贵州师范大学附属中学2025-2026学年下学期高一期中考试数学试卷

**基本信息** 2025-2026学年度贵州师大附中高一下期中数学卷，聚焦向量、解三角形、复数、立体几何核心知识，通过测量塔距的实际情境和“完美坐标系”创新题型，考查数学眼光观察现实世界、数学思维分析问题的能力，适配高一下学期期中检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量垂直、解三角形应用、复数几何意义|结合几何模型考查空间观念，如测量塔距问题| |多选题|3/18|解三角形综合、复数模与轨迹|通过复数轨迹判断考查数学思维严谨性| |填空题|3/15|向量数量积、复数运算、立体几何轨迹|设置正方体动点轨迹问题，提升空间想象| |解答题|5/77|向量运算、解三角形面积、“完美坐标系”应用|以“完美坐标系”为载体，综合考查数学语言表达与创新意识|

2025-2026学年度贵州师范大学附属中学 高2025级高一下期中考试 数学学科试题 考试时间120分钟 试卷满分150分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知平面向量，若，则实数(    ) A. B. C. D. 2.为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若平面，平面，，，，，，则塔尖之间的距离为(    ) A. B. C. D. 3.已知在中，，则的形状为(    ) A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 4.设，则(    ) A. B. C. D. 5.如图，在复平面内，已知复数、、，对应的向量分别是，，，是虚数单位，已知则(    ) A. B. C. D. 6.如图，在四面体中，若，，是的中点，则下列结论正确的是(    ) A. 平面平面 B. 平面平面 C. 平面平面，且平面平面 D. 平面平面，且平面平面 7.如图，棱长为的正方体中，在线段含端点上运动，则下列判断正确的是(    ) A. 与不垂直 B. 三棱锥的体积始终为 C. 面 D. 与所成角的范围是 8.如图所示，三棱柱中，若 、 分别为 ， 靠近点 的三等分点，平面将三棱柱分成左右两部分体积为和，那么(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9.已知的内角，，的对边分别为，，，，，，则(    ) A. B. C. 的面积为 D. 的周长为 10.世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，如，也即复数的模的几何意义为在复平面内对应的点到原点的距离．下列说法正确的是(    ) A. 若复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为 B. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点在一条直线上 C. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为 D. 若复数是的共轭复数，则与在复平面内对应的点关于实轴对称，且 11.如图，正方体的棱长为，是的中点，点为正方形内一动点含边界，则下列说法正确的是(    ) A. 四棱锥的体积为定值 B. 当时，点的轨迹长度为 C. 当直线与平面所成的角为时，则点的轨迹长度为 D. 若直线平面，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量，若，则          ． 13.计算          ． 14.在棱长为的正方体中，为棱的中点，动点在侧面及其边界上运动，总有，则动点的轨迹长度为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 向量，． 若，求； 若，求与所成夹角的余弦值． 16.本小题分 已知的内角，，的对边分别为，，，且，，． 求的大小 求的面积． 17.本小题分 已知复数， 若为纯虚数，求． 若关于的方程有两个不同的根，且两个根都能写成题中的形式，分别求下面两种情况下，的值： (ⅰ)两个根都是实数 (ⅱ)两个根都是虚数． 18.本小题分 如图，已知四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，为中点． 求证：平面 求点到平面的距离． 19.本小题分 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“完美坐标系”设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”，记作． 若，，求的“完美坐标”； 已知，，证明：； 若，，设函数，，求不等式的解集． 高一下期中考试数学答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，属于基础题． 依据题意的向量垂直，可得，根据向量数量积的坐标表示能求出实数． 【解答】 解：平面向量，， ， ， 解得实数． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查解三角形，数形结合思想，考查学生的计算能力，属于中档题． 通过所给条件依次求出，，再由余弦定理可求得． 【解答】 解：由题得，在中，，则， 在中，， 则在中，由余弦定理可得， 则． 故选：． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了正弦定理，余弦定理和二倍角公式的应用，在对三角形的边角关系进行变形时，务必要做等价变形，否则会造成增解或漏解，属基础题． 法一：先用正弦定理将题中已知条件化为，又，得到，在中，，，或据此可得到答案． 法二：利用正余弦定理进行化简可得答案． 【解答】 解：方法一：， 由正弦定理得， 又，，． 在中，，，或， 或，为等腰三角形或直角三角形故选D． 方法二：， 由正弦定理、余弦定理得， ，， 或，即或， 为等腰三角形或直角三角形故选D． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查复数的基本运算，利用待定系数法建立方程是解决本题的关键，是基础题． 利用待定系数法设出，，是实数，根据条件建立方程进行求解即可． 【解答】 解：设，，是实数， 则， 则由， 得， 得， 得，得 即， 故选：． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查复数的几何意义、共轭复数的概念、模、四则运算，考查计算能力，属基础题． 结合图形，写出复数、、，再计算化简，求出其共轭复数，最后根据模的定义求模即可得到答案． 【解答】 解：依题意，，，， 所以， 则 所以， 故选A． 6.【答案】  【解析】略 7.【答案】  【解析】【详解】对于选项，因为平面，平面， 所以，而，平面， 所以平面，而平面，所以， 同理，而平面， 从而平面，而平面，所以，因此本选项说法不正确； 对于选项，因为，平面，平面， 所以面，所以本选项说法不正确； 对于选项，由上可知：面， 因为，平面，平面， 所以面，而平面， 所以平面平面，而平面， 所以面，因此本选项说法正确； 对于选项，当与重合时，与所成角为，当与重合时， 国为，， 所以与所成角为，所以错误． 故选：． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查棱台的体积，考查棱柱的体积，属于基础题． 利用棱台体积公式求解体积即可得到体积比． 【解答】 解：设三棱柱的高为 ，底面的面积为 ，体积为 ，则  ， 因为 、 分别为 ， 靠近点 的三等分点，所以  ， 则  ，所以  ， 所以  ． 故选：． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查利用余弦定理解三角形，正弦定理及变形，考查三角形的面积公式，属于中档题． 由余弦定理求出角，由正弦定理求出，结合三角形面积公式求得，利用配方法，得到的值，即可求出周长． 【解答】 解：，， ，， ，由正弦定理可得， ，， 的面积为， ，， ， 或舍去， 的周长为． 故选ABD． 10.【答案】  【解析】由题意知，，所以，所以表示向量的复数为，A正确；设复数若，则，所以，所以复数在复平面内对应的点在一条直线上，B正确；设复数，若复数满足，即，则复数在复平面内对应的点在以原点为圆心，半径分别为和的同心圆形成的圆环内包括圆环的边界，所以复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为，C正确；设复数，则，所以与在复平面内对应的点分别为，，所以与在复平面内对应的点关于实轴对称．因为，，所以，D错误．故选ABC． 11.【答案】  【解析】解：对于，因为点为正方形内一动点含边界， 所以点到侧面的距离即为， 则， 所以四棱锥的体积为定值，A正确； 对于，由平面，平面，得， 则， 则点的轨迹是以点为圆心，为半径的四分之一圆， 其轨迹长度为，B错误； 对于，由与平面所成的角为， 则为等腰直角三角形，即， 则点的轨迹是以点为圆心，为半径的四分之一圆， 其轨迹长度为，C正确； 对于，取的中点，连接， 由为的中点，得， 又平面，平面，得平面， 由且，得四边形为平行四边形， 则，又， 则，由平面，平面，得平面， 由，平面，得平面平面， 则当点在线段上运动时，平面，则平面， 因此点的轨迹为线段，其长度为，D正确． 故选：． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题． 由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得的值． 【解答】 解：向量，，， ， 则， 故答案为：． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查复数的四则运算，虚数单位的幂运算的周期性，属于基础题． 由复数的运算法则逐步化简，即可得解． 【解答】 解： ， 故答案为． 14.【答案】  【解析】如图，取的中点，的中点，连接，，，． 因为平面，平面，所以． 又，，平面，平面，所以平面 又平面，所以． 同理． 又，平面，平面， 所以平面， 所以点的轨迹为线段，的长度为． 15.【答案】解：，， ． ， ，解得， ，， ，即， 所以，． 设向量与夹角为， ．  16.【答案】解：因为，由正弦定理可得：， 因为，所以，又，  由余弦定理得：． 因为，所以． 由可得，，，  故的面积为．  17.【答案】解：若是纯虚数，则 解得，所以； 若，则，解得或， 当时，，当时，， 即方程的两个实根为和， 所以，； (ⅱ)若方程有两个不同的虚数根，，则，为共轭复数， 设，，，， 则 解得或 不妨取前一组解，此时，， 所以，．  18.【答案】解：证明：取的中点，连接，， 因为、分别为、的中点，所以，， 又，，则，， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面，则平面； 因为平面，，平面，所以，， 因为，，所以， 又，，平面，则平面， 因为，所以点到平面的距离等于到平面的距离， 过作交于，又平面，平面， ， 又，，平面， 平面，即为所求点到面的距离， 又且，， 即点到平面的距离为．  19.【答案】解：由题得，， 所以， 所以， 即的“完美坐标”为． 证明：由题知， 所以， ， ， 即． 由得， 因为，， 所以，， 所以， ， 所以， 令，， 则， 所以， 即， 解得舍去或， 所以， 即， 所以，， 所以，， 即不等式的解集为，．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $