精品解析：湖南株洲市荷塘区2026年初中学业水平考试模拟检数学

2026年初中学业水平考试模拟检测 数学试题卷（三） 时量：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．答题前，请按要求在答题卡上填写好自己的姓名和准考证号． 2．答题时，切记答案要填在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师． 一、选择题（本大题共10小题，每小题有且只有一个正确答案，每小题3分，共30分） 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，且a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 2. 被誉为大国重器的东风洲际弹道导弹，其最大射程约为14000公里（1公里米），若将此射程以米为单位用科学记数法表示，应为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】先将射程单位从公里换算为米，再根据科学记数法的定义表示结果，科学记数法形式为，满足，为整数． 【详解】解：∵1公里米， ∴14000公里米米． 将用科学记数法表示，可得米． 3. 下列图案分别是北京大学、中国人民大学、中南大学、西南财经大学校徽的主体图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“一个图形绕某个点旋转180度后仍与原图完全重合的图形是中心对称图形”进行排除选项即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故不符合题意； B、不是中心对称图形，故不符合题意； C、是中心对称图形，故符合题意； D、不是中心对称图形，故不符合题意． 4. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：对于选项A： ，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D： ，故D错误． 5. 正八边形的外角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形外角和直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵多边形外角和， ∴正八边形的外角和为， 故选：C； 【点睛】本题考查多边形外角和，熟练掌握多边形的外角和是解题的关键． 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 由①得到：， 由②得到：， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示如下： 7. 如图，内接于，是的直径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直径得出直角，再根据圆周角定理进行求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵与所对的弧相同， ∴． 8. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心画弧，交于点，交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接，若，且，则的面积是（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出，，由角平分线的定义得出，由含30度直角三角形的性质得出，由等边三角形的判定和性质得出是等边三角形，且，过点F作，由等边三角形性质得出，最后由勾股定理得出，最后根据三角形的面积计算即可． 【详解】解：平行四边形， ∴，， 由作图过程可知平分， ， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，且， 过点F作， ∴， ∴， ∴． 9. 已知点在一次函数的图像上，且，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图像上， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴，异号， ∴ 故选：D． 10. 如图所示，点，，，在同一条直线上，四边形、、均为正方形，且正方形面积为15，正方形面积为3，若点、、也在一条直线上，则正方形的面积是（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，由正方形面积为15，正方形面积为3可得，，得出，证明，根据相似三角形的性质列方程，求出，可得结论． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ∴， ∵正方形面积为15，正方形面积为3， ∴，， ∴， 根据题意得，且点、、在一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 所以，正方形的面积是． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法运算．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，据此进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，数轴上、两点分别位于原点两侧，且，若点表示的数是，则的中点表示的数是________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算出的长，再根据数轴写出对应的数． 【详解】解：∵点表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵点在原点的左侧， ∴点表示的数为． 13. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式4，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 14. 2026年中国国产工具已形成规模化落地态势，小明妈妈的手机共安装了3款工具“豆包”、“千问”、“元宝”．若小明从中随机选择1款查阅资料，恰好选择“豆包”的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵共有3款工具“豆包”、“千问”、“元宝”， ∴小明从中随机选择1款查阅资料，恰好选择“豆包”的概率是． 15. 如图1，为某型号电暖气及其工作原理的简化电路图，滑动变阻器为，电源电压为，电功率为，关于的函数图象如图2所示．小明同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象的性质可得为定值，结合题意可列方程，据此可得、的值，再把 代入函数关系式解答即可． 【详解】根据题意得：， 解得， ， ， 当时，． 16. 如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点，，分别在的边上，则（1）正方形的面积与的面积之比是________；（2）下列说法①点在的平分线上；②；③；④，正确的是__________（只填序号）． 【答案】 ①. ②. ③④ 【解析】 【分析】（1）先分别算出的面积以及正方形的面积，再算出正方形的面积与的面积之比，即可作答． （2）先证明为等腰直角三角形，再根据正方形的性质证明，再结合线段和差关系整理得；设，，把数值代入计算，即可作答．然后证明，故，得垂直平分；若平分，则，又因为，则，得，这与矛盾，故不平分，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵在中，，． ∴的面积 ∵正方形的边长为， ∴正方形的面积 ∴正方形的面积与的面积之比是． 如图，过点作交于点，则有， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，； ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； ∵，， ∴， 故③是符合题意； 设，， 则，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， 则有， 解得， ∴， ∴，， ∴，故②是不符合题意的； 过点作交于点，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 即，垂直平分； 若平分，则， ∴， ∵ ∴， ∴， 则， ∴， ∴，这与矛盾， 故不平分， 即点不在的平分线上, 故①是不符合题意的； 依题意，，故④是符合题意的； 三．解答题（本大题共8个小题，共72分．第17题6分，18题8分，第19、20、21、22题每小题9分，第23题10分，第24题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 18. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴原式 ． 19. 如图，平行四边形的对角线相交于点，交于点，交于点． （1）求证：； （2）若平分，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形全等的判定定理（SAS）即可证得； （2）可证得，平行四边形是菱形，又，可知是等边三角形，即可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分，得， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 20. 某校为了解全校学生每周的课外阅读时间情况，采取抽样调查的方式，随机抽取了部分学生对他们一周内平均每天参加课外阅读活动的时间（单位：min）进行数据的收集．为了更好地将收集的数据按照观察值的大小进行分组研究，小明同学根据统计数据绘制了如下的频数、频率分布表和频数分布直方图． 请根据图表中的信息解答下列问题： 组别 每天阅读时间 频数 频率 1 6 2 15 3 4 12 5 3 （1）频数、频率分布表中的______；______； （2）补全频数分布直方图； （3）被调查的这些学生每天课外阅读时间的中位数落在第______组； （4）若该校共有3600名学生，试估计该校学生每天课外阅读时间不少于的学生人数． 【答案】（1）； （2）频数分布直方图如下图所示， （3） （4）约为人 【解析】 【分析】（1）根据1组的频数和频率计算出抽取的学生人数，再计算出和； （2）根据（1）中计算出的3组的频数，补全频数分布直方图即可； （3）根据中位数的定义进行判断即可； （4）用全校学生人数乘以4组和5组的频率之和即可． 【小问1详解】 解：由统计表可知，1组的频数为，频率为， ∴抽取的学生人数为（人）， ∴，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由统计表可知，这60名学生课外阅读时间的数据的第30个数和第31个数都在组， ∴中位数落在组； 【小问4详解】 解：（人）． 答：该校学生每天课外阅读时间不少于的学生人数约为人． 21. “民生在勤，勤则不匮．”某校为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的1.2倍，用600元在菜苗基地购买的A种菜苗比在市场上购买的多4捆．试解决以下问题： （1）设菜苗基地A种菜苗每捆x元，那么市场上A种菜苗每捆的价格是______元，求菜苗基地每捆A种菜苗的价格； （2）该校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，所花费用不超过2160元，若菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供八折优惠．求在菜苗基地购买A种菜苗至少多少捆？ 【答案】（1），菜苗基地每捆A种菜苗的价格为25元 （2）至少可购买A种菜苗60捆 【解析】 【分析】（1）设菜苗基地A种菜苗每捆x元，则市场上A种菜苗每捆的价格是元，根据题意得：，进而求解即可； （2）设在菜苗基地购买A种菜苗m捆，购买B种菜苗的捆数为捆，根据题意得，进而求解即可． 【小问1详解】 解：设菜苗基地A种菜苗每捆x元，则市场上A种菜苗每捆的价格是元，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为25元． 【小问2详解】 解：设在菜苗基地购买A种菜苗m捆，购买B种菜苗的捆数为捆，根据题意得： ， 解得， ∴至少可购买A种菜苗60捆， 答：至少可购买A种菜苗60捆． 22. 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即），夏至正午太阳高度角（即），圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为米． （1）求表的长； （2）已知该市秋分正午太阳高度角为，在图2中画出秋分正午阳光线，并求秋分线与夏至线之间的距离的长．（结果精确到米，画出草图即可）（参考数据：，，，） 【答案】（1）表的长为米 （2）如图所示，为秋分正午阳光线． 秋分线与夏至线之间的距离的长为米 【解析】 【分析】（1）设米，在中，得出，同理，根据建立方程，解方程，即可求解； （2）如图所示，为秋分正午阳光线．由得，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：设米． 在中，，， 由得，同理， ∵，∴，则， 解得， 即． 答：表的长为米． 【小问2详解】 解： 在中，，，则． 由得． ∵， ∴． 答：秋分线与夏至线之间的距离的长为米． 23. 如图，内接于，为圆的直径，点在圆上，，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， 为圆的直径， ， ， ， ， ， 且点在圆上， 是圆的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）突破口是切线判定定理，因为E在圆上，所以先连接，只需证明即可，利用可得，结合，可推导出与的关系，因为是直径，所以是直角三角形,，进而可推导出与的垂直关系； （2）先在中，由的长度和的值，求出、的长度，再结合角的关系证明与相似，通过相似三角形的对应边成比例，设为未知数，建立方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，， ， 设， 在中，， ， 解得， ， ，， ， ， 即， 解得：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，点是抛物线上一动点，连接、、，设点的横坐标为．当为何值时，是以为直角边的直角三角形； （3）如图2，过定点的任意直线与抛物线相交于点、（点、不与点重合），连接交轴于点，连接交轴于点，是否存在的值使得为定值．若存在，试求出直线所过定点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，过定点 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）由题意易得，然后根据两点间距离公式可得，，进而可分以点A为直角顶点，即以为斜边，以点C为直角顶点，即以为斜边，最后分类进行求解即可； （3）过点M作轴于点H，过点N作轴于点G，设点，由题意及韦达定理可得，然后可得，则有，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：将、代入抛物线，得： ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：由题意可知：， ∴，， 当是以为直角边的直角三角形，则有： ①以点A为直角顶点，即以为斜边，则由勾股定理可得： ，化简得， 解得：（不符合题意，舍去）， ②以点C为直角顶点，即以为斜边，则由勾股定理可得： ，化简得， 解得（舍去）； ∴综上所述：当或时，是以为直角边的直角三角形； 【小问3详解】 解：存在m的值使得为定值， 设点，由题意得： ，即， 故由根与系数的关系得：①， 如图，过点M作轴于点H，过点N作轴于点G， ∴， ∵， ∴， ，，即，， 即，， 解得：， ②， 把①代入②可得，， 要使为定值． 则，即， 由， 当代入上式得：， ∴直线 ∴当时，则有， ∴直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试模拟检测 数学试题卷（三） 时量：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．答题前，请按要求在答题卡上填写好自己的姓名和准考证号． 2．答题时，切记答案要填在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师． 一、选择题（本大题共10小题，每小题有且只有一个正确答案，每小题3分，共30分） 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. 4 D. 8 2. 被誉为大国重器的东风洲际弹道导弹，其最大射程约为14000公里（1公里米），若将此射程以米为单位用科学记数法表示，应为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 下列图案分别是北京大学、中国人民大学、中南大学、西南财经大学校徽的主体图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 正八边形的外角和为（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，内接于，是的直径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心画弧，交于点，交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接，若，且，则的面积是（ ） A. B. C. 6 D. 8 9. 已知点在一次函数的图像上，且，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，点，，，在同一条直线上，四边形、、均为正方形，且正方形面积为15，正方形面积为3，若点、、也在一条直线上，则正方形的面积是（ ） A. B. 6 C. D. 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：__________． 12. 如图，数轴上、两点分别位于原点两侧，且，若点表示的数是，则的中点表示的数是________． 13. 分解因式：___________． 14. 2026年中国国产工具已形成规模化落地态势，小明妈妈的手机共安装了3款工具“豆包”、“千问”、“元宝”．若小明从中随机选择1款查阅资料，恰好选择“豆包”的概率是_____． 15. 如图1，为某型号电暖气及其工作原理的简化电路图，滑动变阻器为，电源电压为，电功率为，关于的函数图象如图2所示．小明同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为________． 16. 如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点，，分别在的边上，则（1）正方形的面积与的面积之比是________；（2）下列说法①点在的平分线上；②；③；④，正确的是__________（只填序号）． 三．解答题（本大题共8个小题，共72分．第17题6分，18题8分，第19、20、21、22题每小题9分，第23题10分，第24题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 已知，求代数式的值． 19. 如图，平行四边形的对角线相交于点，交于点，交于点． （1）求证：； （2）若平分，，，求的长． 20. 某校为了解全校学生每周的课外阅读时间情况，采取抽样调查的方式，随机抽取了部分学生对他们一周内平均每天参加课外阅读活动的时间（单位：min）进行数据的收集．为了更好地将收集的数据按照观察值的大小进行分组研究，小明同学根据统计数据绘制了如下的频数、频率分布表和频数分布直方图． 请根据图表中的信息解答下列问题： 组别 每天阅读时间 频数 频率 1 6 2 15 3 4 12 5 3 （1）频数、频率分布表中的______；______； （2）补全频数分布直方图； （3）被调查的这些学生每天课外阅读时间的中位数落在第______组； （4）若该校共有3600名学生，试估计该校学生每天课外阅读时间不少于的学生人数． 21. “民生在勤，勤则不匮．”某校为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的1.2倍，用600元在菜苗基地购买的A种菜苗比在市场上购买的多4捆．试解决以下问题： （1）设菜苗基地A种菜苗每捆x元，那么市场上A种菜苗每捆的价格是______元，求菜苗基地每捆A种菜苗的价格； （2）该校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，所花费用不超过2160元，若菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供八折优惠．求在菜苗基地购买A种菜苗至少多少捆？ 22. 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即），夏至正午太阳高度角（即），圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为米． （1）求表的长； （2）已知该市秋分正午太阳高度角为，在图2中画出秋分正午阳光线，并求秋分线与夏至线之间的距离的长．（结果精确到米，画出草图即可）（参考数据：，，，） 23. 如图，内接于，为圆的直径，点在圆上，，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，点是抛物线上一动点，连接、、，设点的横坐标为．当为何值时，是以为直角边的直角三角形； （3）如图2，过定点的任意直线与抛物线相交于点、（点、不与点重合），连接交轴于点，连接交轴于点，是否存在的值使得为定值．若存在，试求出直线所过定点坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $