2025-2026学年高二上学期数学周末测试题

**基本信息** 高二数学周测试卷涵盖解析几何、空间向量、数列及立体几何，注重基础巩固与能力提升，通过分层设计考查数学抽象、逻辑推理及模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/40分|直线截距、圆上点距离、空间向量投影、椭圆方程等|基础概念与运算结合，如第2题圆上点距离最小值考查几何直观| |多选题|3题/18分|空间向量基底、圆的方程应用、曲线类型判断|辨析性强，如第9题空间向量基底判定考查逻辑推理| |填空题|3题/15分|双曲线弦长、椭圆离心率、数列求和|综合应用，如第13题椭圆离心率结合中点弦斜率考查数学运算| |解答题|4题/62分|圆的位置关系与公共弦、椭圆定点问题、数列证明与求和、立体几何存在性问题|层次递进，如第18题立体几何结合空间向量与线面角，考查数学建模与创新意识|

一门科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步 ——马克思 高二周末测试题 1、 单选题（共40分） 1.已知直线：在轴和轴上的截距相等，则的值是(   ) A. B. C. 或 D. 或 2.已知点，点是圆上任意一点，则的最小值是（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 3.已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 4.已知椭圆：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交于、两点，若的周长为，则的方程为(   ) A. B. C. D. 5.已知，，且，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 6.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 7.过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为(   ) A. B. C. D. 8.在正方体中，若是的中点，则异面直线与所成角的大小是(   ) A. B. C. D. 2、 多选题（共18分） 9.下列关于空间向量的命题中，正确的有（ 　） A．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则∥ B．若非零向量，，满足，，则有∥ C．若直线l的方向向量为，平面α的法向量，则l∥α D． 若，，是空间的一组基底，则向量，，也是空间一组基底　 10.已知实数满足方程，则下列说法错误的是(    ) A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 11.方程表示的曲线，下列说法正确的是（    ） A．当时，表示两条直线 B．当，表示焦点在x轴上的椭圆 C．当时，表示圆 D．当时，表示焦点在x轴上的双曲线 3、 填空题（共15分） 12.如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，= ． 13.已知是椭圆的一个焦点，过F的直线交该椭圆于两点，线段的中点坐标为，则该椭圆的离心率是 ． 14.已知函数满足，若数列满足，则数列的前16项的和为 . 四、解答题 15．（13分）已知圆：和： (1)求证：圆和圆相交； (2)求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长． 16．（15分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，，且． 求的方程． 若，为上的两个动点，过且垂直轴的直线平分，证明：直线过定点． 17．（15分）数列的前项和为， Ⅰ证明数列是等比数列，求出数列的通项公式； Ⅱ设，求数列的前项和； 18．（17分） 如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面. （1）证明：； （2）已知，，平面与平面的交线为.在上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为?若存在，求线段的长度；若不存在，试说明理由. 高二周末测试题答案 1.  2.B 3.D 4.A 5.D 6.A 6.【详解】由曲线，可得， 又由直线，可化为，直线恒过定点， 作出半圆与直线的图象，如图所示， 结合图象，可得，所以， 当直线与半圆相切时，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 7.C 8.D  9.AD　10.CD 11.ACD 10.解：实数，满足方程，即， 方程表示以为圆心，以为半径的圆； 令，则三条直线都与该圆有公共点， 所以，，， 解得，，， 所以的最大值为，的最大值为，的最大值为， 所以选项A正确，CD错误； 原点到圆心的距离为，所以圆上的点到原点的距离的范围为， 所以，即， 所以的最大值为，项正确． 12.． 13. 14. 13.【详解】设，因为在椭圆上，所以， 所以，所以， 因为线段的中点坐标为，， 所以，，且， 所以，所以且，所以， 15．【详解】（1）标准方程是，，， 标准方程是，，， ，显然， 所以两圆相交． （2）两圆方程相减得，即为公共弦所在直线方程， 到直线的距离为， 所以公共弦长． 16．解：由题意可知： 故椭圆的方程为 由过且垂直轴的直线平分可得： 设显然直线的斜率存在，直线的方程为：， 联立 则 由可得： 即 即 化简整理可得：， 故直线的方程为：， 故直线过定点．  17．Ⅰ证明：，， ，即，， 当时，，，． 即时以为首项，为公比的等比数列； ，即， Ⅱ由Ⅰ得， 则， 令       ，        ， 两式相减可得    ，  ，  ． 18．【小问1详解】 证明：因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面， 平面，所以， 因为四边形是菱形，所以， 又因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以． 【小问2详解】解：取中点，连接， 因为四边形为菱形，则， 又因为，则为等边三角形， 由菱形的几何性质可知，，则也为等边三角形， 因为为的中点，则，，， 由（1）知，平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、，， 因为，平面，平面，所以平面， 因为平面平面，平面，所以，由（1）知平面， 设，则，． 设平面的法向量，则， 取，可得， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 则，解得， 因此，存在点，线段的长为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $