精品解析：2025年湖南省株洲市荷塘区中考三模九年级数学试卷

荷塘区2025年初中学业水平模拟考试 数学试题卷 时量：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．答题前，请按要求在答题卡上填写好自己的姓名和准考证号． 2．答题时，切记答案要填在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 下列四个数中，绝对值最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的绝对值，有理数大小的比较，解题的关键是掌握有理数绝对值的求法． 先求出各数的绝对值，然后进行比较即可得答案． 【详解】解：∵，且， ∴绝对值最小的数是0． 故选：C． 2. 2025年开年，（深度求索）正式发布官方并上线应用市场，仅用二十天就实现了21600000的日活跃用户，展现出巨大的市场潜力．数据21600000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：数据21600000用科学记数法表示为， 故选：B 3. 下列运算中，结果正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方．根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方法则逐项计算即可． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、与不是同类项，无法合并，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、和不是同类项，无法合并，不符合题意； 故选：A 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集；分别解两个不等式，将它们的解集表示在同一数轴上即可求解．注意：带等于号的用实心点，不带等于号的用空心点． 【详解】解：， 解不等式得：； 解不等式得：； 把解集表示在数轴上，为： 故不等式组无解． 故选：D． 5. 中国雕花艺术精美绝伦，下列雕花图案中，中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，寻找对称中心、对称轴是解题的关键；根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A. ，是轴对称图形； B. ，不中心对称图形也不是轴对称图形； C. ，是中心对称图形； D. ，不是中心对称图形也不是轴对称图形． 故选：C． 6. 乒乓球是我国的国球，也是世界上流行的球类体育项目，在奥运会、世乒赛、世界杯三大赛事中，我国女队成绩斐然，现就历届名将与其对应身高如表所示：这些乒乓球名将身高的中位数是（ ） 乒乓球名将 邓亚萍 张怡宁 王楠 丁宁 陈梦 孙颖莎 刘诗雯 王曼昱 身高（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，掌握基本概念是解决问题的关键．根据中位数的定义：中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，即可求解． 【详解】解：把数据从小到大的顺序排列为：，，，，，，，； 在这一组数据中处于中间位置的数是，， 那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是． 故选：B． 7. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心画弧，交于点，交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接，若，且，则的面积是（ ） A. 12 B. 10 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，平行四边形的性质，角平分线的定义等腰三角形的判定，勾股定理，三角形面积，熟练掌握相关整数点是解题的关键． 由平行四边形性质和作图过程、等腰三角形的判定推出，根据勾股定理得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：平行四边形， ，，， ， 由作图过程可知平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 8. 一颗小球从长为2，宽为1的矩形台球桌的角落被击出，小球撞击桌壁并反弹三次，然后落入四个角落中的其中一个，如图所示虚线是其中一种可能的路径，则小球可能运动路径的最大长度是（ ） A. B. C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先解读题意，再进行分类讨论，并且作图，结合矩形的性质与判定，勾股定理列式计算，再比较大小，即可作答． 【详解】解：第一种情况：分别过作，如图所示： ∵台球桌是矩形， ∴ ∵， ∴四边形都是矩形， 同理得四边形都是矩形， ∵一颗小球从长为2，宽为1的矩形台球桌的角落被击出，小球撞击桌壁并反弹三次， 故，， 在中，， 则， ∴小球运动路径为 第二种情况：分别过作，如图所示： ∵台球桌是矩形， ∴， ∵， ∴四边形都是矩形， 同理得四边形都是矩形， ∴， ∵一颗小球从长为2，宽为1的矩形台球桌的角落被击出，小球撞击桌壁并反弹三次， 故，， ∴， 则， ∵， ∴小球可能运动路径的最大长度是， 故选：D． 二、选择题（本题共2小题，每小题3分，共6分，在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上） 9. 如图，有理数，分别对应数轴上两点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题考查有理数与数轴，根据点在数轴上的位置，判断出数的大小关系，进而判断出式子的符号，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴，，，； 故选项A错误，选项BCD均正确； 故选：BCD． 10. 你一定吃过拉面吧！拉面的制作原理就是将一根较粗的面，经过多次捏合一步步撑细的过程．假定面的总量一定、面条粗细均匀，下面是一些关于面条的长度和粗细之间关系的表述，其中较合理的是（ ） A. 面条越长则越细 B. 面条的总长度和粗细成正比例关系 C. 面条的总长度和粗细成反比例函数关系 D. 类似于电流与电阻之间的数量关系 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例关系和正比例关系的定义，由于面的总量一定，那么面条的长度和粗细之间成反比例关系，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、面条越长则越细，原说法正确，符合题意； B、面条的总长度和粗细成反比例关系，原说法错误，不符合题意； C、面条的总长度和粗细成反比例函数关系，原说法正确，符合题意； D、电流与电阻成反比例关系，故面条的总长度和粗细类似于电流与电阻之间的数量关系，原说法正确，符合题意； 故选ACD． 三、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 比较大小：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，解题的关键在于能够熟练掌握实数比较大小的方法． 先把两个数同时平方后比较大小，因为都是正数，即平方后的数越大，其这个数越大，由此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 某商品标价300元，现打九折出售，则该商品打折后售价为___________元． 【答案】270 【解析】 【分析】本题考查了折扣问题，根据售价标价折扣率求解即可． 【详解】解：元， 所以该商品打折后售价为270元， 故答案为：270． 14. 若一次函数y=(m-3)x+(m-1)的图像经过原点，则m=_________． 【答案】1 【解析】 【详解】试题分析：由题意把原点坐标（0，0）代入一次函数关系式即可求得结果. 由题意得， 考点：函数图象上的点的坐标 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握函数图象上的点的坐标的特征，即可完成． 15. 某校规定，学生的学期学业成绩由三部分组成：平时成绩占，期中成绩占，期末成绩占，小颖的平时、期中、期末成绩分别为86分，94分，105分，则小颖本学期的学业成绩为_____分． 【答案】96 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的方法求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：小颖的学期学业成绩为： ． 16. 如图，点A、D分别在函数、的图象上，点B、C在x轴上．若四边形为矩形，点D在第一象限，点E在线段上，则的面积为 ________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的几何意义，由的几何意义可得，再结合三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵点A、D分别在函数、的图象上， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在中，，的角平分线、交于点，则以点为圆心，以_____为半径，可作的内切圆． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了三角形内心的定义，等腰三角形的性质，三角形内接圆，根据题意可得点O是的内心，即点到三边的距离相等，再根据等腰三角形三线合一可得，进而可得当以点为圆心，以为半径，可作的内切圆． 【详解】解：根据题意可得点O是的内心，即点到三边的距离相等， ∵， ∴， ∴当以点为圆心，以为半径，可作的内切圆． 故答案为：． 18. 在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的顶点，其中，下列四个结论，①；②当时，随自变量的增大而增大；③与的另一个交点的横坐标为；④当时，．正确的结论有_____（在横线上填写序号）． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的交点问题，二次函数的图像和性质，根据直线经过抛物线的顶点，结合根与系数的关系即可得出顶点坐标，进而可判断①，根据对称轴为直线，分或结合二次函数的图像和性质可判断②令，结合得出关于x的一元二次方程，求解即可判断③，用，然后分或结合二次函数的图像和性质可判断④ 【详解】解：抛物线的顶点横坐标为， 把代入，得顶点横坐标为：， ∵直线经过抛物线的顶点， ∴， 化简得，即，故①正确， ∵， ∴抛物线的对称轴直线为， 若，抛物线开口向上，当时，随自变量的增大而增大， 若，抛物线开口向下，当时，随自变量的增大而减小，故②不一定正确． 令， 即， ∵， ∴， ∴ 解得∶，， ∵顶点坐标对应， ∴与的另一个交点的横坐标为，故③正确． ， 当时，，则当时，， 当时，，则当时，，故④不一定正确． 故答案为：①③ 四、解答题（本大题共8个小题，第19、20、21题每小题6分，第22、23题每小题8分，第24、25题每小题10分，第26题12分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，先计算特殊角三角函数值，再计算立方根，负整数指数幂和零指数幂，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 20. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ， 当时，原式． 21. 株洲电视塔又名东方神龙塔，是株洲市标志性景观之一．某校数学兴趣小组在综合实践活动课中利用无人机测量株洲电视塔的高度．如测量示意图所示（图中各点均在同一竖直平面内）：将无人机从地面的点处以6米/秒的速度垂直上升，20秒后至点悬停，此时用无人机测得电视塔顶端的仰角，测得电视塔底部的俯角． （1）求无人机的悬停高度； （2）该兴趣小组测得的株洲电视塔的高度．（结果保留整数）参考数据：，，，． 【答案】（1） （2）293米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用． （1）由速度乘以时间即可求出． （2）先得出矩形的判定和性质得出，解得出，解得出，最后根据计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：，，， ∴是矩形， ， 由题意可知： 在中，，，， ， 在中，，，， ， ， 测得的株洲电视塔的高度是293米． 22. 2021年12月9日“天宫课堂”第一课正式开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课，神奇的太空实验堪称宇宙级精彩!某校为了培养学生对航天知识的学习兴趣，组织全校800名学生进行了“航天知识竞赛”．教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成四组，A组：60≤x＜70；B组：70≤x＜80；C组：80≤x＜90；D组：90≤x≤100，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题： 分组 频数 A：60≤x＜70 a B：70≤x＜80 18 C：80≤x＜90 24 D：90≤x≤100 b （1）n的值为　 　，a的值为　 　，b的值为　 　． （2）请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“C”的扇形圆心角的度数为 　 　°． （3）若规定学生竞赛成绩x≥80为优秀，请估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数． 【答案】（1）60，6，12 （2）144 （3）480人 【解析】 【分析】（1）由B的人数除以所占百分比得出n的值，即可求出a、b的值； （2）由（1）的结果补全频数分布直方图，再由360°乘以“C”所占的比例即可； （3）由全校总人数乘以达到优秀的学生人数所占的比例即可． 【小问1详解】 解：n＝18÷30%＝60， ∴a＝60×10%＝6， ∴b＝60﹣6﹣18﹣24＝12， 故答案为：60，6，12； 【小问2详解】 补全频数分布直方图如下： 扇形统计图中表示“C”的扇形圆心角的度数为：360°×＝144°， 故答案为：144； 【小问3详解】 估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数为：800×＝480（人）． 【点睛】此题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图等知识，读懂统计图，获取有用的信息是解题的关键． 23. 端午节是中华民族传统节日，吃粽子是端午节的传统习俗，为抓住商机，某超市共花费4500元购买了一批腊肉粽和豆沙粽．已知商家购买腊肉粽的费用比购买豆沙粽费用的3倍少1500元． （1）商家购买腊肉粽和豆沙粽各花费多少元？ （2）若每袋腊肉粽的进价比每袋豆沙粽的进价高5元，且购进腊肉粽的数量是豆沙粽数量的1.5倍，则每袋豆沙粽的进价为多少元？ 【答案】（1）购买豆沙粽费用为元，则购买腊肉粽的费用为元； （2）元． 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程和分式方程的应用，找到等量关系并正确列出方程是解题的关键． （1）设购买豆沙粽费用为x元，则购买腊肉粽的费用为元，根据共花费4500元列出方程，解方程即可得到答案； （2）设每袋豆沙粽的进价为m元，则每袋腊肉粽的进价为元，根据购进腊肉粽的数量是豆沙粽数量的1.5倍列分式方程，解方程并检验即可得到答案． 【小问1详解】 解：设购买豆沙粽费用为x元，则购买腊肉粽的费用为元， ， 解得， 则， 答：购买豆沙粽费用为元，则购买腊肉粽的费用为元； 【小问2详解】 设每袋豆沙粽的进价为x元，则每袋腊肉粽的进价为元， 则 解得， 经检验是分式方程的解且符合题意， 答；每袋豆沙粽的进价为元． 24. 如图，四边形内接于，是的直径，，垂足为，平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求和弧的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长是；弧的长是． 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，求弧长，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）连接，角平分线结合等边对等角，推出，进而得到，推出，即可得证； （2）圆周角定理，得到，根据，得到，进而推出均为含30度角的直角三角形，得到，求出的长，再根据弧长公式求出弧的长即可． 【小问1详解】 证明：连接， 平分， ． ， ， ， ． ， ， 是半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：是直径， ． ， ，， ． 平分， ． ． 在中，，， ． 在中，，， ． 的长是， 的长是； 连接，则， ， 弧的长． 25. 综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明： 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见详解，（2）四边形为平行四边形，（3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，从而可得，由平行线的判定可得，证明，可得，利用等量代换可得，再由平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可得证； （3）过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O，根据等腰三角形的性质可证，证明，可得，从而可得当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值，根据平行线的性质和平角的定义可得，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，从而可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明∵为等边三角形， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：四边形平行四边形，理由如下， ∵，， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则四边形为平行四边形； （3）解：如图，过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、旋转的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关定理得出当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值是解题的关键． 26. 平面直角坐标系中，已知抛物线：与轴交于点，两点点在点左边，与轴交于点． （1）若，则点，，的坐标分别为______，______，______，______，______，______，且______． （2）如图，在（1）的条件下，于点，为轴上方抛物线上一点，连接． ①求的长； ②若，求点的坐标； （3）如图2，将抛物线向左平移1个单位长度与直线交于，点在点右边，若，求． 【答案】（1）， （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）分别令，，即可求出三点坐标，再根据，即可求出； （2）由（1）得：三点坐标，可得，，利用等面积法即可求解；过点D作轴，根据题意可得设，即可求解； （3）过点N作轴交y轴于点G，过M作轴，根据题意先求出直线的解析式，而后联立抛物线解析式，设点M、N的横坐标分别为，得根据题意证明，即可求解． 【小问1详解】 解：若， 则抛物线： 令，即，解得：，， 令，则， ∴； ∵， ∴， 故答案为：，； 小问2详解】 解：①由（1）得：， ∴，， ∵，解得：； ②过点D作轴， ∵，， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ 设，则， ∴，解得或4（舍） ∴； 【小问3详解】 解：过点N作轴交y轴于点G，过M作轴， ∵抛物线 将抛物线向左平移1个单位长度得到的解析式为 由，设直线的解析式为 将代入得：解得 ∴直线的解析式为 由得 设点M、N的横坐标分别为 则 ∵轴， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴即 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及锐角三角函数、三角形相似的判定与性质、一元二次方程根与系数的关系等知识，解题的关键是通过题意正确地作出辅助线，构造所需要的图形，从而列出方程，求得结果，此题综合性强，计算繁琐，属于考试压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 荷塘区2025年初中学业水平模拟考试 数学试题卷 时量：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．答题前，请按要求在答题卡上填写好自己的姓名和准考证号． 2．答题时，切记答案要填在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 下列四个数中，绝对值最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 2025年开年，（深度求索）正式发布官方并上线应用市场，仅用二十天就实现了21600000的日活跃用户，展现出巨大的市场潜力．数据21600000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 中国雕花艺术精美绝伦，下列雕花图案中，中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 乒乓球是我国的国球，也是世界上流行的球类体育项目，在奥运会、世乒赛、世界杯三大赛事中，我国女队成绩斐然，现就历届名将与其对应身高如表所示：这些乒乓球名将身高的中位数是（ ） 乒乓球名将 邓亚萍 张怡宁 王楠 丁宁 陈梦 孙颖莎 刘诗雯 王曼昱 身高（） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心画弧，交于点，交于点，再分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接，若，且，则的面积是（ ） A. 12 B. 10 C. 6 D. 5 8. 一颗小球从长为2，宽为1的矩形台球桌的角落被击出，小球撞击桌壁并反弹三次，然后落入四个角落中的其中一个，如图所示虚线是其中一种可能的路径，则小球可能运动路径的最大长度是（ ） A. B. C. 9 D. 二、选择题（本题共2小题，每小题3分，共6分，在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上） 9. 如图，有理数，分别对应数轴上两点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 你一定吃过拉面吧！拉面的制作原理就是将一根较粗的面，经过多次捏合一步步撑细的过程．假定面的总量一定、面条粗细均匀，下面是一些关于面条的长度和粗细之间关系的表述，其中较合理的是（ ） A. 面条越长则越细 B. 面条的总长度和粗细成正比例关系 C. 面条总长度和粗细成反比例函数关系 D. 类似于电流与电阻之间的数量关系 三、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 比较大小：______． 12. 分解因式：_______． 13. 某商品标价300元，现打九折出售，则该商品打折后售价为___________元． 14. 若一次函数y=(m-3)x+(m-1)的图像经过原点，则m=_________． 15. 某校规定，学生的学期学业成绩由三部分组成：平时成绩占，期中成绩占，期末成绩占，小颖的平时、期中、期末成绩分别为86分，94分，105分，则小颖本学期的学业成绩为_____分． 16. 如图，点A、D分别在函数、的图象上，点B、C在x轴上．若四边形为矩形，点D在第一象限，点E在线段上，则的面积为 ________ ． 17. 如图，在中，，的角平分线、交于点，则以点为圆心，以_____为半径，可作的内切圆． 18. 在平面直角坐标系中，直线经过抛物线顶点，其中，下列四个结论，①；②当时，随自变量的增大而增大；③与的另一个交点的横坐标为；④当时，．正确的结论有_____（在横线上填写序号）． 四、解答题（本大题共8个小题，第19、20、21题每小题6分，第22、23题每小题8分，第24、25题每小题10分，第26题12分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： 20. 先化简，再求值：，其中 21. 株洲电视塔又名东方神龙塔，是株洲市标志性景观之一．某校数学兴趣小组在综合实践活动课中利用无人机测量株洲电视塔的高度．如测量示意图所示（图中各点均在同一竖直平面内）：将无人机从地面的点处以6米/秒的速度垂直上升，20秒后至点悬停，此时用无人机测得电视塔顶端的仰角，测得电视塔底部的俯角． （1）求无人机的悬停高度； （2）该兴趣小组测得的株洲电视塔的高度．（结果保留整数）参考数据：，，，． 22. 2021年12月9日“天宫课堂”第一课正式开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课，神奇的太空实验堪称宇宙级精彩!某校为了培养学生对航天知识的学习兴趣，组织全校800名学生进行了“航天知识竞赛”．教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成四组，A组：60≤x＜70；B组：70≤x＜80；C组：80≤x＜90；D组：90≤x≤100，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题： 分组 频数 A：60≤x＜70 a B：70≤x＜80 18 C：80≤x＜90 24 D：90≤x≤100 b （1）n的值为　 　，a的值为　 　，b的值为　 　． （2）请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“C”的扇形圆心角的度数为 　 　°． （3）若规定学生竞赛成绩x≥80为优秀，请估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数． 23. 端午节是中华民族传统节日，吃粽子是端午节的传统习俗，为抓住商机，某超市共花费4500元购买了一批腊肉粽和豆沙粽．已知商家购买腊肉粽的费用比购买豆沙粽费用的3倍少1500元． （1）商家购买腊肉粽和豆沙粽各花费多少元？ （2）若每袋腊肉粽的进价比每袋豆沙粽的进价高5元，且购进腊肉粽的数量是豆沙粽数量的1.5倍，则每袋豆沙粽的进价为多少元？ 24. 如图，四边形内接于，是的直径，，垂足为，平分． （1）求证：是切线； （2）若，，求和弧的长． 25. 综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明： 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 26. 平面直角坐标系中，已知抛物线：与轴交于点，两点点点左边，与轴交于点． （1）若，则点，，的坐标分别为______，______，______，______，______，______，且______． （2）如图，在（1）的条件下，于点，为轴上方抛物线上一点，连接． ①求的长； ②若，求点的坐标； （3）如图2，将抛物线向左平移1个单位长度与直线交于，点在点右边，若，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$