专题3.7 导数之函数零点类型-2027年高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数零点类型核心考点，涵盖零点个数判断、参数取值范围求解及零点证明三大模块，按问题类型分层递进，构建“方法梳理-典例解析-真题演练”体系，通过导数应用、数形结合等策略帮助学生系统突破难点。 讲义突出数学思维与数学语言培养，创新采用“常规讨论+同构变形”双路径突破零点证明，如通过切线放缩不等式指导找点技巧，结合同构变形简化零点关系分析。设置分层练习与即时反馈，助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

专题3.7函数零点类型 3.7.1零点个数 ⑧知识点梳理 利用导数确定零点的个数： 1.求导→单调区间→极值/最值→判断零点个数. 2数形结合：拆成两个函数，看交点个数： 3找点：核心就是放缩，所以需要熟悉一些放缩不等式，最常见的就是切线放缩，以及相 关变形.常用放缩：e≥x+1,e>x2,nx≤x-1,lnx<x. ®典型例题 例1.已知函数f(x)=ax+cosx,且fx)在[0，π]上的最大值为0. (1)求函数fx)的解析式； (2)判断函数f(x)在0，π)内的零点个数，并加以证明 例2.设函数f(x)=e2-anx讨i论f(x的零点的个数 囹随堂演练 1.已知函数f(x)=X2-2x+21血X (①)求f(x)的最小值： (2)设函数g(x)=f(x)-m,讨论零点的个数. 2设函数f(x)=X-3x2+ax+2'曲线y=fx)在点(0,2)处的切线方程为y=2 (1)求a的值； (2)求f(x)的极值点个数. 3.已知函数fx=sinx-ln(1+x'f(x为f(x的导数证明： (①)f(x)在区间(-1，)存在唯一极大值点： (2f(x)有且仅有2个零点. 4.设函数f(x)=ln(a-x),已知=0是y=f(x)的极值点. (1)求a; ②滋证数x=对，E明：gK有两个专点 5.已知函数f(x=xlnx-ax+1有两个零点，求实数a的取值范围. 6.已知函数fx)=e-〈k为常数)，讨论fx在R上的专点个数 3 3.7.2零点求参数的取值范围 知识点梳理 分离参数：构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断y=a与其交点的 个数，从而求出a的取值范围： 直接讨论：直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值， ⑧典型例题 例1.已知函数f(x)=e-alnx (1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： (2)若f(x)在区间(0,1)，（1，+∞)各恰有一个零点，求a的取值范围 例2已知a>0且a1数fx)= (1)当a=2时，求f(x)的单调区间： (2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围. 例3.已知函数f(x)=ae2+(a-2)e-X (1)讨论fx)的单调性： (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围. 囹随堂演练 1设函数f(x)=e-a(x+2 其中a0 (1)讨论fx)的单调性； (2)若fx)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围. 5 2已知a>0 函数f(x=e-ax (1)求函数f(x)在x=0处的切线方程； (2)若fx)和g(x)=lnx有公共点，当a>e时，求a的取值范围. 3已知函数f(x)=e-ax-1 (1)当a=1时，求fx的最大值； (2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围 4已知函数fx=(x-2)e+a(x-1 (1)讨论f（x)的单调性； (2)若fx)有两个零点，求a的取值范围. 6 5已知函数fx=e-ax若x在0，+0只有-个零点，求。的值 6已知函数(X)=e-QX-bx-1其中。，b∈R'e为自然对数的底数 (1)设g(x)是函数fx)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值； (2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点，求a的取值范围. 3.7.3零点证明之常规讨论 知识点梳理 1.讨论：常规分析进行分类讨论，求导→单调区间一极小值（最小值）； 2.找点：左右异号点→零点存在定理 典型例题 例1.设函数f(x)=xlnx-aX+a (1①)求f(x)的单调区间和极值： (2)证明：若f(x)存在零点，则在区间(1，]上仅有一个零点. 例2.已知函数f(x)=1-x+alnx (1)若a=2,求(x)的单调区间： (2)证明：(x)只有一个零点. 囹随堂演练 1.已知函数f(x)=x(1-nx). (①)讨论f(x)的单调性： (2)从下面两个条件中选一个，证明：fx)只有一个零点. 2.已知函数f(x)=sinx-n1+x'fx为f(x)的导数.证明： (四f(x)在区间-1，子存在唯一极大值点： (②)f代x)有且仅有2个零点. 3.已知函数f(x)=VX-lnx若a≤3-4ln2,证明：对于任意k>0,直线y=x+a与曲线 y=f(x)有唯一公共点 4已知函数f(x)=(x-1)e-aX+b (①)讨论f(x)的单调性； (2)从下面两个条件中选一个，证明：fx)只有一个零点. ①时as号，b>2a:20<a号bs2a 9 5设函数f(x)=号-k1n,k>0 (1)求f(x)的单调区间和极值； (2)证明：若fx)存在零点，则f(x)在区间1，Ve]上仅有一个零点. 6已知函数f(x3-aX+x+1 (1)若a=3,求f(x)的单调区间： (2)证明：f(x)只有一个零点 10 3.7.3零点证明之同构 多知识点梳理 1.同构证明：对零点等式进行适当的代换或者变换，可以得到零点关系，会更容易处理 2.常见变形： (1)xe*=ex-Ix (x>0)x+Inx=In(xe*)(x>0). (2) e=e'-Ix,x-Inx=Ine 3)x2e*=ex-2inx:x+2lnx=In(x2e*) 4)号e-a:x-2nx=n 典型例题 例1.已知x>0,求证方程xe=2有唯一实根，并求根的表达式. 双 例2已知X>0,方程X-hX=2的解为X1,方程S=e的解为X2,求证X=x2 X 例3.已知X>0方程E=e的解为x,:求x。-2nx,的值 例4已知方程C=Xnx有正根x,求x,-3nx,的值 制5已知至数Fx警和至数gx刘=，且1x有是大值为 1 (1)求实数a的值： (2)直线y=m与两曲线y=fx)和y=g(x)恰好有三个不同的交点，其横坐标分别为 X,X,X:且x,<x,5x证明：XX,=X好 12 囹随堂演练 1.已知x>0,方程x+lnx=1的解为X1,方程x·e=e的解为X2,求证：X1=x2. 2.已知X>0,方程9=e的解为x,求x,-lnx的值. 3.已知x>0,方程x2e=4有唯一解xo,求X+2lnxo的值. 13 4.已知x>0,方程x+2lnx=3的解为X1,方程xe=e的解为X2,求证x1=x2. 5.已知x>0方程x-2nX=1的解为x,方程g=e的解为x,求证X=X x2 6.设正数x,y满足xe2=ylny,证明：2x=lny. 7,已知函数f(x)=e-ax和g(x)=ax-1nx有相同的最小值 (1)求a; (2)证明：存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并 且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列. 14 8已知f。产gx=x X (1)求函数y=f(x),y=gx)的单调区间和极值： (2)请严格证明曲线y=f(x),y=g(x)有唯一交点： (3)对于常数a∈0，若直线y=0和曲线y=fx,y=gx共有三个不同交点 e (X1,a,(为，a,(x3,a》其中x≤x,5x求证：X,X,X成等比数列， 15 9.己知函数fx=e-mx,gx)=x-mlnx (1)是否存在实数m,使得f(x)和gx)在(0，+∞)）上的单调区间相同？若存在，求出m 的取值范围：若不存在，请说明理由. (2)已知x1,x2是f(x)的零点，X2,X3是gx)的零点. ①证明：m>e; ②证明：1<xX,X<e” 16 专题3.7函数零点类型 3.7.1零点个数 利用导数确定零点的个数： 1.求导单调区间极值/最值判断零点个数. 2.数形结合：拆成两个函数，看交点个数. 3.找点：核心就是放缩，所以需要熟悉一些放缩不等式，最常见的就是切线放缩，以及相关变形.常用放缩：，，. 例1.已知函数，且在上的最大值为0. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在内的零点个数，并加以证明. 解：(1). ：递增，，矛盾； ：递减，最大值，矛盾； 故最大值在右端点：. 所以求函数的解析式为：. （2），在单调递减. ，，， 零点：1个，1个，共2个. 例2.设函数.讨论的零点的个数. 解：定义域，.令. ：，无零点； ：，单调递增. ，；，.由零点存在定理，唯一零点. 1.已知函数. (1)求的最小值； (2)设函数，讨论零点的个数. 解：(1)定义域，. 令.：递减；：递增. 最小值：. （2）最小值，、时. ：无交点；：相切；：两交点. 2.设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求的值； (2)求的极值点个数. 解：(1)求导得. 曲线在点处切线为，说明切线斜率为0，即. （2）由(1)知. 当或时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 因此，是极大值点，是极小值点，故函数共有2个极值点. 3.已知函数，为的导数.证明： (1)在区间存在唯一极大值点； (2)有且仅有2个零点. 解：(1)令，则. 在上单调递减，且，. 故存在唯一，使得. 当时，；当时，. 因此是在内的唯一极大值点，即的唯一极大值点. （2）①当时，由(1)知在单调递增，，故，单调递减.又，故是唯一零点. ②当时，在单调递增，在单调递减，，，故存在唯一，使得.在单调递增，在单调递减，，，无零点. ③当时，，单调递减，，，故存在唯一零点. ④当时，，，故，无零点. 综上，有且仅有2个零点. 4.设函数，已知是的极值点. (1)求； (2)设函数，证明：有两个零点. 解：(1)令，求导得. 由是的极值点，得，解得. （2）由(1)知，，定义域为. 等价于.令，求导得. 当时，，单调递减，，故，无零点； 当时，，单调递减，，，故存在唯一使得. 此外，在处无定义，时，时，时，故在内有两个零点. 5.已知函数有两个零点，求实数的取值范围. 解：由得. 因为（对数定义域），方程可变形为. 令，则原问题转化为直线与曲线有两个交点. 求导得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故在处取得极小值（也是最小值）. 又当时，；当时，. 要使与有两个交点，需满足，即. 6.已知函数（为常数），讨论在上的零点个数. 解：当时，恒成立，无零点. 当时，求导得. ①若，则恒成立，单调递增.又，时，，故有1个零点. ②若，令，得，在单调递减，在单调递增，最小值为. 当时，，无零点； 当时，，有1个零点； 当时，，且，时，故有2个零点. 3.7.2零点求参数的取值范围 分离参数：构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围. 直接讨论：直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值. 例1.已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间各恰有一个零点，求的取值范围. 解：（1）函数定义域：. 当时，. ，故切点为.：. .因此，切线方程为：. （2）因为，.令，则. 若，则，在单调递增，不可能在两个区间各有一个零点，舍去. 若，则，在单调递增，故在单调递增.由单调递增，且时，时，故存在唯一，使得，即. 此时：，，单调递减； ，，单调递增. 要使在和各恰有一个零点，需满足： （保证在极小值点右侧，且，使存在零点）； （保证内有极小值点，且，结合时，使存在零点）. 由，得. 此时，满足，当时，（因时，故），（因，，，但结合单调性与，可证）.综上，的取值范围为. 例2.已知且，函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围. 解：（1）当时，，， 当时，；当时，. 故的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由题知在有两个不等实根， ， 令，则.在上单调递增，在上单调递减. 又当时，；；；当时，. 作出的图象，如图所示： 由图象可得，解得且，即的取值范围是. 例3.已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围. 解：（1），∵恒成立， 当时，在R上单调递减; 当时，时，单调递减; 时，单调递增; 综上，当时，在R上单调递减; 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）当时，在上单调递减，至多有1个零点，不符合题意; 若，由(2)知，当时，取得最小值为 设则 故在上单调递增，又 ①当时，故此时没有两个零点; ②当时，，又，故在上有一个零点； 当时，由可得即得则， 故即又易知， 则即 因此在上也有一个零点. 综上，若有两个零点，实数的取值范围为 1.设函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)若的图象与轴没有公共点，求的取值范围. 解：(1)求导：，令，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. （2）函数无零点，等价于最小值大于0.由(1)知，在处取得最小值： ， 要使与轴无交点，即：， 因为，所以.综上，的取值范围是. 2.已知，函数. (1)求函数在处的切线方程； (2)若和有公共点，当时，求的取值范围. 解：(1)求切点与斜率：，切点为； ，切线斜率. 切线方程：，即. （2）和有公共点，即方程有解，整理为：， 令，. 当时，时，； 在上的值域为（当时，当时，且在某点取最小值1）. 因此，当时，直线与的图像必有交点，即与必有公共点.故的取值范围为. 3.已知函数. (1)当时，求的最大值； (2)若恰有一个零点，求的取值范围. 解：(1)当时，，求导：. 时，，单调递减； 时，，单调递增； 时，，. 故在处取得最大值. （2）分情况讨论： 当时：，在上单调递增. 又，故是唯一零点. 当时：，令，得. 在递减，在递增. 最小值为：，恰有一个零点，即最小值为0：. 综上，的取值范围为或. 4.已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围. 解：（1）求导：. 若：恒成立. 时，，单调递减； 时，，单调递增. 若：令，得，需比较与的大小，分三种情况讨论单调性. （2）分析零点个数：. 当：时，，，故；时，.因此在和各有一个零点，共两个零点. 当：，只有一个零点. 当：零点个数不足两个（证明略）.综上，的取值范围为. 5.已知函数.若在只有一个零点，求的值. 解：在只有一个零点，等价于方程在只有一个解，即：. 令，，求导：. 时，，单调递减； 时，，单调递增. 在处取得极小值，也是最小值：. 当时，；当时，. 因此，当且仅当时，直线与的图像只有一个交点，即在只有一个零点. 6.已知函数，其中，为自然对数的底数. (1)设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值； (2)若，函数在区间内有零点，求的取值范围. 解：（1），. 当时，，在单调递增，最小值为； 当时，令，得，在递减，在递增，最小值为； 当时，，在单调递减，最小值为. (2). 在内有零点，即存在，使得. 分析函数趋势： ，，故在内必有极值点，即在内有零点. ， . 要使在内有零点，需：. 综上，的取值范围为. 3.7.3 零点证明之常规讨论 1.讨论：常规分析进行分类讨论，求导单调区间极小值（最小值）； 2.找点：左右异号点零点存在定理. 例1.设函数. (1)求的单调区间和极值； (2)证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点. 解：(1)定义域，. 临界点.：递减；：递增. 极小值. （2），.在单调，零点存在则唯一. 例2.已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)证明：只有一个零点. 解：(1)，，仅导数为0，单调递减. （2）. ：，递减，、异号，唯一零点； ：两极值点，极值异号，唯一零点. 1.已知函数. (1)讨论的单调性； (2)从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点. 解：(1).：，递增；：，递减. （2）极大值.：；：. 由零点存在定理，唯一零点. 2.已知函数，为的导数.证明： (1)在区间存在唯一极大值点； (2)有且仅有2个零点. 解：(1)，令，. 在递减，. 唯一零点，在递增，递减，故是唯一极大值点. （2）；，；，递减，，唯一零点；，递增，，唯一零点.共2个零点. 3.已知函数.若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点. 解：令，. 递减，，；，. 唯一极值点，最大值.时，，两端异号，唯一零点. 4.已知函数. (1)讨论的单调性； (2)从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点. ①；②. 解：(1)讨论单调性求导：， 令，解得或. 当，即时，恒成立： 时，，单调递减； 时，，单调递增. 当，即时，有解： 若，即，则： 或时，，单调递增； 时，，单调递减. 若，即，则，恒成立，在R上单调递增. 若，即，则： 或时，，单调递增； 时，，单调递减. （2）证明只有一个零点：选①：. 由(1)知，此时在单调递增，在单调递减，在单调递增. ，由，得； ，因，且在上的最大值为，故； 时，，，故. 因此，在上有且仅有一个零点，在上，无零点.综上，只有一个零点. 选②：. 由(1)知，此时在单调递增，在单调递减，在单调递增. （因）； ，化简得，因，，故； 时，，，但指数增长快于二次函数，故. 因此，在上有且仅有一个零点，在上，无零点.综上，只有一个零点. 5.设函数，. (1)求的单调区间和极值； (2)证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点. 解：(1)求单调区间和极值函数定义域：. ，令，得（舍去）. 时，，单调递减； 时，，单调递增. 故在处取得极小值：.无极大值. (2)证明零点唯一性 若存在零点，则，即，解得. 当时，. 时，，故在上单调递减； ； . 根据零点存在定理，在上有且仅有一个零点. 6.已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)证明：只有一个零点. 解：(1)当时，求单调区间 当时，. ，令，解得：. 或时，，单调递增； 时，，单调递减. (2)证明只有一个零点，函数，定义域为R. 令，得：. 因恒成立，故可变形为：. 令，求导： 因，且，故恒成立，在R上单调递增. 当时，； 当时，. 因此，对任意实数，直线与的图像有且仅有一个交点，即只有一个零点. 3.7.3 零点证明之同构 1.同构证明：对零点等式进行适当的代换或者变换，可以得到零点关系，会更容易处理. 2.常见变形： （1）；. （2）；. （3）；. （4）；. 例1.已知，求证方程有唯一实根，并求根的表达式. 解：对等式两边同取自然对数，利用的变形：， 两边取自然对数得：，令，（）， 故在上单调递增.又，， 故有唯一解.设解为，则，即，得，故根为方程的唯一解. 例2.已知，方程的解为，方程的解为，求证. 解：，而满足， 又在单调递减，单调递增，且，仅有两解，但结合方程的单调性（时单调递增），可知两方程的正解一致，故（此处均取大于1的解）. 例3.已知，方程的解为，求的值. 解：，两边取对数得：. 例4.已知方程有正根，求的值. 解：原式移项变形：，进一步同构：. 标准同构整理：. 令，结合结构匹配得：不成立，重新标准变形： . 由同构单调性可得：，化简得核心等式：. 例5.已知函数和函数，且有最大值为. （1）求实数的值； （2）直线与两曲线和恰好有三个不同的交点，其横坐标分别为，且，证明：. 解：(1)的定义域为R,且, ，当时，，递增； 当时，，递减； 所以，所以，解得，又，所以. （2）证明：由（1）可知：在递增，在递减， 又，所以在递增，在递减， 和的图象如图所示： 设和的图象交于点，则直线经过点时， 直线与两条曲线和共有三个不同的交点， 则，且，， 因为，所以，即， 因为，，且在递增， 所以，所以. 因为，所以，即， 因为，，且在递减，所以， 所以，所以，即. 1.已知，方程的解为，方程的解为，求证：. 解：由题意得：， 而满足，又在上单调递增，故. 2.已知，方程的解为，求的值. 解：由，两边取对数得：. 3.已知，方程有唯一解，求的值. 解：由题意得：，两边取对数得：. 4.已知，方程的解为，方程的解为，求证. 解：，而满足， 又在上单调递增（），故. 5.已知，方程的解为，方程的解为，求证. 解：，而满足， 又在单调递减，单调递增， 的解与的解一致，故. 6.设正数满足，证明：. 解：原式变形：， 等式两边同乘2：， 构造函数，求导得， 故在上严格单调递增. 由，单调函数函数值相等则自变量相等，即：，得证. 7.已知函数和有相同的最小值. （1）求； （2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列. 解：(1)的定义域为R，而. 若，则，此时无最小值，故. 的定义域为，而. 当时，，故在上为减函数； 当时，，故在上为增函数，故. 当时，，故在上为减函数； 当时，，故在上为增函数，故. 因为和有相同的最小值， 故，整理得到，其中. 设故该函数为上的减函数，而当时值为. （2）证明：由①知，所以,， 此时在上单调递减，在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增，又， 设，函数定义域为， 可得， 当时，，所以在上单调递增， 因为，所以当时，恒成立， 即在时恒成立，所以时，， 因为，函数在上单调递增，，函数在上单调递减， 所以函数与函数的图象在上存在唯一交点， 设该交点为，函数和的大致图象如下所示： 由图象知直线与两条曲线和共有三个不同的交点时，直线必经过点，即。 因为，所以，即。 令，解得或。因为，所以。 令，解得或。因为，所以。 所以当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为。 因为，所以，所以成等差数列。 故存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列。 8.已知. （1）求函数的单调区间和极值； （2）请严格证明曲线有唯一交点； （3）对于常数，若直线和曲线共有三个不同交点，其中，求证：成等比数列. 解：(1)由题意可知：的定义域为，的定义域为，，， 当时，得，此时函数单调递增， 当时，得，此时函数单调递减， 因此函数极大值为， 单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，得，此时函数单调递增， 当时，得，此时函数单调递减， 因此函数极大值为， 单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数极大值为，单调递增区间为，单调递减区间为； 函数极大值为，单调递增区间为，单调递减区间为. （2）设，， 设， 设, 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，设, 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，因此有,当时取等号， 于是有, 因此单调递减，而, 根据函数零点存在原理，当时，函数在内有唯一零点， 因此有唯一实根，因此曲线有唯一交点. （3）由(1)可知两个函数的最大值均为， 且函数单调递增区间为,单调递减区间为; 函数单调递增区间为,单调递减区间为, 由(2)可知曲线有唯一交点，且交点在内， 因为直线和曲线共有三个不同交点， 其中，因此两条曲线必过两个曲线的交点，所以有， 因此有, 因为,,在上单调递增，所以有， 同理,,而函数在单调递减， 所以有,而,所以,因此成等比数列. 9.已知函数. （1）是否存在实数，使得和在上的单调区间相同？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. （2）已知是的零点，是的零点. ①证明：； ②证明：. 解：(1)由题意得，，. 当时，，，所以和在上都单调递增，符合题意； 当时，若和在上的单调区间相同，则和有相同的极值点，即，令，则. （2）①由题意，有两个零点，，若，则，所以在上单调递增，不符合题意.若，则当时，，单调递减；当时，，单调递增；且当时，；当时，.所以，解得，得证. ②令，得，即. 令，则. 当时，单调递减； 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 在同一坐标平面内作出函数与函数的图像，它们有公共点，如图： 故，且有. 由，得，即，又，所以. 由，得，即，又，所以. 由，得，即. 故. 1 学科网（北京）股份有限公司 $