1.2 空间向量基本定理 难点训练微专题-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.2.空间向量基本定理 难点训练微专题(解析版） 突破通法： 深刻理解定义：空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc,其中,{a,b,c}叫做空间的一个基底. 微专题训练 一、单选题 1．已知向量，，是空间不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间向量一组基底是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据空间向量的基本定理结合共面向量的定义逐项分析判断. 【详解】因为向量，，是不共面的三个向量， 对于A：因为，所以，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故A错误； 对于B：因为，所以，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故B错误； 对于C：因为，所以，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故C错误； 对于D ：假定向量，，共面， 则存在不全为的实数，，使得，整理得， 而向量，，不共面，则有，显然不成立，所以向量，，不共面， 即向量，，能构成空间的一个基底，故D正确； 故选：D 2．对于三元点集，若对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，则称为“空间基本点集”.下列集合是“空间基本点集”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于ABC，由空间向量基底概念可判断各选项正误. 对于D，由题目中所提供信息可得答案. 【详解】根据空间向量基本定理及题意知这三个向量，，不共面，即这三个向量能构成空间的一个基底. 对于A，三个向量，，对应坐标的竖坐标相同且为0，则三个向量都在平面上，即三个向量共面，故A错误； 对于B，三个向量，，对应坐标的纵坐标相同且为0，则三个向量都在平面上，即三个向量共面，故B错误； 对于C，三个向量，，对应坐标的横坐标相同且为0，则三个向量都在平面上，即三个向量共面，故C错误； 对于D，设空间中任意向量为，， 则存在唯一的有序实数组，使 ， 则为“空间基本点集”，故D正确 故选：D 3．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量线性运算原则求解即可. 【详解】由题意，， ， 则， 故选：D. 4．若是空间的一个基底，且向量，则叫向量在基底下的坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设在基底下的坐标为，则，即得，解出即可. 【详解】设在基底下的坐标为， 则， 在下的坐标为， ， 由得， ，即在下的坐标为． 故选：B． 5．如图，在空间四边形中，是的中点，点在上，且，设，则，，的值分别为（    ）    A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】利用向量的加法、减法和数乘向量即可化简求出. 【详解】因为，则，即， 因是的中点，则， 所以. 故选：C． 6．如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量基本定理，得到答案. 【详解】，点为中点， . 故选：D 7．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据空间向量法线性运算法则计算可得. 【详解】连接，因为是的中点，所以， 因为三棱柱是底面为直角三角形的直棱柱， 所以四边形为长方形，又因为是的中点， 所以， 则， 又，又，，不共面，所以，所以． 故选：D． 8．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】结合图形，利用向量的线性运算，即可求解. 【详解】 在四棱锥P-ABCD中，有， 再由点E为棱PC的中点，，所以， ， 由底面ABCD是平行四边形，得， 所以， 又因为，所以，即， 故选：A. 二、多选题 9．设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（    ） A．两两共面，但不可能共面 B．有且仅有一对实数，使得 C．对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得 D．，，一定能构成空间的另一个基底 【答案】ACD 【分析】根据基底向量的定义结合空间向量的基本定理逐项分析判断. 【详解】对于A，由基底的定义知不可能共面，故A正确； 对于B，因为是空间一个基底，所以不共面，所以不存在实数，使得，故B不正确； 对于C，因为是空间一个基底，由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得，故C正确； 对于D，因为不共面，且与平行，与平行，与平行，所以，，也不共面，因此一定能构成空间的一个基底，故D正确． 故选：ACD. 10．如图，在平行六面体中，，，底面ABCD为菱形，，与AB，AD所成的角均为（    ） A． B．四边形为矩形 C． D．如果，那么点M在平面内 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的线性运算可判断A；根据余弦定理，可得，进而证得平面，即可判断B；据题设，可得是等腰三角形，进而求得，从而判定C；根据空间向量的共面定理推论可判定D. 【详解】选项A，在平行六面体中， ，正确； 选项B，设， 因为， ， 又，与AB，AD所成的角均为， 所以，又O为BD中点，则， 又，，，平面， 所以平面，由于平面，故， 由于，则，所以四边形为矩形，正确； 选项C，因为四边形ABCD为菱形，，所以， 所以，即是等腰三角形， 又， 所以， 所以，即，错误； 选项D，若，由于， 所以M，B，D，四点共面，故点M在平面内，正确． 故选：ABD 11．已知空间向量，，，，若存在实数组和，满足，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则，，共面 B．若，，共面，则 C．若，，不共面，则，， D．若，，共面，则 【答案】AC 【分析】根据空间向量共面定理判断A，利用特殊值判断B、D，根据空间向量基本定理判断C. 【详解】对于A：因为，， 所以， 因为，所以， 所以向量，，共面，故A正确． 对于B、D：若，，，则，，共面， 令，则，，，可为任意实数， 此时由，， 得不到，也得不到，故B、D错误； 对于C：若，，不共面，由，， 则，，，故C正确； 故选：AC 三、填空题 12．若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 【答案】 【分析】根据题意，可知存在，使得，结合空间向量基本定理运算求解. 【详解】由不能构成空间的一个基底，则存在，使得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 13．在正四面体中，点是的中心，若（），则 . 【答案】/ 【分析】连接并延长交于点，连接，可得，，结合图形将用表示即得. 【详解】 如图，在正四面体中，连接并延长交于点，连接， 则，， 于是 ， 即得，故. 故答案为：. 14．如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，若，则 . 【答案】 【分析】根据向量的运算法则利用表示，由条件结合空间向量基本定理列方程求可得结论. 【详解】在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点， 所以 又 所以 即. 故答案为：. 四、解答题 15．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，，，为与的交点．设，，． (1)用，，表示，并求的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）先根据平行六面体的性质找到向量之间的关系，用表示出，再通过向量模的计算公式求出的值； （2）先求出，再根据向量数量积的运算规则求出的值. 【详解】（1）因为平行六面体中，为与的交点， 所以是中点，也是中点， 又因为，且平行六面体中，， 那么， 因为，， 所以， ， 因为，所以，又，， 所以， ，所以. （2）因为， 所以 . 16．在平行六面体中，设，，，分别是的中点. (1)用向量表示； (2)若，求实数x，y，z的值. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用平行六面体的性质，利用空间向量的线性运算求解即得. （2）用表示，再利用空间向量基本定理求解即得. 【详解】（1）在平行六面体中， ， 由分别是的中点， 得. . （2）， 而，且不共面， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.空间向量基本定理 难点训练微专题(学生版） 突破通法： 深刻理解定义：空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc,其中,{a,b,c}叫做空间的一个基底. 微专题训练 一、单选题 1．已知向量，，是空间不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间向量一组基底是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．对于三元点集，若对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，则称为“空间基本点集”.下列集合是“空间基本点集”的是（   ） A． B． C． D． 3．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 4．若是空间的一个基底，且向量，则叫向量在基底下的坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在空间四边形中，是的中点，点在上，且，设，则，，的值分别为（    ）    A．，， B．，， C．，， D．，， 6．如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 7．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 8．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．2 二、多选题 9．设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（    ） A．两两共面，但不可能共面 B．有且仅有一对实数，使得 C．对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得 D．，，一定能构成空间的另一个基底 10．如图，在平行六面体中，，，底面ABCD为菱形，，与AB，AD所成的角均为（    ） A． B．四边形为矩形 C． D．如果，那么点M在平面内 11．已知空间向量，，，，若存在实数组和，满足，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则，，共面 B．若，，共面，则 C．若，，不共面，则，， D．若，，共面，则 三、填空题 12．若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 13．在正四面体中，点是的中心，若（），则 . 14．如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，若，则 . 四、解答题 15．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，，，为与的交点．设，，． (1)用，，表示，并求的值； (2)求的值． 16．在平行六面体中，设，，，分别是的中点. (1)用向量表示； (2)若，求实数x，y，z的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $