18.1.2.2分式的约分和通分（培优课件）-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦分式的约分和通分，通过复习分数约分、因式分解等旧知搭建学习支架，衔接分式基本性质，系统讲解约分四步法、通分三步法及最简分式、最简公分母等核心内容，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于采用结构化教学，以“步骤化+题型分类”呈现知识，如多项式约分先因式分解再约公因式，通分先分解分母找最简公分母，结合抽象能力（分数到分式的类比）和推理意识（步骤化逻辑）。易错点汇总与对比总结助学生规避错误，教师可直接用于精讲，学生能高效掌握分式运算基础技能。

人教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月9日 18.1.2.2分式的约分和通分 第十八章 分式 18.1.2.2 分式的约分和通分 同步精讲+习题 一、核心前置依据 约分、通分的唯一依据：分式的基本性质 分子分母同乘/除以同一个不为0的整式，分式的值不变。 本节核心关系：约分是化简分式（变小），通分是统一分母（变形），二者是分式加减运算的基础。 二、分式的约分（重点） 1. 约分定义 把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 2. 最简分式（考试标准答案要求） 分子和分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 必考规则：所有分式计算题，最终结果必须化为最简分式或整式。 3. 约分标准四步法（万能步骤） ① 排序：分子、分母按字母降幂排列； ② 提负：首项为负，先提取负号； ③ 分解：分子、分母因式分解（提公因式、平方差、完全平方）； ④ 约分：约去全部相同公因式，化为最简。 4. 两类约分题型精讲 题型1：单项式分式约分 方法：系数约最大公约数，字母约最低次幂 例题：$$\dfrac{6x^2y^3}{9xy^2}=\dfrac{2xy}{3}$$ 题型2：多项式分式约分（考试必考） 必须先因式分解，再约分，严禁直接约多项式单项！ 例题：$$\dfrac{x^2-9}{x^2+6x+9}=\dfrac{(x+3)(x-3)}{(x+3)^2}=\dfrac{x-3}{x+3}$$ 5. 约分高频易错点 ❌ 错误：分子分母加减项不能单独约分，只有整体因式能约 ❌ 错误：约分不彻底，残留公因式 ❌ 错误：忘记先变号、未整理最高次项符号 三、分式的通分（难点） 1. 通分定义 把几个异分母分式化为与原来分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 2. 最简公分母（通分核心） 通分时，一般取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，叫做最简公分母。 3. 找最简公分母三步法（必背） ① 系数：取各分母系数的最小公倍数； ② 字母：取所有出现的不同字母； ③ 次数：取每个字母/因式的最高次幂。 4. 通分标准步骤 ① 分解所有分母的因式； ② 找出最简公分母； ③ 观察每个分母需要乘什么式子得到公分母； ④ 分子分母同乘对应整式，化为同分母分式。 5. 两类通分题型 题型1：单项式分母通分 例：对 $$\dfrac{1}{2x^2},\dfrac{1}{3xy}$$ 通分 最简公分母：$$6x^2y$$ $$\dfrac{1}{2x^2}=\dfrac{3y}{6x^2y},\ \ \dfrac{1}{3xy}=\dfrac{2x}{6x^2y}$$ 题型2：多项式分母通分（重难点） 例：对 $$\dfrac{1}{x^2-4},\dfrac{1}{2x+4}$$ 通分 先分解分母：$$x^2-4=(x+2)(x-2),\ 2x+4=2(x+2)$$ 最简公分母：$$2(x+2)(x-2)$$ 通分结果：$$\dfrac{2}{2(x+2)(x-2)},\ \dfrac{x-2}{2(x+2)(x-2)}$$ 四、约分与通分对比总结（必考辨析） 约分：针对一个分式，目的是化简、变最简，分子分母同除公因式 通分：针对多个分式，目的是统一分母，分子分母同乘整式 共同点：都依据分式基本性质，分式值始终不变 五、高频易错汇总 1. 多项式未分解就通分/约分，直接出错； 2. 找公分母漏因式、取最低次幂； 3. 通分只改分母、忘记改分子； 4. 约分误约加减项，只能约乘积因式； 5. 结果不化简，不是最简分式。 六、同步练习题 一、选择题 1. 下列分式是最简分式的是（） A. $$\dfrac{2x}{4y}$$ B. $$\dfrac{x+1}{x^2+1}$$ C. $$\dfrac{x-1}{x^2-1}$$ D. $$\dfrac{x^2}{x}$$ 2. 分式 $$\dfrac{1}{2a^2},\dfrac{1}{3ab}$$ 的最简公分母是（） A. $$6a^2b$$ B. $$6ab$$ C. $$5a^2b$$ D. $$a^2b$$ 3. 约分 $$\dfrac{x^2-2x}{x^2-4}$$ 的结果是（） A. $$\dfrac{x}{x+2}$$ B. $$\dfrac{x}{x-2}$$ C. $$x$$ D. $$\dfrac{1}{2}$$ 二、填空题 1. 约分的依据是________，通分的依据是________。 2. $$\dfrac{4x^2y}{6xy^3}=$$________。 3. 分式 $$\dfrac{1}{x-2},\dfrac{1}{x+2}$$ 的最简公分母是________。 三、解答题 1. 约分：$$\dfrac{x^2-4x+4}{x^2-4}$$ 2. 通分：$$\dfrac{1}{x^2-2x},\ \dfrac{1}{x^2-4x+4}$$ 七、参考答案与详细解析 一、选择题 1. B 解析：A、C、D均可约分，B无公因式，为最简分式。 2. A 解析：系数最小公倍数6，字母取最高次幂$$a^2、b$$，公分母为$$6a^2b$$。 3. A 解析：原式$$=\dfrac{x(x-2)}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{x}{x+2}$$。 二、填空题 1. 分式的基本性质；分式的基本性质 2. $$\dfrac{2x}{3y^2}$$ 3. $$(x-2)(x+2)$$ 三、解答题 1. 解：原式$$=\dfrac{(x-2)^2}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{x-2}{x+2}$$ 解析：先分别用完全平方、平方差公式分解，再约去公因式$$x-2$$。 2. 解：先分解分母 $$x^2-2x=x(x-2)$$，$$x^2-4x+4=(x-2)^2$$ 最简公分母：$$x(x-2)^2$$ $$\dfrac{1}{x(x-2)}=\dfrac{x-2}{x(x-2)^2}$$ $$\dfrac{1}{(x-2)^2}=\dfrac{x}{x(x-2)^2}$$ 八、本节满分总结 1. 约分：先分解，后约因式，结果必最简； 2. 通分：先分解分母，找最高次幂，统一公分母； 3. 加减项永远不能直接约分，只有乘积因式可以约； 4. 约分服务化简，通分服务分式加减计算。 会对分式进行约分. 会对异分母的分式通分. 体会用类比转化的思想研究数学问题． 1. 把下列分数化为最简分数或整数： = ( )， = ( ) ， = ( ) ； 复习导入 2 2. 因式分解：(1) x2 + xy = ________； (2) 4m2 – n2 = _______________. 3. 填空： x(x + y) (2m + n)(2m – n) 12a2bc2 2x 探究新知 知识点1 分式的约分、最简分式 想一想：分数约分关键的是什么？ 约去分子分母的最大公因数 约去分子分母的最大公因式 联想分数的约分，由前面的练习，你能想出如何对分式进行约分吗？ 思 考 像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分. ÷x2 ÷3x 分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式．　 例4 约分： 分析： 当分子、分母都是单项式时，先看系数； –25 15 5 再找相同字母的最低次幂. a bc ab c abc 当分子或分母中有系数为小数或分数时，需先化为整数； 没有公因式，是最简分式 分式的约分，一般要约去分子和分母的所有的公因式，使所得结果成为最简分式或整式. 分析： 当分子或分母是多项式时，先分解因式； 再找公因式. x + 3 x + 3 x – y x – y 2 3 3 约分的步骤： 若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂； 1 2 若分子或分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式. 注意： （1）约分前后分式的值要相等； （2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式； （3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式. 归纳 知识点2 分式的通分 想一想：分数通分的关键是什么？ 确定分母的最小公倍数 找最简公分母 分数的通分：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值. 12 联想分数的通分，由下面的式子，你能想出如何对分式进行通分吗？ 思 考 像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分. 一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母,它叫作最简公分母. 通分的步骤 确定各分式的最简公分母. 1 3 用所得的商去乘原各分式的分子、分母 2 用这个最简公分母除以各分式的分母. 通分的依据 分式的基本性质 方法 例5 通分： 最简公分母： 当各分母是单项式时， 整数系数的最小公倍数 2 3 相同字母的最高次幂 a2 b2 单独出现的字母(连同其指数) c × × 6 a2b2 c 用最简公分母除以各分式的分母： 1 2 (6a2b2c)÷(2a2b) = _____ (6a2b2c)÷(3ab2c) = ____ 3bc 2a 先分解因式： 当各分母中有多项式时， 再按单项式的方法求最简公分母： 2(x + 5)(x – 5) 1. ［2025上海嘉定区月考］下列分式， ， ， 中，最简分式有( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列分式与分式 相等的是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 15 3. 化简 的结果是( ) D A. B. 1 C. D. 4. 分式，， 的最简公分母是( ) D A. B. C. D. 考试考法 16 找最简公分母的方法: （1）找系数:如果各分母的系数都是整数，那么取它们的最 小公倍数. （2）找字母:凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的式 子都要选取. （3）找指数:取分母因式中出现的所有字母或含字母的式子 中指数的最大值. . . . . . . 返回 考试考法 17 5. 小明化简分式时， 部分不小心滴上了墨水，请 推测*部分的式子应该是( ) B A. B. C. D. 【点拨】， 部分的式子 应该是 .故选B. 返回 考试考法 18 6. 已知三张卡片上面分别写有6， ， ，从中任选两张卡片，组成一个最简分式为_________ __________.（写出一个分式即可） （答案不唯一） 返回 考试考法 19 7.母题教材P144练习 约分： （1） ； 【解】 . （2） . . 考试考法 20 课堂小结 约分 方法 依据 结果 分子和分母同时除以它们的公因式 分式的基本性质 最简分式或整式 通分 确定各分式的最简公分母 用这个最简公分母除以各分式的分母 用所得的商去乘原各分式的分子、分母 1 3 2 $