生成绩的方差. 【详解】（1）由直方图知，可得， 由题设及图知，优胜成绩的分数线在内，设为，则，所以分； （2）由（1）知，5人中来自分别为2人、3人， 若抽取的两人都来自，概率为， 所以两人中至少有一人成绩来自[70,80)的概率为； （3）由题设，区间内的学生人数分别为人、人， 所以[70,90)内的学生成绩的平均数为分， 由[70,80)内的学生成绩方差为6，则， 所以， 由[80,90)内的学生成绩方差为1，则， 所以， 而[70,90)内的学生成绩的方差为， 由 ， 由 ， 综上，. 题型3：样本的数字特征和百分位数的估计 【例3.1.】 （24-25高一下·新疆阿克苏·期末）某班级的老师随机抽查了该班8名同学周末在家学习的时长（单位：h），所得数据如下：3，4，4，5，6，6，7，8，则这组数据的75%分位数为（   ） A．6.5 B．6 C．5.5 D．5 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】总体百分位数的估计 【分析】根据百分位数的计算公式即可求解。 【详解】，故这组数据的75%分位数为， 故选：A 【例3.2.】 （24-25高一下·安徽合肥·期末）一组数据按从小到大排列为：1，2，4，6，7，10，．这组数据的第60百分位数等于他们的平均数，则为（    ） A．12 B．15 C．17 D．19 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】计算几个数的平均数、根据平均数求参数、总体百分位数的估计 【分析】根据百分位数的计算规则，算出第60百分位数，再算出平均数，列出关于的等式，计算得出的值. 【详解】位置，根据百分位数的计算规则，第60百分位数是第5个数据，即7， 因为这组数据的第60百分位数等于他们的平均数，所以， 解得. 故选：D 【例3.3.】 （24-25高一下·黑龙江绥化·期末）有5人进行定点投篮游戏，每人投篮12次．这5人投中的次数形成一组数据，中位数为10，唯一众数为11，极差为3，则该组数据的第40百分位数是_________． 【答案】9.5 【难度】0.65 【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的中位数、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计 【分析】根据统计量计算中中位数、众位数、极差以及百分数的概念，结合多个条件构造符合条件的数据组求解. 【详解】设这5个数据从小到大为: 已知中位数为第三个数，故； 唯一众数为11，故d，e至少含11，且11出现次数至少2次，故； 极差为3，即； 若，则10和11均出现2次，众数不唯一；若，则8和11均出现2次，众数不唯一. 因此，. 综上，数据为：8，9，10，11，11. 根据百分位数公式：设数据个数为n，第百分位数的位置. 已知，，故. 当i为整数时，第百分位数位第项与第项的平均值，即 故答案为：9.5. 【例3.4.】 （多选）（24-25高一下·吉林长春·期末）下列说法正确的是（    ） A．数据1， 3， 5， 7， 9， 11， 13的第60百分位数为7 B．若样本的平均数和方差分别为2和3， 则的平均数和方差分别为8和27 C．一组样本数据为7，12，13， 17，18，20，32，若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数不可能相等 D．数据1，2，4，6，7的方差为 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】平均数的和差倍分性质、计算几个数据的极差、方差、标准差、各数据同时乘除同一数对方差的影响、总体百分位数的估计 【分析】对于A，根据百分位数的定义计算即得，对于B，利用平均数与方差的性质易得；对于C，通过计算该组数据的均值为17，考虑去掉17这个数据后均值不变即可判断，对于D，利用均值与方差计算公式计算即得. 【详解】对于A，因，则这组数据的第60百分位数为第5个数9，故A错误； 对于B，因样本的平均数和方差分别为2和3，则的平均数为，方差为，故B正确； 对于C，因样本数据7，12，13， 17，18，20，32的平均数为， 若去掉这个数据，则新的一组数据的平均数也是17，故C错误； 对于D，数据1，2，4，6，7的平均数为， 则方差为，故D正确. 故选：BD. 【例3.5.】 （多选）（24-25高一下·福建福州·期末）福州市某中学高一年级学生参加了一次英语口语能力测试，其中男生人，女生人现在按性别进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到一组测试成绩的样本样本中有位女生的测试成绩，分别是，，，，，，，，样本中男生测试成绩的平均数为，则（    ） A．样本中有位男生的测试成绩 B．样本中女生测试成绩的第百分位数是 C．样本中女生测试成绩的方差为 D．样本中所有学生测试成绩的平均数为 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计、计算几个数的平均数、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据分层抽样的定义可知样本容量为，进而求出样本中男生人数即可判断A，再结合百分位数、标准差和平均数的定义求解，进而判断BCD. 【详解】对于A，由题意得，该学校高一年级共有人，则样本容量为， 所以样本中男生有人，故A正确； 对于B，由于，所以样本中女生成绩的百分位数是第项9，故B正确； 对于C，样本中女生成绩的平均数为， 所以样本中女生成绩的方差为 ， 所以样本中女生成绩的方差为，故C正确； 对于D，样本中所有学生测试成绩的平均数为，故D错误． 故选：ABC． 【例3.6.】 （24-25高一下·内蒙古·期末）甲机床一天内生产的零件的重量（单位：）从小到大为． (1)求这组数据的分位数； (2)求这组数据的平均数和标准差； (3)求零件重量位于和之间的个数及所占的百分比． 参考数据：． 【答案】(1)10.5 (2)10， (3)6个， 【难度】0.85 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计 【分析】（1）利用总体百分位数的估计求解分位数即可. （2）利用平均数公式求解平均数，利用标准差公式求解标准差即可. （3）结合题意求出和，再求出其中的零件个数和百分比即可. 【详解】（1）因为， 所以这组数据的分位数为． （2）由题意得， 由标准差公式得． （3）由题意得， 则零件重量位于和之间的有，共6个， 可得所占的百分比是． 题型4：总体集中趋势与离散程度的估计 【例4.1.】 （24-25高一下·北京通州·期末）已知一组样本数据16，，14，15，13的平均数为15，则该组样本数据的方差为（    ） A．2.0 B．2.1 C．2.2 D．2.4 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】计算几个数的平均数、根据平均数求参数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据样本数据的平均数和方差公式计算即可. 【详解】因为该组样本数据的平均数为15，所以，解得， 则该组样本数据的方差为， 故选：A. 【例4.2.】 （24-25高一下·山东青岛·期末）抽样调查得到20个样本数据，记作，样本数据的平均数为9，方差5.现去掉一个最大值13和一个最小值5，产生一组新数据，关于这组新数据，下列说法错误的是（   ） A．中位数一定不变 B．极差一定变小 C．方差一定变小 D．平均数一定不变 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】由题可设20个样本数据从小到大排列为，通过计算可逐项判断. 【详解】不妨设20个样本数据从小到大排列为， 去掉最小，最大，剩下共18个样本数据， 原样本中位数为，新样本中位数也为，故A正确； 新样本极差为，所以极差有可能与原来相等，故B错误； 因为原样本均值为，所以新样本均值，故D正确； 原样本方差， 新样本方差， 所以新样本方差变小，故C错误； 故选：B. 【例4.3.】 （24-25高一下·安徽六安·期末）某中学高一年级有600名男学生，400名女学生，现用分层随机抽样的方法调查了50名高一学生的身高.若样本中男生身高的平均数和方差分别为172和9，女生身高的平均数和方差分别为162和14，则估计高一年级学生的平均身高和方差分别为（    ） A．168，35 B．168，20 C．169.6，35 D．169.6，20 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算几个数的平均数、估计总体的方差、标准差 【分析】先得到样本中的男生和女生人数，进而利用平均数和整体方差的求解公式进行计算. 【详解】男学生和女学生人数比例为， 故样本中男生人数为人，女生人数为人， 样本的平均数为， 样本的方差为. 故选：A. 【例4.4.】 （24-25高一下·广东肇庆·期末）某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取的所有员工的体重的方差为120，女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30．若样本中有21名男员工，则女员工的人数为（   ） A．28 B．35 C．63 D．48 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】估计总体的方差、标准差、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】由题意，记样本中女员工的平均体重和方差分别为，，所占权重为，男员工的平均体重和方差分别为，，所占权重为，根据分层抽样的均值和方差公式即可求解的值，进而求解女员工的人数. 【详解】由题意，记样本中女员工的平均体重和方差分别为，，所占权重为， 男员工的平均体重和方差分别为，，所占权重为， 所以样本中全部员工的平均体重为， 方差 ， 化简得，即， 解得或（舍）， 所以女员工的人数为：. 故选：C. 【例4.5.】 （24-25高一下·江苏无锡·期末）经过简单随机抽样获得的样本数据为，，…，，且数据，，…，的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（   ） A．； B．若，则所有的数据都为0； C．若，则的平均数为6； D．若，则的方差为12； 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】平均数的和差倍分性质、计算几个数据的极差、方差、标准差、各数据同时乘除同一数对方差的影响 【分析】根据方差的定义及性质，平均数的性质逐项进行检验即可判断. 【详解】对于A：，错误； 对于B：数据，，…，的方差时，说明所有的数据，，…，都相等，但不一定为0，错误； 对于C：数据，，…，的平均数为，数据的平均数为，错误； 对于D：数据，，…，的方差为，数据的方差为，正确. 题型5：古典概型的计算 【例5.1.】 （24-25高一下·福建福州·期末）某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为．按学生所在年级进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取5名学生去敬老院献爱心．从这5人中随机抽取2人作为负责人，则2名负责人至少有一名来自高二年级的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】先根据分层抽样的定义求出各年级所抽取的人数，然后利用列举法求概率即可. 【详解】由题意可知从高一学生中抽取人，记为， 从高二学生中抽取人，记为， 从高三学生中抽取人，记为， 则从这5人中抽取2人有：，10种情况， 其中至少有一名来自高二年级有，7种情况， 所以所求概率为. 故选：D. 【例5.2.】 （24-25高一下·安徽合肥·期末）从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解. 【详解】从两名男生（记为和）、两名女生（记为1和2）中任意抽取两人， 记事件“抽到的两人是一男生一女生”， 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共16个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共12个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 故选：D. 【例5.3.】 （24-25高一下·甘肃天水·期末）在2025年6月21日天水市公祭伏羲活动期间，有人提出了这样一个问题：伏羲八卦中每一卦由三个爻组成（“”为阳爻，“”为阴爻）.从八卦中随机抽取一卦，那么抽到恰好含有两个阳爻的卦的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典概率的公式计算即可. 【详解】由八卦图可知，抽到恰好含有两个阳爻的情况有3种，所以抽到恰好含有两个阳爻的概率为. 故选：B 【例5.4.】 （24-25高一下·湖南邵阳·期末）现有5人（其中男性有2人，女性有3人）去某公司应聘，但该公司只录用2人．假设这5人被录用的机会相同，则被录用的2人性别不同的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】由列举法可得录取总情况数及录用的2人性别不同的情况数，据此可得答案. 【详解】记男性应聘者分别为，女性应聘者分别为， 从这5人中随机抽取2人的情况有，，，，，，，，，，共10种， 其中2人性别不同的情况有，，，，，，共6种，故所求概率． 故选：C 【例5.5.】 （24-25高一下·山东临沂·期末）抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设“两个点数之和等于5”，“至少有一颗骰子的点数为2”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】列出样本空间，利用古典概率求解即可. 【详解】基本事件空间为： ，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，，共36个基本事件. 事件包含的基本事件有： ，，，，，，，， 共13个基本事件， 所以. 故选：D 【例5.6.】 （多选）（24-25高一下·贵州贵阳·期末）一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B关系用图表示，如图所示，其中 ， ，则下列结论中正确的是（    ）    A．n（AB）=4 B． C． D．A与B相互独立 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】独立事件的判断、计算古典概型问题的概率 【分析】由图易求得可判断A，求得，利用古典概型概率公式计算即可判断B；求得，利用古典概型概率公式计算即可判断C；分别求出事件求得，.进而计算判断即可. 【详解】对于A，由图知，，故A正确 ； 对于B，因为，，所以， 所以，故B不正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，因为，又， ，，所以A与B相互独立，故D正确. 故选：ACD. 【例5.7.】 （24-25高一下·广东广州·期末）一个袋子中有m个红球，n个白球，球的大小和质地相同. (1)若，；采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，求第二次取到白球的概率； (2)若，采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是，求n； (3)若，采取有放回的方式从中依次随机地取出2个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是，求的最大值. 【答案】(1)； (2)或； (3). 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、根据古典概型的概率求参数、有放回与无放回问题的概率、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据给定条件，利用列举法求出古典概率. （2）按取红球、白球的先后次序求出概率，再结合已知列式求解. （3）利用有放回抽取的概率求出的表达式，再求出最大值. 【详解】（1）记2个红球为，3个白球为，依次取出2个球的样本空间， ，共20个， 第二次取到白球的事件，共6个， 所以第二次取到白球的概率. （2）从个球中依次取2个球的试验有个基本事件， 先取红球再取白球的事件有个基本事件；先取白球再取红球的事件有个基本事件， 因此，整理得，解得或， 所以或. （3）有放回取球两次，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为， 先取白球再取红球的概率为；先红取球再取白球的概率为， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 【例5.8.】 （24-25高一下·安徽六安·期末）不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5. (1)现从盒子里随机取出2个小球，记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为n”，当时，分别求事件A，B的概率； (2)某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签. 游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜； 游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为n时获胜. 小明同学决定先玩游戏一，当n为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大？ 【答案】(1)， (2)n的取值为5，6，7 【难度】0.4 【知识点】独立事件的乘法公式、有放回与无放回问题的概率、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】（1）先写出样本空间，结合古典概型的概率公式即可得解； （2）利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书签的概率，从而得到概率，综合（1），由此得解. 【详解】（1）对于事件A，有放回地依次取出两个球的样本空间，则， 因为，所以， 所以， 对于事件B，不放回地依次取出两个球的样本空间 ，则，因为， 所以，所以； （2）设“先玩游戏二时，获得书签”，“先玩游戏三时，获得书签”， 记事件“从盒子中随机取出一个球，取到白球”， 从盒子中随机取出一个球的样本空间为， 则，，，所以. 则，，，互斥，A，B，C相互独立， 所以 . 同理，. 因为，所以，解得. 综合（1）知，，对应的均为，比大，所以满足题意； ，对应的均为，小于，不满足题意. 因此，符合题意的n的取值为5，6，7. 题型6：事件的关系和运算 【例6.1.】 （24-25高一下·福建福州·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中，2，3，4，5，6；“点数不大于4”，“点数大于4”，“点数为质数”，下列结论错误的是（    ） A．与互斥 B．和是对立事件 C．和相互独立 D．和相互独立 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】由互斥事件定义判断A，由对立事件定义判断B，由独立事件定义判断CD. 【详解】由题意， 对于A，，故A正确； 对于B，由题意，且，故B正确； 对于C，因为， 所以， 所以，故C正确； 对于D，因为， 所以， 所以，故D错误. 故选：D. 【例6.2.】 （24-25高一下·江苏泰州·期末）已知事件和事件独立，若，则（    ） A．0.21 B．0.51 C．0.79 D．0.91 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用概率的加法公式计算古典概型的概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据独立事件的概率公式计算，再利用概率的加法公式即可. 【详解】由题意可得，， 则. 故选：C 【例6.3.】 （24-25高一下·广东深圳·期末）已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】互斥事件的概率加法公式 【详解】， ． 【例6.4.】 （多选）（24-25高一下·广东肇庆·期末）已知事件A，B发生的概率分别为，，下列说法正确的是（   ） A．若，则事件A，B相互独立 B．若事件A，B互斥，则 C．若事件A，B相互独立，则 D．若事件B发生时事件A一定发生，则 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的判断、互斥事件的概率加法公式、概率的基本性质 【分析】应用独立事件的判定得事件，B相互独立，即可判断A；由互斥事件概率求法、概率的基本性质依次判断B、C、D. 【详解】，，， 事件，B相互独立，则A，B相互独立，正确； 由，B互斥，则，正确； ，B相互独立，则， ∴，错误； 发生时A一定发生，，则，正确． 故选：ABD 【例6.5.】 （24-25高一下·福建三明·期末）甲、乙两人组成的“龙队”参加数学解题比赛，比赛中每个队均有一张通行卡且仅限使用一次.每轮比赛由甲、乙各自独立解答同一道题，若两人都答对则直接进入下一轮；若两人都答错则直接被淘汰；若两人中恰有一人答对则可使用通行卡进入下一轮.已知在每轮比赛中甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，则“龙队”恰在参加三轮比赛后被淘汰的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】由题意知，还原情境，由互斥加法、独立乘法以及对立事件概率公式求解即可. 【详解】由题意“龙队”恰在参加三轮比赛后被淘汰， ①前两轮没有用通行卡，且第三轮都答错了， 概率为； ②前两轮有一轮使用通行卡，第三轮两人均答错或只有一人答对， 概率为； 故所求概率为. 故选：C. 【例6.6.】 （多选）（24-25高一下·安徽合肥·期末）一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（    ） A． B．事件与互斥 C．两两独立 D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】独立事件的判断、计算古典概型问题的概率、判断所给事件是否是互斥关系、事件的运算及其含义 【分析】根据互斥事件的概念以及相关公式和古典概型与事件独立的乘法公式进行计算与判断即可. 【详解】由题意：事件的样本点为：，事件的样本点为，事件的样本点为. 所以的样本点为：，所以，故A正确； 因为的样本点为：，所以的样本点为，又的样本点为，所以事件与互斥，故B正确； 因为的样本点为，所以，，. 因为，所以事件，不相互独立，故C错误； 因为，的样本点为，所以，又，所以，故D正确. 故选：ABD 【例6.7.】 （多选）（24-25高一下·吉林长春·期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（    ） A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为 C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】独立事件的判断、计算古典概型问题的概率、确定所给事件的对立关系、互斥事件的概率加法公式 【分析】先计算出事件甲、乙、丙、丁的概率，即可判断A，B，再根据独立事件的乘法公式判断C，根据对立事件的意义可判断D. 【详解】设为事件“第一次取出的球的数字是奇数”，为事件“第二次取出的球的数字是偶数”， 为事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”， 则，A正确； ，故B错误； 而，故甲与丁相互独立，即C正确； 因两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件，故D正确. 故选：ACD. 【例6.8.】 （24-25高一下·北京通州·期末）天气预报端午假期甲地的降雨概率为0.6，乙地的降雨概率为0.7，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内两地都不降雨的概率为____________. 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式计算即可. 【详解】记端午假期甲地降雨为事件，乙地降雨为事件， 由题知，，且相互独立，所以相互独立， 所以两地都不降雨的概率为. 故答案为： 【例6.9.】 （24-25高一下·天津·期末）2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，为激发民众的爱国热情和民族自豪感，某地举办相关知识竞答活动.在决赛中，每轮活动由甲、乙各答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙在两轮活动中恰好答对一个问题的概率为______；两人在两轮活动中共答对3个问题的概率为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】设事件甲第轮答对为，事件乙第轮答对为，，设事件乙在两轮活动中恰好答对个问题为，，则，结合互斥事件的概率加法公式和独立事件定义求，设事件甲在两轮活动中恰好答对一个问题为，，根据概率加法公式和独立事件定义求，再求可得结论. 【详解】设事件甲第轮答对为，事件乙第轮答对为，， 则相互独立，且，， ，， 设事件乙在两轮活动中恰好答对个问题为，， 则，其中事件，互斥， 所以， 所以，故乙在两轮活动中恰好答对一个问题的概率为， 设事件甲在两轮活动中恰好答对一个问题为，， 则，其中事件，互斥， 所以， 所以， 则，， 事件两人在两轮活动中共答对3个问题可表示为，其中事件互斥，事件相互独立，事件相互独立， 所以， 所以两人在两轮活动中共答对3个问题的概率为， 故答案为：；. 【例6.10.】 （24-25高一下·福建福州·期末）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.规定：累计负两场者被淘汰；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.设每场比赛双方获胜的概率都为，则甲连胜四场的概率为________；需要进行第五场比赛的概率为________. 【答案】 /0.0625 /0.75 【难度】0.65 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】甲连胜四场，则； 记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，则四局内结束比赛的概率为 ， 所以需要进行第五场比赛的概率为. 故答案为：； 【例6.11.】 （24-25高一下·内蒙古·期末）某次答辩活动有4道题目，第1题1分，第2题2分，第3题3分，第4题4分，每道题目答对给满分，答错不给分，甲参加答辩活动，每道题都要回答，答对第题的概率分别为，，，，且每道题目能否答对都是相互独立的． (1)求甲得10分的概率； (2)求甲得3分的概率； (3)若参加者的答辩分数大于6分，则答辩成功，求甲答辩成功的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】（1）利用独立事件的概率公式求解即可. （2）将甲得3分分为两种情况，再结合互斥事件的概率公式求解即可. （3）将甲答辩成功这个事件合理拆分，再结合互斥事件和独立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）由题意得每道题目能否答对都是相互独立的事件， 由独立事件概率公式得甲得10分的概率为． （2）甲得3分有两种情况：甲答对第1题和第2题，甲答对第3题．且两种情况互斥， 故甲得3分的概率为． （3）若甲恰好答对2道题目答辩成功，则甲必定答对第3题和第4题． 甲答辩成功的概率为． 若甲恰好答对3道题目答辩成功，则甲答对第2题、第3题、第4题， 或者答对第1题、第3题、第4题，或者答对第1题、第2题、第4题． 甲答辩成功的概率为． 由（1）可知甲得10分的概率为，所以甲答辩成功的概率为． 【例6.12.】 （24-25高一下·甘肃白银·期末）甲、乙两支篮球队进入某次决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过加时赛决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；加时赛甲队获胜的概率为.不同对阵的结果相互独立，假设甲队先主场后客场. (1)已知. （i）求甲队通过加时赛获得冠军的概率； （ii）求甲队获得冠军的概率. (2)除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过加时赛决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，加时赛甲队获胜的概率为.问哪种赛制更有利于甲队夺冠？ 【答案】(1)（i）；（ii） (2)“主客场比赛制”比第三方场地的“单场比赛制”更加有利于甲队夺冠 【难度】0.4 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】（1）（i）先分析出事件即甲队通过加时赛获得冠军，包含甲队主胜客负，主负客胜，主平客平三种情况，然后加时赛获胜，得到的表达式，将代入计算即可；（ii）先分析出事件即甲队获得冠军包含甲队加时赛胜，主胜客胜，主胜客平，主平客胜四种情况，得到的表达式，将代入计算即可； （2）先分析出事件即在第三方场地的“单场比赛制”下甲队获胜包含甲队胜，甲队平且加时赛胜两种情况，得到的表达式，分析出的取值范围，借助的取值范围得到，的大小关系即可知哪种赛制更有利于甲队夺冠. 【详解】（1）（i）设甲队通过加时赛获得冠军为事件， 则事件包含甲队主胜客负，主负客胜，主平客平，然后加时赛获胜， 所以. 因为，所以； （ii）设甲队获得冠军为事件， 则事件包含甲队加时赛胜，主胜客胜，主胜客平，主平客胜， 则. 因为，所以. （2）在第三方场地的“单场比赛制”下，将甲队获胜记为事件， 则事件包含甲队胜，甲队平且加时赛胜， 则， 因为，所以，此时，符合题意， ， 因为，，，所以， 即“主客场比赛制”比第三方场地的“单场比赛制”更加有利于甲队夺冠. 【例6.13.】 （24-25高一下·山东青岛·期末）如图，在中，，，，E，F，G分别为中点. (1)质点的初始位置在A处，每次等可能在相邻点间沿图中连线移动.求质点经过2次移动后到达E的概率； (2)将，，分别沿折起，使得点A，B，C重合于点P，质点的初始位置在P处，每次移动到距离为2，3，4的相邻点的概率分别为，，.求质点经过3次移动后回到P的概率. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）质点经过2次移动后到达E只有两条路径，或，由独立乘法、互斥加法公式即可求解； （2）质点经过3次移动后回到P的路径共有6条，分别是：，，由独立乘法、互斥加法公式即可求解. 【详解】（1）质点经过2次移动后到达E只有两条路径，或， 由题意第一次运动到的概率都是， 若第二次如果是从出发，则终点可能是， 所以此时运动到点的概率为， 若第二次如果是从出发，则终点可能是， 所以此时运动到点的概率为， 故所求概率为； （2）如图所示， 质点经过3次移动后回到P的路径共有6条，分别是：，， 这六条路径的共同特征是，都包含了边长为的线段各一条， 而每次移动到距离为2，3，4的相邻点的概率分别为，，， 故所求概率为. 【例6.14.】 （24-25高一下·广东深圳·期末）在学校数学活动周中，高一年级举办了数学答题比赛.题目选自模块1或模块2.已知在模块1的比赛中，选手甲、乙答对的概率分别为，在模块2的比赛中，选手甲、乙答对的概率分别为p和q.假设甲、乙两人在每个模块中答对与否互不影响.每个人在各模块中的结果也互不影响. (1)若在正式比赛前，甲、乙作为代表参加模块1的循环答题热身赛.参赛者依次轮流答题，若答对则该选手获1枚印章，若答错则对手获1枚印章.连续获两枚印章的选手最终获胜.甲回答第1题，乙回答第2题，依次轮流答题.求到第4个问题甲获胜的概率. (2)在正式比赛中，每个选手均要参加两个模块的比赛，每个模块回答一个问题，答对者获1枚印章，答错没有印章. （ⅰ）若，，求甲、乙共获得3枚印章的概率； （ⅱ）若甲没有获得印章，乙获得1枚印章的概率为，两人都获得两枚印章的概率为.求甲、乙至少有1人获得印章的概率. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）由独立乘法公式即可求解； （2）（i）由独立乘法、互斥加法公式即可求解；（ii）先求得，再根据乘法公式、对立事件概率公式即可求解. 【详解】（1）设“甲答对”为事件A，“乙答对”为事件B，设“到第4个问题甲胜”为事件G， 则 . （2）设表示甲在第i个模块答题中答对的事件，表示乙在第i个模块答题中答对的事件（其中，2）.设表示甲在两个模块答题中答对i个的事件，表示乙在两个模块答题中答对i个的事件（其中，1，2）. （i）根据独立性假定，得 ，， ，. 设”甲、乙共获得3枚印章“，则，且与互斥，与，与分别相互独立. 所以. （ii）设“甲、乙至少有一人获得印章”， ， ， 由已知， 所以， . 【例6.15.】 （24-25高一下·福建福州·期末）小林和小郑都参加英语口语面试，小林通过的概率为，小林和小郑都能通过的概率为，并且在面试过程中小林与小郑互不影响． (1)求小郑通过的概率； (2)求小林、小郑恰有一人通过的概率； (3)求小林、小郑中至少有一人不通过的概率． 【答案】(1)小郑通过的概率为. (2)小林、小郑恰有一人通过的概率为. (3)小林、小郑中至少有一人不通过的概率为. 【难度】0.65 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式、互逆事件概率 【分析】（1）设事件A为“小林通过”，事件B为“小郑通过”，则事件A、B为独立事件，根据独立事件运算规则，结合题给条件求解. （2）小林、小郑恰有一人通过分两种情况①小林通过且小郑未通过；②小郑通过且小林未通过，两种情况为互斥事件，概率为两种情况的和. （3）小林、小郑中“至少有一人不通过”为“两人同时通过”的逆事件,根据对立事件公式计算. 【详解】（1）设事件A为“小林通过”，事件B为“小郑通过”，则事件A、B为独立事件: ，， 所以， 故小郑通过的概率为：. （2）小林、小郑恰有一人通过分两种情况：①小林通过且小郑未通过；②小郑通过且小林未通过.则： ， 故小林、小郑恰有一人通过的概率为：. （3）小林、小郑中“至少有一人不通过”为“两人同时通过”的对立事件，即： 故小林、小郑中至少有一人不通过的概率为：. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 统计与概率 目录 题型1：随机抽样 2 题型2：频率分布直方图的应用 3 题型3：样本的数字特征和百分位数的估计 7 题型4：总体集中趋势与离散程度的估计 8 题型5：古典概型的计算 9 题型6：事件的关系和运算 11 题型1：随机抽样 【例1.1.】 （24-25高一上·贵州遵义·期末）某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66  67  40  37  14  64  15  71  11  05  65  09  95  86  68  76  83  20  37  90 57  16  03  11  63  14  90  84  45  21  75  73  88  05  90  52  23  59  43  10 若从表中第1行第5列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是_____. 【例1.2.】 （24-25高一下·山东青岛·期末）某学校有男生2000名和女生1000名，为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从男生中抽取100名学生，则为（   ） A．150 B．200 C．250 D．300 【例1.3.】 （24-25高一下·四川眉山·期末）某汽车4店欲通过分层随机抽样了解、、三个小区居民对新能源汽车的购买意愿．已知这三个小区的人口分别为1200人、800人、500人，若总样本量为100人，则应从小区抽取_________人． 【例1.4.】 （24-25高一下·福建福州·期末）一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如表（单位：辆）： 类别 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆，则表格中的值为（    ） A．400 B．500 C．600 D．1000 【例1.5.】 （24-25高一下·湖北恩施·期末）学校运动会志愿者服务协会共有“检录组”“计分组”“宣传组”三个组别，其中“检录组”比“宣传组”多8人，现采用比例分配的分层随机抽样方法从中选出部分志愿者参加田径比赛的志愿服务，如果选出的人中有3人来自“检录组”，4人来自“计分组”，1人来自“宣传组”，那么学校运动会志愿者服务协会“计分组”的人数为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 题型2：频率分布直方图的应用 【例2.1.】 （24-25高一下·福建南平·期末）如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态．图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态．根据所给图示作出判断，则下列结论正确的是（   ）    A．图（1）中平均数中位数众数 B．图（2）中平均数众数中位数 C．图（2）中众数平均数中位数 D．图（3）中平均数中位数众数 【例2.2.】 （多选）（24-25高一下·湖南岳阳·期末）某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图，其中支出在元的学生有45人，则下列说法正确的是（    ） A．样本中支出在元的频率为 B．的值为150 C．采用分层抽样从这45人中抽出10人，则在中共需抽出5人 D．该校学生一周生活方面支出的第75百分位数大约是52元（精确到个位数） 【例2.3.】 （多选）（24-25高一下·湖南衡阳·期末）衡阳市某中学为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了100名学生，根据这100名学生对食堂用餐质量给出的评分数据，分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（    ） A． B．为了解评分较低的原因，该校从评分低于80分的学生中用比例分配的分层抽样方法随机抽取18人座谈，则应选取评分在的学生8人； C．该样本数据的中位数和众数均为85； D．若样本数据的平均数低于85分，则认为食堂需要整改，根据此样本认为该校食堂不需要整改 【例2.4.】 （多选）（24-25高一下·云南昆明·期末）一组数据的平均数为，方差为，频率分布直方图如图所示，若，则（   ） A．数据的平均数为 B．数据的方差为 C．估计数据的众数约为7.5 D．估计数据的中位数约为 【例2.5.】 （25-26高一上·陕西渭南·期末）某中学初一男生共有400人，为了解初一男生的体重情况，该中学统计了所有初一男生的体重（单位：千克），并将数据按照，，，，分成5组，画成如图所示的频率分布直方图. (1)估计这400名男生的平均体重（同组数据用该组区间中点值作代表）； (2)根据体重区间，按比例分层抽样，从体重不足48千克的男生中抽取38人了解营养状况，试计算分别应当抽取体重在区间，，上的人数依次为多少？ 【例2.6.】 （24-25高一下·云南曲靖·期末）在领航2班的一次数学周考中，满分120分，根据班级成绩统计得到了成绩的频率分布直方图，如图所示.由于制作图表的人工作不仔细，将的人数与的人数，的人数与的人数登记反了. (1)求m的值; (2)设领航2班这次考试的更正前的平均分求更正后的平均分，并比较与的大小.（不需要计算，说明理由即可；每个区间的平均分以中点值代替）； (3)从更正后得分，的人中按分层抽样的方式从中选出一个容量为6的样本，再从这6人中选出2人参加竞赛考试，则这2人的成绩在同一区间内的概率为多少? 【例2.7.】 （24-25高一下·湖北武汉·期末）某高校体检随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间[160，165]，[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示． (1)求和频率分布直方图中身高在175cm及以下的学生人数； (2)估计该校100名学生身高的下四分位数（结果保留到个位数）． (3)已知落在区间[170，175）的样本平均数是173，方差是8，落在区间[175，180）的样本平均数是178，方差是6，求两组样本成绩合并后的平均数和方差． 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：记总的样本平均数为，样本方差为，则． 【例2.8.】 某校高一年级对一个教学单元进行阶段测试，满分为100分．现通过简单随机抽样，从中抽取100名学生的成绩作为样本进行质量分析，进行适当分组后，画出如下图所示的频率分布直方图． (1)请根据频率分布直方图，求出图中t的值．在本次测试中，拟将排在前20%的学生成绩，定为优胜成绩，试估计优胜成绩的分数线 (2)在按比例分配分层随机抽样中，从成绩在[70,90)内的学生中抽取5人，再从这5人中随机挑出两人进行卷面问题分析，求两人中至少有一人成绩来自[70,80)的概率； (3)已知在[70,80)内的学生成绩的平均数为75，方差为6，在[80,90)内的学生成绩的平均数为85，方差为1，求在[70,90)内的学生成绩的平均数和方差（请先推导必要的公式，再代值计算）． 题型3：样本的数字特征和百分位数的估计 【例3.1.】 （24-25高一下·新疆阿克苏·期末）某班级的老师随机抽查了该班8名同学周末在家学习的时长（单位：h），所得数据如下：3，4，4，5，6，6，7，8，则这组数据的75%分位数为（   ） A．6.5 B．6 C．5.5 D．5 【例3.2.】 （24-25高一下·安徽合肥·期末）一组数据按从小到大排列为：1，2，4，6，7，10，．这组数据的第60百分位数等于他们的平均数，则为（    ） A．12 B．15 C．17 D．19 【例3.3.】 （24-25高一下·黑龙江绥化·期末）有5人进行定点投篮游戏，每人投篮12次．这5人投中的次数形成一组数据，中位数为10，唯一众数为11，极差为3，则该组数据的第40百分位数是_________． 【例3.4.】 （多选）（24-25高一下·吉林长春·期末）下列说法正确的是（    ） A．数据1， 3， 5， 7， 9， 11， 13的第60百分位数为7 B．若样本的平均数和方差分别为2和3， 则的平均数和方差分别为8和27 C．一组样本数据为7，12，13， 17，18，20，32，若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数不可能相等 D．数据1，2，4，6，7的方差为 【例3.5.】 （多选）（24-25高一下·福建福州·期末）福州市某中学高一年级学生参加了一次英语口语能力测试，其中男生人，女生人现在按性别进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到一组测试成绩的样本样本中有位女生的测试成绩，分别是，，，，，，，，样本中男生测试成绩的平均数为，则（    ） A．样本中有位男生的测试成绩 B．样本中女生测试成绩的第百分位数是 C．样本中女生测试成绩的方差为 D．样本中所有学生测试成绩的平均数为 【例3.6.】 （24-25高一下·内蒙古·期末）甲机床一天内生产的零件的重量（单位：）从小到大为． (1)求这组数据的分位数； (2)求这组数据的平均数和标准差； (3)求零件重量位于和之间的个数及所占的百分比． 参考数据：． 题型4：总体集中趋势与离散程度的估计 【例4.1.】 （24-25高一下·北京通州·期末）已知一组样本数据16，，14，15，13的平均数为15，则该组样本数据的方差为（    ） A．2.0 B．2.1 C．2.2 D．2.4 【例4.2.】 （24-25高一下·山东青岛·期末）抽样调查得到20个样本数据，记作，样本数据的平均数为9，方差5.现去掉一个最大值13和一个最小值5，产生一组新数据，关于这组新数据，下列说法错误的是（   ） A．中位数一定不变 B．极差一定变小 C．方差一定变小 D．平均数一定不变 【例4.3.】 （24-25高一下·安徽六安·期末）某中学高一年级有600名男学生，400名女学生，现用分层随机抽样的方法调查了50名高一学生的身高.若样本中男生身高的平均数和方差分别为172和9，女生身高的平均数和方差分别为162和14，则估计高一年级学生的平均身高和方差分别为（    ） A．168，35 B．168，20 C．169.6，35 D．169.6，20 【例4.4.】 （24-25高一下·广东肇庆·期末）某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取的所有员工的体重的方差为120，女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30．若样本中有21名男员工，则女员工的人数为（   ） A．28 B．35 C．63 D．48 【例4.5.】 （24-25高一下·江苏无锡·期末）经过简单随机抽样获得的样本数据为，，…，，且数据，，…，的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（   ） A．； B．若，则所有的数据都为0； C．若，则的平均数为6； D．若，则的方差为12； 题型5：古典概型的计算 【例5.1.】 （24-25高一下·福建福州·期末）某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为．按学生所在年级进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取5名学生去敬老院献爱心．从这5人中随机抽取2人作为负责人，则2名负责人至少有一名来自高二年级的概率为（    ） A． B． C． D． 【例5.2.】 （24-25高一下·安徽合肥·期末）从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【例5.3.】 （24-25高一下·甘肃天水·期末）在2025年6月21日天水市公祭伏羲活动期间，有人提出了这样一个问题：伏羲八卦中每一卦由三个爻组成（“”为阳爻，“”为阴爻）.从八卦中随机抽取一卦，那么抽到恰好含有两个阳爻的卦的概率是（    ） A． B． C． D． 【例5.4.】 （24-25高一下·湖南邵阳·期末）现有5人（其中男性有2人，女性有3人）去某公司应聘，但该公司只录用2人．假设这5人被录用的机会相同，则被录用的2人性别不同的概率是（    ） A． B． C． D． 【例5.5.】 （24-25高一下·山东临沂·期末）抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设“两个点数之和等于5”，“至少有一颗骰子的点数为2”，则（    ） A． B． C． D． 【例5.6.】 （多选）（24-25高一下·贵州贵阳·期末）一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B关系用图表示，如图所示，其中 ， ，则下列结论中正确的是（    ）    A．n（AB）=4 B． C． D．A与B相互独立 【例5.7.】 （24-25高一下·广东广州·期末）一个袋子中有m个红球，n个白球，球的大小和质地相同. (1)若，；采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，求第二次取到白球的概率； (2)若，采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是，求n； (3)若，采取有放回的方式从中依次随机地取出2个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是，求的最大值. 【例5.8.】 （24-25高一下·安徽六安·期末）不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5. (1)现从盒子里随机取出2个小球，记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为n”，当时，分别求事件A，B的概率； (2)某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签. 游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜； 游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为n时获胜. 小明同学决定先玩游戏一，当n为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大？ 题型6：事件的关系和运算 【例6.1.】 （24-25高一下·福建福州·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中，2，3，4，5，6；“点数不大于4”，“点数大于4”，“点数为质数”，下列结论错误的是（    ） A．与互斥 B．和是对立事件 C．和相互独立 D．和相互独立 【例6.2.】 （24-25高一下·江苏泰州·期末）已知事件和事件独立，若，则（    ） A．0.21 B．0.51 C．0.79 D．0.91 【例6.3.】 （24-25高一下·广东深圳·期末）已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 【例6.4.】 （多选）（24-25高一下·广东肇庆·期末）已知事件A，B发生的概率分别为，，下列说法正确的是（   ） A．若，则事件A，B相互独立 B．若事件A，B互斥，则 C．若事件A，B相互独立，则 D．若事件B发生时事件A一定发生，则 【例6.5.】 （24-25高一下·福建三明·期末）甲、乙两人组成的“龙队”参加数学解题比赛，比赛中每个队均有一张通行卡且仅限使用一次.每轮比赛由甲、乙各自独立解答同一道题，若两人都答对则直接进入下一轮；若两人都答错则直接被淘汰；若两人中恰有一人答对则可使用通行卡进入下一轮.已知在每轮比赛中甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，则“龙队”恰在参加三轮比赛后被淘汰的概率为（    ） A． B． C． D． 【例6.6.】 （多选）（24-25高一下·安徽合肥·期末）一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（    ） A． B．事件与互斥 C．两两独立 D． 【例6.7.】 （多选）（24-25高一下·吉林长春·期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（    ） A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为 C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件 【例6.8.】 （24-25高一下·北京通州·期末）天气预报端午假期甲地的降雨概率为0.6，乙地的降雨概率为0.7，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内两地都不降雨的概率为____________. 【例6.9.】 （24-25高一下·天津·期末）2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，为激发民众的爱国热情和民族自豪感，某地举办相关知识竞答活动.在决赛中，每轮活动由甲、乙各答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙在两轮活动中恰好答对一个问题的概率为______；两人在两轮活动中共答对3个问题的概率为______. 【例6.10.】 （24-25高一下·福建福州·期末）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.规定：累计负两场者被淘汰；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.设每场比赛双方获胜的概率都为，则甲连胜四场的概率为________；需要进行第五场比赛的概率为________. 【例6.11.】 （24-25高一下·内蒙古·期末）某次答辩活动有4道题目，第1题1分，第2题2分，第3题3分，第4题4分，每道题目答对给满分，答错不给分，甲参加答辩活动，每道题都要回答，答对第题的概率分别为，，，，且每道题目能否答对都是相互独立的． (1)求甲得10分的概率； (2)求甲得3分的概率； (3)若参加者的答辩分数大于6分，则答辩成功，求甲答辩成功的概率． 【例6.12.】 （24-25高一下·甘肃白银·期末）甲、乙两支篮球队进入某次决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过加时赛决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；加时赛甲队获胜的概率为.不同对阵的结果相互独立，假设甲队先主场后客场. (1)已知. （i）求甲队通过加时赛获得冠军的概率； （ii）求甲队获得冠军的概率. (2)除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过加时赛决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，加时赛甲队获胜的概率为.问哪种赛制更有利于甲队夺冠？ 【例6.13.】 （24-25高一下·山东青岛·期末）如图，在中，，，，E，F，G分别为中点. (1)质点的初始位置在A处，每次等可能在相邻点间沿图中连线移动.求质点经过2次移动后到达E的概率； (2)将，，分别沿折起，使得点A，B，C重合于点P，质点的初始位置在P处，每次移动到距离为2，3，4的相邻点的概率分别为，，.求质点经过3次移动后回到P的概率. 【例6.14.】 （24-25高一下·广东深圳·期末）在学校数学活动周中，高一年级举办了数学答题比赛.题目选自模块1或模块2.已知在模块1的比赛中，选手甲、乙答对的概率分别为，在模块2的比赛中，选手甲、乙答对的概率分别为p和q.假设甲、乙两人在每个模块中答对与否互不影响.每个人在各模块中的结果也互不影响. (1)若在正式比赛前，甲、乙作为代表参加模块1的循环答题热身赛.参赛者依次轮流答题，若答对则该选手获1枚印章，若答错则对手获1枚印章.连续获两枚印章的选手最终获胜.甲回答第1题，乙回答第2题，依次轮流答题.求到第4个问题甲获胜的概率. (2)在正式比赛中，每个选手均要参加两个模块的比赛，每个模块回答一个问题，答对者获1枚印章，答错没有印章. （ⅰ）若，，求甲、乙共获得3枚印章的概率； （ⅱ）若甲没有获得印章，乙获得1枚印章的概率为，两人都获得两枚印章的概率为.求甲、乙至少有1人获得印章的概率. 【例6.15.】 （24-25高一下·福建福州·期末）小林和小郑都参加英语口语面试，小林通过的概率为，小林和小郑都能通过的概率为，并且在面试过程中小林与小郑互不影响． (1)求小郑通过的概率； (2)求小林、小郑恰有一人通过的概率； (3)求小林、小郑中至少有一人不通过的概率． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $