精品解析：贵州省毕节市金沙县第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年毕节市金沙县第一中学高一（下）期中数学试卷 命题学校：金沙县第一中学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的值是（　　） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的乘方运算可得答案. 【详解】= . 故选：A． 2. 某班学生在一次数学考试中成绩分布如下表： 分数段 人数 2 5 6 8 分数段 人数 12 6 4 2 那么分数在的频率和分数不满110分的频率分别是（精确到0.01）（ ） A. 0.18，0.47 B. 0.47，0.18 C. 0.18，0.50 D. 0.38，0.75 【答案】A 【解析】 【分析】根据频数与总数的比为频率，由此能求出结果． 【详解】分数在的频率为：． 分数不满110分的频率为：． 故选：A． 3. 在中，a、b、c分别为、、的对边，若，且，当的面积为时，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用同角三角函数关系求得，利用三角形面积公式得，结合，利用余弦定理求解即可． 【详解】由可知，三边成等差数列， 所以是长度居中的边，其所对的角也为大小居中的角， 因为三角形中若有钝角，则必为最大角，所以必为锐角， 又，所以. 由题意可得：，化简得， 又，， 所以， 所以，解得（负根舍去）. 故选：B． 4. 在中，角的对边分别为，若，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用余弦定理和基本不等式得到，即可得到最大面积 【详解】在中，由余弦定理知：，即， 故，当且仅当时，等号成立， 所以面积，故最大值为， 故选：B. 5. 已知是边长为的等边三角形，为所在平面内一点，则的值不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示，求得，结合配方法，求得其最小值，结合选项，即可求解. 【详解】以所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，设，可得，，， 则，，. 所以， 所以， 所以， 即，所以， 结合选项，可得不可能的值为. 故选：D. 6. 总体的样本数据的频率分布直方图如图所示. 总体中的数据不超过, 总体中的数据不超过. 则的估计值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出每一小组的频率，结合体50%的数据不超过a，总体中80%的数据不超过b，即可求出a，b的值． 【详解】由于第一组频率为0.02×4＝0.08，第二组频率为0.08×4＝0.32，第三组频率为0.09×4＝0.36，第四，组组频率为0.03×4＝0.12， 则a＝18+4， 由于0.08+0.32+0.36＝0.76， 则b＝22+4， 故选D． 【点睛】本题考查了频率分布直方图，属于基础题． 7. 在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理可求解. 【详解】由正弦定理可得． 故选：C 8. 中，点在边上，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，再利用向量线性运算求解即得. 【详解】在中，点在边上，由，得， 则，即，而，， 所以． 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在中，为边上一点，，则（ ） A. 和的面积之比为 B. C. D. 的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据面积公式计算判断A，应用正弦定理计算判断B，应用两角和的正切公式计算判断C，应用余弦定理及面积公式计算判断D. 【详解】 设点A到直线的距离为，所以，A选项正确； 在中， 由正弦定理可得：， 可得：， 在中，，则， 由于， 所以， 即，B选项正确； 在中，， 由余弦定理得， 所以， 所以的面积为，D选项正确； 因为，所以， 所以，所以，C选项错误； 故选：ABD. 10. 如图，在菱形中，，、分别是，的中点，、相交于点，连接，.下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由条件可判定，为等边三角形，可得出,求出的度数，即可求出的度数；对于B，由条件证明即可；对于C，在与中，由，即可；对于D，由等边三角形的面积可知. 【详解】在菱形中，， ∵，∴， ∴是等边三角形，是等边三角形， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴，故A选项正确； 在和中，， ∴ ∴， ∴，∴ ∵， ∴，故B选项正确； ∵为直角三角形， ∴，∴， ∴与不全等，故C选项错误； ∵，，， 根据勾股定理，得， ∴，故D选项正确. 故选：ABD. 11. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为：“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人” ．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下： 甲地：中位数为2，众数为3； 乙地：平均数为2，方差为3； 丙地：平均数为3，极差为5； 丁地：平均数为5，众数为6． 则一定没有发生大规模群体感染的是（ ） A. 甲地 B. 乙地 C. 丙地 D. 丁地 【答案】BC 【解析】 【分析】A.举例判断；B. 假设出现一次大于7，设，利用方差运算判断；C. 假设出现了8人，则一定有出现3人情况判断；D.举例判断. 【详解】对于甲地，如0，0，1，1，1，3，3，3，3，8，故错误； 对于乙地，若出现一次大于7，设， 则， ，矛盾，故正确； 对于丙地，若出现了8人，则一定有出现3人情况，这样平均数就不可能是3， ∴丙地不可能有超过7人的情况，故正确． 对于丁地，无法判断是否有超过7人的情况，如2，2，3，5，6，6，6，6，6，8，平均数为5，众数为6，故错误； 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知钝角的面积为，，，则该三角形的外接圆半径为______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据面积公式求得，结合钝角三角形分类讨论角B的取值，结合正弦定理即可得解. 【详解】由题的面积为，，解得， 若，根据余弦定理， 结合正弦定理得，三角形为直角三角形与题目钝角三角形矛盾， 所以，根据余弦定理， 根据正弦定理可得：该三角形的外接圆半径为. 故答案为： 【点睛】此题考查利用正余弦定理结合三角形面积公式求解三角形，尤其注意三角形为钝角三角形不一定是B为钝角，需要分类讨论清楚再求解. 13. 设，，则与的夹角________． 【答案】 【解析】 【分析】应用平面向量的夹角余弦公式计算结合夹角范围计算求角. 【详解】因为，， 设与的夹角为，， 所以，所以． 故答案为：． 14. 已知是复数，且是纯虚数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先设出复数的形式，然后根据纯虚数的概念得到的值，再根据模长可得到的值，即可求得结果. 【详解】设，，，则是纯虚数， ∴，， ∵，∴，∴． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设关于的方程是． （1）若方程有实数根，求锐角和实数根； （2）证明：对任意，方程无纯虚数根． 【答案】（1）； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先将原方程可化为，再根据复数相等的条件得出左边复数的实部与虚部都为0得到关于的方程组，解之即得． （2）利用反证法证明方程有纯虚数根，推出矛盾即可． 【小问1详解】 原方程可化为，方程有实数根，设为， ∴. 又θ是锐角，故． 【小问2详解】 假设方程有纯虚数根，可设根为，，， 则化为， 即，可得， 因为，所以方程无实根. 故假设不成立，所以方程无纯虚数根． 16. 已知向量，，未知向量，，向量，，，满足关系式，，求向量，． 【答案】， 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合方程组的思想求解即得. 【详解】由，得，而， 因此，解得，， 所以，. 17. 如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击 （1）当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里 （2）问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船 【答案】（1）两船相距海里. （2）巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船. 【解析】 【分析】（1）在中，解三角形得，， 在中，由余弦定理求得. （2）在中，解三角形得，，得到，在中，由正弦定理求得，结合图形知巡逻艇的追赶方向. 【小问1详解】 由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时， 由题意知 在中， 由余弦定理得 所以 在中， 由正弦定理得，即 所以（舍去） 所在 又 在中， 由余弦定理得 ， 故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距海里. 【小问2详解】 当巡逻艇经过小时经方向在处追上走私船， 则 在中，由正弦定理得： 则 所以， 在中，由正弦定理得： 则，故 （舍） 故巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船. 18. 按某种规定，一个50人的样本频率分布直方图如图．第一组的频率面积为0.04，若前三组的频率与后三组的频率各自构成等差数列，且公差为相反数． （1）求第三组的人数； （2）若从50人中随机选出两人做代表，这两人分别来自第三组和第四组的概率是多少？ 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）频率从左到右依次记做：，利用等差数列，结合已知列式求解. （2）由（1）求出第四组人数，再利用古典概率计算得解. 【小问1详解】 这5组的频率从左到右依次记做：， 由频率的性质得，设等差数列公差为， 则，解得，因此， 所以第三组人数为. 【小问2详解】 由（1）得，则第四组人数为， 所以从50人中随机选出两人做代表，这两人分别来自第三组和第四组的概率. 19. 已知，函数，其中． （1）设，求的取值范围，并把表示为的函数； （2）求函数的最大值（可以用表示）； （3）若对区间内的任意实数，总有，求实数的取值范围． 【答案】（1），，． （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）令，换元可得； （2）问题转化为，的最大值，由二次函数分类讨论可得； （3）问题转化为，分类讨论可得． 【小问1详解】 解：由已知可得， 又因为，所以， 从而，所以． 又因为，所以， 因为， 所以，． 【小问2详解】 求函数的最大值即求，的最大值． ，对称轴为． 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 综上，当时，的最大值是； 当时，的最大值是； 当时，的最大值是． 【小问3详解】 由题意知函数在上的最大值， 由（2）知当时，的最大值是． 所以，即且所以 当时，的最大值是； 此时， 即，所以，此时 当时，的最大值是；即恒成立 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年毕节市金沙县第一中学高一（下）期中数学试卷 命题学校：金沙县第一中学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的值是（　　） A. B. 1 C. D. 2. 某班学生在一次数学考试中成绩分布如下表： 分数段 人数 2 5 6 8 分数段 人数 12 6 4 2 那么分数在的频率和分数不满110分的频率分别是（精确到0.01）（ ） A. 0.18，0.47 B. 0.47，0.18 C. 0.18，0.50 D. 0.38，0.75 3. 在中，a、b、c分别为、、的对边，若，且，当的面积为时，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 4. 在中，角的对边分别为，若，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是边长为的等边三角形，为所在平面内一点，则的值不可能是（ ） A. B. C. D. 6. 总体的样本数据的频率分布直方图如图所示. 总体中的数据不超过, 总体中的数据不超过. 则的估计值为 A. B. C. D. 7. 在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 中，点在边上，，若，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在中，为边上一点，，则（ ） A. 和的面积之比为 B. C. D. 的面积为 10. 如图，在菱形中，，、分别是，的中点，、相交于点，连接，.下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为：“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人” ．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下： 甲地：中位数为2，众数为3； 乙地：平均数为2，方差为3； 丙地：平均数为3，极差为5； 丁地：平均数为5，众数为6． 则一定没有发生大规模群体感染的是（ ） A. 甲地 B. 乙地 C. 丙地 D. 丁地 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知钝角的面积为，，，则该三角形的外接圆半径为______. 13. 设，，则与的夹角________． 14. 已知是复数，且是纯虚数，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设关于的方程是． （1）若方程有实数根，求锐角和实数根； （2）证明：对任意，方程无纯虚数根． 16. 已知向量，，未知向量，，向量，，，满足关系式，，求向量，． 17. 如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击 （1）当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里 （2）问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船 18. 按某种规定，一个50人的样本频率分布直方图如图．第一组的频率面积为0.04，若前三组的频率与后三组的频率各自构成等差数列，且公差为相反数． （1）求第三组的人数； （2）若从50人中随机选出两人做代表，这两人分别来自第三组和第四组的概率是多少？ 19. 已知，函数，其中． （1）设，求的取值范围，并把表示为的函数； （2）求函数的最大值（可以用表示）； （3）若对区间内的任意实数，总有，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $