专题07 一次函数（期末复习专项训练）2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 以题型建模为主线，覆盖一次函数从概念到综合应用的全链条，突出常考点、重点、难点分层突破，强化抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|4题型（定义/识别/求参等）|聚焦概念辨析与参数计算，含辨析题与填空题|从正比例函数到一次函数定义，构建概念体系| |图像性质|6题型（图像判断/象限/交点等）|结合图像分析性质，含坐标选择与图像共存题|通过图像直观理解k、b对函数性质的影响| |综合应用|6题型（解析式/平移/面积/方程不等式结合）|强调实际应用，含常考点与重点题型|从解析式求解到与代数几何综合，形成应用链条| |难点探究|1题型（规律性探究）|以图形变化为载体，含坐标规律题|通过归纳推理，提升创新意识与数学思维|

专题07 一次函数 目 录 A题型建模・专项突破 题型一、正比例函数的定义 1 题型二、一次函数的识别 2 题型三、求一次函数的自变量及函数值（常考点） 2 题型四、根据一次函数的定义求参数 3 题型五、正比例函数的图像与性质 4 题型六、一次函数图像的判断 6 题型七、正比例函数与一次函数图像共存问题 8 题型八、一次函数图像所经过象限问题 10 题型九、一次函数与坐标轴交点问题 11 题型十、画一次函数图像 12 题型十一、一次函数自变量与函数值的大小比较（常考点） 16 题型十二、求一次函数的解析式（常考点） 17 题型十三、一次函数平移与对称问题 18 题型十四、一次函数中面积问题（重点） 19 题型十五、一次函数与方程（组）结合（重点） 22 题型十六、一次函数与不等式结合（重点） 24 题型十七、一次函数的规律性探究问题（难点） 27 B综合攻坚・能力跃升 30 题型建模·专项突破 A 题型一、正比例函数的定义 1．若正比例函数的图象经过点，则这个图象必经过点（   ） A． B． C． D． 2．下列关系中，属于成正比例函数关系的是（    ） A．正方形的面积与边长 B．从甲地到乙地，所用的时间和行驶速度 C．圆的面积与它的半径 D．等边三角形的周长和边长 3．正方形的周长和它的边长（   ） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 4．若是正比例函数，则的值是______． 5．若与成正比例，当时，，则与的函数关系式为________． 6．若与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在该函数的图象上，求的值． 题型二、一次函数的识别 7．下列函数中是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 8．下列函数中，是的一次函数的是(　　) A． B． C． D． 9．下列函数关系中表示一次函数的有（ ） ①②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 11．函数①；②；③；④中，是的一次函数的有_____（填序号）． 12．写出一个系数为3，常数项不为0的一次函数是________． 13．在下列函数中，是自变量，是因变量，则一次函数有___，正比例函数有___．（将代号填上即可）①；②；③；④；⑤． 题型三、求一次函数的自变量及函数值（常考点） 14．一次函数的图象经过点（   ） A． B． C． D． 15．下列各点中，在直线上的是（   ） A． B． C． D． 16．如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四个点，在一次函数图象上的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 17．已知点在的图象上，则的值为(　　) A． B． C． D． 18．若k为任意实数，直线．必过一定点，此定点坐标为______． 19．下表给出的是关于某个一次函数的自变量及其对应的函数值的部分对应值，则的值为__________． 20．某植物的高度（）与生长天数（）之间的函数关系式表示为 ．当时，的值为___． 21．已知函数． (1)求当时，函数y的值； (2)求当时，自变量x的值． 题型四、根据一次函数的定义求参数 22．若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 23．若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2或1 C．1 D．0 24．若函数是关于的一次函数，则_____． 25．若为一次函数，则_________． 26．已知函数是关于的一次函数，求的值． 27．当，为何值时，． (1)是一次函数； (2)是正比例函数． 28．已知函数是一次函数， (1)求的值； (2)该一次函数当时，求的取值范围． 题型五、正比例函数的图像与性质 29．下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 30．若点和点在同一个正比例函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 31．下列各点在正比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 32．关于正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象不经过原点 B．y随x的增大而增大 C．当时， D．图象经过第二、四象限 33．若正比例函数的图像在第二、四象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 34．一个正比例函数的图象经过点和点，若点与点关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 35．已知 、、是正比例函数图象上的三个点，当时，t的取值范围是______． 36．在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限．若函数的图象经过其中两点，则m的值为______． 37．如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①，②，③，其中均为常数，则将按从小到大排列为______（用“”符号连接） 38．已知y是x的正比例函数，且当时，． (1)求这个正比例函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)若点，在该函数图象上，试比较，的大小． 39．已知点在正比例函数的图象上． (1)求的值； (2)若点在（）中函数的图象上，求的值； (3)若点；；都在此正比例函数图象上，试比较，，的大小． 题型六、一次函数图像的判断 40．正比例函数的函数值随的增大而减小，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 41．已知点在第三象限，则直线图象大致是下列的（　　） A． B． C． D． 42．如图，在点中，一次函数的图象不可能经过的点是（   ） A． B． C． D． 43．下列图象中，不可能是关于的一次函数的图象的是（   ） A． B． C． D． 44．在平面直角坐标系中，已知函数（），则下列图象可能是该函数的是（   ） A． B． C． D． 45．一次函数，当时，函数图像大致是（     ） A． B． C． D． 题型七、正比例函数与一次函数图像共存问题 46．下列图形能表示一次函数与正比例函数（，为常数，且）图象的是（    ） A． B． C． D． 47．在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 48．在同一坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 49．直线与直线在同一坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 50．如图中表示一次函数与正比例函数（a，b是常数，且）图象的是（　　） A． B． C． D． 51．一次函数（，是常数）与（、是常数且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 52．在同一平面直角坐标系中，一次函数与（，为常数，的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型八、一次函数图像所经过象限问题 53．一次函数的图像不经过下列各象限中的（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 54．在直线上，随着的增大而增大，且其图象与轴负半轴有交点，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 55．已知一次函数（、为常数，），当时，；当时，．则一次函数与正比例函数图象的交点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 56．已知直线经过点，且不经过第三象限，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 57．若一次函数的函数值随x的增大而增大，且函数的图象不经过第二象限，则k的取值范围为______． 58．已知一次函数的图像不经过第三象限，则m的取值范围是______． 59．若，则直线一定经过第_______限． 60．若，都是实数，且，点在一次函数的图象上，则该一次函数图象过第________象限． 61．已知一次函数，则； (1)时，图象经过第几象限． (2)m为何值时，函数图象过点，且y的值随着x值的增大呈怎样的变化趋势？ 题型九、一次函数与坐标轴交点问题 62．一次函数的图象与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 63．一次函数的图象经过原点，则（　　） A． B． C． D．且 64．如图，直线交坐标轴于，两点，等边三角形的边在轴上，且点为线段的中点，若将沿轴竖直向上平移，当点落在直线上时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 65．已知一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点，若，则直线的解析式为____． 66．无论k取何值，关于x的一次函数的图象必经过定点______． 67．直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C与点B关于x轴对称． (1)求点C的坐标； (2)求直线对应的函数解析式． 68．已知一次函数（k，b为常数且）的图象经过，． (1)求这个一次函数的表达式． (2)求直线与x轴的交点C的坐标． 题型十、画一次函数图像 69．画出下列正比例函数的图象： (1)； (2)． 70．在一次函数的学习中，我们经历了“画出函数的图象——根据图象研究函数的性质——运用函数的性质解决问题”的学习过程，结合上面的学习过程，解决下面的问题：对于函数． (1)列表：下表是列出的几组、的对应值； 0 1 2 3 4 2 1 0 0 1 a 表中___________； (2)据表中的数值，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数的图象； (3)性质探究： ①观察图象，当___________时，函数有最小值为___________； ②除了上述性质外，请你再写出一条该函数的性质． 71．已知一次函数的图象经过点，与轴交于点． (1)求的值和点的坐标； (2)画出该一次函数的图象． 72．已知一次函数的图象与直线平行，且当时，． (1)求出这个一次函数的表达式； (2)画出该函数的图象． 73．已知一次函数的图象与轴，轴分别交于、两点． (1)求、两点的坐标； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象． 74．通过一次函数的学习，我们知道，表示函数的方法一般有三种：列表法、图象法和关系式法．下面两个表格中分别给出了一个函数的一种表示方式，请你按要求完成任务： 表1 列表法 x … 0 1 … y … 0 2 4 … 图象法 关系式 表2 关系式 列表法 x … 0 1 2 3 … y … 0 2 … 图象法 图象特征（写一条即可）： 变化情况（增减性）： (1)任务一：在表1中，请根据表格画出该一次函数图象，并写出它的关系式； (2)任务二：在表2中，请根据关系式填表、画图象，并写出这个函数图象的一条特征和随变化情况的一个结论． 题型十一、一次函数自变量与函数值的大小比较（常考点） 75．已知直线经过两点）和，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 76．若点都在一次函数图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较大小 77．一次函数的图象上三个点的坐标分别为，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 78．已知一次函数的图象上两点，，其中，那么的取值范围是________． 79．若点，都在函数的图象上，则_____（填“”或“”）． 80．若点，点，点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是______． 81．已知与x成正比例，当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)若点、在（1）中函数的图象上，比较与的大小． 题型十二、求一次函数的解析式（常考点） 82．一次函数，当时，；当时，．求和的值． 83．已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数表达式； (2)若点在这个函数的图象上，求m的值． 84．已知平面直角坐标系中三点，试判断这三点是否在同一条直线上，并说明理由． 85．已知y与x成正比例关系，且当时，． (1)求y与x之间的函数解析式． (2)若点在这个函数的图象上，求a的值． 86．已知，与成正比例，与成正比例，且当时，；时，． (1)求关于的函数解析式； (2)求出当时的函数值． 87．已知一次函数与一次函数平行，且过点，求该一次函数解析式． 题型十三、一次函数平移与对称问题 88．一次函数的图象沿轴向下平移2个单位，那么所得图象的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 89．将一次函数的图象平移得到图象的函数关系式为，则移动方法为 （    ） A．向左平移 4 个单位 B．向右平移 4 个单位 C．向上平移 4 个单位 D．向下平移 4 个单位 90．已知一次函数的图像与直线关于x轴对称，则一次函数的表达式为________． 91．将一次函数的图象向上平移4个单位长度，向左平移3个单位长度后得到的函数表达式是__________． 92．将一次函数的图象向上平移6个单位长度得到的新图象经过点，求的值． 93．已知：与成正比例，且时，， (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值； (3)若该函数图象沿轴向上平移个单位长度，求平移后图象与轴的交点坐标． 94．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个正比例函数的表达式； (2)若一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且过点，将这个一次函数的图象向下平移4个单位，写出平移后函数表达式． 95．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 题型十四、一次函数中面积问题（重点） 96．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线与x轴、y轴分别交于点A、B，则的面积为_________． 97．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知，则______． 98．如图，函数和的图象相交于点． (1)求m，a的值． (2)求的面积． 99．如图所示，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，且与直线交于点A，点P沿的折线运动． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)当的面积是的面积的时，直接写出此时点P的坐标． 100．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与y轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)点D在x轴上，求的最小值； (3)在直线上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 101．正比例函数和一次函数的图像交于点，且一次函数的图像交轴于点，交轴于点． (1)求正比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图像，求关于的不等式的解集； (3)已知点在图像上，若，求的坐标． 102．如图，直线的解析式为与x轴交于点B，直线经过点，且与x轴交于点A，直线与直线交于点； (1)请写出下列点的坐标：B（ ， ）、C（ ， ）； (2)请求出直线的解析式； (3)请求出的面积． (4)在上是否存在一点P，使的面积是面积的？若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十五、一次函数与方程（组）结合（重点） 103．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x、y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 104．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 105．若一次函数（为常数且）的图像经过点，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 106．如图是一次函数的图像，则方程的解为______． 107．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为．由定义可知，一次函数的“亮点”为___________． 108．如图，已知直线：与y轴交于点A，且和直线：交于点，根据以上信息解答下列问题： (1)求a的值； (2)不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解； (3)若直线，表示的两个一次函数都大于0，此时恰好，求直线的函数解析式． 109．如图，已知一次函数的图象经过点，，为直线上的动点，正比例函数的图象经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)若点，求方程组的解． 题型十六、一次函数与不等式结合（重点） 110．如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 111．一次函数和的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 112．如图，函数和的图象相交于，两点．当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 113．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为________． 114．如图，直线经过和两点，则不等式的解集为_____． 115．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 116．已知，如图，一次函数的图象经过，． (1)求一次函数的表达式； (2)结合图象，请直接写出关于的不等式的解集； (3)若当时，一次函数的函数值y恰好满足，请直接写出的关系式中的值． 117．一次函数和的图像如图所示，且，． (1)关于的方程的解为_________；关于的不等式的解集为_________； (2)若不等式的解集是，求点的坐标． 118．在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是改善学习的重要方法． 善于学习的小明在学习了二元一次方程（组）、一元一次不等式（组）和一次函数后，把相关知识进行了归纳整理，如图所示： (1)请你根据以上方框中的内容在下面数字序号后写出相应的结论：① ；② ；③ ；④ ； (2)如果点C的坐标为，那么不等式的解集是 ，那么不等式的解集是 ． 题型十七、一次函数的规律性探究问题（难点） 119．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，，…，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 120．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象为直线，作点关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；再作关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；…则按此规律，所作出的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 121．如图，在平面直角坐标系中，点都在直线上，点都在轴上，都是等腰直角三角形，其中都是直角．如果点的坐标为，那么点的纵坐标是（   ） A．2025 B． C． D． 122．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点……依次进行下去，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 123．如图，直线与轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点、，，…，与直线上的点，，，…，则的长为____________． 124．如图，直线，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为原点，长为半径画弧交x轴于点；再过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点；…，按此作法进行下去，点的坐标为________． 125．如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；按此规律作下去，则点的坐标为______，的坐标为______． 126．正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 综合攻坚·能力跃升 B 1．（2026·陕西商洛·一模）已知一次函数（、为常数，且）的图象不经过第三象限，则一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·安徽六安·月考）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、三、四象限 4．（25-26七年级下·山东淄博·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小；②；③方程的解为；④方程组的解是．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26八年级下·河北衡水·期中）已知与是一次函数．若，那么如图所示的4个图可能正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·安徽芜湖·一模）如图1所示，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在x轴上，点B在第二象限，将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图像如图2所示，下列结论错误的是（   ） A．点A的坐标为 B．的面积为8 C．边所在直线的表达式为 D．D点坐标为 7．（2026·上海普陀·二模）已知正比例函数的图像经过第二、四象限，点、在该正比例函数的图像上，如果，那么________、（填“”、“”或“”） 8．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）正方形按如图的方式放置，和点,分别在直线和轴上，则点的横坐标是__________，则点的横坐标是__________． 9．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）如图，直线：与y轴交于点，与轴交于点；直线：经过点和点，且与相交于点D，连接． (1)求直线和的函数表达式； (2)当x取何值时，? (3)求的面积． 10．（25-26八年级下·四川宜宾·期中）已知函数． (1)当为何值时，函数图象经过原点； (2)若这个函数是一次函数，且图象不经过第二象限，求的取值范围． 11．（25-26八年级下·四川宜宾·期中）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点．例如，点的美好点是． (1)点的美好点坐标是______，若点的美好点为，则点的坐标是______； (2)若点的美好点在直线上，求的值； (3)点在直线上且点的横坐标为，点为点的美好点，点______直线（填“在”或“不在”），请说明理由． 12．（25-26八年级下·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x，y轴交于B，C两点，正比例函数的图像与L1交于点． (1)填空： ______， ______． (2)不等式的解集是______； (3)若点M是直线上的一个动点，连接，当的面积是面积的2倍时，直接写出符合条件的点M的坐标； 13．（25-26八年级下·福建泉州·期中）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”，例如求的“不动点”联立方程，解得，则的“不动点”为． (1)由定义可知，一次函数的“不动点”为________． (2)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”． ①若点为轴上不与原点重合的一个动点，且，求满足条件的点坐标． ②若P为x轴正半轴上一点，以为腰在左侧作等腰直角，且，连结，当取得最小值时，求点Q的坐标． 14．（2026·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象交y轴于点A，函数的图象经过点A与点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出m的取值范围． 15．（25-26八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，为一次函数的图象上一点． (1)求A、B两点的坐标． (2)已知点，连接，求的面积． (3)若点Q为一次函数图象上第一象限内一点，且满足，，求的值． 16．（2026·浙江丽水·一模）【阅读理解】 对于两个函数，当自变量任取一个值时，它们所对应的函数值之和为2，我们称这两个函数互为“关联函数”．例如：与互为“关联函数”． 【初步探究】 (1)如图，函数经过点，求该函数的“关联函数”表达式； 【深入思考】 (2)在（1）条件下，函数图象的一段向上平移个单位长度后，与它的“关联函数”的图象有交点．求的最小值． 17．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）如图，直线经过点，，且与直线交于点． (1)关于的不等式的解集是______； (2)若点的横坐标为1，请完成下面的问题． ①关于的不等式的解集是______； ②求的值． 18．（25-26八年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出和的取值范围． 19．（2026·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点 (1)求和的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出的取值范围． 20．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求的值； (2)求直线与直线的交点坐标； (3)当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，直接写出的最小值和的取值范围． 1 / 77 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 一次函数 目 录 A题型建模・专项突破 题型一、正比例函数的定义 1 题型二、一次函数的识别 4 题型三、求一次函数的自变量及函数值（常考点） 6 题型四、根据一次函数的定义求参数 10 题型五、正比例函数的图像与性质 12 题型六、一次函数图像的判断 18 题型七、正比例函数与一次函数图像共存问题 22 题型八、一次函数图像所经过象限问题 27 题型九、一次函数与坐标轴交点问题 31 题型十、画一次函数图像 36 题型十一、一次函数自变量与函数值的大小比较（常考点） 43 题型十二、求一次函数的解析式（常考点） 46 题型十三、一次函数平移与对称问题 49 题型十四、一次函数中面积问题（重点） 54 题型十五、一次函数与方程（组）结合（重点） 64 题型十六、一次函数与不等式结合（重点） 69 题型十七、一次函数的规律性探究问题（难点） 76 B综合攻坚・能力跃升 84 题型建模·专项突破 A 题型一、正比例函数的定义 1．若正比例函数的图象经过点，则这个图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先把点，代入正比例函数，求出的值，故可得出此函数的解析式，再把各点代入此函数的解析式进行检验即可． 【详解】解：正比例函数的图象经过点， ，解得， 正比例函数的解析式为． A．当时，，不在正比例函数的图象上，故本选项错误； B．当时，，此点不在正比例函数的图象上，故本选项错误； C．当时，，此点不在正比例函数的图象上，故本选项错误； D．当时，，此点在正比例函数的图象上，故本选项正确． 故选：D． 2．下列关系中，属于成正比例函数关系的是（    ） A．正方形的面积与边长 B．从甲地到乙地，所用的时间和行驶速度 C．圆的面积与它的半径 D．等边三角形的周长和边长 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数定义的应用，根据各个选项中的说法，利用学过的数学知识得到变量之间的关系式，判断它们的函数关系是否是正比例函数关系即可得到答案．读懂题意，判断变量之间是否满足正比例函数关系是解决问题的关键． 【详解】解：A、正方形的面积与边长的关系是，不是正比例函数关系，故选项不符合题意； B、从甲地到乙地距离固定为，所用的时间和行驶速度的关系是，不是正比例关系，故选项不符合题意； C、圆的面积与它的半径的关系是，不是正比例函数关系，故选项不符合题意； D、等边三角形的周长和边长的关系是，是正比例函数关系，故选项符合题意； 故选：D． 3．正方形的周长和它的边长（   ） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了反比例和正比例，熟练掌握定义是关键． 根据正比例的定义即可得出答案． 【详解】解：因为正方形的周长它的边长， 所以正方形的周长和它的边长成正比例． 故选：A． 4．若是正比例函数，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，求代数式的值，熟练掌握定义是解题的关键．根据题意，得，据此解答即可． 【详解】解：是正比例函数， 得， 解得， 故， 故 故答案为：． 5．若与成正比例，当时，，则与的函数关系式为________． 【答案】 【分析】本题实质是考查正比例函数的代值求系数，比较容易．根据成正比例的条件设关系式，再把数值代入求解则可． 【详解】解：因为与成正比例， 所以， 将，代入求得， 故与的函数关系式为． 故答案为：． 6．若与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在该函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求函数解析式，求自变量的值： （1）设出函数解析式，再代入已知的数据求解即可； （2）把代入（1）所求解析式中进行求解即可． 【详解】（1）解：设， 把时，代入得：， 解得， ，即； （2）解：把代入得， 解得． 题型二、一次函数的识别 7．下列函数中是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的定义，（，为常数，），当时，函数为正比例函数，据此进行逐项分析，即可作答．本题考查了一次函数的定义，正比例函数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：A、是正比例函数，故该选项不符合题意； B、不是一次函数，故该选项不符合题意； C、不是一次函数，故该选项不符合题意； D、是一次函数但不是正比例函数，故该选项符合题意； 故选：D 8．下列函数中，是的一次函数的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的定义，一般地，形如（k，b为常数，且）的函数称为一次函数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，符合题意； B、不是一次函数，不符合题意； C、不是一次函数，不符合题意； D、不是一次函数，不符合题意． 故选：A． 9．下列函数关系中表示一次函数的有（ ） ①②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的识别，根据一次函数的定义（形如）判断每个函数． 【详解】解：①，符合形式（），是一次函数； ②，即，x的指数为，不是一次函数； ③，即，符合形式（），是一次函数； ④，x的指数为，是二次函数，不是一次函数． 综上可知，一次函数有①和③，共2个． 故选：B． 10．下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不符合，故该选项是错误的； B、不符合，故该选项是错误的； C、是一次函数，故该选项是正确的； D、不符合，故该选项是错误的； 故选：C 11．函数①；②；③；④中，是的一次函数的有_____（填序号）． 【答案】①② 【分析】本题考查一次函数定义：形如的函数，按照一次函数一般形式判定是解决问题的关键．依据一次函数的定义，按照形如的函数，逐个判定即可得到答案． 【详解】解：①是正比例函数，也是一次函数； ②是一次函数； ③不是一次函数； ④不是一次函数； 综上所述，是的一次函数的有①②， 故答案为：①②． 12．写出一个系数为3，常数项不为0的一次函数是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】该题主要考查了一次函数的定义，解题关键是掌握一次函数的定义：一次函数中：、为常数，，自变量次数为1． 根据一次函数的定义解答． 【详解】解：一次函数一个系数为3，常数项不为0． ∴即可， 故答案为：（答案不唯一）． 13．在下列函数中，是自变量，是因变量，则一次函数有___，正比例函数有___．（将代号填上即可）①；②；③；④；⑤． 【答案】 ①③④ ③ 【分析】根据一次函数及正比例函数的定义，即可一一判定． 【详解】解：①是一次函数，不是正比例函数； ②不是一次函数； ③是正比例函数，因为正比例函数一定是一次函数，所以还是一次函数； ④是一次函数； ⑤既不是正比例函数也不是一次函数． 故答案为：①③④，③． 【点睛】本题考查了一次函数及正比例函数的定义，熟知正比例函数是一次函数的特例是解决本题的关键． 题型三、求一次函数的自变量及函数值（常考点） 14．一次函数的图象经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数，代入选项中点的坐标，满足左右两边相等的即可得出结论． 【详解】解：A、当时，，故一次函数的图象不经过这个点；此选项不符合题意； B．当时，，故一次函数的图象不经过这个点；此选项不符合题意； C．当时，，故一次函数的图象经过这个点；此选项符合题意； D．当时，，故一次函数的图象不经过这个点；此选项不符合题意； 故选C． 15．下列各点中，在直线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标，熟练掌握一次函数图象上点的坐标一定满足函数解析式是解题关键． 将各点的坐标代入函数解析式进行判断即可． 【详解】解：A． 当时，，则点不在直线上，不符合题意； B． 当时，，则点不在直线上，不符合题意； C． 当时，，则点在直线上，符合题意； D．当时，，则点不在直线上，不符合题意． 故选：C． 16．如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四个点，在一次函数图象上的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数上点的特点， 把各点横坐标代入一次函数解析式，看y值和点的纵坐标是否一致，一致则在函数图像上，反之则不在． 【详解】解：．当时，，则点A在一次函数的图象上，故该选项符合题意； ．当时，，则点B不在一次函数的图象上，故该选项不符合题意； ．当时，，则点C不在一次函数的图象上，故该选项不符合题意； ．当时，，则点D不在一次函数的图象上，故该选项不符合题意； 故选：A． 17．已知点在的图象上，则的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，变形后即可得出结论． 【详解】解：点在的图象上， ， ． 故选：A． 18．若k为任意实数，直线．必过一定点，此定点坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．由变形为，则当时无论取什么值，都等于，所以对任意实数，直线 必过一定点． 【详解】解： 当时，， 此定点坐标为， 故答案为． 19．下表给出的是关于某个一次函数的自变量及其对应的函数值的部分对应值，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数，设一次函数解析式为，根据对应点代入解析式，可得：，，，利用整体代入法求的值． 【详解】解：设一次函数解析式为， 当时，， 可得：， 当时， ， 可得：， 当时，， 可得：， ． 故答案为：． 20．某植物的高度（）与生长天数（）之间的函数关系式表示为 ．当时，的值为___． 【答案】 【分析】本题主要考查了已知自变量的值求函数值，把代入一次函数解析式，求出y的值即可． 【详解】解：把代入得：． 故答案为：． 21．已知函数． (1)求当时，函数y的值； (2)求当时，自变量x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求自变量值或函数值，已知自变量值或求函数值或自变量，是基础题，准确计算是解题的关键． （1）把x的值分别代入函数关系式计算即可得解； （2）把函数值代入函数关系式，解关于x的一元一次方程即可． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时，， 解得：． 题型四、根据一次函数的定义求参数 22．若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数形如，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵关于的函数是一次函数， ∴ ∴ 即 故选：C 23．若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2或1 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一般地，形如，且k、b是常数的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数是一次函数， ∴或， ∴或， 故选：B． 24．若函数是关于的一次函数，则_____． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的定义：形如的函数是一次函数．根据一次函数的定义得到且，进而解方程即可求解． 【详解】解：∵函数是关于的一次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 25．若为一次函数，则_________． 【答案】3或5 【分析】本题考查一次函数的定义．根据一次函数的定义可得自变量的次数为1，且系数不为零可得关于m的方程，然后求解即可． 【详解】解：∵是一次函数， ∴，且， 解得：或3． 故答案为：3或5． 26．已知函数是关于的一次函数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义条件是：、为常数，是解题关键．根据一次函数的定义条件即可求解． 【详解】解：根据题意得：且， ∴． 27．当，为何值时，． (1)是一次函数； (2)是正比例函数． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的定义． （1）根据形如，是常数是一次函数可得； （2）根据形如，是常数，是正比例函数，即可求解． 【详解】（1）解：当，时，是一次函数， ∴． （2）解：当，，时，是正比例函数， ∴，， 28．已知函数是一次函数， (1)求的值； (2)该一次函数当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据一次函数的定义即可求解； （）分别求出当时，当时的值，即可求出的取值范围； 此题考查了一次函数的应用，正确理解一次函数的定义及根据题意得出自变量的取值范围是解题的关键． 【详解】（1）因为是一次函数， 所以，解得， 因为，所以； （2）将代入得一次函数解析式为，当时，，当时，， 所以当时，的取值范围是． 题型五、正比例函数的图像与性质 29．下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题主要考查正比例函数图象和性质；正比例函数的形式为，其中为非零常数．若两个点和在同一个正比例函数图象上，则需满足，逐一判断即可． 【详解】解：选项A：点和 ，，比值不同，不在同一图象上． 选项B：点和 ，，比值不同，不在同一图象上． 选项C：点和 ，，比值相同，在同一图象上． 选项D：点和 ，，比值不同，不在同一图象上． 综上，则选项C正确． 故选：C． 30．若点和点在同一个正比例函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特征，比较函数值的大小，将点代入解析式，根据，即可解决问题． 【详解】解：根据题意得，， ， ，即，故选项B，C，D错误， ， ，选项A正确； 故选：A． 31．下列各点在正比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数图象上的点，根据图象的点的横纵坐标符合函数表达式进行判断即可． 【详解】解：A、当时，，点在正比例函数的图象上，符合题意； B、当时，，点不在正比例函数的图象上，不符合题意； C、当时，，点不在正比例函数的图象上，不符合题意； D、当时，，点不在正比例函数的图象上，不符合题意； 故选A． 32．关于正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象不经过原点 B．y随x的增大而增大 C．当时， D．图象经过第二、四象限 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的图象与性质，根据函数图象的性质与增减性逐一分析即可． 【详解】解：A、由函数可知，当时，，则图象经过点，该选项错误； B、由函数可知，当时，则随的增大而减小，该选项错误； C、由函数可知，当时，，该选项错误； D、由于函数，，则函数图象经过第二、四象限正确； 故选：D． 33．若正比例函数的图像在第二、四象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】此题考查了正比例函数的性质和点所在象限的特征，根据正比例函数的图像在第二、四象限，，则，根据点所在象限的特征即可得到答案． 【详解】解：∵正比例函数的图像在第二、四象限， ∴， ∴， ∴点在第三象限， 故选：C 34．一个正比例函数的图象经过点和点，若点与点关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与中心对称．根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，求出N的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可． 【详解】解：∵点和点 关于原点对称， ∴， ∴， 设正比例函数解析式为， 则， ∴， ∴． 故选：A． 35．已知 、、是正比例函数图象上的三个点，当时，t的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，根据正比例函数图象上点的坐标特征求得，再根据正比例函数的性质即可得出t的取值范围． 【详解】解：设正比例函数解析式为， ∵、、是正比例函数图象上的三个点， ∴， 两个方程相减得，解得， ∴正比例函数解析式为， ∴正比例函数的值随增大而减小， 当时，， ∵是正比例函数图象上的点， ∴当时，t的取值范围是． 故答案为：． 36．在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限．若函数的图象经过其中两点，则m的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的图象，求正比例函数解析式，正比例函数图象上点的坐标特征，由点的坐标及正比例函数的图象的分别特点可得函数的图象经过，，进而利用待定系数法可得函数解析式为，再把点坐标代入计算即可求解，判断出函数的图象经过S是解题的关键． 【详解】解：点，，分别在三个不同的象限，点在第二象限，点在第一象限， ∴点在第三象限， ∵函数的图象经过其中两点， ∴函数的图象经过，， 把代入得，， ∴， ∴函数解析式为， 把代入得，， 故答案为：． 37．如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①，②，③，其中均为常数，则将按从小到大排列为______（用“”符号连接） 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的图象和性质，由正比例函数的图象可得，，，，据此即可求解，掌握正比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵正比例函数经过二四象限，正比例函数③经过一三象限， ∴，，， ∵正比例函数比正比例函数更接近轴， ∴， ∴， 故答案为：． 38．已知y是x的正比例函数，且当时，． (1)求这个正比例函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)若点，在该函数图象上，试比较，的大小． 【答案】(1)，函数图象见解析 (2) 【分析】本题考查待定系数法及正比例函数的图象和性质，熟知待定系数法及正比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法可求出正比例函数的解析式，再按要求画出函数图象即可． （2）将和分别代入函数关系式即可解决问题． 【详解】（1）设正比例函数的解析式为， 则， 解得， 所以这个正比例函数的解析式为． 函数图象如图所示， （2）将代入得， ； 将代入得， ； 因为， 所以． 39．已知点在正比例函数的图象上． (1)求的值； (2)若点在（）中函数的图象上，求的值； (3)若点；；都在此正比例函数图象上，试比较，，的大小． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）根据待定系数法即可求解； （）把点代入正比例函数解析式为中即可求出的值； （）根据正比例函数，随的增大而减小即可求解； 本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∴； （2）解：由（）得， ∴正比例函数解析式为， ∵点在正比例函数解析式为的图象上， ∴， ∴； （3）解：由（）得正比例函数解析式为， ∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 题型六、一次函数图像的判断 40．正比例函数的函数值随的增大而减小，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，正确判断k的大小是解决本题的关键． 根据正比例函数的函数值随的增大而减小，可以判断；再根据判断出的图象的大致位置即可． 【详解】解：正比例函数的函数值随的增大而减小， ， 一次函数的图象经过一、三、四象限． 故选：B． 41．已知点在第三象限，则直线图象大致是下列的（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象、点所在的象限，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键．先根据点所在的象限可得，则可得，再判断出一次函数图象经过的象限，由此即可得． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴， ∴， ∴直线图象经过第一、二、四象限， 故选：D． 42．如图，在点中，一次函数的图象不可能经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的图象，利用、的正负判断一次函数的图象位置是解题的关键，即在中，，，直线经过第一、二、三象限，，，直线经过第一、三、四象限，，，直线经过第一、二、四象限，，，直线经过第二、三、四象限．由条件可判断出直线所经过的象限，再进行判断即可． 【详解】解：一次函数， 令得：， 解之得：， 一次函数与轴的交点为， 故不可能是点， 故选D． 43．下列图象中，不可能是关于的一次函数的图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图像，解一元一次不等式组，掌握一次函数图像的规律是解题的关键．分别根据四个答案中函数的图象求出的取值范围即可． 【详解】解：一次函数可变形为， A. 由函数图象可知，，解得，即，故此种情况存在，不符合题意； B. 由函数图象可知，，解得，即，故此种情况存在，不符合题意； C. 由函数图象可知，，解得，即无解，故此种情况不存在，符合题意； D. 由函数图象可知，，解得，即，故此种情况存在，不符合题意； 故选：C． 44．在平面直角坐标系中，已知函数（），则下列图象可能是该函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象和图象上点的坐标特征，根据可判断函数的增减性以及与y轴的交点，从而可得正确选项． 【详解】解：∵， ∴函数y随x的增大而增大，， ∴函数y与y轴交于负半轴， 当时，， 观察各选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 45．一次函数，当时，函数图像大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，根据、的取值判断一次函数图象，即可解题． 【详解】解： 中， 一次函数图象必过二、四象限， ， 一次函数与轴交于负半轴， 函数图像大致是 故选：B． 题型七、正比例函数与一次函数图像共存问题 46．下列图形能表示一次函数与正比例函数（，为常数，且）图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限． 根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断． 【详解】解：①当，m，n同号，同正时过一、二、三象限，同负时过二、三、四象限； ②当时，m，n异号，则过一、三、四象限或一、二、四象限． 故选：A． 47．在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是正比例函数与一次函数的图象共存的问题，根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数和的图象经过哪几个象限，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴函数是经过原点的直线，经过第二、四象限， 函数是经过第一、三、四象限的直线， 故选：D． 48．在同一坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的图象和性质及一次函数图象与坐标轴交点的坐标特征，熟练掌握正比例函数及一次函数的图象和性质是解题关键． 分情况讨论的取值范围，根据正比例函数图象的性质及一次函数图象与坐标轴交点的坐标特征进行判断，即可得出答案． 【详解】解：当时，的图象过原点并经过第一、第三象限，的图象过第一、二、三象限且与轴交点的纵坐标大于0，选项均不符合； 当时，的图象过原点并经过第二、第四象限，的图象过第一、三、四象限且与轴交点的纵坐标小于0，选项A符合题意； 故选：A． 49．直线与直线在同一坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．根据k的符号判定正比例函数和一次函数图象所在的象限． 【详解】解：直线经过第一、二、四象限，直线经过第一、三象限， 满足条件的只有B选项， 故选：B． 50．如图中表示一次函数与正比例函数（a，b是常数，且）图象的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象与正比例函数图象综合判断，分当，当，两种情况分别确定一次函数和正比例函数图象经过的象限即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴当， 则经过一、三、四象限，经过二、四象限， 当， 则经过一、二、四象限，经过二、四象限， 故选：A． 51．一次函数（，是常数）与（、是常数且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象和正比例函数与其系数的关系；根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解：A、由一次函数图象可知，， ∴， 由正比例函数经过二四象限，则，矛盾，故该选项不正确，不符合题意； B、由一次函数图象可知，， ∴， 由正比例函数经过二四象限，则，故该选项正确，符合题意； C、由一次函数图象可知，， ∴， 由正比例函数经过二四象限，则，矛盾，故该选项不正确，不符合题意； D、没有正比例函数图象，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 52．在同一平面直角坐标系中，一次函数与（，为常数，的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据一次函数的性质和正比例函数的性质，可以判断哪个选项中的图象符合题意． 【详解】解： A．一次函数中的，∴，则，正比例函数中的，故选项A符合题意； B．一次函数中的，∴，则，正比例函数中的，故选项B不符合题意； C．一次函数中的，∴，则，正比例函数中的，故选项C不符合题意； D．一次函数中的，∴，则，正比例函数中的，故选项D不符合题意； 故选：A． 题型八、一次函数图像所经过象限问题 53．一次函数的图像不经过下列各象限中的（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据一次函数中、的符号，判断函数图象经过的象限，进而确定不经过的象限． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴该一次函数的图象经过第一、二、四象限 ∴其图象不经过第三象限 【点睛】解决本题需要把握一次函数图象与系数的关系：对于一次函数（k为常数，），当的图象在一、二、三象限；当的图象在一、三、四象限；当的图象在一、二、四象限；当的图象在二、三、四象限． 54．在直线上，随着的增大而增大，且其图象与轴负半轴有交点，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点．根据一次函数的性质求出k和的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断点所处的象限即可． 【详解】解：∵在一次函数中，y的值随x值的增大而增大， ∴， 又∵其图象与轴负半轴有交点， ∴， ∴点在第一象限． 故选：A． 55．已知一次函数（、为常数，），当时，；当时，．则一次函数与正比例函数图象的交点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式和一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．先利用待定系数法求得函数的解析式，然后根据一次函数的解析式判断图象所经过的象限，进而判断交点所在象限即可． 【详解】解：把 ， ；，分别代入中得： ，解得 ， 一次函数为，正比例函数为， 一次函数的图象在第一、三、四象限，正比例函数的图象在二、四象限， 一次函数与正比例函数图象的交点在第四象限． 故选：D ． 56．已知直线经过点，且不经过第三象限，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一元一次不等式组的应用等知识点，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 首先，根据直线经过的点可以得到，然后，由直线不经过第三象限得出和的取值范围，最后，将代入，根据的取值范围求出的取值范围． 【详解】解：∵直线经过点， ∴，即， ∵直线不经过第第三象限， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 57．若一次函数的函数值随x的增大而增大，且函数的图象不经过第二象限，则k的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是要熟练掌握一次函数图象与系数关系． 先根据函数y随x的增大而增大可确定，再由函数的图象不经过第二象限，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上或原点，即，进而可求出k的取值范围． 【详解】∵一次函数的函数值y随x的增大而增大， 且此函数的图象不经过第二象限， ，且， 解得． 故答案为：． 58．已知一次函数的图像不经过第三象限，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系，依据一次函数的图象不经过第三象限，可得函数表达式中一次项系数小于0，常数项不小于0，进而得到m的取值范围． 【详解】解：由一次函数的图象不经过第三象限， 则经过第二、四象限或第一、二、四象限， ∴有， 解得：， 故答案为：． 59．若，则直线一定经过第_______限． 【答案】三，四 【分析】本题考查一次函数的性质，解题的关键是分类讨论思想的应用． 由，可得，当时，，直线经过一，三，四象限；当时，直线为经过二，三，四象限；即可得到答案． 【详解】解：∵， ，，， ， 当时，， ∴直线为，经过一，三，四象限； 当时，有， ， ∴直线为，经过二，三，四象限； 综上所述，直线一定经过第三，四象限； 故答案为：三，四． 60．若，都是实数，且，点在一次函数的图象上，则该一次函数图象过第________象限． 【答案】一、三、四 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，一次函数的性质；根据二次根式有意义的条件即可得出，从而求出的值，代入解析式，得出即可求解． 【详解】解：∵， ∴且， ∴ ∴，则 ∵在一次函数的图象上， ∴，解得：， ∴， ∴，则一次函数图象过第一、三、四象限， 故答案为：一、三、四． 61．已知一次函数，则； (1)时，图象经过第几象限． (2)m为何值时，函数图象过点，且y的值随着x值的增大呈怎样的变化趋势？ 【答案】(1)经过第一，第三，第四象限 (2)， y的值随着x值的增大呈减小的变化趋势． 【分析】本题主要考查了一次函数的图像和性质． （1）把代入一次函数解析式，求出一次函数解析式，再根据解析式判断图象经过的象限即可． （2）把点代入一次函数解析式，求出m的值，求出一次函数解析式，再根据一次函数的图像和性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵， ∴一次函数图象经过第一，第三，第四象限． （2）解：∵一次函数经过， ∴， 解得：， 则一次函数为：， ∵， ∴y的值随着x值的增大呈减小的变化趋势． 题型九、一次函数与坐标轴交点问题 62．一次函数的图象与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与坐标轴交点问题，掌握一次函数的图象与坐标轴交点问题是解本题的关键． 求一次函数图象与轴的交点，即令，解方程求出值，进而得到坐标． 【详解】解：一次函数的图象与轴相交时，， 令， 解得， 交点坐标为， 故选：C． 63．一次函数的图象经过原点，则（　　） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义，以及一次函数的图象与性质，将代入解析式结合即可求解． 【详解】解：将代入得：， 解得： ∵为一次函数 ∴ ∴ 故 故选：C． 64．如图，直线交坐标轴于，两点，等边三角形的边在轴上，且点为线段的中点，若将沿轴竖直向上平移，当点落在直线上时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于，延长，交于，先求出，，得出，根据等边三角形的性质得出，进而求出平移距离，即可求出平移后的点坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于，延长，交于， ∵直线交坐标轴于，两点， 当时，，当时，， ∴，， ∵点为线段的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴，，， ∴ ∵将沿y轴竖直向上平移，点落在直线上， ∴当时，， ∴，， ∵， ∴平移距离为， ∴平移后，点的坐标为． 65．已知一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点，若，则直线的解析式为____． 【答案】或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，关键是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式． 先根据勾股定理得，得点A的坐标为或，再利用待定系数法求解析式即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∴点A的坐标为或， 设一次函数解析式为， 当点A的坐标为时， ， ∴， ∴一次函数解析式为， 当点A的坐标为时， ， ∴， ∴一次函数解析式为， ∴直线AB的解析式为或． 故答案为：或． 66．无论k取何值，关于x的一次函数的图象必经过定点______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 将一次函数解析式化为关于k的一元一次方程，根据方程有无数解解答即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵无论k取何值，一次函数的图象必过定点， ∴， 解得， ∴无论k取何值，一次函数的图象必过定点． 故答案为：． 67．直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C与点B关于x轴对称． (1)求点C的坐标； (2)求直线对应的函数解析式． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式、坐标与图形等知识点，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）把代入中可求出B点坐标，再根据点C与点B关于x轴对称可求出C点坐标； （2）把代入中可得A点坐标，然后运用待定系数法求出直线的函数解析式即可． 【详解】（1）解：把代入中，得， ∴， ∵点C与点B关于x轴对称， ∴点C的坐标为． （2）解：把代入中，得，解得， ∴， 设直线对应的解析式为，则有 ，解得， ∴直线AC对应的解析式为． 68．已知一次函数（k，b为常数且）的图象经过，． (1)求这个一次函数的表达式． (2)求直线与x轴的交点C的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象与坐标轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解决问题的关键． （1）直接利用待定系数法求解，即可解题； （2）将代入解析式求解，即可解题． 【详解】（1）解：一次函数（k，b为常数且）的图象经过，， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：当时，有， 解得， 直线与x轴的交点C的坐标为． 题型十、画一次函数图像 69．画出下列正比例函数的图象： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题的解题思路是利用正比例函数图象过原点的特点，再选取一个x值求出对应的y值，确定另一个点，从而画出图象． 【详解】（1）解：当时，；当时， 在平面直角坐标系中，描出点和，然后用直线连接这两个点，即可得到的图象． （2）解：当时，；当时， 在平面直角坐标系中，描出点和，然后用直线连接这两个点，即可得到的图象． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象绘制，掌握正比例函数的图象绘制是解题的关键． 70．在一次函数的学习中，我们经历了“画出函数的图象——根据图象研究函数的性质——运用函数的性质解决问题”的学习过程，结合上面的学习过程，解决下面的问题：对于函数． (1)列表：下表是列出的几组、的对应值； 0 1 2 3 4 2 1 0 0 1 a 表中___________； (2)据表中的数值，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数的图象； (3)性质探究： ①观察图象，当___________时，函数有最小值为___________； ②除了上述性质外，请你再写出一条该函数的性质． 【答案】(1) (2)图见详解 (3)①0，；②当时，随着的增大而增大（答案不唯一） 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据表格可代值进行求解即可； （2）根据描点连线可作函数图象； （3）根据（2）中函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：由表格可得： ； 故答案为2； （2）解：根据表格可得图象如下： （3）解：由（2）中图象可得： ①当时，函数有最小值为； ②除了上述性质外，该函数当时，随着的增大而增大． 71．已知一次函数的图象经过点，与轴交于点． (1)求的值和点的坐标； (2)画出该一次函数的图象． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)见解析 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握以上知识点． （1）令，求出点的坐标，代入，求出的值． （2）根据两点确定一条直线画出图象． 【详解】（1）解：令，则，则点的坐标为， 该一次函数图象过点， ， 解得：； （2）解：一次函数的图象如图所示． 72．已知一次函数的图象与直线平行，且当时，． (1)求出这个一次函数的表达式； (2)画出该函数的图象． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据一次函数的图象与直线平行，得，于是解析式变为，把当时，代入解析式解答即可． （2）利用描点法画图象即可． 本题考查了直线的平行条件，待定系数法，画函数图象，熟练掌握平行的条件，待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：根据一次函数的图象与直线平行， 得， 故直线的解析式变为， 把当时，代入解析式得， 解得， 故直线的解析式为． （2）解：根据描点法画图象，，画图如下： 73．已知一次函数的图象与轴，轴分别交于、两点． (1)求、两点的坐标； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题主要考查一次函数的图象，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握一次函数图像的画法是解题的关键． （1）根据一次函数解析式求出点、坐标即可； （2）根据点、坐标，画出一次函数图象即可； 【详解】（1）解：当时，， 当时，，解得， ∴， （2）如图，直线即为所求． 74．通过一次函数的学习，我们知道，表示函数的方法一般有三种：列表法、图象法和关系式法．下面两个表格中分别给出了一个函数的一种表示方式，请你按要求完成任务： 表1 列表法 x … 0 1 … y … 0 2 4 … 图象法 关系式 表2 关系式 列表法 x … 0 1 2 3 … y … 0 2 … 图象法 图象特征（写一条即可）： 变化情况（增减性）： (1)任务一：在表1中，请根据表格画出该一次函数图象，并写出它的关系式； (2)任务二：在表2中，请根据关系式填表、画图象，并写出这个函数图象的一条特征和随变化情况的一个结论． 【答案】(1)图象见解析，； (2)图象见解析，当时，y有最小值；当时，y随x的增大而减小 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，掌握待定系数法和描点法作图是解题的关键． （1）先根据描点法作图，判断函数为一次函数，再根据待定系数法求解； （2）先根据描点法画图象，再根据图象求解． 【详解】（1）解：函数的图象如下图： 设函数的解析式为， 则：，解得：， ∴， 故答案为：； （2）解：当时，；当时，；当时，， 函数的图象如下： 由函数图象得：当时，y有最小值；当时，y随x的增大而减小． 题型十一、一次函数自变量与函数值的大小比较（常考点） 75．已知直线经过两点）和，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的性质可以求得a与b的大小关系，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而增大， ∵直线经过两点和，， ∴， 故选：A． 76．若点都在一次函数图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较大小 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，当时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大，当时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而增减小． 由得y随着x的增大而减小，而，故． 【详解】解：∵， ∴y随着x的增大而减小， ∵， ∴， 故选：C． 77．一次函数的图象上三个点的坐标分别为，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据一次函数的增减性判断函数值的大小．根据一次函数中的可得出y随x的增大而减小，根据可得出． 【详解】解：∵一次函数中的， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故选：C． 78．已知一次函数的图象上两点，，其中，那么的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，解不等式等知识点，根据函数的增减性判断一次项系数的符号是解题的关键． 由，， ，可知随增大而增大，可得，即，解不等式即可． 【详解】解：∵，， ，， ∴随增大而增大， ∴，即，解得． 故答案为：． 79．若点，都在函数的图象上，则_____（填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查比较一次函数值的大小，根据一次项系数判断函数的增减性求解，即可解题． 【详解】解：， ， ， 随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 80．若点，点，点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 先根据点代入可得，再根据一次函数的增减性即可得． 【详解】点在一次函数的图象上， ，解得：， 一次函数解析式为， ， 随的增大而减小， 又点，点都在一次函数的图象上，且， ． 故答案为：． 81．已知与x成正比例，当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)若点、在（1）中函数的图象上，比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质． （1）根据正比例函数的定义，设，然后把已知的对应值代入求出k，从而得到y与x的函数关系式； （2）根据一次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：设， ∵时，， ∴， 解得， ∴， ∴y与x的函数解析式为； （2）解：∵， ∴y随x的增大而减小， 而， ∴． 题型十二、求一次函数的解析式（常考点） 82．一次函数，当时，；当时，．求和的值． 【答案】, 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 根据待定系数法把点和代入即可求得． 【详解】一次函数解析式为， 把，；，代入得 ， 解得． 83．已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数表达式； (2)若点在这个函数的图象上，求m的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了待定系数法，一次函数的图象，掌握待定系数法是解题的关键． （ 1）设，然后把，代入求解即可； （ 2）把点代入表达式即可求出m的值． 【详解】（1）解：设， 将，代入，得 ， 解得， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）解：将点代入表达式得 ， 解得：． 84．已知平面直角坐标系中三点，试判断这三点是否在同一条直线上，并说明理由． 【答案】A、B、C三点不在同一直线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数的函数值，利用待定系数法求出直线的解析式，再判断点C是否在直线上即可得到结论． 【详解】解：三点不在同一直线上，理由如下： 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴不在直线上， ∴三点不在同一直线上． 85．已知y与x成正比例关系，且当时，． (1)求y与x之间的函数解析式． (2)若点在这个函数的图象上，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数的定义、解析式求解方法以及函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据正比例函数的形式设出解析式，利用已知x、y的值求出比例系数k，再结合点在函数图象上时横纵坐标满足函数解析式的性质求解参数． （1）根据正比例函数“”的定义设出函数解析式；将已知、代入解析式，构建关于k的方程；求解方程得到k的值，进而确定函数解析式； （2）利用“点在函数图象上则其坐标满足函数解析式”的性质，将代入（1）中所求解析式，构建关于a的方程；求解方程得到a的值． 【详解】（1）解：设y与x的函数解析式为 ∵当时， ∴ 解得 ∴y与x的函数解析式为 （2）解：∵点在的图象上 解得． 86．已知，与成正比例，与成正比例，且当时，；时，． (1)求关于的函数解析式； (2)求出当时的函数值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查求函数解析式、求函数值等知识点，掌握待定系数法成为解题的关键． （1）设，则，然后根据当时，；时，求解即可； （2）将代入（1）中解析式求解即可． 【详解】（1）解：设， 则， 当时，；当时，， 可知，整理得，解得． 故函数解析式为． （2）解：当时，． 87．已知一次函数与一次函数平行，且过点，求该一次函数解析式． 【答案】． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键． 先根据两条直线是平行的关系，的值相等，从而求出，再把点代入一次函数，即可求得的值． 【详解】解：∵一次函数与平行， ∴， 又∵函数经过点， ∴， 解得：， ∴该一次函数解析式为． 题型十三、一次函数平移与对称问题 88．一次函数的图象沿轴向下平移2个单位，那么所得图象的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减自变量，上加下减常数项”是解答本题的关键． 根据函数图象平移规则，沿y轴向下平移时，函数解析式中的常数项减少平移单位数． 【详解】解：一次函数的图象沿轴向下平移2个单位， 那么所得图象的函数解析式是． 故选：C． 89．将一次函数的图象平移得到图象的函数关系式为，则移动方法为 （    ） A．向左平移 4 个单位 B．向右平移 4 个单位 C．向上平移 4 个单位 D．向下平移 4 个单位 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移．根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移 4 个单位得到图象的函数关系式为． 故选：D 90．已知一次函数的图像与直线关于x轴对称，则一次函数的表达式为________． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与几何变换问题，求一次函数表达式，首先求出直线与y轴的交点为，与x轴的交点为，然后根据题意求出一次函数与y轴的交点为，与x轴的交点为，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：，当时，， 当时，， ∴直线与y轴的交点为，与x轴的交点为， 一次函数的图像与直线关于x轴对称， 一次函数与y轴的交点为，与x轴的交点为， 设一次函数的解析式为， 把，代入得，， 解得：， 所以，一次函数的解析式为：． 故答案为：． 91．将一次函数的图象向上平移4个单位长度，向左平移3个单位长度后得到的函数表达式是__________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题关键． 根据一次函数图象的平移规律：“上加下减，左加右减”求解即可得． 【详解】解：将一次函数的图象向上平移4个单位长度，得到，再向左平移3个单位长度，得到， 故答案为：． 92．将一次函数的图象向上平移6个单位长度得到的新图象经过点，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移变换、求一次函数解析式等知识点，掌握一次函数的平移规律成为解题的关键． 先根据平移规律得到平移后的函数解析式，然后将代入求得k的值即可． 【详解】解：将一次函数的图象向上平移6个单位长度得到新的函数解析式为， ∵新图象经过点， ∴，解得：． 93．已知：与成正比例，且时，， (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值； (3)若该函数图象沿轴向上平移个单位长度，求平移后图象与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查正比例函数的定义，一次函数的图象和性质，一次函数图象的平移，熟练掌握相关知识点，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）设，待定系数法求出函数解析式即可； （2）把点代入（1）中所求解析式，进行求解即可； （3）根据平移规则求出平移后的解析式，再令，进行求解即可． 【详解】（1）解：设， 把代入，得：， 解得：， 则与的函数关系式是， 即； （2）把点代入得：， 解得：； （3）由“上加下减”的原则可知，将函数的图象沿轴向上平移个单位长度后所得函数的解析式为， 令，则， 平移后的图象与轴的交点的坐标为． 94．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个正比例函数的表达式； (2)若一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且过点，将这个一次函数的图象向下平移4个单位，写出平移后函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数图像与几何变换，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． （1）待定系数法求出正比例函数解析式即可； （2）先求出平移前的解析式，再根据平移法则得到新的解析式． 【详解】（1）解：设正比例函数解析式为，图象经过点， ， 得， 故正比例函数的表达式为； （2）解：一次函数的图象与正比例函数的图象平行， 一次函数，即， 一次函数图像经过点， 解得， 一次函数解析式为：， 将这个一次函数的图象向下平移4个单位，得到． 95．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象与系数的关系，运用数形结合思想解决问题是解答本题的关键； （1）根据一次函数平移的性质可得，再利用待定系数法求解即可； （2）根据点结合图象，利用数形相结合的思想求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∵一次函数的图象经过， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）当时，， 即过点； 将代入得： ， 解得， 当时，函数的值小于一次函数的值，如图， ． 题型十四、一次函数中面积问题（重点） 96．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线与x轴、y轴分别交于点A、B，则的面积为_________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，三角形的面积，求出一次函数图象与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点A，B的坐标，进而可得出，的长，再利用三角形的面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：如图， 当时，， ∴点B的坐标为， ∴； 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴． ∴． 故答案为：． 97．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知，则______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与三角形面积，待定系数法；由待定系数法得直线的解析式为，求出的坐标，由即可求解；能熟练求解一次函数与三角形的面积是解题的关键． 【详解】解：如图， 当时，， 当时，， 解得：， ，，， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ； 故答案：． 98．如图，函数和的图象相交于点． (1)求m，a的值． (2)求的面积． 【答案】(1) (2)的面积为9 【分析】本题主要考查了两条直线相交或平行问题，一次函数的图象，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法，坐标与图形面积． （1）把代入可得，再把代入可得a的值，从而可得答案； （2）先求出A的坐标，再利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：（1）把代入得： 解得：， ∴点B的坐标为， ∵函数的图象经过点， ∴， 解得：； （2）解：∵一次函数为， 当时，则， ∴， ∴． 99．如图所示，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，且与直线交于点A，点P沿的折线运动． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)当的面积是的面积的时，直接写出此时点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式、两直线的交点坐标，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可求解； （2）联立两函数解析式，可得点A的坐标，再由三角形的面积公式解答即可； （3）先求出，设点P的横坐标为m，然后分两种情况：当点P在上时，点，当点P在上时，点，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 把点，代入得： ，解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：联立得：， 解得：， ∴点A的坐标为， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵的面积是的面积的， ∴， 设点P的横坐标为m， 当点P在上时，点， ∴， 解得：， 此时点P的坐标为； 当点P在上时，点， ∴， 解得：， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 100．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与y轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)点D在x轴上，求的最小值； (3)在直线上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数的解析式求解、轴对称求最短路径以及三角形面积的相关计算，熟练掌握待定系数法、轴对称的性质和三角形面积公式是解题的关键． （1）利用待定系数法，设直线的解析式为，将已知点、的坐标代入求解． （2）根据轴对称的性质，找到点关于轴的对称点，连接，其长度即为的最小值，再用勾股定理计算． （3）由，得出，设，分两种情况讨论：当点在左侧时，当点在左侧时，结合图形讨论即可得． 【详解】（1）解：设直线的解析式为 ∵直线过点， ∴ 解得 ∴直线的解析式为； （2）解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时最小，最小值为的长， ∵， ∴ ∴的最小值为； （3）解：存在， ，， ， ， ， 设， 当点在左侧时，如图1所示： ， 解得：，或（舍去）， ， ； 当点在右侧时，如图2所示： ， 解得：或（舍去）， ， ， 综上可得：或； 101．正比例函数和一次函数的图像交于点，且一次函数的图像交轴于点，交轴于点． (1)求正比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图像，求关于的不等式的解集； (3)已知点在图像上，若，求的坐标． 【答案】(1)正比例函数表达式为；一次函数表达式为； (2)； (3)或． 【分析】（1）利用正比例函数过点，将点坐标代入可求即可求得正比例函数．利用一次函数过点和，代入两点坐标列方程组求解、即可求得一次函数； （2）不等式的解集，就是正比例函数图像在一次函数图像上方时的取值范围，结合两函数交点的横坐标判断； （3）先求出的面积，再根据求出的面积，设点坐标，利用三角形面积公式（为底，点纵坐标的绝对值为高）求出的值，再代入一次函数表达式求，得到点坐标． 本题主要考查了正比例函数与一次函数的表达式求解、利用函数图像解不等式以及三角形面积与函数坐标的综合应用，熟练掌握函数图像上点的坐标特征、一次函数与正比例函数的性质及三角形面积公式是解题的关键． 【详解】（1）解：正比例函数过点 ， 解得， 正比例函数表达式为； 一次函数过点， 解得，， 一次函数表达式为； （2）解：正比例函数和一次函数交于点，且不等式表示正比例函数图像在一次函数图像上方． ； （3）解：，点纵坐标为， ． ． 设， ， ，即， 解得或． 当时，， 解得，此时； 当时，， 解得，此时； 综上，的坐标为或． 102．如图，直线的解析式为与x轴交于点B，直线经过点，且与x轴交于点A，直线与直线交于点； (1)请写出下列点的坐标：B（ ， ）、C（ ， ）； (2)请求出直线的解析式； (3)请求出的面积． (4)在上是否存在一点P，使的面积是面积的？若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2，0；，3 (2) (3) (4)存在，点P 或 【分析】本题考查了一次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． （1）当中时得，求出，将代入得到，即可求出的值，得到； （2）设直线的解析式为：，将的坐标代入解析式，得到，求出的值即可； （3）先求出点的坐标，从而得出，再根据代入数据进行计算即可； （4）由题意得出，再由得出或，分别代入中进行计算即可． 【详解】（1）解：∵直线的解析式为， 当时，， 解得， 则， ∵直线l1经过点， ∴， ∴； （2）设直线的解析式为：， 将，代入， 得：， 解得：， 直线的解析式为； （3）解：在中，当时，，解得：， ， ， ； （4）解： 的面积是面积的， ， ， ， 或， 当时，，解得：，即， 当时，，解得：，即， 综上所述，在上存在一点，使的面积是面积的，或． 题型十五、一次函数与方程（组）结合（重点） 103．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x、y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握两直线的交点坐标即这两条直线组成的方程组的解是解题关键． 将点代入，求出其横坐标，则横坐标为所求方程组中的值，纵坐标为方程组中的值． 【详解】解：在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点， ， ∴， ∴ 则关于、的方程组的解为． 故选：C． 104．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两直线交点坐标问题，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组的解之间的关系，两直线的交点坐标就是两函数解析式组成方程组的解． 先将代入求出的值，再根据题意作答即可． 【详解】将代入得，即 ∵直线与直线交于点， ∴关于的方程组的解为， 即关于的方程组的解为， 故选：B 105．若一次函数（为常数且）的图像经过点，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象的平移规律、一次函数与一元一次方程的关系．由直线向右平移8个单位得到直线，从而可得直线与x轴交点坐标，进而求解． 【详解】解：直线是由直线向右平移8个单位所得， ∵与x轴交点为， ∴直线与x轴交点坐标为， ∴的解为， 故选：A． 106．如图是一次函数的图像，则方程的解为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，一元一次方程的解就是对应一次函数与x轴交点的横坐标是解题的关键． 关于x的方程一元一次方程的解就是一次函数与x轴交点的横坐标的值，据此即可解答． 【详解】解：从图像上可知，一次函数与x轴交点的横坐标为， 所以关于x的方程的解为． 故答案为：． 107．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为．由定义可知，一次函数的“亮点”为___________． 【答案】 【分析】本题考查了两直线交点问题．理解题意，熟练掌握两直线交点是解题的关键． 联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可． 【详解】解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 即， 解得，， ∴一次函数的“亮点”为． 故答案为：． 108．如图，已知直线：与y轴交于点A，且和直线：交于点，根据以上信息解答下列问题： (1)求a的值； (2)不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解； (3)若直线，表示的两个一次函数都大于0，此时恰好，求直线的函数解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】考查了一次函数与二元一次方程（组），用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法，另外本题还渗透了数形结合的思想，题出得比较好． （1）将P点坐标代入的解析式中，解方程即可求得a的值； （2）结合函数图像即可求出方程组的解． （3）根据题意可得直线过点和点，利用待定系数法即可求出的函数表达式 【详解】（1）解：因为点在直线上， 所以当时，． （2）解：方程组的解即直线和的交点坐标P， 即方程组的解为． （3）解：∵当直线和表示的两个一次函数的函数值都大于0时，恰好， 所以直线过点． 又因为直线过点， 所以 解得 所以直线的函数表达式为． 109．如图，已知一次函数的图象经过点，，为直线上的动点，正比例函数的图象经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)若点，求方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要查了求一次函数的解析式，一次函数图象的交点问题： （1）直接利用待定系数法解答，即可求解； （2）求出点C的坐标，将方程组整理为，可得方程组的解为一次函数与正比例函数的交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入得： ，解得， 一次函数的表达式为：． （2）解：将代入得∶ ， ， 将方程组整理为， ∴方程组的解为一次函数与正比例函数的交点坐标， 方程组的解为． 题型十六、一次函数与不等式结合（重点） 110．如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象交点右侧直线图象在直线图象的上面，即可得出的解集． 【详解】解：∵直线和直线交于点， ∴由图象可得，不等式的解集为． 即关于的不等式的解集为． 111．一次函数和的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，求不等式的解集，则只需得到x在什么范围内时的图象在函数的图象的下面即可； 【详解】解：∵一次函数和的图象交点为， 从图象得到，当时，的图象在函数的图象的下面， ∴不等式的解集为， 将在数轴上表示为：， 故选：B． 112．如图，函数和的图象相交于，两点．当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是两条直线相交问题，关键是掌握，当时x的取值范围等价于所对应的图像在所对应的图象上方部分图象上点的横坐标的范围． 由函数和的图象相交于，两点，根据结合图象的位置关系，即可求出x的取值范围． 【详解】解：由图象可知：当时，x的取值范围为：或． 故选：D． 113．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】不等式表示的区域就是直线在直线下方的区域，再代入点，得到正比例函数中求出m，即可解题. 【详解】解：∵函数过点， ∴， 解得：， ∴， ∴不等式的解集为． 114．如图，直线经过和两点，则不等式的解集为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，正确理解一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键．可以从函数图象的角度去分析，就是确定的解集就是确定直线在直线上方且在直线下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【详解】解：∵直线经过和两点， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 115．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数的平移、待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法和数形结合思想求解是解答的关键． （1）根据一次函数平移时k不变可知，再把点代入求出b的值，进而可得出结论． （2）解关于x的不等式得到，根据题意可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴． ∵一次函数的图象过点， ∴． ∴这个一次函数的表达式为； （2）解： 解不等式得， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值， ∴， 解得：． 故m的取值范围． 116．已知，如图，一次函数的图象经过，． (1)求一次函数的表达式； (2)结合图象，请直接写出关于的不等式的解集； (3)若当时，一次函数的函数值y恰好满足，请直接写出的关系式中的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数于一元一次不等式，熟练掌握待定系数法，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据A的坐标，结合图象即可求解； （3）分两种情况，利用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过，． ∴，解得， ∴一次函数的表达式为； （2）由图形可知，关于x的不等式的解集是； （3）当一次函数过点时，则， 解得， 当一次函数过点时，则， 解得， 的关系式中的值分别是或． 117．一次函数和的图像如图所示，且，． (1)关于的方程的解为_________；关于的不等式的解集为_________； (2)若不等式的解集是，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据观察函数图象，即可求解； （2）先求出，再由不等式的解集是，可得点的横坐标为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， 即关于的方程的解为； ∵， ∴当时，， ∴不等式的解集为； 故答案为：4； （2）解：把点代入，得： ，解得， ∴， ∵不等式的解集是， ∴点的横坐标为， ∴当时，， ∴点的坐标为． 118．在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是改善学习的重要方法． 善于学习的小明在学习了二元一次方程（组）、一元一次不等式（组）和一次函数后，把相关知识进行了归纳整理，如图所示： (1)请你根据以上方框中的内容在下面数字序号后写出相应的结论：① ；② ；③ ；④ ； (2)如果点C的坐标为，那么不等式的解集是 ，那么不等式的解集是 ． 【答案】(1)①；②；③；④； (2)；． 【分析】此题主要考查了一次函数与二元一次方程、一元一次不等式的关系，，利用数形结合得出不等式的解集是解答的关键． （1）根据一次函数与方程、不等式的关系，结合图象分别写出①②③④即可； （2）由，点C的坐标为得到函数图象在点C上方部分的横坐标x取值范围即可；由得函数的图象在函数图象上方的部分，由点C的坐标为，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：由题意，①；②；③；④； 故答案为：①；②；③；④； （2）解：∵，点C的坐标为， ∴函数图象在点C上方部分， ∴不等式的解集为； ∵ ∴函数的图象在函数图象上方的部分，又点C的坐标为， ∴不等式的解集是：． 故答案为：；． 题型十七、一次函数的规律性探究问题（难点） 119．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，，…，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先通过求解一次函数图象与坐标轴的交点，可得出的坐标，进而得出的长，由正方形的性质可得，于是可得的坐标；，以此类推，同理可得，，，，，据此即可得出答案． 【详解】解：令，则， 解得：， ， ， 四边形是正方形， ， ， 令，则， 解得：， ， ， 四边形是正方形， ， 的纵坐标为：， ， 同理可得，，，， 点的坐标为， 故选：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的规律探究问题，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解一元一次方程，写出直角坐标系中点的坐标，已知两点坐标求两点距离，线段的和与差等知识点，通过确定，的横纵坐标数值，找出其变化的规律是解题的关键． 120．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象为直线，作点关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；再作关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；…则按此规律，所作出的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，轴对称的性质，坐标与图形变化平移，一次函数的图象和性质，通过求出，，，，，进而得到规律当（k为正整数）时，，当时，，再由，即可求出答案． 【详解】解：如图所示， 设与直线l交于点C， ∵， ∴， ∵函数的图象为直线， ∴， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴， ∵将向右平移2个单位得到点， ∴， 同理可得， ∴，， ......， 以此类推，可知当（k为正整数）时，，当时，， ∵， ∴，即． 故选：D． 121．如图，在平面直角坐标系中，点都在直线上，点都在轴上，都是等腰直角三角形，其中都是直角．如果点的坐标为，那么点的纵坐标是（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标规律，罗列、、纵坐标得出一般规律，再按照规律求出的纵坐标即可得到答案，罗列、、纵坐标得出一般规律是解决问题的关键． 【详解】解：直线与轴交于点， ，解得， 直线解析式为， 作轴，轴，轴，如图所示： ， ；的纵坐标为1， 都是等腰直角三角形， 设， ，将坐标代入直线解析式得，解得， ，的纵坐标为， 设，则， 代入直线解析式，解得， ， 的纵坐标为， 的纵坐标为， 故选：C． 122．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点……依次进行下去，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及规律型中数字的变化类，找出点的横坐标是解题的关键．由题意分别求出的坐标，找出的横坐标的规律，即可求解． 【详解】解：∵过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，……依次进行下去， ∴与横坐标相同，与纵坐标相同， ∴当时，， ∴， ∴当时，， ， 同理可得：，，，，… ∴的横坐标为， 当时，， ∴点的横坐标． 故选：C． 123．如图，直线与轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点、，，…，与直线上的点，，，…，则的长为____________． 【答案】 【分析】本题考查数字规律问题，解题的关键是根据一次函数解析式求出相关点的坐标，然后找出的长的规律，对于直线，令求出的值，确定出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，由与的横坐标相等得出的横坐标，代入求出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，同理求出，，，归纳总结即可得到的长． 【详解】解：对于直线，令，求出，即， 轴， 的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 轴， 的横坐标为， 将代入直线中得：，即， 与的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 同理，，， 则的长为． 故答案为：． 124．如图，直线，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为原点，长为半径画弧交x轴于点；再过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点；…，按此作法进行下去，点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理以及规律型中点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征结合勾股定理，求出点的坐标并找到规律是解题的关键． 根据的坐标和函数解析式，求得的长度，再由此可求得的坐标，依次类推，即可求出点探究规律利用规律即可解决问题． 【详解】解：∵直线，点的坐标为，过点作轴的垂线交直线于点， ， 在中，， ， ∴点的坐标为， 同理，可得出：点的坐标为，点的坐标为， 由此可知的坐标为， 的坐标为． 故答案为：． 125．如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；按此规律作下去，则点的坐标为______，的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了轴对称的性质． 先根据题意求出点的坐标，再根据点的坐标求出的坐标，以此类推总结规律便可求出点、的坐标． 【详解】解：点坐标为， ， 过点作轴的垂线交直线于点， ∴将代入得， ∴点的坐标为， 点与点关于直线对称， ， ， 点的坐标为，同理可得的坐标为， 点与点关于直线对称． 故点的坐标为，同理的坐标为， 以此类推便可求出点的坐标为，同理点的坐标为． 故答案为：，． 126．正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、正方形的性质． （1）根据已知条件先求出、的坐标，设直线的解析式为，代入求解即可； （2）根据已知条件先求出、，同理可得出、的坐标； （3）总结（2）中的规律可得出的坐标． 【详解】（1）解：∵正方形、的边长分别为， ∴，， 设直线的解析式为， ∵点、在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； （2）解：∵的边长为1， ∴， ， 在直线上， ， ， 同理可得， ∴，； （3）解：由（2）中规律可得：， 故答案为：． 综合攻坚·能力跃升 B 1．（2026·陕西商洛·一模）已知一次函数（、为常数，且）的图象不经过第三象限，则一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先根据已知一次函数的位置判断和的符号，再判断目标一次函数经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数（、为常数，且）的图象不经过第三象限， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴一次函数的图象不经过的象限是第二象限． 2．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据点在直线上求出的值，确定交点横坐标，再结合函数图象，找出直线在直线下方部分对应的的取值范围． 【详解】解：∵点在直线上， ∴，解得， ∴交点的横坐标为． 由图象可知，当时，直线在直线的下方， ∴不等式的解集为． 3．（25-26九年级下·安徽六安·月考）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、三、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，先得出它的图象与轴交于点，结合，， 随的增大而增大，它的图象经过第一、三、四象限，且结合当时，则，故，即可作答． 【详解】解：∵一次函数解析式为， ∴令，则，解得， ∴它的图象与轴交于点， 故A选项不正确，不符合题意； ∵一次函数解析式为，其中， ∴随的增大而增大， 故B选项不正确，不符合题意； ∵， ∴它的图象经过第一、三、四象限， 故D选项正确，符合题意； ∵， ∴当时，则， ∴， 即， 故C选项不正确，不符合题意； 4．（25-26七年级下·山东淄博·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小；②；③方程的解为；④方程组的解是．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】一次函数的增减性由的正负决定，是函数图象与轴交点的纵坐标；一元一次方程的解对应函数图象与轴交点的横坐标；二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标． 【详解】解：①∵一次函数的图象从左到右呈下降趋势， ∴，的值随着值的增大而减小，结论①正确； ②∵一次函数的图象与轴交于正半轴，的图象与轴交于负半轴， ∴，，故，结论②错误； ③∵一次函数的图象与轴的交点为， ∴当时，，即方程的解为，结论③正确； ④∵两个一次函数的图象交点坐标为， ∴方程组的解是，结论④正确； 综上，3个结论正确． 5．（25-26八年级下·河北衡水·期中）已知与是一次函数．若，那么如图所示的4个图可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立方程，得出两直线的交点为，依次分析选项可得答案． 【详解】解：联立方程，解得，故两直线的交点为， B选项中交点纵坐标是0，即，但根据图象可得，故选项B不符合题意； 而选项C中交点横坐标是负数，故选项C不符合题意； 选项D中交点横坐标是负数，选项D不符合题意； A选项中交点横坐标是正数，纵坐标是正数，即，根据图象可得，故选项A可能正确，符合题意． 6．（2026·安徽芜湖·一模）如图1所示，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在x轴上，点B在第二象限，将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图像如图2所示，下列结论错误的是（   ） A．点A的坐标为 B．的面积为8 C．边所在直线的表达式为 D．D点坐标为 【答案】D 【分析】先求得点M的坐标，进而求得的长，由函数图像可知，当时，直线l经过点A，得，可得，可判断选项A；由函数图像可知：当时，直线l经过点C，，，得的面积：，可判断选项B；由，可得直线的解析式为，可判断选项C；由，得当l经过点C时，由，得，得，可判断选项D． 【详解】解：A、令直线，解得：， ∴点M的坐标为， ∴， 由函数图像可知：当时，直线l经过点A， ∴， ∴ ∴点A的坐标为，故选项A正确； B、由函数图像可知：当时，直线l经过点C， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， ∴， ∴的面积：，即选项B正确； C、∵， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴，即选项C正确； D、∵，， ∴，直线l和x轴正方向的夹角为， ∴， ∵， ∴当l经过点C时， ， ∴， ∴选项D错误，符合题意． 故选：D． 7．（2026·上海普陀·二模）已知正比例函数的图像经过第二、四象限，点、在该正比例函数的图像上，如果，那么________、（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先根据正比例函数图象经过的象限判断比例系数的符号，再结合正比例函数的增减性，比较与的大小． 【详解】解：设该正比例函数的解析式为， 因为正比例函数的图像经过第二、四象限， 所以可得， 根据正比例函数的性质，当时，随的增大而减小. 又因为， 所以． 8．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）正方形按如图的方式放置，和点,分别在直线和轴上，则点的横坐标是__________，则点的横坐标是__________． 【答案】 7 【分析】根据正方形的性质得出相等的边，根据一次函数得出各正方形的边长，得出规律求解． 【详解】解：根据题意得， 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； ∴， ∴点的横坐标是； ∴点的横坐标是． 9．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）如图，直线：与y轴交于点，与轴交于点；直线：经过点和点，且与相交于点D，连接． (1)求直线和的函数表达式； (2)当x取何值时，? (3)求的面积． 【答案】(1)：；： (2) (3)15 【分析】（1）利用待定系数法解题即可； （2）先求出点坐标，然后结合图形，可知时，； （3）先求出点，利用即可求出答案． 【详解】（1）解：∵直线：与y轴交于点， ∴， ∴直线的表达式为：； ∵直线：经过点和点， ∴， ∴， ∴直线的表达式为：； （2）解：联立， 解得， ∵直线与相交于点D， ∴点， 结合图像可知时，； （3）解：将代入直线：，得到，解得， ∵直线与轴交于点； ∴点， ∵， ∴， ∴的面积． 10．（25-26八年级下·四川宜宾·期中）已知函数． (1)当为何值时，函数图象经过原点； (2)若这个函数是一次函数，且图象不经过第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）函数图象经过原点，说明原点满足该函数解析式，将点代入解析式求解即可； （2）根据一次函数的性质，图象不经过第二象限时，一次项系数大于0，常数项小于等于0，列出不等式组求解即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：将原点代入函数得： ， 解得：； （2）解：根据题意得：， 解得， 的取值范围为． 11．（25-26八年级下·四川宜宾·期中）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点．例如，点的美好点是． (1)点的美好点坐标是______，若点的美好点为，则点的坐标是______； (2)若点的美好点在直线上，求的值； (3)点在直线上且点的横坐标为，点为点的美好点，点______直线（填“在”或“不在”），请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)在，理由见解析 【分析】（1）根据“美好点”的定义进行求解即可； （2）若点的“美好点”在直线上，可得方程，解之可得； （3）先根据点Q为点P的“美好点”，求得点Q的坐标，再代入，求解即可． 【详解】（1）解： 根据题意可得：，， ∴点的“美好点”坐标是； 若点P的“美好点”为， 则， 解得，， 点P的坐标是； （2）解：点的“美好点”为，即， 若点的“美好点”在直线上， 得， 解得：， 所以的值为； （3）解：点在直线上且点的横坐标为， ， 点Q为点P的“美好点”， ， 将代入中，得， 与点的纵坐标相等， 在直线上． 12．（25-26八年级下·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x，y轴交于B，C两点，正比例函数的图像与L1交于点． (1)填空： ______， ______． (2)不等式的解集是______； (3)若点M是直线上的一个动点，连接，当的面积是面积的2倍时，直接写出符合条件的点M的坐标； 【答案】(1)5，4 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）先求得点坐标，将点坐标代入一次函数可得的值； （2）利用图像直接判断不等式的解集即可； （3）设，根据，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入得：， 然后将代入得：， 解得：； （2）解：由图像可知，不等式的解集为：； （3）解：由（1）得：一次函数， 点在直线上， 设点的坐标为，把代入，得， 点坐标为，， 点坐标， ， 把代入，得， 点坐标为，， ， 解得：或14， 当时，； 当时，； 点的坐标为或． 13．（25-26八年级下·福建泉州·期中）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”，例如求的“不动点”联立方程，解得，则的“不动点”为． (1)由定义可知，一次函数的“不动点”为________． (2)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”． ①若点为轴上不与原点重合的一个动点，且，求满足条件的点坐标． ②若P为x轴正半轴上一点，以为腰在左侧作等腰直角，且，连结，当取得最小值时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②当取得最小值时，点的坐标为 【分析】（1）根据“不动点”的定义求解即可； （2）①求出直线的解析式，得到，得到，设，求出或，即可得到满足条件的点坐标或；②过点作轴于点，证明，设，则，得到，得出当时，取得最小值，得到点的坐标为． 【详解】（1）解：根据题意得，， 解得， 一次函数的“不动点”为； （2）解：①直线上没有“不动点”， ， ； 令，则，解得， ， 令，则， ， ， 点为轴上不与原点重合的一个动点，设 ， ， ， ， 或， 满足条件的点坐标或； ②过点作轴于点， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 在和中，， ， ，， 设，则， ， ， ， 当时，取得最小值，最小值为， 把代入得，， 当取得最小值时，点的坐标为． 14．（2026·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象交y轴于点A，函数的图象经过点A与点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出点，然后再用待定系数法求出k，b的值； （2）由题意可知，当时，的图象在上方，在下方，设与分别交于两点，当与平行时，满足题意，此时，交于点；当与的交点在之间（包括端点时），满足题意，结合，即可得出答案． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴， ∵函数的图象经过点与点， ∴， ∴； （2）解：当时，函数的表达式为， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值， ∴当时，的图象在上方，在下方， 当时，； 当时，； 不妨设， 当与平行时，画出图形如下： 从图象可知，此时满足“的图象在上方，在下方，”，此时，的表达式为， 当时，，设点， 如图，当与的交点在之间（包括端点时），满足题意， 当时，， ∴， 又， ∴或． 15．（25-26八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，为一次函数的图象上一点． (1)求A、B两点的坐标． (2)已知点，连接，求的面积． (3)若点Q为一次函数图象上第一象限内一点，且满足，，求的值． 【答案】(1)； (2)4 (3) 【分析】（1）求出时，y的值和时，x的值可得答案； （2）设交x轴于点C，求出直线的解析式为，可得点，从而得到，再由，即可求解； （3）过点P作轴于点D，过点Q作轴于点E，则，由题意知，且，从而得到，，证明，可得，，从而得出点，代入解析式求得m的值，进一步可得n的值，代入即可得出答案． 【详解】（1）解：在中， 当时，， ∴， 当时，，解得， ∴； （2）解：设交x轴于点C， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点， ∴， ∴； （3）解：如图，过点P作轴于点D，过点Q作轴于点E，则， 由题意知，且， ，， ， ， ∵， ， 又， ， ，， 点， 点Q在直线上， ， 解得， ， 则． 16．（2026·浙江丽水·一模）【阅读理解】 对于两个函数，当自变量任取一个值时，它们所对应的函数值之和为2，我们称这两个函数互为“关联函数”．例如：与互为“关联函数”． 【初步探究】 (1)如图，函数经过点，求该函数的“关联函数”表达式； 【深入思考】 (2)在（1）条件下，函数图象的一段向上平移个单位长度后，与它的“关联函数”的图象有交点．求的最小值． 【答案】(1) (2)的最小值为． 【分析】（1）利用待定系数法求得原函数为，根据“关联函数”的定义：两个函数的函数值之和为2，列式求解即可； （2）根据题意两个函数有交点，即方程在范围内有解，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵函数经过点， ∴将点代入函数：，即， ∴原函数为， 根据“关联函数”的定义：两个函数的函数值之和为2，设关联函数为， 则：， ∴， ∴函数的“关联函数”表达式为； （2）解：函数在上向上平移m个单位后， 解析式为：， 它的“关联函数”为， ∵两个函数有交点，即方程在范围内有解， 解方程：，得， ∴， 解不等式：，得， 解不等式：，得， ∴的取值范围是，则的最小值为． 17．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）如图，直线经过点，，且与直线交于点． (1)关于的不等式的解集是______； (2)若点的横坐标为1，请完成下面的问题． ①关于的不等式的解集是______； ②求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据一次函数与不等式的关系来求解． （2）①根据两个一次函数图象的位置关系来确定不等式的解集． ②首先需要求出直线的解析式，然后求出点的坐标，最后将点的坐标代入中求解． 【详解】（1）解：已知一次函数的图象经过点，且从图象可知， 当时，函数图象在轴下方， 所以不等式的解集是． 故答案为：． （2）解：①已知点的横坐标是，即两函数图象交点的横坐标为， 从图象可知，当时，的图象在的图象下方包含交点， 所以不等式的解集是． 故答案为：． ②已知直线经过点，， 将这两点代入直线方程可得方程组．解得， 所以直线的解析式为． 因为点在直线上，且点的横坐标为， 将代入，可得， 所以点的坐标为． 因为点也在直线上， 将点的坐标代入， 可得， 解得． 18．（25-26八年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出和的取值范围． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先根据直线过点，得出的值，再将点代入即可得出的值； （2）先求出两函数与轴的交点坐标，然后根据图象即可求得． 【详解】（1） 解：函数的图象过点， ， 解得， 将点代入得：， 解得， （2）解：由（1）知，，； 对于，当时，； 对于，当时，； 如图所示，当时，的函数图象位于上方且位于的下方时，，， 当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，，． 19．（2026·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点 (1)求和的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把点的坐标分别代入两个解析式求出和的值； （2）由（1）可知函数的解析式为，函数的解析式为，函数的解析式为，当时，若要函数的值大于函数的值，则有，若要函数的值小于函数的值，则要，从而可得的取值范围． 【详解】（1）解：把代入， 可得：， 解得：； 把代入， 可得：， 解得：； （2）解：由（1）可知，， 函数的解析式为，函数的解析式为，函数的解析式为， ， ， 当时，若， 可得：， 解得：， ． 20．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求的值； (2)求直线与直线的交点坐标； (3)当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，直接写出的最小值和的取值范围． 【答案】(1) (2)交点坐标为 (3)的最小值为，的取值范围为 【分析】（1）将点代入一次函数解析式即可解决问题； （2）联立两个直线进行求解即可； （3）求得时，，代入求得，求得时，，把代入，求得，然后根据图象即可求得． 【详解】（1）解：将点代入， 得 解得； （2）解：由（1）可知，一次函数解析式为， 联立， 解得， ∴两直线的交点坐标为； （3）解：如图， 当时，， 把代入， 解得， 当时，， 把代入， 解得， 当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值， 的最小值为，的取值范围是． 1 / 77 学科网（北京）股份有限公司 $