专题3.6 导数之函数与不等式-2027年高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数与不等式高考核心考点，涵盖构造函数解不等式及不等式证明（构造函数、参数放缩等），按“模型梳理-方法原理-解题步骤”逻辑架构知识，通过考点分类、方法指导、真题演练环节，帮助学生构建系统解题思路。 资料以“数学思维”和“数学语言”为核心，创新设计隐零点整体代换、切线放缩模型构建等教学活动，如通过16种构造函数模型强化转化能力，设置分层练习适配不同学情，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供精准指导。

专题3.6 函数与不等式 3.6.1 构造函数解不等式 常见构造函数模型： （1）对于 (<0)，构造. （2）对于 (<0)，构造. （3）对于 (<0)，构造. （4）对于 (<0)，构造. （5）对于 (<0)，构造. （6）对于 (<0)，构造. （7）对于 (<0)，构造. （8）对于 (<0)，构造. （9）对于 (<0)，构造. （10）对于 (<0)，构造. （11）对于 (<0)，构造. （12）对于 (<0)，构造. （13）对于 (<0)，构造. （14）对于 (<0)，构造. （15）. . . （16）; . 例1.定义在上的函数的导函数是，，函数为奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 解：由题意知，设， 则 仅当时，等号成立，所以单调递减. 又因为函数为奇函数，所以， 即，故由可得，所以不等式的解集为.故选：A. 例2.设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，.且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 解：令，则 因此函数在上是奇函数. ①当时，，在时单调递增， 故函数在R上单调递增. ，，. ②当时，函数在上是奇函数，可知：在上单调递增， 且，的解集为. ③当时，，不符合要求. 不等式的解集是. 例3.已知定义在上的函数满足，且，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 解：设, , 所以是奇函数.当时，, 则, 所以在上单调递增，则在上单调递增，不等式即,所以, 所以不等式的解集为.故选：D. 例4.已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于的不等式的解集为 . 解：依题意令,, 则,因为当时, ,所以当时, ,在上单调递减, 则等价于,即 ,,解得,所以 所求不等式的解集为.故答案为：. 1.是定义在上的非负可导函数，且满足.对于任意正数，若，则必有（ ） A. B. C. D. 解：令，， 所以在上为常函数或递减. （1）若在上为单调递减，所以， 即①，② ①②两式相乘得：所以. （2）若在上为常函数，且，则 ，即③，④， ③④两式相乘得：所以. 综上所述，，故选：A. 2.对于上可导的任意函数，若满足则必有（ ） A. B. C. D. 解：， 若,则为常数函数，; 若不恒成立，当时，,递增；当时，,递减. ,.故选：C. 3.已知是上的奇函数，且对任意的均有成立.若，则不等式的解集为（） A. B. C. D. 解：由得. 令,则, 所以在上单调递增，又,为奇函数，所以,,则.故选：B. 4.若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是（） A. B. C. D. 解：令,则,因此 ，所以选C. 5.定义在上的函数满足，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 解： ，令， 则， 在R上为奇函数，又当时，， 当时，在上单调递增， 又在上为奇函数，在上单调递增，又， ，又， ，在上单调递增，，解得：.故选：A. 6.设函数在上的导函数为，且，下面的不等式在R内恒成立的是( ) A. B. C. D. 解：设，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 因此，即. 当时，； 当时，.故恒成立，故选A. 7.设函数是奇函数()的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是( ) A. B. C. D. 解：设，则的导数为， 因为当时总有成立， 即当时，恒小于0，所以当时，函数为减函数. 又因为，所以函数为定义域上的偶函数， 又因为，所以函数的大致图象如图所示. 不等式可化为，即或 解得或.故选A. 8.已知偶函数对于任意的满足(其中是函数的导函数),则下列不等式中成立的有( ) A. B. C. D. 解：设,则. 当时，，所以在单调递增. 又因为为偶函数，为偶函数，所以为偶函数. 对于A,B，，所以A错误，B正确; 对于C，，即，也就是，所以C正确; 对于D，，即，所以D正确.综上所述，故选BCD. 3.6.2 不等式证明-构造函数 1.方法核心内涵 构造函数法是导数证明不等式的核心主流方法，适用于含指数、对数、三角函数、多项式等各类函数型不等式恒成立证明. 核心本质：将两个函数的大小比较，转化为单个辅助函数的最值与单调性问题. 通用模型：要证明、、，统一移项构造差函数：. 转化逻辑：①证明. ②证明. ③证明. 2.标准解题步骤 第一步：构造辅助函数.对不等式移项整理，写出，标注完整定义域. 第二步：求导分析单调性.求出一阶导数，判断导函数正负；一阶导数无法判断时，使用二阶导数辅助分析. 第三步：求解最值或特殊点.结合单调区间，找出函数极值、区间端点值、最小值、最大值. 第四步：比较下结论.利用最值与0的大小关系，反向证明原不等式成立. 例1.证明：当时，. 解：令，定义域为. 因为，所以，即. 所以在上单调递增. ，即. 综上，当时，. 例2.证明：当时，. 解：令，定义域为. ，， 因为时，，故. 所以在单调递增，. 则在单调递增，. 即.故时，. 例3.证明：当时，. 解：①证明，设，定义域为. ，因为，所以，在单调递减. ，得. ②证明，设，定义域为. ，因为，所以，在单调递增. ，得. 综上：当时，. 例4.已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程. （2）求证：函数的图像位于直线的下方. 解：(1)，则，又， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）因为，所以，要证明，只需证明，即证， 令，则， 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在上单调递减， 故在取极大值也是最大值，故， 所以恒成立，即原不等式成立， 所以函数的图象位于直线的下方. 1.证明：当时，. 解：令，定义域为.， 因为，所以，，即. 在上单调递减.， 即. 综上，当时，. 2.证明：当时，. 解：令，定义域为.， 当时，，即.在上单调递增. ，即. 所以时，. 3.设为曲线在点处的切线. （1）求的方程； （2）证明：除切点之外，曲线在直线的下方. 解：(1)设，则.所以，所以的方程为. （2）证明：令，则除切点之外，曲线在直线下方等价于. 满足，且 当时，，所以，故单调递减； 当时，，所以，故单调递增. 所以，. 所以除切点之外，曲线在直线下方. 4.证明：当时，. 解：构建，则， 对恒成立，则在上单调递增，可得， 所以； 构建， 则， 构建，则， 对恒成立， 则在上单调递增，可得， 即对恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以； 综上所述：. 5.已知函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，. 解：(1)因为，定义域为R， 所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在R上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在R上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由(1)得， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增，则恒成立， 所以当时，恒成立. 6.设，当时，求证：. 解：要证时，，只需证， 记，则， 当时，，所以在上单调递增，故， 所以， 要证时，，只需证， 记，则， 当时，， 所以在上单调递增，故. 3.6.3 不等式证明-参数放缩 1.适用题型 核心适配：证明含参数的不等式（已知参数范围，或可间接求出参数范围），且不等式的证明需通过消去参数、简化表达式实现.常见场景：函数与不等式结合、导数与参数综合、恒成立问题衍生的不等式证明. 2.方法原理 （1）核心逻辑：利用已知（或隐含）的参数取值范围，对不等式中的参数项进行“放大”或“缩小”，将含参数的不等式转化为不含参数的不等式，再通过常规方法（作差法、作商法、导数法、基本不等式等）证明. （2）关键步骤：①明确参数范围（题干直接给出，或由定义域、恒成立条件、函数单调性间接推导）；②观察不等式结构，判断参数项的放缩方向（放大还是缩小，需保证放缩后不等式方向不变）；③消去参数，转化为不含参数的不等式证明；④验证放缩的合理性（确保放缩前后不等关系不改变，避免放缩过度或不足）. 3.易错点提醒 （1）放缩方向错误：忽略参数的正负性、取值范围，盲目放大或缩小，导致不等式方向反转； （2）放缩过度/不足：放缩后无法推出目标不等式，或放缩后不等式过于宽松，无法得到严谨结论； （3）忽略参数隐含范围：未挖掘题干中隐藏的参数限制（如定义域、函数有意义条件），导致放缩依据不成立. 例1.已知参数，函数，求证：对任意，都有. 证明：先求函数的单调性，求导得. 令，解得； 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故. 由参数范围，进行放缩：，即，故原不等式成立. 例2.已知函数, . （1）当时，求曲线在点处的切线方程; （2）当时，证明：. 解：(1)当时，，， 则，又因为， 所以曲线在点处的切线方程为 ，即. （2）当时，有，所以 ， 因为， 所以． 令()， 则， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 所以．故． 例3.已知函数. 当时，证明：当时，恒成立. 解：∵, 且 时，, 令, 下证即可. , 再令, 则, 显然在上递增，则, 即 在 上递增， 故, 即 在 上单调递增， 故, 问题得证. 例4.已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程; （2）证明：当时，. 解：（1），． 因此曲线在点处的切线方程是． （2）当时，． 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以．因此． 1.已知，函数，求证：. 证明：求导得，易知在上单调递增（因递增，递增）. 由，得，，故存在唯一，使得， 即，可得. 由单调性可知，.令，，求导得，故单调递减，. 结合，且时放缩不影响不等关系，故成立. 2.已知函数. （1）设是的极值点，求,并求的单调区间; （2）证明：当时，. 解：的定义域为，，则，解得：， 故，易知在区间内单调递增，且， 由解得：；由解得：， 所以的增区间为，减区间为． （2）当时，． 设，则. 当时，； 当时，.所以是的最小值点. 故当时，.因此，当时，. 3.已知函数. （1）讨论函数的导函数的单调性; （2）若,求证：对,恒成立. 解：(1)由已知可得，，设， 则. 当时，有恒成立，所以，即在上单调递增； 当时，由可得，. 由可得，，所以，即在上单调递减； 由可得，，所以，即在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）因为，所以对， 有 设， 则 解可得，或或. 由可得，，所以，函数在上单调递增； 由可得，或，所以，函数在上单调递减，在上单调递减. 所以，在处取得极大值，在处取得极小值. 又，所以，即. 所以，有，整理可得，， 所以，有，恒成立． 4.已知，，且，函数，求证：对任意，都有，且. 证明：先利用参数约束消去一个参数，得，其中，故. 第一步：证明.求导得，令，解得，即（需满足，即，符合参数范围）. 由单调性可知，.由基本不等式，，故，结合放缩：因，，，且当时，，故. 第二步：证明.令，.当时，，故单调递增，. 令，，单调递增，，进一步放缩：结合，当，时，，求导得，单调递增，，结合参数放缩，故.综上，原不等式成立. 5.已知参数，函数，求证：对任意，都有. 证明：不等式可变形为，分两种情况讨论，结合导数判断放缩方向： ①当时，左边，右边，不等式恒成立； ②当时，，不等式可进一步变形为（放缩核心：利用参数的范围，转化为不含参不等式）. 令，，求导得.令，求导得，故单调递增，，因此，单调递增. 所以，又，故，即恒成立，因此原不等式成立. 6.已知参数，函数，求证：对任意，都有，且当时，. 证明：第一部分，证明.求导得，因，，故（放缩核心：利用，），因此，在上单调递增. 故，原不等式恒成立. 第二部分，当时，证明.此时，不等式转化为，. 令，求导得，再求导得.令，解得，当时，，单调递增，故. 因此在上单调递增，，即成立.综上，原不等式全部得证. 3.6.4 不等式证明-隐零点 1.适用题型：导数证明函数不等式、恒成立问题、最值证明问题；求导后导函数方程含等超越结构，零点客观存在、能锁定区间，但无法精确求出解析式，这类题型必用隐零点法. 2.核心概念：隐零点 若是导函数的零点，能通过零点存在性定理确定存在且锁定取值范围，但不能用代数根式、对数式显性写出的具体值，则称为隐零点. 3.三大处理方法原理 （1）整体代换：利用隐零点满足，把等超越式子，等量替换为一次、二次整式形式，消去超越结构，将复杂超越函数转化为普通代数式运算，常用比值代换、恒等代换. （2）反代消参：适用于待证结论与参数无关的题型.由反解出参数，用隐零点表示参数；再将参数代回原函数，构造只含的单变量函数，对单变量函数求导研究单调性、最值，完成不等式证明. （3）留参降次：适用于待证结论含参数、无法消参的题型.保留参数不做代换，利用恒等变形，消去指数、对数等超越项，对式子逐步降次化简，直到化为最简整式不等式；结合隐零点所在区间放缩，完成求证. 4.隐零点通用解题步骤 （1）构造目标函数，求一阶导数，分析导函数单调性； （2）用零点存在性定理，判定隐零点存在，设； （3）代入特殊值，锁定隐零点范围； （4）借助等式，整体代换或反代消参或留参降次，化简； （5）判定原函数在处取最值，转化为证明最值满足不等式； （6）利用单变量函数单调性+区间放缩，证得结论. 例1.（整体代换）求证：当时，. 解：设， ， 在单调递增，， 由零点存在性定理，，使，即：， 单调递减；单调递增； 故，代入代换：， 由，两边取对数： 化简可证，故在恒成立. 例2.（反代消参）设函数，存在极小值点，证明：. 解：，为极小值点， 极小值： 故，等号成立，得证. 例3.（留参降次）已知，，求证：. 解： 设分子零点为，则 整理得：（降次留参） 在处取最大值，代入：， 用代换降次，再结合范围放缩，可证. 例4.已知函数. （1）设是的极值点.求，并求的单调区间； （2）证明：当时，. 解：（1）的定义域为，，则，解得：，故.易知在区间内单调递增，且. 由解得：；由解得：， 所以的增区间为，减区间为. （2）因为，所以在区间内单调递增. 设，当时，，当时，， 所以，在区间内单调递减，在区间内单调递增， 且，所以，. 设，则.所以在区间内单调递减， 故，即成立. 1.已知函数，证明：当时，恒成立. 解：定义域，， 单调递增，令（隐零点）， 则在单调递减，单调递增， ， 代入：， 由，得，故 即，不等式得证. 2.已知函数，当时，证明恒成立. 解：在定义域内单调递增， 存在隐零点，满足：， ， 由放缩，结合对勾函数最值，可证，原不等式成立. 3.求证：对任意恒成立. 解：设，单调递增， ，使， ， 由对勾函数性质，在上单调递减， 故，即得证. 4.设函数. (1)讨论的导函数的零点的个数； (2)证明：当时. 解：(1)的定义域为，. 当时，，没有零点； 当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增. 又，当满足且时，，故当时，存在唯一零点. (2)由(1)，可设在的唯一零点为， 当时，； 当时，. 故在单调递减，在单调递增， 所以当时，取得最小值，最小值为. 由于，所以 故当时，. 5.已知函数. （1）若，讨论的单调性. （2）若，求证：. 解：(1)当时，，定义域为， 则. 设，则， 所以在上单调递增，且， 所以，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）因为，所以. 因为，所以在上单调递增，且. ①若，则， 所以当时，恒成立，单调递增.又， 所以; ②若，则，， 所以存在，使得，即. 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以 因为在上单调递减， 所以 所以.综上所述，当，时，. 6.已知函数. （1）求的极值； （2）证明：. 解：（1）由题意得的定义域为，则． 当时，，在上单调递增，无极值； 当时，令，则；令，则． 即在上单调递增，在上单调递减． 故为函数的极大值点，函数极大值为，无极小值； （2）证明：设，， 令，则， 即在上单调递增， 故，使得，即， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故 即，即，则. 7.已知函数,且. （1）求； （2）证明：存在唯一的极大值点，且. 解：(1)因为， 则等价于，求导可知. 则当时，即在上单调递减， 所以当时，，矛盾，故. 因为当时，当时，所以， 又因为，所以，解得； 另解：因为，所以等价于在时的最小值为， 所以等价于在处是极小值， 所以解得； （2）证明：由(1)可知，， 令，可得，记， 则，令，解得：， 所以在区间上单调递减，在上单调递增， 所以，从而有解，即存在两根， 且不妨设在上为正、在上为负、在上为正， 所以必存在唯一极大值点，且， 所以， 由可知；由可知， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以； 综上所述，存在唯一的极大值点，且． 3.6.5 不等式证明-切线放缩 1.适用题型 适合含指数、对数结构的导数不等式证明，常用于指对混合不等式、恒成立求参、最值估计、数列不等式证明等题型. 2.方法原理 切线放缩核心是以直代曲：利用函数在某点的切线，把超越函数放缩成一次函数，将复杂不等式简化证明. 大题使用时，必须先导数证明所用切线不等式，不能直接套用. 3.常用切线放缩不等式 （1）指数核心：，R，取等. （2）对数核心：，，取等. （3）常用变形：，，，. 4.解题通用步骤 （1）观察式子，识别、结构. （2）选取合适切点，确定放缩方向. （3）构造函数，导数证明放缩不等式. （4）代入放缩化简原不等式. （5）验证等号能否同时成立. 例1.证明：时，. 解：设，， 时，递增， 在递增，，得证. 例2.求证：. 解：由，令， 得， 逐项累加，左边裂项抵消得，右边为调和级数，不等式得证. 例3.证明：时，. 解：由，. 相加得 令，单调递增 两式等号不同时取到，，故原式成立. 例4.设函数，已知是函数的极值点. （1）求; （2）设函数.证明：. 解：（1）由，， 又是函数的极值点，所以，解得； （2）令，因为，所以在区间内是增函数，在区间内是减函数，所以，即（当且仅当时取等号）.故当且时， 且，，即，所以. ①当时，，所以， 即，所以. ②当时，，同理可证得. 综合(i)(ii)得，当且时，，即. 1.证明：时，. 解：设，， 递减，递增， 故，得证. 2.，恒成立，求最大值. 解：由，满足； 时，最小值，不成立 故. 3.已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 解：(1)因为，定义域为R，所以. 当时，由于，则，故恒成立， 所以在R上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. (2)令，则， 由于在上单调递增，所以在R上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立. 因为 当且仅当，即时，等号成立. 所以要证，即证即证. 令(),则, 令,则;令,则; 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以 则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 4.证明下列不等式 （1）； （2）； （3）； （4）. 解：(1)设，则. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以，故. 故由得，得证. （2）设，则. 则当时，，单调递减；当时，，单调递增. 故，故. 故由，可得. （3），则 . 故在上单调递增，当时，. 即成立. （4）由于（当且仅当时，等号成立）.① 令，则. 则当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. ，即，即 （当且仅当时，等号成立）.② ①和②中的等号不能同时成立，由①和②得，即. 5.已知函数. （1）证明：； （2）证明：. 解：(1), 令,得;令,得, 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为,所以. （2）由(1)知，当时，, 即,即,即, 令,得, 所以，故. 6.已知函数. （1）求的最大值； （2）证明：. 解：(1),定义域为, 则 令,, 因为,恒成立，所以在上单调递增， 所以,即当时，, 令,可得,得在上单调递增，在上单调递减， 所以. （2）要证,即证, 令, 令得,即在上单调递减，在上单调递增， ,即, 即欲证,只需证.也就是证明.① 设(),则,令,得. 当时，;当时，. 当时，取到最小值. 故①式成立，从而成立. 7.已知，函数,.若和有公共点，求证：. 解：因为曲线和有公共点，所以有解， 其中，若，则，该式不成立，故. 故，考虑直线， 表示原点与直线上的动点之间的距离， 故，所以. 下证：对任意，总有， 证明：当时，有，故成立.当时，即证， 设，则(不恒为零)，故在上为减函数，故即成立. 综上，成立. 下证：当时，恒成立， ，则，故在上为增函数，故即恒成立. 下证：在上恒成立，即证：， 即证：，即证：，而，故成立. 故，即成立. 8.设函数. (1)讨论的单调性； (2)证明当时，； (3)设，证明当时，. 解：(1)由题设，的定义域为，.令，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. （2）由(1)知，在处取得最大值，最大值为. 所以当时，. 故当时，，，即. （3）由题设，设，则，令， 解得.当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 由(2)知，，故，又，故当时，. 所以当时，. 3.6.6 不等式证明-同构 1.同构：结构或形式相同．在很多不等式问题中，经过同构变形使不等式两侧呈现相同结构，然后构造函数，结合复合函数的单调性进行证明，如能等价变形为，然后利用外层函数的单调性，转化为或． 2.同构常见模型 （1）双变量问题，地位完全等价，只需把同一个变量移到不等式同一边即可. ① 为增函数. ②为减函数. （2）指对常见模型 ①积型：，三种同构方式： 同右：. 同左：. 取对：. ②商型：，三种同构方式： 同左：. 同右：. 取对：. ③和差型：——两种同构方式： 同左：. 同右：. （3）①. ②. ③. 例1.对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数. （1）; （2）; （3）; （4）; 解：（1）.（2）. （3）. （4）. 例2.求证：时，. 证明：右边变形： 左边： 设母函数，则，在上单调递增. 原不等式等价于：， 由递增性得：， 已知显然成立，原不等式得证. 例3.求证：时，. 证明：拆分配凑： 设， 设， 相加得：又两式等号成立条件分别为和，无法同时取等， 故，得证. 1.对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数. （1） （2）. （3）. （4）. 解：（1）. （2）. （3）. （4）. 2.已知，求证：时，. 证明：右边合并： 原式变形：，令，即证： 取母函数，，在单调递增. 只需证：，即，设， 故只要即恒成立，原不等式得证. 3.求证：时，. 证明：原式等价：，令，则, 代入得：，构造 ， 在单调递增，， 即，还原即证. 4.求证：时， 证明：提取公因式：左边， 令，则：， 设，，，即 故，又 所以：原不等式得证. 5.已知，求证： 证明：令，代入化简：， 等价：，再令，得 构造， 在递增，，不等式成立，原式得证. 6.已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若，求的取值范围. 解：(1)因为，所以. 因为，所以. 故切点坐标为， 所以函数在点处的切线方程为， 即， 所以切线与坐标轴交点坐标分别为， 所以所求三角形面积为. （2）由，可得， 即， 即. 令，则， 所以在上单调递增， 因为， 所以，即. 由可知，(当且仅当时取等号)， 故， 所以， 所以，故的范围为. 7.已知函数．若在()处导数相等，证明：. 解：(1)[方法一]：基本不等式+函数思想 函数的导函数，由，得，因为，所以.由基本不等式得. 因为，所以. 由题意得. 设，则， 所以在上递减，在上递增，故， 即. [方法二]：换元、同构、函数思想 .令，即关于的二次方程的两个相异根分别为，则，解得. 所以， . 令，则在区间上恒成立. 所以在区间内单调递减，因此，得证. 8.设函数．若，证明． 证明：不妨设，证明， 即证 下面证明右边： ，， ，要证， 即证，即证， 令，此时，， 易知，，单调递减， ，，单调递增， ，即单调递增，则，则，得证. 下面证明左边： 令，则， ， ， .要证，即证， 即证.令， 此时，即单调递减， 则，则，得证.综上，结论成立. 9.设函数,. （1）证明：. （2）当时，证明：. 解：(1)因为,其定义域为,则. 当时,;当时,. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以,证毕. （2）当时,. 而. 要证,即证,即证. 设,则. 当时,,则在上单调递增.且,. 当时,,,故只需证明. 由(1)知,在上成立, 故,即成立. 3.6.7 不等式证明-凹凸反转 1.适用题型（精准界定） 凹凸反转是不等式证明中一种高效的转化方法，核心适用场景为： （1）待证不等式为单变量不等式（定义域通常为，部分可拓展至全体实数），形式多为、（严格不等或非严格不等均可）. （2）不等式可拆分为两个独立的函数和，即变形为（或），且与的凹凸性相反. （3）拆分后，两个函数均能单独求出最值（凹函数有最小值，凸函数有最大值），且最值存在明确的大小关系（最小值＞最大值，或最小值≥最大值）. 补充说明：并非所有可拆分的不等式都适用凹凸反转，若拆分后两个函数的最值交叉（如凹函数最小值＜凸函数最大值）、或相切（最值相等但无法满足严格不等），则凹凸反转失效，需更换方法（如切线放缩、构造新函数求导）. 2.方法原理（深度解析） 凹凸反转的核心逻辑是“转化最值、简化证明”，本质是利用凹凸函数的最值性质，将“证明不等式恒成立”转化为“证明两个函数的最值满足对应关系”，具体原理如下： （1）凹凸函数的定义（二阶导数判定，必记） 设函数在定义域内二阶可导（即存在），则： ①若恒成立，则为凹函数（下凸函数），其图像呈向上弯曲的形态，此时函数在定义域内有唯一的极小值，且该极小值等于函数的最小值（记为）. ②若恒成立，则为凸函数（上凸函数），其图像呈向下弯曲的形态，此时函数在定义域内有唯一的极大值，且该极大值等于函数的最大值（记为）. （2）反转核心操作： · 将待证不等式变形，拆分为，满足： ①是凹函数（），存在最小值； ②是凸函数（），存在最大值. （3）证明逻辑： 因为对定义域内任意，都有（凹函数性质），且（凸函数性质）；若能证明，则必有，即 ，原不等式恒成立. 若待证不等式为，则只需证明即可. 3.标准解题步骤（套路模板，必背） 凹凸反转的解题步骤固定，可直接套用，共4步： （1）移项拆分：将原不等式整理变形，拆分为（或）的形式，确保左右两边各为一个独立的函数，无交叉项（如可作为一个函数，不可拆分为和分别在两边）. （2）判定凹凸性：分别对和求二阶导数和，根据二阶导数的符号，判断两者的凹凸性（凹函数/凸函数）. （3）求最值：分别求解的最小值和的最大值（求最值时，先求一阶导数找极值点，再判断极值点是否为最值点）. （4）比大小下结论：比较和的大小，若满足（或），则原不等式成立；否则，凹凸反转失效，需换方法. 4.高频拆分模型（快速定位，提高效率） 高考及模拟题中，凹凸反转的拆分多围绕以下几种常见函数展开，记住这些模型，可快速完成拆分： （1）核心母体函数（凹凸性固定） ①凹函数（有最小值）： ★（的一阶导数为，二阶导数为，全程凹函数）. ★（定义域，二阶导数为，凹函数）. （2）凸函数（有最大值）： ★（定义域，二阶导数为，精准判定：求导后可知，其最大值在处，二阶导数在定义域内整体为负，凸函数）. ★（定义域R，二阶导数为，整体为凸函数，最大值在处）. （2）常见拆分结构： ①（为常数）：拆分（凹），（凸）. ②：拆分（凹），（凸）. ③：拆分需注意：是凸函数，也是凸函数，不可直接拆分. 需调整结构，如两边同乘（，不等号方向不变），变为，再拆分（凸），（凹）. ④：拆分（凹），（凸）. 例1.求证：当时，. 解：移项拆分：令（），需证. 判定凹凸性：对求导：，；因为时，，所以是凹函数，有最小值. 求最值：求：令，解得；代入，得，即. 下结论：故，原不等式成立. 例2.求证：当时，. 解：移项拆分：原不等式两边同乘（，，不等号方向不变），变形为，进一步拆分：，，需证（即，等价于原不等式）. 判定凹凸性：对求导：，； 当时，（凸函数）； 当时，（凹函数），有最大值. 对求导：，（），凹函数，有最小值. 求最值： 求：令，解得，即；代入，得. 求：在上单调递减，当时，； 当时，； 而，即. 下结论：因为，所以，原不等式恒成立. 例3.已知函数．当时，求证：． 解：当时，． 要证，即证， 只需证． 先证：，． 设，，则． 设，，则． 所以函数在上单调递增，则，即， 所以函数在上单调递增，则，所以． 再证：，，即证． 设，则． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减．所以． 设，，则． 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 所以．所以，即． 综上，得证． 故． 1.求证：当时，. 解：移项拆分：原不等式变形为，拆分（凹函数），（凹函数），凹凸性相同，无法直接用凹凸反转，调整拆分：，令（凹函数），（凹函数），仍不行；再调整：（），拆分，，分别判定凹凸性. 判定凹凸性：：求导得，（），凹函数，有最小值. ：求导得，，虽非全程凸函数，但有最大值（通过一阶导数找极值点）. 求最值：求：令，解得；代入，得，即. 求：令，解得；代入，得；验证：当时，（如，，此处为极大值点，即最大值），. 下结论：因为，所以，即，两边同乘（），得，原不等式恒成立. 2.已知函数. （1）求的最大值. （2）证明：当时，. 解：（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数递增， 当时，，函数递减， 所以当时，函数取得最大值. （2）令函数，求导得， 即函数在上单调递增， 因此，，由（1）知，恒成立， 所以，即当时，. 3.已知函数，求证：. 解：由题意，当时，由， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以. 设，当时，. 当时，设，则. 所以在上是增函数， 所以，即，，所以. 而，所以. 综上，当时，. 4.设函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求. （2）证明：. 解：(1)函数的定义域为， 由题意可得，.故，. （2）证明：由(1)知，， 从而等价于. 设函数，则. 所以当时，; 当时，. 故在上单调递减，在上单调递增，从而在上的最小值为.设函数，则. 所以当时，;当时，. 故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为.综上，当时，，即. 5.已知函数，. （1）若函数的最小值与的最小值之和为，求的值. （2）若，，证明：. 解：(1)因为，所以. 令，解得. 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以. 因为，，所以. 令，解得. 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以. 由题意可得，解得. （2）证明：要证，即证，即证. 令，，，. 易得，则令，得；令，得. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 易得. 令，得；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，故. 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题3.6函数与不等式 3.6.1构造函数解不等式 知识点梳理 常见构造函数模型： (1)对于xf(x)+fx)>0(<0),构造g(x)=x·f(x: (2)对于xf(x)+kfx)>0(<0,构造g(x)=xk,f(x, (3)对于x·f☒-f)>0(<0,构造g)=型 (4对于x·f6因)-kf)>0(<0,构造g=婴 (5)对于fx)+fx)>0(<0),构造g(x)=ex.f(x (6)对于fx)+kf(x)>0(<0,构造g(x)=ekx.f(x, (7)对于f因-f)>0(<0,构造gx=四 (8)对于f-k)>0(<0,构造g-图 (9)对于sinx·f(x)+cosx·f(x)>0(<0,构造g(x)=f(x·sinx. (10对于i-co风>0(<0.构造)=盥 (11)对于cosx·f(☒)-sinx·fx)>0(<0),构造gx)=fx)·cosx. (12》对于cosx·f(+sinx·fx>0(<0,枸造g=恩 (13)对于fx)-fx)>k(<0),构造gx)=ef(x)-k] (14对于fnx+婴>0(<0，构造g(x)=nxf. (15)f6x+c=[f(8+cx, f(w)+g(x)=[f(x)+g(x)j. f(x)-g(x)=[f(x)-g(x)j. (1 f()g()+f()g()=[f()g(xj: f☒g国g图=「g g8 .x ⑧典型例题 例1.定义在R上的函数fx)的导函数是fx),3fx)+xf(x)<0,函数 y=f(x+1)+2022为奇函数，则不等式x3f(x)+2022>0的解集为( A(-∞，1） B(-∞，-1) c.(1,+o D.(-1,+∞ 例2.设fx,g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时， f(x)g(x)+f&)g(x)>0.且g(-3)=0,则不等式fx)g(x)<0的解集是() A(-3,0)U(3,+) B.(-3,0)U(0,3) C.(-∞，-3)U(3,+∞ D.(-,-3U(0,3) 例3.已知定义在(-2,2)上的函数f(x)满足fx)+e4sf(-x)=0,且f(1)=e2,f(x)为 fx)的导函数，当xE[0,2)时，fx)>2fx),则不等式e2sf2-x)<e4的解集为( A.(1,+∞ B.(1,2 c.0,1) D.(1,4 例4.已知函数f(x)的定义域为(-受，受)，其导函数是fx).有fx)cosx+f(x)sinx<0, 则关于x的不等式f(x)>2f(号)cosx的解集为 囹随堂演练 1.f(x)是定义在(0，+o∞)上的非负可导函数，且满足xf(x)+fx)≤0.对于任意正数a,b, 若a<b,则必有( A.afb)≤bf(a B.bf(a)≤af(b c.af(a)≤fb) D.bf(b)≤f(a 2.对于R上可导的任意函数fx),若满足(x-1)(x)≥0则必有( A.fo)+f(2)<2f(1) B.fo)+f(2)≤2f(1) c.f0)+f(2)≥2f(1 D.fo)+f(2)>2f(1) 3已如F6)是R上的奇函数，且对任意的x∈R均有f+得>0成立若代-)=-一1， 则不等式fx)<31-x的解集为() A.(-∞，-1)B.(-∞，1 c.(-1,+m D.(1,+∞ 2 4.若定义在R上的函数fx)满足fO)=-1,其导函数fx)满足fx)>k>1,则下列结论 中一定错误的是() Af(定)<走 B.f(是)> cf(点)< D. f(点)>点 5.定义在R上的函数fx)满足f(-x)+f(x)+2cosx=0,当x≥0时，fx)>sinx,则 不等式f(x)+2cosx>f(π-x)的解集为() A.(,+∞) B.(-∞，号) c.(-,) D.(-o,π 6.设函数fx)在R上的导函数为fx),且2f(x)+xf(x>x2,下面的不等式在R内恒成立 的是( A.f(x)0 B.f(x)<0 C.f(x)>x D.f(x)<x 7.设函数f(x)是奇函数fx)(xeR)的导函数，f(-1)=0,当x>0时， xf(x)-f(x)<O,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( A(-9-1U(0,1) B.(-1,0)U(1,+0∞ c.(-∞-1)U(-1,0) D.(0,1)U(1,+∞ 8.已知偶函数y=f(x)对于任意的xe[O,罗)满足f(8)cosx+f(x)sinx>0(其中f(8)是函 数fx)的导函数)，则下列不等式中成立的有( ) A2f(-)<f) Bv2f(-)>f) cfo)<2f(-) D.f)<5f) 3.6.2不等式证明-构造函数 囹知识点梳理 1.方法核心内涵 构造函数法是导数证明不等式的核心主流方法，适用于含指数、对数、三角函数、多项 式等各类函数型不等式恒成立证明 核心本质：将两个函数的大小比较，转化为单个辅助函数的最值与单调性问题 通用模型：要证明f(x)>g(x、fx)<g(x、fx)≥g(x),统一移项构造差函数： h(x)=f(x)-g(x) 转化逻：@内>冈台的m≥0 ②证明f)<)台h8ex<0. ③证明8)≥8)台(8)≥0 2.标准解题步骤 第一步：构造辅助函数.对不等式移项整理，写出(x),标注完整定义域 第二步：求导分析单调性.求出一阶导数hx),判断导函数正负；一阶导数无法判断时， 使用二阶导数辅助分析 第三步：求解最值或特殊点.结合单调区间，找出函数极值、区间端点值、最小值、最 大值. 第四步：比较下结论.利用最值与0的大小关系，反向证明原不等式成立 典型例题 例1.证明：当x>0时，ex>x+1. 例2.证明：当x>0时，sinx>x-答. 例3.证明：当x>0时，<ln1+X)<x. 例4.已知函数f8)=lnx (1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程 (2)求证：函数y=fx)的图像位于直线y=x的下方. 囹随堂演练 1.证明：当x>1时，1nx<x-1. 2.证明：当x∈[0，π]时，cosx≥1-号. 3.设1为曲线C:y=要在点(1,0)处的切线 (1)求1的方程； (2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线1的下方 6 4.证明：当0<x<1时，x-x2<sinx<x. 5.已知函数fx)=a(es+a-x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)证明：当a>0时，fx)>2lna+. 6.设f(x)=(1+x)e-2x,当x∈[0,1]时，求证：1-x≤f(x)≤车 7 3.6.3不等式证明-参数放缩 囹知识点梳理 1.适用题型 核心适配：证明含参数的不等式（已知参数范围，或可间接求出参数范围），且不等式 的证明需通过消去参数、简化表达式实现.常见场景：函数与不等式结合、导数与参数综合、 恒成立问题衍生的不等式证明， 2.方法原理 (1)核心逻辑：利用已知（或隐含）的参数取值范围，对不等式中的参数项进行“放 大”或“缩小”，将含参数的不等式转化为不含参数的不等式，再通过常规方法（作差法、 作商法、导数法、基本不等式等)证明. (2)关键步骤：①明确参数范围（题干直接给出，或由定义域、恒成立条件、函数单 调性间接推导)；②观察不等式结构，判断参数项的放缩方向（放大还是缩小，需保证放缩 后不等式方向不变)；③消去参数，转化为不含参数的不等式证明；④验证放缩的合理性（确 保缩前后不等关系不改变，避免放缩过度或不足)， 3.易错点提醒 (1)放缩方向错误：忽略参数的正负性、取值范围，盲目放大或缩小，导致不等式方 向反转； (2)放缩过度/不足：放缩后无法推出月标不等式，或放缩后不等式过于宽松，无法得 到严谨结论： (3)忽略参数隐含范围：未挖掘题干中隐藏的参数限制（如定义域、函数有意义条件）， 导致放缩依据不成立. ⑧典型例题 例1.已知参数a≥1，函数fx)=x-lnx+a,求证：对任意x∈(0，+oo,都有 fx)≥2. 例2.已知函数f(x)=2x2+x-ln(x+m,m∈R (1)当m=0时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)当m≤1时，证明：fx)≥0. 例3.已知函数f(x)=a(x-1)-lnx+1.当a≤2时，证明：当x>1时，f(x<e1恒成 立 例4.已知函数f8)=兰 (1)求曲线y=f(x)在点(0，-1)处的切线方程； (2)证明：当a≥1时，fx)+e≥0. 9 囹随堂演练 1.已知0<a≤专，函数fx)=aex-lnx,求证：f(x)≥1. 2.已知函数f(x)=aex-lnx-1. (1)设x=2是fx)的极值点，求a,并求fx)的单调区间； (2)证明：当a≥吉时，fx)≥0. 3.已知函数fx)=ex+ax2-1. (1)讨论函数fx)的导函数的单调性； (2)若a≥，求证：对x≥0，fx)≥x3+x恒成立. 10 4.已知a>0,b>0,且a+b=2,函数f(x)=aex+be-x,求证：对任意xE[0,1,都 有fx)≥2，且fx)≤e+吉. 5.已知参数m∈[-1,1]，函数f(x)=x2+mln(x+1),求证：对任意x∈[0，小，都有 fx≤x2+x. 6.已知参数te[0,1],函数fx=(t+1)ex-tx-t-1,求证：对任意x∈[0，+∞，都 有fx)≥0，且当t=1时，fx)≥x2. 11 3.6.4不等式证明-隐零点 知识点梳理 1适用题型：导数证明函数不等式、恒成立问题、最值证明问题；求导后导函数方程含 slnx等超越结构，零点客观存在、能锁定区间，但无法精确求出解析式，这类题型必用 隐零点法 2核心概念：隐零点 若xo是导函数f8)=O的零点，能通过零点存在性定理确定存在且锁定取值范围，但 不能用代数根式、对数式显性写出xo的具体值，则称xo为隐零点. 3.三大处理方法原理 (1)整体代换：利用隐零点满足fx0=0,把e0lnxo等超越式子，等量替换为一次、二 次整式形式，消去超越结构，将复杂超越函数转化为普通代数式运算，常用比值代换、恒等 代换， (2)反代消参：适用于待证结论与参数无关的题型.由fx。=0反解出参数，用隐零点xo表 示参数；再将参数代回原函数，构造只含xo的单变量函数，对单变量函数求导研究单调性、 最值，完成不等式证明， (3)留参降次：适用于待证结论含参数、无法消参的题型.保留参数不做代换，利用 f(x=0恒等变形，消去指数、对数等超越项，对式子逐步降次化简，直到化为最简整式 不等式；结合隐零点所在区间放缩，完成求证 4.隐零点通用解题步骤 (1)构造目标函数，求一阶导数fx),分析导函数单调性； (2)用零点存在性定理，判定隐零点xo存在，设fx可=0； 12 (3)代入特殊值，锁定隐零点范围xo∈(a,b； (4)借助f(x=0等式，整体代换或反代消参或留参降次，化简fx: (5)判定原函数在xo处取最值，转化为证明最值满足不等式： (6)利用单变量函数单调性+区间放缩，证得结论. ⑦典型例题 例1.（整体代换）求证：当x>0时，ex>x十lnx. 例2.（反代消参）设函数f(x)=ex-ax，存在极小值点xo,证明： fx≥a1-lna(a>0. 例3.（留参降次）已知fx)=l1nx-ax2+(1-ax,a>0,求证：fx)≤号-1. 例4.己知函数fx)=aex-lnx-1. (1)设x=2是f(x)的极值点.求a,并求fx)的单调区间； 13 (2)证明：当a≥合时，f(x)≥0. ⑧随堂演练 1.已知函数f(x)=xnx-ax+1,证明：当a<1时，fx)>0恒成立. 2.已知函数fx)=ex-ln(x+m),当m≤2时，证明f(x)>0恒成立. 3.求证：es-lnx>2对任意x>0恒成立. 4.设函数f(x)=e2s-alnx (1)讨论fx)的导函数fx)的零点的个数： (2)证明：当a>0时fx≥2a+an. 14 5.已知函数f(x)=e2x-aln(x+1). (1)若a=2,讨论fx)的单调性. (2)若x>0,a>1,求证：fx)>号-ana. 6.已知函数fx)=lnx-ax+1. (1)求f(x)的极值： (2)证明：lnx十x+1≤xex. 15 7.已知函数fx)=ax2-ax-xlnx,且f(x)≥0 (1)求a: (2)证明：f(x)存在唯一的极大值点xo,且e-2<f(xo)<22 16 3.6.5不等式证明-切线放缩 ⑧知识点梳理 1适用题型 适合含指数、对数结构的导数不等式证明，常用于指对混合不等式、恒成立求参、最值 估计、数列不等式证明等题型， 2.方法原理 切线放缩核心是以直代曲：利用函数在某点的切线，把超越函数放缩成一次函数，将复 杂不等式简化证明， 大题使用时，必须先导数证明所用切线不等式，不能直接套用. 3常用切线放缩不等式 (1)指数核心：es≥x+1,xER,x=0取等. (2)对数核心：Inx≤x-1,x>0,x=1取等. (3)常用变形：lnx≥1-，lm(x+1)≤x,ex≥ex,ex≥1+x+号(x≥0)， 4.解题通用步骤 （1)观察式子，识别es、lnx结构. (2)选取合适切点，确定放缩方向， (3)构造函数，导数证明放缩不等式 (4)代入放缩化简原不等式. (5)验证等号能否同时成立. 17 ⑧典型例题 例1.证明：x>0时，e8>1+x+号 例2.求证：ln(n+1)<1+专+…+责(ae 例3.证明：x>0时，ex+lnx>1. 例4.设函数f(x)=ln(a-x),己知x=0是函数y=xf(x)的极值点. (1)求a; （2设函酸=得证明：8<1. 18 囹随堂演练 1.证明：x>0时，lnx≥1-是 2x>0,es≥kx+1恒成立，求k最大值. 3.已知函数fx)=a(ex+a)-x (1)讨论f(x)的单调性： (2)证明：当a>0时，fx>2lna+号. 19 4.证明下列不等式 (1)ex-1≥x; (2)ln(x+1)≤x: (3)<1m(1+x)(x>0): (4)ex-ln(x+2>0, 5.已知函数f(x)=ex-x-1. (1)证明：f(x)20; (2)证明：(1+1+)…(1+)<e 20 6.已知函数fx)=x-lnx-号 (1)求fx)的最大值： (2)证明：1+x3+景≥3x-fx). 7.已知a,b∈R,函数fx)=es-asinx,g8)=by区若y=f(x)和y=g(x有公共点，求 证：a2+b2>e 21 8.设函数f(x)=lnx-x+1. (1)讨论fx)的单调性； (2)证明当xE(（1,+∞时，1<品<x; (3)设c>1,证明当x∈(0,1)时，1+(c-1)x>cx 22 3.6.6不等式证明-同构 知识点梳理 1.同构：结构或形式相同.在很多不等式问题中，经过同构变形使不等式两侧呈现相同结构， 然后构造函数，结合复合函数的单调性进行证明，如Fx)≤0能等价变形为 f[gx)]≤f[h(x)],然后利用外层函数fx)的单调性，转化为gx)≤h(x)或gx)≥h(x) 2.同构常见模型 (1)双变量问题，x1x2地位完全等价，只需把同一个变量移到不等式同一边即可. ① >k(x<x对-f-fx<kx-k,x刘-kx<f-kx 台y=f(x)一kx为增函数 ② s型<点(x<x台f-x>=金-瓷台fx+瓷>+年台y=f 为减函数 (2)指对常见模型 ①积型：aea≤blnb,三种同构方式： 同右：enea≤blnb->f(x=xlnx. 同左：aea≤(nb)ehbf(x)=xex. 取对：a+na≤nb+lnnb)f(x)=x+lnx ②商型：专<品，三种同构方式： 同左：号<→8)=安. 23 同右：<品→x)=盛 取对：a-lna<lnb-ln(nb)→fx)=x-nx. ③和差型：ea±a>b±lnb一一两种同构方式： 同左：ea±a>elnb±nb→f(x)=ex±x. 同右：ea±lne>b±lnbf(x)=x±lnx (3)①aex>lnx台ax eax>xlnx. ②a*>logX台xa*>xo台xa*>(1ogab8 ③2x3lnx≥me岁曰x2lnx2≥畏e台(1nx2)elnw≥畏e, ⑧典型例题 例1对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数. (1)1og2x-k·2≥0； (2)e2x-nVk≥0： (3)x2lnx-me号≥0； (4)a(ex+1)≥2(x+)nx 例2.求证：x>0时，xex≥x+lnx. 24 例3.求证：x>0时，es-lnx>2. ⑧随堂演练 1对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数. (1)aln(x-1)+2(x-1)zax+2e* (2)x+alnx+e-xxx>1). (3)e-x-2x-nx=0. (4)x2ex +Inx=0. 2.已知a>0,求证：x>0时，xes≥lhx+ha. 3求证：x>1时，晋>在 25 4求证：x>0时，enx+2凳>2 5已0<1<b:求证：笔谔<忘 6.已知函数f(x)=aes-1-lnx+lna. (1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若fx)≥1，求a的取值范围. 26 7.已知函数f8=V区-hx.若fx)在x=xx2(x1≠x2)处导数相等，证明： fx)+f(x>8-8ln2. 8设函数fx=xnx.若x&2∈(0,1，证明f&-fx2≤k1-x庄 27 9.设函数fx)=4gx)=x-ln(x+1). (1)证明：g(x)≥0. (2)当x>e-1时，证明：fx)<ln(x+2). 28 3.6.7不等式证明-凹凸反转 ⑧知识点梳理 1.适用题型（精准界定） 凹凸反转是不等式证明中一种高效的转化方法，核心适用场景为： (1)待证不等式为单变量不等式（定义域通常为x>0,部分可拓展至全体实数），形 式多为f(x)>g(x)、f(x)≥g(x)(严格不等或非严格不等均可)· (2)不等式可拆分为两个独立的函数(x)和G(x),即变形为(x)>G(x)(或 F(x)≥G(x)),且F(x)与G(x)的凹凸性相反. (3)拆分后，两个函数均能单独求出最值（凹函数有最小值，凸函数有最大值），且最 值存在明确的大小关系（最小值>最大值，或最小值≥最大值）· 补充说明：并非所有可拆分的不等式都适用凹凸反转，若拆分后两个函数的最值交叉（如 凹函数最小值<凸函数最大值)、或相切（最值相等但无法满足严格不等），则凹凸反转失效， 需更换方法（如切线放缩、构造新函数求导）· 2.方法原理（深度解析） 凹凸反转的核心逻辑是“转化最值、简化证明”，本质是利用凹凸函数的最值性质，将“证 明不等式恒成立”转化为“证明两个函数的最值满足对应关系”，具体原理如下： (1)凹凸函数的定义（二阶导数判定，必记） 设函数h(x)在定义域内二阶可导（即h(x)存在），则： ①若h(x)>0恒成立，则h(x)为凹函数（下凸函数），其图像呈向上弯曲的形态，此时 函数在定义域内有唯一的极小值，且该极小值等于函数的最小值（记为x ②若h(x)<0恒成立，则h(x)为凸函数（上凸函数），其图像呈向下弯曲的形态，此时 函数在定义域内有唯一的极大值，且该极大值等于函数的最大值（记为(8）)。 /max 29 (2)反转核心操作： 将待证不等式fx)>g(x)变形，拆分为Fx)>G(x),满足： ①是四函数(F冈>0，存在最小值P(8m ②c(x)是凸函数(G(x)<0),存在最大值c(8mx (3)证明逻辑： 因为对定文域内任意x,都有F(≥F氏n凹函数性质，且c(冈≤c☒占 函数性反：若能证费⊙>c内nm则必有F冈≥冈m>G6内≥c min 即 F(x)>G(x),原不等式恒成立. 若待证不等式为冈≥g以，则只需证明F(因≥c冈m即可， min 3标准解题步骤（套路模板，必背） 凹凸反转的解题步骤固定，可直接套用，共4步： (1)移项拆分：将原不等式整理变形，拆分为Fx)>G(x)(或F(x)≥G(x))的形式， 确保左右两边各为一个独立的函数，无交叉项（如xx可作为一个函数，不可拆分为x和 lnx分别在两边). (2)判定凹凸性：分别对Fx)和G(x)求二阶导数F(x)和G(x,根据二阶导数的符号， 判断两者的凹凸性（凹函数/凸函数）， (3)求最值：分别求解F的最小值F(n和c(x)的最大值C(x(求最值时， min 先求一阶导数找极值点，再判断极值点是否为最值点)· (④比大小下销论：生较风冈和c冈的大小若满足冈>c国mr〈或 1m11 'min P风之G风，测题不等式成立，否则，西4反转夫数，需淡方法 4.高频拆分模型（快速定位，提高效率） 高考及模拟题中，凹凸反转的拆分多围绕以下几种常见函数展开，记住这些模型，可快 速完成拆分： (1)核心母体函数（凹凸性固定） ①凹函数（有最小值）： ★ex（e的一阶导数为ex,二阶导数为ex>0,全程凹函数). 30 ★xnx(定义域x>0,二阶导数为装>0，凹函数). (2)凸函数（有最大值）： ★警（定义域x>0,二阶导数为3，精准判定：求导后可知，其最大值在x=e处， 二阶导数在定义域内整体为负，凸函数)· ★音（定义域R,二阶导数为号，整体为凸函数，最大值在x=1处）. (2)常见拆分结构： ①ex>lnx+k(k为常数)：拆分Fx)=ex(凹)，G(x)=nx+k(凸). ②xlnx>:拆分F(x=xlnx(凹)，G(x)=吝（凸）. ③罗<器：拆分需注意：兰是凸函数，罗也是凸函数，不可直接拆分 需调整结构，如两边同乘x(x>0,不等号方向不变)，变为x<等，再拆分F8)=答（凸）， G(x)=nx(凹). ④e-是>lnx:拆分Fx)=es(凹)，G(x)=nx+袁（凸）. 典型例题 例1.求证：当x>0时，xnx≥-吉 例2.求证：当x>0时，警<器 31 例3.已知函数fx)=e2x+(a-2)ex-2ax·当a=0时，求证： f(x)+5es-号>x2+xlmx. 囹随堂演练 1.求证：当x>0时，ex-xlnx-x≥1. 32 2.已知函数fx)=罗-吉. (1)求f(x)的最大值， (2)证明：当x>0时，fx)<xex. 3.已知函数f6)=,求证：f)≥罗. 4.设函数fx)=aenx+，曲线y=f(x)在点1，f(1)处的切线方程为 y=e(x-1)+2. (1)求a,b. (2)证明：fx)>1. 33 5.已知函数fx)=xex+a,gx)=xlnx+a. (1)若函数fx)的最小值与g(x的最小值之和为-鲁，求a的值. (2)若a=0,x>0,证明：fx)>g(x 34